AULA 21GEOMETRIA ANALÍTICA E

ÁLGEBRA LINEARProfessor: João Alessandro

VETORES

1 – DEFINIÇÕES

Vetores– Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para descrever

“coisas” no mundo que têm direção e sentido.

Que coisas são essas? • o vento;• o fluxo de H2O de um rio;

• a emissão puntiforme de luz;• um campo elétrico;• a velocidade de um trem bala;• o movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton não

explica por que os planetas se movem todos num mesmo sentido), etc.

1. DEFINIÇÃO

2 – REPRESENTAÇÃO

Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de um sistema de coordenadas.

Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas

Define-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares ordenados numa ordem qualquer.

. P(x,y)

x

y

0 x’

y’

O ponto P(x,y) significa que o ponto P tem por abscissa o nº x e por ordenada o n.º y.

2.1 SISTEMAS DE COORDENADAS

Representação gráfica– A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha apontando

para algum lugar. • Propriedades

- direção;- sentido;- magnitude.

– Grandezas vetoriais: a aceleração, a velocidade e o deslocamento, força, etc.

– Grandezas escalares: a massa, o tempo e a temperatura, densidade, etc.

2.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

– Por convenção, para saber que estamos falando de vetores e não de variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra.

– Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine, por exemplo, um vetor no plano:

u

2.3 REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA

Representação simbólica– A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy.

y2

y1

x2x1

A

X

Y

B

Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e seu comprimento é dado por B – A. As coordenadas de A são (x1, y1) e as

coordenadas de B são (x2, y2).

Logo, o comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 - x1 , y2 - y1)

AB

2.3.1 REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA ASSOCIADA A PONTOS

Exemplo– Seja = [2,2].

y2

y1

x2x1

A

X

Y

B

Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto inicial A(1,2) e ponto final B(3,4).

= B – A = (3-1, 4-2)=(2,2)

u

(3,4)

(1,2)

u

u

2.3.1 REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA ASSOCIADA A PONTOS

),( bav =Representação:

2.4 VETORES NO R²

(2, 1)

x

0

y

(2, 4, 3)

x

y

z

),,( cbav =2.5 VETORES NO R³

Representação:

3 – OPERAÇÕES

Operações com vetores– Considere 2 vetores: e .u

v

v

u

A resultante + é obtida pela chamada “lei do paralelogramo”.

Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas extremidades.

uv

uv

3. OPERAÇÕES

v

u

vu +

A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a composição de forças no caso particular do retângulo.

3.1 LEI DO PARALELOGRAMO

Somando mais que dois vetores

a

bba

+

c

cba ++

d

dcba +++

3.1 LEI DO PARALELOGRAMO

• Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente:

• Definição:Sejam e dois vetores no plano. A soma

dos vetores e é o vetor .

Exemplo:Sejam e então,

),( 11 yxu = ),( 22 yxv =

uv

),( 2121 yyxxvu ++=+

)2,1(=u )4,3( −=v)2,4())4(2,31( −=−++=+ vu

1.ª coordenada

2.ª coordenada

3.2 SOMA ALGÉBRICA

Representamos o vetor + (-1) por

Esse vetor é a diferença de e .u

v vu

−uv

u

v

v−

vu −

3.3 DIFERENÇA

Considere que o vetor tem a magnitude de uma unidade. Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o vetor tem sua magnitude aumentada para 3 unidades. A direção é conservada se o escalar for ≥0, caso contrário, o vetor assume a direção oposta.

w

w

3.4 Produto de um vetor por um escalar

Se a = 2, b = -3 e = (1,-2), então:

e

w

)4,2()2,1(2. −=−=wa

)6,3()2,1(3. −=−−=wb

Exemplo:

3.4.1 Produto de um vetor por um escalar – forma algébrica

O produto escalar dos vetores de dimensão n:

a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por:

a.b = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn =

Exemplo

Calcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1).

. = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2)+ 4.1 = -6

∑=

n

iiiba

1

u

v

uv

3.5 Produto Escalar

O comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x,y) é:u

22 yxu +=

y1

x

y

→u

x10

3.6 COMPRIMENTO OU NORMA DE UM VETOR

3.6 COMPRIMENTO OU NORMA DE UM VETOR

5

25

169

2423

22

:será norma sua então ,(3,4)u se Exemplo,

=

=

+=

+=

+=

=

u

u

u

u

yxu

O produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por:

vuvu

.

.cos =θ

onde θ é o ângulo formado p or e . uv

θ

u

v

3.7 Ângulo Entre Dois Vetores

ExemploEncontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2).

θcos... vuvu =

u

v

. = 2.(-1) + 4.2 = 6uv

2042 22 =+=u

52)1( 22 =+−=v

Portanto, 6,05.20

6cos ==θ

Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º.

3.7 Ângulo Entre Dois Vetores

Ângulo entre dois vetores→→→→

⊥⇔=⇔= vuvu 0cos0. θO produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares .

Exemplo

Os vetores = (2,-4) e = (4,2)

são ortogonais, já que:

u

v

02).4(4.2. =−+=vu

3.7.1 Ângulo Entre Dois Vetores - Ortogonalidade

Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não-nulo, então o vetor:

é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que .

xx

u .1

=

x

x

3.8 Versor ou Vetor unitário

ExemploSeja x = (-3,4). Então:

Logo, o vetor

É um vetor unitário, pois:

54)3( 22 =+−=x

( )

+−=−==

5

4

5

34,3

5

1.

1x

xu

125

169

5

4

5

322

=+=

+

−=u

3.8 Versor ou Vetor unitário

4 – PRODUTO VETORIAL

Produto vetorial

Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor.

Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em ℜ3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por:

222

111

cba

cba

kji

vu =×

4.PRODUTO VETORIAL

Produto vetorialA igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma:

Exemplo:Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então:

kba

baj

ca

cai

cb

cbvu ...

22

11

22

11

22

11 +−=×

)5,12,1(5121

313

212 −−=−+−=−−

=× kji

kji

vu

4.1 Produto Vetorial

DÚVIDAS?joaoalessandro.luz@gmail.com