AULA 28: CIRCUNFERÊNCIA · PDF filex 2+ y + 3x –4y = 0 C( ) 04-Ache a...
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EXERCÍCIOS DE CLASSE:
01- Determine o centro e o raio das circunferências:
a) (x + 8)2 + (y + 4)2 = 16 C( ) e R =
b) X2 + (y + 3)2 = 7 C( ) e R =
c) (x – 8)2 + y2 = 25 C( ) e R =
d) X2 + y2 = 6 C( ) e R =
Observação: Equação Geral
-8,-4 4
0,-3 7
8,0 5
0,0 6
Para se encontrar a equação geral da circunferência, basta
se desenvolver a equação reduzida.
02- Ache a equação geral da circunferência de centro C(4,-3) e raio R = 6.
Solução:
(x – 4)2 + (y + 3)2 = 36
x2 – 8x + 16
x2 + y2 – 8x + 6y – 11 = 0
+ y2 + 6y + 9 – 36 = 0
03- Determine as coordenadas do centro das circunferências:
a) x2 + y2 – 8y + 2x -3 = 0 C( )
b) x2 + y2 + 6y – 1 = 0 C( )
c) x2 + y2 – 5x – 2 = 0 C( )
d) 4x2 + 4y2 + 12x – 16y = 0
-1,4
0,-3
(4)
x2 + y2 + 3x – 4y = 0 C( )
04- Ache a equação geral da circunferência de centro C(x0,y0) e raio R.
Solução:
(x – x0)2 + (y – y0)
2 = R2
x2 – 2x x0 + x02
Colocando-se os termos constantes no final da
equação temos:
x2 + y2 – 2x0 x - 2y0 y + x02 + y0
2 – R2 = 0
(x02 + y0
2 – R2) representara o termo independente
da equação geral da circunferência.
Fazendo-se x02 + y0
2 – R2 = F ⇒
x2 + y2 – 2x0 x - 2y0 y + F = 0
+ y2 – 2y y0 + y02 – R2 = 0
F
Expressão do Raio:
x02 + y0
2 – F = R2 ⇒
Condição de Existência:
x02 + y0
2 – F > 0
Sabemos que x02 + y0
2 – R2 = F ⇒
05 – Determine o centro e o raio das circunferências:
a) x2 + y2 – 6x + 8y – 11 = 0
b) 3x2 + 3y2 – 6x + 12y – 1 = 0
Solução:
a) x2 + y2 – 6x + 8y – 11 = 0
xo = 3
b) 3x2 + 3y2 – 6x + 12y – 1 = 0
yo = -4 F = -11
xo = 1 yo = -2 F =
(3)
06- (Fuvest 2009) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem
centro no ponto A(-5,1) e é tangente à reta t de equação
4x – 3y – 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de interseção
da reta t com o eixo Ox.
Assim:
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Escreva uma equação para a circunferência C.
c) Calcule a área do triângulo APQ.
Solução:
A(-5,1) t: 4x -3y -2 = 0
P Ponto de tangência da reta t com a circunferência.
Q Ponto de interseção da reta t com o eixo Ox.
t: 4x -3y -2 = 0
P/ y = 0 ⇒ 4x = 2 ⇒
A(-5,1)
P
R = dist A(-5,1) 4x – 3y – 2 = 0
R =
Solução:
Equação da Circunferência:
A(-5,1) R = 5
(x + 5)2 + (y – 1)2 = 25
x2 + 10x + 25 + y2 – 2y + 1 = 25
x2 + y2 + 10x – 2y + 1 = 0
Equação da reta r que passa pelo
centro A(-5,1) e é perpendicular à
reta t: 4x -3y -2 = 0 :
⇒ 4y – 4 = - 3x - 15
⇒ 3x + 4y + 11 = 0
Cálculo do ponto P:
4x – 3y = 2
3x + 4y = -11
(4)
(3)
16x – 12y = 8
9x + 12y = -33
25x = -25 ⇒ x = -1
y = -2
⇒ P(-1,-2)r
A(-5,1)
m =
07- (UFJF 2007) Considere a circunferência : x2 + y2 -4x – 6y – 3 = 0 e
a reta r: x + y = 0.
a) Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência
e é perpendicular à reta r.
b) Determine a equação da circunferência concêntrica à circunferência
e tangente à reta r.
Solução:
: x2 + y2 - 4x – 6y – 3 = 0 C(2,3)
r: x + y = 0
t: passa pelo centro e é
perpendicular a r .
tm = 1
(2,3)
mr = -1 ⇒ mt = 1
x – 2 = y - 3
x – y + 1 = 0
’: circunferência concêntrica a e
tangente a r.
C(2,3)
R
R = dist (2,3) r: x + y = 0
R =
’
C(2,3)
R =
(x – 2)2 + (y – 3)2 =
08 – (UNICAMP 2009) A circunferência de centro em (2,0) e
tangente ao eixo y é interceptada pela circunferência C, definida
pela equação x2 + y2 = 4, e pela semirreta que parte da origem e
faz ângulo de 30º com o eixo x, conforme a figura a seguir.
x
y
30º
P
C
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Calcule a área da região sombreada.
Solução:
x
y
30º
P
C
o 2 A H
60º
1
2
C : x2 + y2 = 4 ⇒ O(0,0) R = 2
: A(2,0) R = 2
No APH :
(Cateto oposto a 30º)
(Cateto oposto a 60º)
AH = 1
PH =
⇒ P (3, )
Solução:
2
60º
60º A x
y
C
o
2
2
2
H
S
∆OMA = ∆OAN (Equiláteros)
ST ⇒ Região tracejada é um segmento circular.
M
N
ST = SSETOR – S∆OMN
09- (FGV 2008) Dada a equação x2 + y2 = 14x + 6y + 6, se p é o maior valor
possível de x, e q é o maior valor possível de y, então 3p + 4q é igual a:
a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) 92
Solução:
x2 + y2 – 14x – 6y – 6 = 0
xo = 7 yo = 3
3p + 4q ?
3(15) + 4(11) = 45 + 44 = 89
10- (Fuvest 2008) A circunferência dada pela equação
x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos
pontos A e B, conforme a figura.
A
B C
N
M
O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o centro C da
circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale:
a) π – 2 b) π + 2 c) π + 4 d) π + 6 e) π + 8