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Plantas e mapas

Na Aula 17, aprendemos o conceito de se-melhana de tringulos e vimos, na Aula 20, interessantes aplicaes desseconceito no clculo de distncias difceis de serem medidas diretamente.Vamos recordar esse mesmo conceito aplicado a uma figura qualquer. Observeos dois desenhos abaixo.

O que voc percebe de comum nos dois desenhos?l Eles nos mostram a mesma imagem, porm em dois tamanhos diferentes.l Para entender bem o que est acontecendo, pegue uma rgua. Tire uma

medida qualquer no desenho maior e transfira-a para o desenho menor.Fazendo isso vrias vezes, voc vai perceber uma relao entre as medidasde um e de outro: o desenho menor metade do maior! Dizemos ento queos dois desenhos so semelhantes na razo 1

2.

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Introduo

Acesse: http://fuvestibular.com.br/

P/ as outras apostilas de Matemtica, Acesse: http://fuvestibular.com.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/

22A U L Al Mais precisamente, quando dividimos (ou multiplicamos) todas as medidas

de comprimento de uma figura por um mesmo nmero, criamos uma outrafigura semelhante primeira.

l Volte agora aos dois desenhos e observe os ngulos. O que ocorre? fcilresponder. Os ngulos do desenho menor so os mesmos do desenho maior.Veja os ngulos retos das portas e janelas, o ngulo do telhado etc. Eles nomudam quando ampliamos ou reduzimos o tamanho de um desenho.Vamos ento registrar nossas concluses:

Em figuras semelhantes:

l os ngulos no mudam;l as medidas de comprimento so multiplicadas (ou divididas)pelo mesmo nmero.

Os terrenos

Voc j deve ter visto a planta de um terreno. Ela deve ter a mesma formado terreno, mas muito menor, pois tem de caber em uma folha de papel.

Para fazer uma planta, o desenhista mantm todos os ngulos e dividetodos os comprimentos por um mesmo nmero. Assim, ele tem certeza de criarum desenho com a mesma forma do terreno, ou seja, um desenho semelhanteao terreno.

A planta do terreno deve vir acompanhada de uma informao muitoimportante: a escala. Ela um nmero que mostra a relao entre as medidasdo desenho e as medidas reais, ou seja, a razo de semelhana entre a plantae o terreno.

Vamos mostrar a seguir a planta de um terreno na escala 1

500 (um paraquinhentos). Isso quer dizer que, para fazer a planta, o desenhista dividiu asmedidas do terreno por 500. Em outras palavras, a escala

1

500 indica que cadaunidade de comprimento no desenho corresponde, na realidade, a um valor 500vezes maior.

quadra Alote 2

D

C

A B

Escala: 1500

rua Bela

Nossa aula



22A U L A Se voc tem a planta do terreno, a escala do desenho e uma rgua, pode

facilmente calcular suas medidas reais. Basta multiplicar as medidas encontra-das na planta pelo nmero que aparece no denominador da escala. No nossoexemplo, para determinar as medidas do terreno, basta multiplicar as medidasda planta por 500. Veja:

MEDIDA NA PLANTA MEDIDA REAL

FRENTE DO TERRENO AB = 4 cm 0,4 . 500 = 2.000 cm= 20 m

LATERAL ESQUERDA AD = 5 cm 0,5 . 500 = 2.500 cm= 25 m

LATERAL DIREITA BC = 7 cm 0,7 . 500 = 3.500 cm= 35 m

FUNDO DO TERRENO DC = 4,5 cm 4,5 . 500 = 2.250 cm= 22,5 m

Com a planta do terreno e sua escala, podemos calcular duas outras medidasimportantes: o permetro e a rea desse terreno.

O permetro a soma de todas as medidas do contorno do terreno. asoma dos seus lados.

No nosso terreno, o permetro ser:

20 + 25 + 35 + 22,5 = 102,5 m

Essa medida importante se voc deseja cercar o terreno. Por exemplo, sequisermos usar uma cerca de quatro fios de arame farpado, sabemos que vamosgastar 102,5 4 = 410 m de arame, pelo menos.

A r e a do terreno a medida de sua superfcie. Dizemos que um terreno maior ou menor que outro dependendo de sua r e a. Em cada regio, o preode um terreno varia de acordo com sua rea.

Para calcular a rea de um terreno, devemos observar, na planta, sua formageomtrica. Alguns terrenos possuem forma to irregular que o clculo de suarea torna-se bastante complicado. No nosso caso, como os ngulos e B doterreno so retos, conclumos que sua forma um trapzio. A base maiordesse trapzio BC = 35 m, a base menor AD = 25 m e a altura AB = 20m. Lembrando que a rea do trapzio :

(base maior + base menor) (altura) 2

temos para a rea do nosso terreno:

Pois bem. Acabamos de examinar um terreno usando sua planta e a escalado desenho. Calculamos seu permetro e sua rea porque, com o auxlio daescala, determinamos suas medidas reais. Todas as vezes que voc estiverexaminando um desenho reduzido de uma situao real procure saber em queescala esse desenho foi feito. E tenha em mente seu significado:

escala =medida feita no desenho

medida real

(35 + 25) . 20 2

= 60 . 20 2

600 m=



22A U L AOs mapas

Os mapas so desenhos muito reduzidos de grandes regies. Para que vocpossa determinar distncias em um mapa, precisa apenas de uma rgua e daescala desse mapa.

Abaixo voc v o mapa do estado de So Paulo com suas principais cidadesdesenhado na escala 1 : 7.100.000

A escala indica que 1 cm no mapa corresponde a uma distncia de 7.100.000cm na realidade. Vamos melhorar isso. Observe:

7.100.000 cm = 71.000 m = 71 km

Ento, cada centmetro do desenho corresponde a 71 km na realidade.Como exemplo, vamos determinar a distncia em linha reta entre as cidades dePresidente Prudente e Ribeiro Preto. Com uma rgua medimos no mapa adistncia entre essas duas cidades. Encontramos 5,1 cm. Confira. Como cadacentmetro nesse mapa representa 71 km, a distncia real ser 5,1 71 = 362 km,aproximadamente.

Mais uma vez voc verificou que a escala de um mapa uma informaofundamental para o clculo de distncias. Procure ento fazer os exercciospropostos.

Exerccio 1A planta de um terreno est na escala 1800 . Se a frente desse terreno mede4,5 cm, quanto ela vale na realidade?

Exerccio 2Usando o mapa da nossa aula, qual a distncia em linha reta entre ascidades de Santos e de Marlia?

Exerccios

escala: 17.100.000



22A U L A Exerccio 3

A figura abaixo mostra um grande terreno retangular dividido em trsoutros terrenos menores. Se a escala do desenho 1

1000, calcule o permetro

e a rea de cada uma das partes.

Exerccio 4D exemplos de dois terrenos, ambos com 600 m de rea, mas depermetros diferentes.

Exerccio 5Voc v abaixo a planta da cidade de Braslia na escala 1200.000 .Qual a distncia em linha reta do Palcio da Alvorada at a Granja doTorto?

Exerccio 6As medidas que fazemos com a rgua sobre plantas e mapas so apenasaproximadas, mas suficientes para nossas necessidades.Voltando ao terreno de nossa aula, determinamos que a medida de seufundo era CD = 4,5 cm, o que equivale na realidade a 22,5 m.Voc agora vai determinar uma melhor aproximao dessa medida daseguinte forma: coloque as medidas reais na planta do terreno e trace peloponto D uma reta paralela a AB. Quando esta reta encontrar BC, formarum tringulo retngulo. Observe que os catetos so conhecidos; assim vocpode determinar a hipotenusa. Encontre, desta forma, uma aproximaomelhor para CD com duas casas decimais.

A

B

C

3,0 cm

2,0 cm

2,5 cm

5,0 cm4,0 cm



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