Aula 26

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas e Triplas

Mudança de Variável

No Cálculo I (Substituição de variável)

onde e

Outro modo de escrever é o seguinte:

Coordenadas Polares

Onde é a região no plano

que corresponde à região no plano

cos sen x r y r

( , ) (cos , sen )R S

f x y dA f r r dr d S r

R .xy

Mudança de variável

De modo mais geral, no Cálculo II, consideremos uma mudança de variável dada pela transformação do plano

no plano

onde

ou, como às vezes escrevemos

T uv.xy

Transformação inversa

Se é injetora, então existe uma transformação inversa do plano

para o plano e pode ser possível inverter as equações

para escrever em termos de

T1T xy

uv

eu v e :x y

Transformação e sua Inversa

Exemplo 1

Uma transformação é definida pelas equações

Determine a imagem do quadrado

Solução

A transformação leva a fronteira de na fronteira da imagem. Assim, começamos por determinar a imagem dos lados de

S

.S

Solução

O primeiro lado, é dado por

Das equações dadas, temos

e portanto

Então é levado no segmento de reta que

liga a no plano

Solução

O segundo lado, é dado por

e substituindo nas equações dadas,

temos

Eliminando obtemos

que é parte de uma parábola.

Solução

Da mesma forma, é dado por

cuja imagem é o arco parabólico

Finalmente, é dado por

cuja imagem é isto é,

Solução

T

Jacobiano

Definição: O jacobiano da transformaçãodada por e é

T

Mudança de Variáveis em uma Integral Dupla

Suponha que seja uma transformação cujo jacobiano seja não nulo e leve uma

região do plano para uma região do plano Suponha que seja contínua

sobre e que e sejam regiões planas do tipo I ou II. Suponha ainda que

seja injetora, exceto possivelmente nos pontos de fronteira de . Então

T 1C

S uv R.xy f

R R S

TS

Exemplo 2

Utilize a mudança de variáveis

para calcular a integral ondeé a região delimitada pelo eixo e pelas parábolas e

,Ry dA Rx

Solução

Solução

No Exemplo 1, descobrimos que onde é quadrado A razão

que nos levou a fazer a mudança de variável para calcular a integral é que

é uma região muito mais simples queO jacobiano é dado por:

Solução

Portanto,

Exemplo 3

Calcule a integral ondeé a região trapezoidal com vértices

e

Solução

Como não é fácil integrar diretamente, vamos fazer a mudança de variáveis dada pela forma da função:

Essas equações definem a transformação do plano para o plano .

Jacobiano

Região S

Para determinar a região do plano correspondente a , observamos que os lados de estão sobre as retas

e as retas imagem do plano são

Então, a região é a região trapezoidal com vértices e

S uvR

R

uv

S

Solução

1T

T

Solução

Mudança de variável na integral tripla

Definição: O jacobiano da transformaçãodada por

é o determinante 3 3:

Mudança de variável na integral tripla

Sob hipóteses semelhantes àquelas usadas para a mudança de variável na integral dupla, temos a seguinte fórmula para integrais triplas:

Exemplo 4

Utilize a fórmula anterior para deduzir a fórmula para a integração tripla em coordenadas esféricas.

Solução: Aqui a mudança de variáveis é dada por

sen cos sen sen cosx y z

Jacobiano

sen cos sen sen cos cos( , , )

sen sen sen cos cos sen( , , )

cos 0 sen

x y z

sen sen cos cos sen cos sen sencos sen

sen cos cos sen sen sen sen cos

2 2 2 2 2 2 2 2cos sen cos sen sen cos cos sen sen cos sen sen

2 2 2 2 2sen cos sen sen sen

Jacobiano

Como temosPortanto,

sen 0.

2 2( , , )= - sen sen

( , , )

x y z

Fórmula

2

( , , )

sen cos , sen sen , cos sen d d d

R

E

f x y z dV

f