Aula 2: Vetores – tratamento algébrico

Vetores no R2 e no R3

Decomposição de vetores no plano ( R2 )

Dados dois vetores 21 vev , não colineares, então qualquer vetor v pode ser

decomposto nas direções de 21 vev . O problema é determinar os dois vetores que

tem a direção de 21 vev e cuja soma seja igual a v , ou seja, é preciso obter dois

números reais e , de modo que:

conforme o desenho abaixo:

No desenho acima, dizemos que v é combinação linear dos vetores 21 vev

por meio dos números reais e . O conjunto ,formado pelos vetores

não colineares, 21 vev , é chamado de base e os números reais e são

chamados de coordenadas de v em relação à base .

O vetor é a projeção do vetor , sobre , na direção de . De mesma

maneira, o vetor é a projeção do vetor , sobre , na direção de , conforme

figura acima.

De acordo com o exposto acima, podemos construir infinitas bases. Para

facilitar nosso trabalho, são utilizadas comummente as bases ortonormais, que são

bases cujos vetores são ortogonais e unitários.

Assim, uma base formada pelos vetores 21 eee é dita ortonormal se:

e

Veja um exemplo abaixo, utilizando o plano cartesiano xOy:

Os vetores yex,u,m,w podem ser representados na figura acima, em

função de 21 eee , como sendo:

21 e2e2w

21 e3em

21 ee2u

21 e0e3x

21 e2e0y

De modo geral: 2211 eaeav , com a1, a2 IR.

Dizemos que os vetores yex,u,m,w são expressos em função de

21 eee ou que são combinações lineares da base B = 21 e,e .

Base canônica:

Existem infinitas bases ortonormais no plano cartesiano ortogonal xOy, no entanto

uma delas é mais notável. É a base formada pelos vetores e cujos

representantes tem sua origem no ponto (0,0) e suas extremidades em (1,0) para o

vetor , e em (0,1) para o vetor . O conjunto é chamado de base canônica,

conforme a figura abaixo:

Esta base também estabelece o conhecido sistema cartesiano ortogonal xOy.

Neste curso, trataremos somente da base canônica. Dessa forma, dado um vetor

v qualquer, do plano, existe uma só dupla de números reais x e y tal que:

jyixv

r

r

O

w

m

u

x

y

2e 4e-e-2e

2e

3e

-e

-2e

3e

2

2

22

2

2

2

2

2

2

-3ex

y

i

j

(1 , 0)

(0 , 1)

O

r

r

O

w

m

u

x

y2e

4e-e-2e

2e 3e

-e

-2e

3e

2

2

22

2

2

2

2

2

2

-3ex

y

i

j

(1 , 0)

(0 , 1)

O

y j

x i

v

Expressão analítica do vetor

O vetor v , representado acima, também pode ser expresso como a seguir:

v = (x , y):

que é a expressão analítica de v

Ou seja, um vetor no plano é um par ordenado (x , y) de números reais, cuja

oriegem é o (0,0) e a extremidade, o ponto (x,y) dado.

Exemplo:

j4i2v ou simplesmente v = (2 , 4)

Graficamente, temos:

v = OP

O(0 , 0): origem do vetor

P(2 , 4): extremidade do vetor

Exercício resolvido: Escreva a expressão analítica dos vetores abaixo e

represente-os graficamente:

2,323 ujiu

5,353 ajia

0,44 bib

2,02 cjc

r

r

O

w

m

u

x

y2e

4e-e-2e

2e 3e

-e

-2e

3e

2

2

22

2

2

2

2

2

2

-3ex

y

i

j

(1 , 0)

(0 , 1)

O

y j

x iv

2

4

2

P

r

O

w

m

u

x

y

-e-2e

2e

-e

-2e

3e

2

2

2

2

2

2

-3ex

y

i

j

O

y j

x i

v

24

2

1

3

5

1

3

-1-3

-1

-3

-5

u

a

b

c

Operações com Vetores: igualdade , soma e multiplicação por

escalar

1. Igualdade de vetores:

Dois vetores 11 y,xu e 22 y,xv são iguais se e somente se x1 = x2

e y1 = y2.

Exemplos: determine os valores de x e y para que os vetores sejam iguais:

a) 4,1xu e 6y2,5v

Resolução:

Para que vu precisamos ter:

x + 1 = 5 x = 5 – 1 = 4

2y – 6 = 4 2y = 4 + 6 2y = 10 y = 5

Logo, x = 4 e y = 5

b) yx2,7u e 5,yx4v

Resolução:

Para que vu , precisamos ter:

5yx2

7yx4

Resolvendo o sistema linear, pelo método da adição, ou seja, vamos somar as duas

equações e calcular o valor de x:

2x

12x6

5yx2

7yx4

Substituindo o valor de x encontrado em uma das duas equações do sistema,

encontramos o valor de y:

2x + y = 5

2.2 + y = 5

4 + y = 5

y = 5 – 4

y = 1

Logo, x = 2 e y = 1

2. Soma e multiplicação por escalar

Dados os vetores 11 y,xu e 22 y,xv ; o ponto P( a , b ) e o número

real , temos:

i) 2121 yy,xxvu

ii) 1111 y,xy,xu

iii) 11 yb,xauP , que são as coordenadas de um ponto Q, resultado da

soma de ponto com vetor.

Exemplos:

(1) Dados os vetores 2,5ve4,2u e o ponto P(5 , 3), determine

algébrica e geometricamente:

a) vu

b) vu

c) u2

d) v2

1

e) uP

Resolução:

a) vu = (2 + (-5) , 4 + 2) = (-3 , 6)

b) vu = (2 - (-5) , 4 - 2) = (7 , 2)

c) u2 = 2(2 , 4) = (4 , 8)

d)

1,

2

52,5

2

1v

2

1

e) uP = (5 + 2 , 3 + 4) = (7 , 7): ponto Q

(2) Determinar o vetor x na igualdade 3 x + 2 u = xv2

1 , sendo

1,3u e 4,2v .

Resolução:

u2v2

1xx3

u2v2

1x2

Dividindo ambos os membros da equação por 2, obtemos:

uv4

1x

Portanto, temos:

1,34,24

1x

r

O

w

m

u

x

y

-e-2e

2e

-e

-2e

3e

2

2

2

2

2

2

-3e

x

y

i

j

O

y j

x i

v

2 4

2

1

3

5

1

3

-1

-3

-1

-3

-5

u

a

b

c

6 8

4

6

8

-2-4

-2

-4

P

Q

u + v

u - v

2u

v-1/2

)1(1,3

2

11,31,

2

11,3

4

4,

4

2x

2,

2

7x

(3) Encontrar os números a1 e a2, tais que 2211 vavav

, sendo 2,10v ;

5,3v1 e 2,1v2 .

Resolução:

Substituindo os vetores dados na expressão 2211 vavav

, temos:

(10 , 2) = a1(3 , 5) + a2(-1 , 2)

Efetuando a multiplicação dos números a1 e a2 pelos vetores, temos:

(10 , 2) = (3 a1 , 5 a1) + (-1 a2 , 2 a2)

Somando os vetores, temos:

(10 , 2) = (3 a1 - a2 , 5 a1 + 2 a2)

Fazendo a igualdade entre os dois vetores, temos:

2a2a5

10aa3

21

21

Que é um sistema linear. Vamos resolvê-lo pelo método da adição, vamos, em

primeiro lugar, multiplicar a primeira equação por 2:

2a2a5

20a2a6

21

21

Agora vamos somar as duas equações e calcular o valor de a1:

2a

22a11

2a2a5

20a2a6

1

1

21

21

Substituindo o valor de a1 encontrado em uma das duas equações do sistema,

encontramos o valor de a2:

3 a1 - a2 = 10

3.2 - a2 = 10

6 - a2 = 10

a2 = 6 – 10

a2 = – 4

Logo, 21 v4v2v

Vetor definido por dois pontos

Sendo A(x1 , y1) a origem de um representante de um vetor e B(x2 , y2) a sua

extremidade, e ainda, se ABv , temos:

1212 yy,xxABABv

Exemplos:

1) Seja ABv , onde A(1 , 2) e B(3 , 5). Calcule as coordenadas do vetor e

construa o seu gráfico.

Resolução:

3,225,13ABABv

r

Oe

e

w

m

u

x

y

-e-2e

2e

-e

-2e

3e

1

2

1 1 1 11

2

2

2

2

2

-3ex

y

i

j

O

y j

x i

v

24

2

1

3

5

1

3

-1-3

-1

-3

-5

v

a

b

c

P

OPv é chamado vetor posição ou representante natural de AB : vetor que

melhor caracteriza AB dentre os infinitos representantes.

2) Dados os vetores ABu e CDv , onde A(1 , 2); B(5 , 3); C(-2 , -2) e D(0 ,

4), calcule e represente:

a) vu

b) u2

1

c) A + u

Resolução:

1,423,15ABABu

6,2)2(4,)2(0CDCDv

a) 7,661,246,21,4vu

b)

2

1,2

2

1,

2

41,4

2

1u

2

1

c) A + 3,512,411,42,1u : ponto P

3) Determine a origem do vetor )3,1(v , sabendo que a sua extremidade está

em B(3 , 1).

Resolução:

Chamando de A a origem procurada, temos:

ABABv

A1,3)3,1(

)3,1(1,3A

A(4 , - 2)

4) Sendo A(2 , 1); B(5 , 2) e C(6 , 5) vértices consecutivos de um paralelogramo

ABCD, determine o vértice D.

Resolução:

A B

CD?

DCAB (ou ADBC ): mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento

B – A = C – D

(5 , 2) – (2 , 1) = (6 , 5) – D

D = (6 , 5) – (5 , 2) + (2 , 1)

Logo, D(3 , 4)

5) Dados os pontos A(-1 , 2); B(3 , -1) e C(-2 , 4), determine o ponto D de modo que

AB2

1CD .

Resolução:

AB2

1CD

AB2

1CD

2,11,32

14,2D

3,42

14,2D

2

3,

2

44,2D

4,22

3,2D

4

2

3,22D

2

5,0D

6) Sendo A(-2 , 4) e B(4 , 1) extremidades de um segmento, determinar os pontos F

e G que dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento.

Resolução:

A B

CD?

A

F? G?

B

1,23

3,

3

63,6

3

14,21,4

3

1AB

3

1AB

3

1GBFGAF

1,2AF

F – A = (2 , -1)

F – (-2 , 4) = (2 , -1)

F = (2 , -1) + (-2 , 4)

F(0 , 3)

1,2FG

G – F = (2 , -1)

G – (0 , 3) = (2 , -1)

G = (2 , -1) + (0 , 3)

G(2 , 2)

Ponto médio, paralelismo e Norma (módulo)

Ponto médio:

Seja o segmento de extremos A(x1 , y1) e B(x2 , y2).

Sendo M(x , y) o ponto médio de AB, temos:

MBAM

MBAM

2121 yy,xxBAM2

2

yy,

2

xxM 2121

Exemplos:

1) Se A(-2 , 3) e B(5 , -1), então as coordenadas do ponto médio de AB são:

1,

2

3

2

)1(3,

2

52

2

yy,

2

xxM 2121

x

y

x x

y

y

1

1

2

2 B

A

M

2) Seja o triângulo de vértices A(4 , -1); B(2 , 5) e C(1 , -1). Calcule as coordenadas

do vetor que representa a mediana relativa ao lado AB.

Resolução:

A mediana relativa ao lado AB do triângulo pode ser representada pelo vetor CM

(ou pelo vetor MC ), onde M é o ponto médio de AB:

2,32

51,

2

24

2

yy,

2

xxM 2121

3,21,12,3CMCM

Paralelismo de dois vetores:

Dois vetores 2211 y,xvey,xu são paralelos se e somente se as

correspondentes componentes são proporcionais, ou seja, se existe tal que:

vu

ou

2

1

2

1

y

y

x

x

x

y

x x

y

y

1

1

2

2 B

A

M

A B

C

M

Exemplo:

8,4ve2,1u são paralelos pois: 4

1

8

2

y

ye

4

1

4

1

x

x

2

1

2

1

7,14ve2,4u não são paralelos pois: 7

2

y

ye

7

2

14

4

x

x

2

1

2

1

Norma (módulo) de um vetor:

Seja o vetor y,xv :

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

222

yxv

22 yxv

Exemplos:

1) Se 3,2v , então a sua norma é:

139432yxv2222 u.c.

x

y

x

x

y

y

1

1

2

2

A B

C

M

P

O

v

2) Calcular a norma do vetor ABv sabendo que A(3 , 5) e B(4 , -2).

Resolução:

7,1ABABv

Logo, 25525049171yxv 22222 u.c.

3) Dados os pontos A(3 , 5) e B(4 , -2) e os vetores 3,1u e 1,2v ,

calcular:

a) u

b) vu

c) v3u2

d) A distância entre os pontos A e B.

Resolução:

a) 109131u22

u.c.

b) 2,3vu

Logo, vu 13492322

u.c.

c) 9,43,66,2v3u2

Logo, v3u2 9781169422

u.c.

d) A distância entre dois pontos é a norma do vetor que tem origem em um dos

pontos e extremidade no outro:

5,3ABAB

Logo, 3425953AB22

u.c.

4) Calcular o valor de a para que 2,au tenha módulo 4.

Resolução:

42au22

Elevando-se ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos:

22

22 42a

162a22

a2 = 16 – 4 = 12

3212a

5) Encontrar um ponto P do eixo das abscissas de modo que a sua distância ao

ponto A(2 , -3) seja igual a 5.

Resolução:

Como P pertence ao eixo x, então sua ordenada é nula, ou seja, as coordenadas do

ponto procurado devem ser P(x , 0).

Como a distância entre o ponto A e o ponto P é 5, então devemos ter a norma do

vetor formado por esses dois pontos igual a 5:

3,2x)3(0,2xAPAP

532xAP22

22

22532x

(x – 2)2 + 9 = 25

x2 – 4x + 4 + 9 = 25

x2 – 4x + 13 – 25 = 0

x2 – 4x – 12 = 0

2''x

6'x

2

84

2

121444x

2

Portanto as coordenadas do ponto P são: (6 , 0) ou (-2 , 0).

6) Dados os pontos A(-4 , 3) e B(2 , 1), encontrar o ponto P pertence ao eixo das

ordenadas e equidistante de A e B.

Resolução:

Como P pertence ao eixo y, então sua abscissa é nula, ou seja, as coordenadas do

ponto procurado devem ser P(0 , y).

Como P é equidistante dos pontos A e B, então a distância do ponto P ao ponto A é

a mesma que a distância do ponto P ao ponto B:

3y,43y,)4(0APAP

1y,21y,20BPBP

22 3y4AP

221y2BP

BPAP

2222 1y23y4

2

222

22 1y23y4

‘42 + (y – 3)2 = (-2)2 + (y – 1)2

16 + y2 – 6y + 9 = 4 + y2 – 2y + 1

– 6y + 2y= 5 – 25

– 4y = – 20

y = 5

Portanto as coordenadas do ponto P são: (0 , 5).