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Os grficosesto na vida

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IntroduoNas Aulas 8, 9 e 28 deste curso voc j sefamiliarizou com o estudo de grficos. A Aula 8 introduziu essa importanteferramenta da Matemtica. A Aula 9 foi dedicada a um tipo especial degrfico, aquele que uma reta. Na Aula 28 voc aprendeu, por meio devrios exemplos do cotidiano, que a noo de funo e sua representaogrfica esto fortemente relacionadas e que, pela anlise do grfico, possvel obter vrias concluses importantes sobre as funes. Voc j sabetambm que nem todo grfico grfico de uma funo.

Nesta aula, voc conhecer mais uma forma de utilizar os grficos.Muitas vezes encontramos grficos para demonstrar: uma pesquisa deopinio, a freqncia com que algo acontece, projees para o futuroe t c .Esses estudos fazem parte de uma rea da Matemtica conhecida comoestatstica. Vamos fazer uma pequena iniciao interpretao de seusresultados quando apresentados sob a forma de grficos, quadros e tabelas.

A estatstica a parte da Matemtica que cuida dos mtodos e dastcnicas de coleta, organizao, resumo, apresentao e anlise de dados.Muitas vezes o termo estatstica usado como sinnimo dos prprios dadoscoletados. Assim, voc j deve ter ouvido falar em estat st ica de emprego,estatstica de acidentes nas estradas, estatstica escolar etc.

Voc j sabe que o grfico uma representao geomtrica da relaoentre variveis. Muitos tipos de grfico so empregados em estatstica deacordo com o tipo de dados e a finalidade a que ele se destina. Entre eles, estoos grficos de barras (ou colunas), os grficos em setores de crculo e osgrficos em linha (ou poligonais).

Descrevendo dados

Algumas vezes a estatstica procura somente organizar, descrever e

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29A U L A analisar certos dados, como nos prximos exemplos.

EXEMPLO 1

A tabela abaixo representa a rea de algumas regies do mundo emmilhes de quilmetros quadrados:

Observao: Essa tabela foi feita antes da diviso em vrios pases daUnio das Repblicas Socialistas Soviticas (URSS).

Os mesmos dados podem ser apresentados graficamente:

Note que as regies foram apresentadas em ordem alfabtica, tanto natabela quanto no grfico. Poderamos tambm construir o grfico com asregies relacionadas em ordem crescente ou decrescente das reas.

Outro grfico que podemos utilizar o que chamamos de grfico desetores ou grfico circular. Para constru-lo, precisamos de nossosconhecimentos sobre fraes. Consideramos o crculo todo como o totaldas reas apresentadas e cada frao do crculo como a rea de determi-nada regio. Assim, 133,3 milhes km corresponde ao nmero total degraus de uma circunferncia, isto , a 360. Ento, 1 milho km correspondea um arco de:

360133 3

2 70

0

,

,=

`REA

(MILHES DE km )

030,3026,9004,9024,3008,5017,9020,5133,3

CONTINENTE

`FRICA

`SIA

EUROPA

AMRICA DO NORTEOCEANIA

AMRICA DO SULURSS (ANTIGA)TOTAL

Fonte: Naes Unidas

rea (milhes de quilmetros quadrados)

reas dos continentes do mundo(dados fornecidos pelas Naes Unidas)

fricasiaEuropaAm. do NorteOceaniaAm. do SulURSS

5 10 15 20 25 30



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Agora podemos calcular a medida, em graus, do arco da circunfernciacorrespondente a cada rea. Veja:

F`RICA 30, X 2,7 @ 82S`IA 26,9 X 2,7 @ 7 3

EUROPA 4,9 X 2,7 @ 1 3 A. DO NORTE 24,3 X 2,7 @ 6 6 OCEANIA 8,5 X 2,7 @ 2 3 A. DO SUL 17,9 X 2,7 @ 4 8 URSS 20,5 X 2,7 @ 5 5 TOTAL 133,3 360

Usando o transferidor, traamos as linhas divisrias dos setores circularese obtemos o grfico de setores (acima).

EXEMPLO 2

Vejamos um outro grfico de setores. No plebiscito de 1993 sobre osistema de governo, tnhamos a seguinte situao no Congresso NacionalBrasileiro, em cada uma das pesquisas:

52% dos congressistas eram presidencialistas30% dos congressistas eram parlamentaristas18% dos congressistas estavam indefinidos

Nesse caso, o crculo todo corresponde a 100%, ou seja, a todos os congres-sistas. Desse modo, 1% dos congressistas equivale a um arco de:

360100

3 60

0= ,

Calculando a medida de cada arco, encontramos:

52% corresponde a um arco medindo 52 x 3,6 = 187,230% corresponde a um arco medindo 30 x 3,6 = 10818% corresponde a um arco medindo 18 x 3,6 = 64,8

Observe que a soma das porcentagens 100% e que a soma das medidas dosarcos 360.

sia26,4 frica

30,3

URSS20,5

Am. do Sul17,9

8,5Oceania

Am. doNorte24,3

Europa4,9

parlamentaristas30%

indefinidos18%

presidencialistas52%



29A U L A EXEMPLO 3

Na descrio de dados, tambm podemos utilizar grficos em linhapoligonal.Acompanhe os resultados de um grfico relativo ao nmero de casos detuberculose ocorridos numa determinada cidade, entre 1984 e 1989.(Os grficos cartesianos so muito utilizados em medicina, especialmentenos casos de epidemias).

No eixo horizontal, esto marcados os anos em que foram registradosos nmeros de casos da doena. No eixo vertical, esto assinalados osnmeros de casos registrados. O papel quadriculado facilita o registro e aleitura dos dados.

O grfico nos leva s seguintes concluses:l Entre 1984 e 1985, houve um grande aumento do nmero de casos, pois

o segmento do grfico nesse perodo est com inclinao maior paracima (positiva) do que os outros segmentos;

l Entre 1985 e 1986, houve um decrscimo do nmero de casos. Veja queo grfico, neste perodo, est com inclinao para baixo (negativa);

l De 1986 a 1989, o nmero de casos volta a crescer, mas num ritmo menorque no primeiro perodo. A inclinao do grfico, nesse perodo, menos acentuada.

Trabalhando com amostras

Ao coletar dados sobre as caractersticas de um grupo de objetos ou pessoas- como a altura e o peso dos jovens brasileiros em cada faixa etria, ou o nmerode parafusos defeituosos produzidos por uma fbrica a cada semana ou ms - muitas vezes impossvel ou impraticvel observar todo o grupo, especial-mente se ele muito grande. Em vez disso, examina-se uma pequena parte,

500

400

300

200

100

0 84 85 86 87 88 89

280

388 381 401430 450



29A U L Achamada amostra, isto uma parte representativa (subconjunto) de um todo

(universo) que deve ser pesquisado. Voc j deve ter observado que, emalgumas pesquisas de opinio e pesquisas eleitorais, comum citar a amostra:Foram pesquisadas x pessoas de cada estado em tal perodo. comumutilizar tambm o termo amostra aleatria, que significa que as pessoas ou osobjetos foram escolhidos ao acaso (aleatoriamente), respeitando, porm, certoscritrios estatsticos, para assegurar que a amostra escolhida represente fiel-mente o universo. Veja a seguir alguns exemplos de grficos que foramconstrudos a partir de amostra.

EXEMPLO 4

No grfico seguinte, aparecem duas curvas referentes ao crescimento demeninos e meninas, desde o nascimento (0 ano) at aproximadamente22 anos. Voc j deve estar imaginando que no foram medidos todos osjovens brasileiros, mas sim um grupo que representasse o universo dosjovens. A medida que aparece no grfico uma medida mdia, ou seja,depois de medir a altura de vrios rapazes de 18 anos, por exemplo, calcula-se a mdia das medidas (170 cm aproximadamente). Assim, podemosencontrar jovens de 18 anos com altura acima ou abaixo de 170 cm (estaturamdia dessa idade). Esse tipo de grfico permite visualizar a variao dodesenvolvimento de uma criana e a comparao entre o crescimento demeninos e o de meninas.

.

l Comparando as duas curvas, vemos que, entre 0 e 12 anos, os meninosso um pouco mais altos que as meninas e o crescimento dos dois igual.Dos 12 aos 14 anos, as meninas so mais altas que os meninos; veja quea curva relativa altura das meninas est acima da dos meninos.

l A partir dos 14 anos, os meninos ultrapassam em altura as meninas.

l Por volta dos 14 anos, a altura das meninas mantm-se constante. Nocaso dos meninos, isso ocorre por volta dos 16 anos.

0

30

60

90

120

150

180

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

estatura (cm)

idade (anos)

meninos

meninas



29A U L A EXEMPLO 5

Este exemplo mostra tambm uma pesquisa estatstica feita a partir deamostras. Para que um grfico como este seja construdo, preciso fazeruma observao cientfica de amostras dos vrios grupos de animais.Observe este grfico de barras e tire suas prprias concluses.

Experincias envolvendo contagens

Muitas vezes estamos interessados em saber quantas vezes ou com quefreqncia alguma coisa ou evento ocorre. Nestes casos, a estatstica usa otermo freqncia de um evento. comum encontrar, em jornais e revistas,grficos que demonstram a freqncia de acidentes nas diferentes estradas dopas, a freqncia (quantidade) de trabalhadores por faixa salarial etc. Maisuma vez, vamos recorrer a exemplos que ajudaro a entender muitos grficos.

EXEMPLO 6

A tabela abaixo mostra a freqncia dos salrios, em reais, dos 65 empre-gados de uma empresa.

guepardo falco andorinho agulho-bandeira

cavalo leo liblula pingim homem cobra

VELOCISTAS DA NATUREZA

24 km/h

11 km/h

36 km/h

57 km/h65 km/h

72 km/h

109 km/h113 km/h114 km/h115 km/h

Velocidade dos Animais

N DE EMPREGADOS(FREQNCIA)

0810161410050265

SAL`RIO(EM REAIS)

1.1.50011..6001.1.7001.1.8001.1.9001.1.0001.1.1001.TOTAL

.................

.................

.................

.................

.................

.................

.................

.................



29A U L ANesse estudo, os salrios esto distribudos em 7 grupos (classes ou

categorias) e foram contados os empregados cujos salrios esto em cadaum desses grupos, ou seja, a freqncia de cada grupo. Podemos calcular ovalor mdio dos salrios da seguinte maneira:

1.100 + 5002

= 800 reais

Isso significa que a mdia dos salrios est na 4 linha da tabela. Noentanto, a mdia dos salrios efetivamente pagos obtida de formadiferente, pois o nmero de empregados em cada grupo diferente. Amdia das despesas com salrio dessa empresa deve ser calculada comoa seguir:

(8 500)+ (10 600)+ (16 700) + (14 800) + (10 900)+ (5 1.000) + (2 1.100)65

=

48.60065

= 749,69 reais

Percebemos tambm que 31 empregados recebem salrios acima damdia e 34 abaixo da mdia. O salrio que possui maior freqncia ode R$ 700,00 (16 empregados).Esses dados tambm poderiam ser estudados a partir do percentual deempregados de cada uma das categorias. Observe como ficaria nossa tabela:

Esses percentuais so obtidos considerando 65 = 100%. Assim, para cadanvel salarial, dividimos o nmero de empregados por 65. Por exemplo:

865

0 123 12 3

1065

0 154 15 4

= =

= =

, , %

, , %

SAL`RIO

1,500 012,3%1,600 015,4%1,700 024,6%1,800 021,5%1,900 015,4%1.000 007,7%1.100 003,1%TOTAL 100%

PORCENTAGEM DOS EMPREGADOS(FREQNCIA RELATIVA)

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

. . . . . . .



29A U L A A seguir, voc pode observar uma representao grfica para visualizar a

situao apresentada.

EXEMPLO 7

Numa escola existem 5 turmas de 3 srie do 2 grau. Em uma prova,estiveram presentes 148 alunos. Corrigidas as questes, com notas variandode 0 a 10, o resultado foi o seguinte:

A partir desses dados, foi construdo o grfico abaixo.Observe que:l a freqncia da nota 2,0 8;l a freqncia da nota 3,0 14;l a maior freqncia ocorreu na nota 4,5 (dizemos que 4,5 a moda do

experimento);

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10123456789

101112131415161718

frequ

ncia

notas

5

10

15

20

500

600

700

800

900

1000

1100

NOTAS 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 TOTAL

FREQNCIA 0 1 2 4 8 11 14 16 17 18 15 11 8 7 5 3 3 2 1 0 0 146

fifi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififififi fififi

:



29A U L Al a menor freqncia (zero) ocorreu com as notas 0; 9,5 e 100:

l a m d i a dos alunos nesta prova :

635,5146

= 4,35

(Confira esse resultado fazendo os clculos como no Exemplo 6.)

l 73 alunos tiveram nota menor ou igual a 4,0 e 73 alunos tiveram notasmaiores do que 4,0. Essa nota divide o total de alunos em dois gruposde mesma quantidade de pessoas (dizemos que 4,0 a mediana doexperimento).

Observao: Em experimentos de freqncia de eventos, comum que am d i a, a moda e a mediana sejam muito prximas. por isso que maiscomum ouvir falar apenas da m d i a.

Exerccio 1O grfico mostra o perfil de desempenho das turmas A e B em Matemtica,no ano passado.

a) Qual a mdia da turma A em junho? E da turma B?b) Em que meses a turma A teve mdia mais alta que a turma B?c) Qual a mdia mxima e a mnima de cada uma das turmas? Em que

meses ocorreram?d) Em que perodos o desempenho da turma A foi crescente? Em que

perodo foi decrescente? Quando se manteve constante?e) A turma B teve desempenho constante em algum perodo?f) Qual das duas turmas apresentou um desempenho mais equilibrado?

Exerccios

0 maro abril maio junho ago. set. out. nov.

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

AB

md

ias

de te

stes

x

y



29A U L A Exerccio 2

Um depsito, contendo inicialmente 600 litros de gua, dispe de umavlvula na sua parte inferior. Um dispositivo foi utilizado para registrar ovolume de gua no reservatrio, a cada instante, a partir do momento emque a vlvula foi aberta. Os valores obtidos durante a operao permitiramconstruir o grfico do volume em funo do tempo (FUVEST-SP).

l Quantos minutos decorreram at o volume da gua existente nodepsito cair metade?

a) 5 b) 8 c) 10 d) 15 e) 20

l Em quanto tempo o depsito fica vazio?

Exerccio 3O grfico abaixo ilustra uma pesquisa sobre Segurana no Trnsito. Foramfeitos testes em alguns automveis e obteve-se o seguinte resultado mdio,que tambm est sendo comparado com um avio Jumbo 747.

a) Podemos encontrar um carro que percorra mais de 23 m at a parada eque esteja a 48 km/h? Por qu?

b) Esse grfico poderia ser apresentado de outras formas? Quais?c) Seria possvel fazer essa ilustrao com setores circulares? Por qu?

0 5 15 25 35

200

400

600

V (lit

ros)

t (min)x

y

Distncias percorridas at a paradacarro a 48 km/hem estrada seca

carro a 113 km/hem estrada seca

Jumbo 747 a 150 nsna pista de decolagem

23 metros

96 metros

1,2 km

SEGURANA NO TRNSIT O



29A U L AExerccio 4

A tabela seguinte mostra a rea (em milhes de km) dos oceanos.Represente graficamente os dados por:a) um grfico de barras;b) um grfico de setores.

OCEANO PACFICO ATLNTICO NDICO ANT`RTICO `RTICO

R`EA 183,4 106,7 73,8 19,7 12,4

Exerccio 5Qual a mdia das alturas de uma equipe de basquete com distribuio dasalturas como na tabela abaixo?

JOGADOR ALTURA (m)A 1,80B 1,86C 1,90D 1,78E 1,86

Exerccio 6Numa rua movimentada, observaram-se as vestimentas de 2.400 mulheresque passaram por l num certo perodo de tempo:

VESTIMENTA

VESTIDO VESTIDO SAIA E JEANS E BERMUDA E SHORT ECOMPRIDO CURTO BLUSA CAMISETA CAMISETA CAMISETA

NMERO DE MULHERES 100 200 100 400 1.200 400

a) Qual a moda da pesquisa?b) Represente graficamente essa pesquisa.



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