Coordenadas Polares

Em geometria plana, o sistema de coordenadas polares é usado para dar uma descrição conveniente de certas curvas e regiões.

Relação entre coordenadas polares e coordenadas

cartesianas

seny r

tgy

x

Coordenadas Cilíndricas

Em três dimensões, há uma sistema de coordenadas, chamado coordenadas cilíndricas que é análogo às coordenadas polares e dá a descrições convenientes de algumas superfícies e sólidos que ocorrem usualmente. Como veremos, algumas integrais triplas são muito mais fáceis de calcular em coordenadas cilíndricas.

Coordenadas Cilíndricas

seny r z z

tgy

x

z z

Conversão

Para converter de coordenadas cilíndricas para retangulares, usamos as equações

enquanto que para converter de coordenadas retangulares para cilíndricas usamos

seny r z z

tgy

x z z

Exemplo 1

(a) Marque o ponto com coordenadas cilíndricas e encontre suas coordenadas retangulares.

(b) Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto em coordendas retangulares

(2,2 / 3,1)

(3, 3, 7).

Coordenadas Cilíndricas

(a)

Coordenadas Retangulares

Logo, o ponto em coordenadas retangulares

é

( 1, 3,1).

2 32sen 2 3

3 2y

Coordenadas cilíndricas

(b)

Logo, o ponto em coordenadas cilíndricas é

(3, 3, 7)

3 7tg = 1 2

3 4n

(3 2,7 / 4, 7) ou (3 2, / 4, 7) ou ...

Utilidade das Coordenadas Cilíndricas

Coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo e o eixo é escolhido de modo a coincidir com o eixo de simetria.

z

Exemplo

eixo cilindro circular

(em coordenadas

cilíndricas)

Exemplo 2

Descreva a superfície cuja equação em

coordenadas cilíndricas é

Solução: A equação diz que o valor de ou altura, de cada ponto da superfície é o mesmo que a distância do ponto ao eixo Como não aparece, ele pode variar. Assim, qualquer corte horizontal no plano é um círculo de raio

.z r

,z

,r.z

( 0)z k k .k

Exemplo 2

equação de um cone

circular cujo o eixo

é o eixo .z

Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas

Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas

Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas

onde

2 2

1 1

( ) ( cos , sen )

( ) ( cos , sen )( , , ) ( cos , sen , ) .

h u r r

h u r rE

f x y z dV f r r z r dz dr d

cos senx r y r z z

Um sólido está contido no cilindro abaixo do plano e acima

do parabolóide(veja a figura). A densidade em qualquer

ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de

Exemplo 3

E2 2 1,x y 4z

2 21z x y

.E

Exemplo 3

Exemplo 3

Em coordenadas cilíndricas, O cilindro é O parabolóide é Então podemos escrever

Função densidade

Exemplo 3

Exemplo 4

Calcule

Exemplo 4

Projeção de sobre o plano é o disco E xy2 2 4.x y

Região descrita em coordenadas cilíndricas