Aula 3 - Espaços Amostrais; Eventos e Técnicas de Contagem
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Cássius Henrique
Aula 3
Espaços amostrais
Eventos e Técnicas de Contagem
CEA 012 – Probabilidade
Espaços amostrais; Eventos e Técnicas de Contagem
Cássius Henrique Xavier Oliveira
Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas
2015
Cássius Henrique
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CEA 012 – Probabilidade
RELEMBRANDO...
O que é um experimento aleatório? Onde podem ser encontrados na Engenharia?
Qual a diferença entre os experimentos aleatórios e o fenômenos determinísticos?
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Espaços Amostrais
Para cada experimento probabilístico E, definiremos como espaço amostrar S o conjunto de todos os possíveis resultados de E.
Considere os seguintes experimentos aleatórios Ei e seus respectivos espaços amostrais Si
E1: Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior.
S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E2: Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido.
S2 = {0, 1, 2, 3, 4}
E3: Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a sequência de caras e coroas.
S3 = {cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckck, kckc, kcck, ckkc, ckkk, kckk, kkck, kkkc, kkkk}
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L1.2. Exercício 1
Apresente o espaço amostral dos experimentos aleatórios abaixo:
E5: Uma máquina nova é instalada em uma linha produtiva e observa-se o tempo gasto até ela falhar.
E6: Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de lançamentos necessários.
E7: Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos.
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L1.2. Exercício 1 – Respostas
Apresente o espaço amostral dos experimentos aleatórios abaixo:
E5: Uma máquina nova é instalada em uma linha produtiva e observa-se o tempo gasto até ela falhar.
S5 = {t / t 0}
E6: Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de lançamentos necessários.
S6 = {1, 2, 3, 4, 5,...}
E7: Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos.
S7 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
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Espaços Amostrais
O espaço amostral não precisa ser um número;
O espaço amostral pode ser
Finito
Infinito numerável
Infinito não-numerável
Ela ainda pode ser classificado em:
Discreto
Contínuo
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Eventos
Um evento A é um subconjunto do espaço amostral E:
Logo, um evento é simplesmente um conjunto de resultados possíveis. Qualquer resultado individual também pode ser tomado como um evento.
Tipos de eventos:
Evento Elementar
Evento Complementar
Eventos Mutuamente Exclusivos
EA
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Evento Elementar
Seja o espaço amostral , um evento é dito elementar se é formado por apenas um elemento (subconjunto unitário de S).
Matematicamente: , com
A união de todos os eventos elementares resulta no espaço amostral:
Exemplo: no lançamento de um dado, há 6 eventos elementares:
A1 = {1}, A2 = {2}, ..., A6 = {6}
nS ,...,, 21
iA ni ,...,3,2,1
SAn
i
i
1
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Evento Complementar
Denotado por ou , em que , em que .
cA A AxeUxxA | SAA
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Eventos Mutuamente Exclusivos
Eventos mutuamente exclusivos correspondem a conjuntos disjuntos de resultados possíveis.
Conjuntos disjuntos são aqueles com interseção vazia.
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Leis de De Morgan
O evento de que nenhum dos Ai’s ocorre é igual ao complementar do evento de que pelo menos um dos Ai’s ocorre.
O complementar de que todos os Ai’s ocorrem é exatamente o evento de que ao menos um deles não ocorre.
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Contextualização
Contextualize as leis de De Morgan? Elas fazem sentido?
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Operações com Eventos – Quadro resumo
União e interseção de eventos (A ou B, A e B); A e B disjuntos; Complementar de A
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Quantificando os eventos...
Dado um experimento aleatório E, cujo espaço amostral S possui n elementos, a quantidade de eventos A será dada por
n(E) = 2n
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Partição de um Espaço Amostral
Definição: Os eventos A1, A2,... , formam uma partição do espaço amostral se:
para i = 1, 2,... n:
para (ou seja são eventos mutuamente exclusivos)
Uma partição de um espaço amostral S é um coleção de subconjuntos não-vazios e mutuamente excludentes de S, cujas uniões são iguais a S.
ØiA
Ø ji AA ji
SAn
i
i
1
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Técnicas de Contagem: Combinatória
Técnicas de contagem → determinar o número de elementos de um conjunto ou o número de resultados possíveis de um experimento.
Princípio Multiplicativo
Princípio Aditivo para Partes Disjuntas
Permutações
Arranjos
Combinações
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Princípio Multiplicativo
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Princípio Aditivo para Partes Disjuntas
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Permutação Simples
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Arranjo Simples
!!
,kn
nA kn
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Combinação Simples
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Fazendo Amostras...
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Nivelamento
Quais são os critérios para identificar a técnica mais adequada de contagem para determinado experimento?
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L1.2. Exercício 2
(UFOP) No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque?
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L1.2. Exercício 3
(CESGRANRIO, 2013) Uma empresa de propaganda pretende criar panfletos coloridos para divulgar certo produto. O papel pode ser laranja, azul, preto, amarelo, vermelho ou roxo, enquanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco. De quantos modos distintos é possível escolher uma cor para o fundo e uma cor para o texto se, por uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser iguais?
a) 13
b) 14
c) 16
d) 17
e) 18
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L1.2. Exercício 4
(CESGRANRIO – PETROBRAS, 2012) Certa empresa identifica as diferentes peças que produz, utilizando códigos numéricos compostos de 5 dígitos, mantendo, sempre, o seguinte padrão: os dois últimos dígitos de cada código são iguais entre si, mas diferentes dos demais. Por exemplo, o código “03344” é válido, já o código “34544”, não.
Quantos códigos diferentes podem ser criados?
a) 3312
b) 4608
c) 5040
d) 7000
e) 7290
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L1.2. Exercício 4
(CESGRANRIO – PETROBRAS, 2012) Certa empresa identifica as diferentes peças que produz, utilizando códigos numéricos compostos de 5 dígitos, mantendo, sempre, o seguinte padrão: os dois últimos dígitos de cada código são iguais entre si, mas diferentes dos demais. Por exemplo, o código “03344” é válido, já o código “34544”, não.
Quantos códigos diferentes podem ser criados?
a) 3312
b) 4608
c) 5040
d) 7000
e) 7290
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L1.2. Exercício 5
(FUVEST) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao acaso, entre os números 1, 2, ..., até 50. Uma aposta consiste na escolha (pelo apostador) de 6 números distintos entre os 50 possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4 (quadra), 5 (quina) ou todos os 6 (sena) números sorteados.
Um apostador, que dispõe de muito dinheiro para jogar, escolhe 20 números e faz todos os 38.700 jogos possíveis de serem realizados com esses 20 números. Realizado o sorteio, ele verifica que todos os 6 números sorteados estão entre os 20 que ele escolheu. Além de uma aposta premiada com a sena:
a) Quantas apostas premiadas com a quina esse apostador conseguiu?
b) Quantas apostas premiadas com a quadra ele conseguiu?
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Gabarito
2. 168
3. (c)
4. (e)
5. a) 84; b) 1365
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Sugestão para a próxima aula...
Estudar as páginas 15 a 22 (itens 1.1 a 1.3) da referência abaixo:
DANTAS, C. A. B. Probabilidade: Um curso introdutório. Ed. da universidade de São Paulo.
Estudar os itens 2.1.1 a 2.1.4 da referência abaixo:
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Editora LTC.