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26A U L A

Problemas do 2 grau

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IntroduoNas Aulas 24 e 25, tratamos de resoluesde equaes do 2 grau. Nesta aula, vamos resolver problemas que dependemdessas equaes.

Observe que o significado das incgnitas deve ficar bem claro para que oequacionamento do problema possa ser feito sem dificuldade. Aps a resoluoda equao, devemos verificar se as duas razes servem como resposta para oproblema em questo. Freqentemente, como voc ir perceber, uma delas nofaz sentido.

Como esta uma aula de resoluo de problemas, interessante quevoc leia atentamente cada enunciado e pense um pouco antes de ver asoluo.

PROBLEMA 1

Um operrio foi contratado para construir uma calada em volta de doislados de um terreno retangular, como mostra a figura abaixo.

O terreno mede 20 m por 30 m e a calada deve ter sempre a mesma largura.Sabendo que o operrio dispe de 72 m de lajotas para fazer a obra, qual

Nossa aula

calada

20 m

30 m

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P/ as outras apostilas de Matemtica, Acesse: http://fuvestibular.com.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/

26A U L A deve ser a largura da calada?

Soluo: claro que a largura da calada nossa incgnita. Vamos entochamar de x a medida que desejamos calcular. Podemos calcular de vriasformas a rea da calada, que igual a 72 m. Uma delas a quemostramos na figura abaixo:

Somando as reas das trs partes em que a calada foi dividida, temos:

x + 30x + 20x = 72 ou

x + 50x - 72 = 0

Essa uma equao do 2 grau e nossa incgnita x, a largura da calada, uma de suas razes. Vamos ento resolver a equao:

x =-50 502 - 41 -72

2

x =-50 2.500 + 288

2

x =-50 2.788

2

Utilizando uma calculadora para obter valores aproximados das razes, temos:

Observe que a raiz x = ----- 51,4 no faz sentido no nosso problema. A medidado comprimento sempre um nmero positivo. Portanto, a largura dacalada de 1,4 m, ou seja, 1 metro e 40 centmetros.

rea = 30 x

20

30

x

x

x

x

rea = 20 xrea = x2

-50 - 52,82

= -

102,82

= - 51,4

-50 + 52,82

=

2,82

=1,4

fifix =

-50 52,82

(- ).



26A U L APROBLEMA 2

Joo comprou um certo nmero de camisetas (todas iguais) para dar aseus empregados e gastou R$ 96,00. Dias depois, passando em outra loja,viu a mesma camiseta em promoo, R$ 2,00 mais barata. Desta vez,comprou uma camiseta a mais que na compra anterior e gastou R$ 90,00.Quantas camisetas Joo comprou ao todo?

Soluo: precisamos dar nome s nossas incgnitas, isto , quilo que noconhecemos no problema. Ns no sabemos quantas camisetas Joo com-prou da primeira vez. Vamos ento chamar essa quantidade de x. Tambmno sabemos o preo da camiseta na primeira compra. Vamos chamar essepreo de y. Desta forma, na segunda compra, Joo comprou x + 1 camisetase o preo de cada uma y ----- 2, ou seja, R$ 2,00 a menos. Podemos entoresumir o que conhecemos no quadro abaixo:

COMPRA N DE CAMISETAS PREO TOTAL GASTO1 COMPRA x y 962 COMPRA x + 1 y - 2 90

Multiplicando o nmero de camisetas pelo preo de uma delas, teremos ototal gasto em cada compra. Logo, as equaes so as seguintes:

xy = 96

(x + 1) (y - 2) = 90

Temos aqui um sistema de duas equaes com duas incgnitas. Vamosinicialmente desenvolver a 2 equao:

(x + 1) (y - 2) = 90

xy - 2x + y - 2 = 90

Como a 1 equao nos informa que xy = 96, ficamos com:

96 - 2x + y - 2 = 90

- 2x + y = - 4

y = 2x - 4

Agora, vamos substituir esse valor de y na 1 equao:

xy = 96

x (2x - 4) = 96

2x - 4x - 96 = 0

{



26A U L A A est a equao do 2 grau fornecida pelo problema. Vamos simplificar

todos os termos por 2 e resolv-la.

x2 - 2x - 48 = 0

x =2 4 - 41 -48

2

x =2 4 +192

2

x =2 196

2

x =2 14

2

x =2 +14

2=

162= 8

x =2 -14

2=

-122

= -6

Lembre-se de que x o nmero de camisetas que Joo adquiriu na primeiracompra. Logo, esse nmero no pode ser - 6. Conclumos que x = 8, ou seja,Joo comprou 8 camisetas. Como na segunda compra ele adquiriu umacamiseta a mais, o nmero total de camisetas compradas 8 + 9 = 17.

PROBLEMA 3

Com uma corda de 10 m de comprimento, Pedro deseja cercar uma rearetangular de 5 m. Quais as medidas dos lados desse retngulo?

Soluo: Vamos chamar de x e y o comprimento e a largura do retngulo,respectivamente, como mostra a figura:

J que o permetro do retngulo 10 m, temos, como 1 equao:

x + y + x + y = 10 ou

2x + 2y = 10 ou ainda

x + y = 5

Como a rea do retngulo deve ser 10 m, temos, como 2 equao:

xy = 5

fifi

x

x

y y5 m2

.(-. )



26A U L AAs duas equaes formam o sistema:

x + y = 5

xy = 5

que resolvido facilmente. Da 1 equao temos y = 5 ----- x; substituindo na2 equao, encontramos:

x (5 - x) = 5

Vamos ento desenvolver, arrumar e resolver essa equao:

5x - x = 5

- x + 5x - 5 = 0

x - 5x + 5 = 0

Usando a mquina de calcular para obter valores aproximados das razes,encontramos:

5 + 2,242

=

7,242

= 3,62

x =5 2,24

25 - 2, 24

2=

2,762

= 1,38

Chegamos a dois valores diferentes para x e, aparentemente, ambos servemao nosso problema. No entanto, x o comprimento do retngulo eprecisamos ainda calcular a largura y. Observando novamente o desenvol-vimento, vemos que x + y = 5, ou seja, y = 5 ----- x. Ento:

a) se x = 3,62 ento y = 5 - 3,62 = 1,38

b) se x = 1,38 ento y = 5 - 1,38 = 3,62

No encontramos, portanto, dois retngulos diferentes. As duas razes daequao fornecem como resposta o mesmo retngulo. Suas medidas apro-ximadas so 3,62 m e 1,38 m, no importando qual delas o comprimentoou a largura.

{

fifi

x =5 52 - 415

2

x =5 25 - 20

2

x =5 5

2



26A U L A Conferindo resultados

Depois de resolver um problema, aconselhvel conferir o resultadoencontrado para verificar se ele est mesmo correto. Afinal, sempre possvelocorrer algum engano. Vamos ento conferir os resultados dos trs problemasque resolvemos nesta aula.

Conferindo o problema 1

Nesse problema, encontramos para a largura da calada x = 1,4 m, aproxi-madamente. Vamos ento calcular a rea da calada usando esse valor:

`rea da calada = 1,4 + 30 . 1,4 + 20 . 1,4= 1,96 + 42 + 2,8= 71,96

que aproximadamente 72. Se o operrio tem 72 m de lajotas para fazera calada, ento a largura de 1,4 m est certa.


Conclumos nesse problema que Joo adquiriu 8 camisetas na primeiracompra e 9 na segunda. Vamos ento calcular o valor de y, que o preo decada camiseta na primeira compra.Temos x = 8 e a equao xy = 96. Logo,

8y = 96

y = 96 = 12 8

Ento, cada camiseta custou R$ 12,00.Vamos agora conferir a segunda compra. Sabemos que ele comprou9 camisetas e cada uma custou R$ 10,00, ou seja, R$ 2,00 a menos. Ento, elegastou 9 10 = 90 reais, o que confere com o enunciado.


Nesse problema, conclumos que as medidas do retngulo devem ser 3,62m e 1,38 m. Vamos ento conferir sua rea.`rea do retngulo = 3,62 . 1,38 = 4,9956 m, que aproximadamente 5 m,como pede o enunciado. Nossa resposta, portanto, est certa.

Exerccio 1Os nmeros 1, 2, 3, 4 ... so chamados de nmeros naturais. Cada nmeronatural possui um consecutivo, que o nmero que vem depois dele.Por exemplo, o consecutivo de 1 2. O consecutivo de 8 9 etc.Multiplicando-se um nmero natural por seu consecutivo, encontramos132. Que nmero esse?

Exerccio 2Um tringulo retngulo tem hipotenusa 15. Um dos catetos tem 3 unidadesa mais que o outro. Qual o permetro desse tringulo?Sugesto: Chame o menor cateto de x e recorra ao Teorema de Pitgoras.

Exerccios



26A U L AExerccio 3

Um terreno retangular tem 50 m de rea. Diminuindo seu comprimentoem 3 m e aumentando sua largura em 2 m, o terreno transforma-se em umquadrado. Qual a rea desse quadrado?Sugesto: Observe a figura abaixo:

Exerccio 4Um grupo de pessoas saiu para almoar em um restaurante, sendo que trsdelas so mulheres. A conta, de R$ 72,00, foi inicialmente dividida entre todos,mas depois os homens resolveram que, por gentileza, as mulheres no deve-riam pagar. Ento, cada homem contribuiu com mais R$ 4,00 e a conta foipaga. Quantas pessoas havia no grupo?

Sugesto: Escolha as seguintes incgnitas:x = nmero de pessoas do grupoy = valor que cada um deveria pagar

a) Se a conta foi de R$ 72,00, qual a primeira equao?

b) Se existem 3 mulheres no grupo, quantos so os homens?

c) Se, no pagamento, cada homem contribuiu com mais R$ 4,00, qual a segunda equao?

Exerccio 5Na figura abaixo existem 20 pontos arrumados em 5 linhas e 4 colunas:

Imagine que 480 soldados esto formados, arrumados em linhas e colunas.O nmero de linhas 4 unidades maior que o nmero de colunas. Quantasso as linhas e as colunas dessa formao?

x 3

x

2

l l l l

l l l l

l l l l

l l l l

l l l l



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