Aula 3, Experiência 1 Circuitos CA e Caos -...

71
Notas de aula: www.fap.if.usp.br/~hbarbosa LabFlex: www.dfn.if.usp.br/curso/LabFlex Aula 3, Experiência 1 Circuitos CA e Caos Prof. Henrique Barbosa [email protected] Ramal: 6647 Basílio, sala 100 Prof. Nelson Carlin [email protected] Ramal: 6820 Pelletron Prof. Paulo Artaxo [email protected] Ramal: 7016 Basilio, sala 101 Profa. Eloisa Szanto [email protected] Ramal: 7111 Pelletron

Transcript of Aula 3, Experiência 1 Circuitos CA e Caos -...

Notas de aula: www.fap.if.usp.br/~hbarbosa

LabFlex: www.dfn.if.usp.br/curso/LabFlex

Aula 3, Experiência 1

Circuitos CA e Caos Prof. Henrique Barbosa

[email protected]

Ramal: 6647

Basílio, sala 100

Prof. Nelson Carlin

[email protected]

Ramal: 6820

Pelletron

Prof. Paulo Artaxo

[email protected]

Ramal: 7016

Basilio, sala 101

Profa. Eloisa Szanto

[email protected]

Ramal: 7111

Pelletron

Podem me procurar! me encontrando, estou sempre a disposição.

Prof. Henrique Barbosa

[email protected]

Ramal: 6647

Ed. Basílio Jafet, sala 100

http://www.fap.if.usp.br/~hbarbosa

Notícias da disciplina

Vejam as notas de aula e os manuais de preparação das sínteses e relatórios.

Usem a lista de discussão para tirar as dúvidas, pois pode ajudar outros alunos.

Notícias da disciplina As regras da disciplinas são conhecidas desde lab 3,

estão disponíveis no site e serão aplicadas igualmente por todos os professores.

Marcar horário no lab e não aparecer cancela uma presença pois:

Prejudica os outros alunos quando a sala esta cheia

Prejudica os professores e monitores quando a sala esta vazia

ATENÇÃO: a nota da síntese depende da entrega dos pedidos da síntese! Os pedidos do relatório são comentados apenas para ajudar vocês! Os bonus vão na avaliação final do experimento.

Objetivos Estudar circuitos elétricos em corrente alternada com a

finalidade de explorar fenômenos caóticos

Aprender algumas técnicas avançadas de processamento de sinais e análise de dados

5 aulas

Noções de CA, filtro RC

Circuito integrador e análise de Fourier

Ressonância de um circuito RLC simples

Funções caóticas: mapa logístico

Caos em circuito RLD

TAR

EFA

S D

A S

EMA

NA

PA

SSA

DA

Tarefas 1 – Para Síntese Usando o mesmo circuito da semana passada, mas agora

com uma onda quadrada na entrada e fc=200hz:

Meça VC e Ve no DataStudio e salve os dados para uma

freqüência tal que:

>> c (~15 vezes maior)

Mostre com os dados obtidos que o sinal de saída é

proporcional à integral do sinal de entrada:

Neste caso, como a entrada é um sinal quadrado, significa que

a saída será um triângulo, certo?

—Mostre que as “inclinações” medidas e teóricas da onda

triangular na saída são compatíveis

Entrada x Saida

Sinal de entrada = Ve

Sinal de saída = Vs

Se pensarmos em termos de quadrupolos:

00

1

1

ˆ

ˆˆ

1

ˆ)(ˆ

jV

VG

j

VtV

entrada

saidaeC

O ganho relaciona o sinal de saída com o

sinal de entrada... Ou seja, resume o

funcionamento do quadrupolo.

Circuito RC (aula passada)

Sabemos que: Com: Se >> c, então: Ou seja:

ˆ G ˆ V Sˆ V eG0e

jG

20

/

1

C

G

C

21

)(ˆ

j

c eRC

G

1

jRC

Circuito RC alta freq

20

/1

1

C

G

G arctan

C

2

tan 1

G

Circuito RC alta freq Então:

Ou ainda:

Contudo, temos que:

Assim:

RCjV

VG

e

S

1

ˆ

ˆˆ

eS VRCj

V ˆ1ˆ

tj

ee eVV ˆe

tj

ee Vj

eVj

dtV ˆ11ˆ

ˆ V S 1

RCˆ V edt

No limite que >> c , G01/RC e o circuito acima funciona como integrador da tensão de entrada

Da teoria....

dtVRC

V eSˆ1ˆ

Como:

eS V

RCdt

Vd ˆ1ˆ

Então:

E como:

0/ dtd S

RC

V

T

VsinclinacaoV

RCdt

dV ee

S 2/

21

Temos:

2Vs

T/2

2Ve

Dedução quase completa

Dedução mais simples – H05

Inclinação do triângulo

Freq não muito alta? Alguns grupos perceberam que o sinal de saída não era

um triângulo perfeito:

Resultados dos vários grupos Inclinação experimental (V/s) Inclinação teórica (V/s)

H01 6507 (247) e -6436 (227) 6539 (1)

H02 6470 (120) 6330 (400)

H03 6629 (11) e 6599 (11) 6.28 (17)x102 e -6.53 (17)x102

H04 6709 (18), -6765 (12), 6697 (20) e -6779 (12)

6571 (42), 6519 (41), 6570 (42) e 6514 (41)

H05 6.54 (12)x103 6.53 (72)x103

H06 64,49(26)E2, -65,53(16)E2, 64,19(29)E2 e - 65,29(20)E2

65,0(4)E2, - 64,1(4)E2 , 64,6(4)E2 e - 64,1(4)E2

H07 6544 (57) 6565 (66)

H08

H09

Experimental Teórico

Tarefas 2 – Para Relatório Faça a análise de Fourier de uma onda quadrada no

DataStudio. Fotografe e anote as amplitudes e freqüências

Gráfico de amplitude X freqüência.

Lembre que deve usar a onda quadrada fornecida pela fonte do DataStudio para analisar a onda quadrada usando a função fft do mesmo

Faça a análise de Fourier de uma onda triangular no DataStudio. Fotografe e anote as amplitudes e freqüências

Gráfico de amplitude X freqüência.

Compare ambas com a previsão teórica, quantitativamente. Comente.

25

)5sin(

9

)3sin()sin(

8)(

5

)5sin(

3

)3sin()sin(

4

20

0

tttVtTrian

tttVtQuad

H03 Deviamos mesmo esperar reproduzir a curva? Ou

apenas os picos?!?

Exemplo: Onda Quadrada

5

)5sin(

3

)3sin()sin(

40

tttVtV

Cada frequencia presente no sinal vai produzir uma delta na transformada de

fourrier!

Freq 3ω

Freq ω

Freq 5ω

Am

pli

tud

e

Freq ω 3 ω 5 ω

Outro grupo também fez

Tarefa 3 - EXTRA Meça VC e Ve também para:

~ 2 c

<< c (~ 3 vezes)

Com essas medidas e com a medida de ω>>ωC, mostrar numericamente que VC(t) pode ser obtido através da aplicação do ganho e da fase para cada freqüência que compõe a onda quadrada de entrada

Compare a sua previsão “teórica” com a medida experimental de VC(t).

Discuta o efeito da escolha do número de termos na série de Fourier no seu resultado

H03

Discussão extra: 1. Pico e ruído da FFT

Onde está o pico?

A.A.P. Suaide & M. Tabacniks (Lablfex, 2008)

Como medir os picos?

A.A.P. Suaide & M. Tabacniks (Lablfex, 2008)

Mas porque a FFT tem tanto ruído?

A.A.P. Suaide & M. Tabacniks (Lablfex, 2008)

O Intervalo de Amostragem

A.A.P. Suaide & M. Tabacniks (Lablfex, 2008)

A FFT “amarra” o começo com o final

E o resultado fica assim...

Discussão extra: 2. Medindo o ganho em 5min

FFT e Ganho A medida do Ganho x do circuito RC da primeira

semana foi bastante cansativa

Ajustar freqüência

Medir Ve

Medir Vc

Repetir procedimento para cada freqüência

Pelo menos 1 hora de tomada de dados

Que tal fazer a mesma medida sem precisar variar a freqüência e em 5 minutos?

Sinal de entrada e saida

O sinal de entrada é composto de várias freqüências diferentes.

Desde que o filtro seja um filtro de frequências, ou seja, G=G(ω), podemos medir G(ω) facilmente com a transformada de fourier de um sinal com várias frequencias!

Filtro

)5sin(5

4

)3sin(3

4

)sin(4

0

0

0

tV

tV

tV

Ve

)5sin(5

4

)3sin(3

4

)sin(4

50

5

30

3

0

tV

G

tV

G

tV

G

Vs

)/(tan)(

)/(1

1)(

1

2

c

c

G

Exemplo: Sinal quadrado:

Cada frequencia do sinal de entrada sera transformada de uma maneira diferente!

Filtro

)5sin(5

4

)3sin(3

4

)sin(4

00

00

00

tV

tV

tV

Ve

)5sin(5

4

)3sin(3

4

)sin(4

500

5

300

3

00

0

0

0

tV

G

tV

G

tV

G

Vs

)/(tan)(

)/(1

1)(

1

2

c

c

G

Exemplo: Sinal quadrado: Dividindo as amplitudes de Fourier da saida pela

entrada, temos para o primeiro pico em ω0

)(4

4

pico 1o EntradaFourier Amplitude

pico 1o SaidaFourier Amplitude em 0

0

0

0

0

GV

VG

Exemplo: Sinal quadrado O resultado é obviamente geral! E pode ser aplicado

para obter o ganho (razão entre saida e entrada) para várias frequencias de uma só vez.

)3(4

4

pico 1o EntradaFourier Amplitude

pico 1o SaidaFourier Amplitude3 em 0

0

03

0

0

GV

VG

)5(4

4

pico 1o EntradaFourier Amplitude

pico 1o SaidaFourier Amplitude5 em 0

0

05

0

0

GV

VG

Exemplo de 2010

Resultado de 2012 – H09

Cuidados Quando usamos a FFT, só determinamos em algumas

frequencias. Porque?

Medimos as frequencias correspondentes aos picos, pois o ruído dos dois sinais não são correlacionados!

Qual a resolução em frequencia que conseguimos com uma onda quadrada? É o próprio ω0

Até quantos picos é possível medir?

Objetivos Estudar circuitos elétricos em corrente alternada com a

finalidade de explorar fenômenos caóticos

Aprender algumas técnicas avançadas de processamento de sinais e análise de dados

5 aulas

Noções de CA, filtro RC

Circuito integrador e análise de Fourier

Ressonância de um circuito RLC simples

Funções caóticas: mapa logístico

Caos em circuito RLD

Aula de hoje: Ressonância no RLC ?

Ao passar uma corrente elétrica por um indutor, um campo magnético é criado proporcional a corrente

Se a corrente for variável no tempo, o

campo também será! O que nos faz lembrar da lei de Faraday:

A tensão elétrica εL nos terminais do indutor é proporcional à variação de fluxo magnético através dele.

dt

d BL

O Indutor

iB

Como a única coisa que varia é a corrente:

Vamos chamar a constante de L, ou indutância, e a força eletromotriz induzida, εL, que é a queda de tensão no indutor, será VL:

Em notação complexa, a corrente passando pelo indutor é:

dt

tdicte

dt

dBA

dt

d BL

O Indutor

dt

tdiLtVL

L é a indutância, medida em Henry (H)

tj

Leii ˆ

Indutor – Notação Complexa

E a tensão será então:

Assim a impedância é dada por:

Ou, usando a fórmula de Euler:

tj

LL eLijdt

diLV

Ljei

eLij

ti

tVZ

tj

L

tj

LLL

ˆ

ˆˆ Reatância indutiva

j

L LeLjZ Portanto a tensão está adiantada

de /2 em relação a corrente

Corrente:

Indutor:

Como era no capacitor?

2exp

ˆˆˆ

tjLi

tiZtV

L

LL

A fase da tensão

2exp

1

ˆˆˆ

tji

C

tiZtV

C

CC

tj

Leiti )(ˆ

adiantada

atrasada

Circuito RLC

Já sabíamos tudo sobre capacitores

Agora sabemos tudo sobre indutores

O próximo passo é obvio... Vamos juntar tudo!

Dado um sinal de entrada Vg(t), qual a tensão em cada um dos elementos e qual a corrente no circuito?

A equação básica é: No indutor temos: No resistor temos: No capacitor temos:

Circuito RLC

tVtVG cos0 2

2

dt

tqdL

dt

diLtVL

dt

tdqRtRitVR

C

tqtVC

tVtVtVtV GCRL

Substituindo tudo na equação se obtém:

tVtq

Cdt

tdqR

dt

tqdL o cos

12

2

A solução para q(t) é a solução geral da homogênea mais uma solução particular da equação acima.

• Solução da homogênea • comportamento transitório do circuito (quando ele é ligado ou

desligado): oscilador harmônico amortecido • Solução particular

• comportamento em regime estacionário, depois que o comportamento transitório desaparece: oscilador forçado

A dedução pode ser encontrada no capítulo 2 de Mecânica de K. R. Symon e nas notas de aula do curso FAP–212, aulas 4 e 5.

A Equação do Circuito RLC

Como é um circuito em série a impedância complexa total do circuito é a soma das impedâncias complexas de cada elemento:

A impedância real será:

E a fase será:

CLjR

CjLjRZZZZ CLR

11ˆˆˆˆ

2

2* 1ˆˆ

CLRZZZ

RCR

L

Z

Ztg

1

]ˆRe[

]ˆIm[

Caminho mais fácil...

jZeZ ˆ

Sendo a tensão de entrada:

A corrente pode ser escrito como:

Portanto:

tj

GG eVV ˆ

A Corrente no Circuito RLC

)(

ˆˆ itjG ei

Z

Vi

)(

2

2

)(

1

ˆ

tjGtjG

j

tj

G e

CLR

Ve

Z

V

Ze

eVi

A fase da corrente (i) vem da impedância total ().

Agora o problema está resolvido, pois como a corrente é a mesma em todo o circuito, podemos calcular a tensão no:

Resistor:

Capacitor

Indutor:

)(

0ˆ tj

R eRitV

)2/(

0

1)(ˆ

tj

C eiC

tV

)2/(

0ˆ tj

L eLitV

Tensões Nos Elementos

tj

GeV

Mas o que esta acontecendo realmente?

O número complexo V(t) muda de posição no plano complexo com o passar do tempo (mov. Circular uniforme).

)(

00 tj

eVV̂

Fasores e Correntes Alternadas

)cos(

)(ˆRe)(

00

tV

tVtV)(

00)(ˆ

tj

eVtV

x, Re

y,Im

0V

0 t

]ˆRe[V

)cos(

)(ˆRe)(

00

tV

tVtV

x, Re

y,Im

Mas e o capacitor e o indutor??

RV̂

Fasores e o Circuito RLC

TotalV̂

CV̂

LV̂

t

2/

2/

CL VV ˆˆ

)(

0ˆ tj

R eRitV

)2/(

0

1)(ˆ

tj

C eiC

tV

)2/(

0ˆ tj

L eLitV

Algo passou quase despercebido.

A amplitude da corrente (e de todas as tensões) depende de uma maneira bastante peculiar da freqüência.

A corrente é máxima quando:

O circuito RLC é ressonante!

Ressonância em Corrente

2

2

0

1

CLR

Vi G

0 e 1

01

0

0

0

LC

CL

d

di

Para a carga (tensão no capacitor) é diferente:

A tensão é máxima quando, , portanto:

O capacitor tem carga para =0

As freq. de ressonância são diferentes!

Pergunta: podemos medir essa diferença?

2

2

00

1

CLRC

V

C

iV G

C

Ressonância em Carga

2

2

01

2

2

2

01

L

R

CLRC

d

d

0/0 ddVC

As tensões e correntes têm um máximo num valor definido Ressonância

Ressonância: Circuito RLC

◦ O que define a posição são as constantes (R, L e C)

◦ A posição dos máximos não são necessariamente a mesma para todos os sinais (verifiquem o valor para a tensão no indutor)

Mas o que define a altura e a largura dessas curvas?

Fator de Qualidade

Um rádio AM usa um circuitos ressonantes RLC para selecionar a estação.

◦ A seleção tem que conseguir separar estações vizinhas, sem perder o sinal da estação que se quer ouvir.

◦ Os engenheiros definiram o fator de qualidade:

U = Energia armazenada por ciclo

U = Energia dissipada por ciclo

aressonânciU

UQ

2

Fator de qualidade do circuito:

U é a energia armazenada no circuito na condição de ressonância:

ΔU é a energia dissipada pelo circuito durante um período de oscilação:

Fator de Qualidade

2

0

2

02

1

2

1CCVLiU

TRiTPU 2

02

1

02

resU

UQ Largura em

) Pot (curva 2

) i (curva 2

0

0

P

i

Potência Instantânea

Instantaneamente:

Depende da fase entre corrente e tensão e pode ser negativa!

Potência positiva é aquela consumida

Potência negativa é aquela fornecida

)cos()cos(

)(

)()()(

0

tt

iVtP

titVtP

P

A potência instantânea é:

P(t) V(t) i(t)

R i0

2 cos2 t

0, sempre

sem defasagem

3T0

Tempo

Am

plit

ud

e

Período T = 1/f

tensão

corrente

potência

•A potência varia no tempo, mas é sempre positiva o que significa que o resistor sempre consome potência

Exemplo 1: Resistor Ôhmico

A potência em um capacitor pode ser escrita como:

2coscos)( 0

0

t

C

ititP

Exemplo 2: Capacitor Ideal

Potência positiva e negativa… mas em

média é nula!

No caso de correntes alternadas, o que vai interessar saber é a potência média dissipada num ciclo, em cada um dos elementos

Assim:

T T

PPPP dttiV

Tdt

iV

TP

0 0

2cos2

1)cos(

2

1

)cos()2cos(2

1

)cos()cos(

tiV

titVtP

PP

PP

=0

Potência

cos2

1PPiV

Portanto a potência média absorvida pelo circuito RLC (veja também a apostila de Corrente Alternada) pode ser escrita como:

Na condição de ressonância, =0 e Z0=R, portanto, a potência média por ciclo vai ser máxima:

cos2

cos2

1

0

2

000

Z

ViVP G

G

R

VP G

2

2

0

Ressonância em Energia

O máximo da potência ocorre para a mesma freqüência em que ocorre a ressonância para a corrente. A ressonância de corrente é também chamada de ressonância de energia.

Para o resistor: ф=0

Para o capacitor ideal: ф=-π/2

Para o indutor ideal: ф = π/2

2

2P

RiRP

cos2

1PPiVtP

R

L

0=CP

C

0=LP

Resumindo:

Resumindo: Somente a resistência dissipa potência, capacitores e

indutores puros não dissipam potência num período: O que eles retiram do circuito na metade do período, eles

devolvem na outra metade

Existem capacitores e indutores puros ou ideais? Se o capacitor é ideal vocês verificaram

E o indutor, o que acham?

Há outras resistências, além do resistor no circuito? E o gerador?

Ressonância RLC

Você pode verificar isso!

Na condição de ressonância de corrente, ω=ω0 e:

Portanto:

Ou seja, se medir VG0 e i0 na ressonância você descobre qual é a resistência total, R, do circuito

00 RiVG

RC

LRZ

2

2

0

1

011

00

RC

Ltg

Se Φ0=0, corrente e tensão

estão em fase, o circuito é puramente resistivo

Resistência Total

VG0 é a tensão de pico aplicada pelo gerador e i0 é a corrente de pico no circuito

Quanto vale R ??

No nosso modelo teórico, a tensão que o gerador aplica no circuito é:

Portanto a amplitude Vg é constante, e não depende da potência ou corrente entregue ao circuito! É um gerador ideal!!!

Qual o modelo teórico apropriado para um gerador real?

Essa resistência tem que ser levada em conta!

GBOB RRRR 1

Resistência do Gerador

tj

gg eVtV )(ˆ

iRV gg

Resistência do Gerador Mas se o gerador tem resistência interna, então a

tensão de pico aplicada no circuito real, não é a força eletromotriz ε0 que ele fornece, é:

Você não conhece RG e precisa medir ε0. Como??

Medindo com uma resistência tão grande que RG i0 fique desprezível em relação a ε0!

Que instrumento você pode usar para medir esta “tensão em aberto” do gerador?

0iRV GGG

Tarefas 1 – para Síntese Medir a curva de ressonância (i x ) com R=10 ,

C=0.47µF, L= bobina de 1000 espiras Não altere a força eletromotriz do gerador durante

as medidas (e verifique que ela se mantém constante!).

Faça o gráfico para a curva de corrente (i x ) Colocar também curvas teórica e ajustada

A partir do ajuste, determine o valor experimental da freqüência de ressonância e compare com o valor previsto

A partir do ajuste, determine R, L e C e compare com os valores nominais. Há discrepâncias? Explique porque.

Tarefas 2 – para Relatório Meça Vc x t e VL x t para a freqüência de ressonância

Faça um gráfico de VC x VL na freqüência de ressonância (modo XY do osciloscópio)

O que você esperaria obter caso os seus componentes fossem ideais?

O indutor é ideal? Você pode fazer um modelo simples para o indutor caso ele não seja ideal?

Da análise desse gráfico, obtenha os parâmetros físicos (valores e incertezas) das grandezas usadas no seu modelo.

Ainda na ressonância, verifique a diferença de fase entre VC e VL. O que era esperado? A diferença pode ser explicado pelo

seu modelo não-ideal?

Na análise de VL x VC na ressonância você se questionou apenas se o indutor não seria ideal.

E o capacitor é ideal? Você se questionou a respeito?

Você tem evidências experimentais de que o capacitor é próximo ao ideal? Quais (quantitativo)?

Estime o valor da resistência interna do gerador a partir das medidas, ajustes e modelos não-ideias

Discuta a incerteza nesta medida, já que ela será obtida como um resíduo. Como você poderia diminuir esta incerteza?

Tarefas 3 – EXTRAS

Cuidados Usar o abaixador de impedâncias do gerador de áudio! Será que o gerador pode ser considerado ideal? Como saber se é? O que muda na teoria se não for?

O que vão medir? Onde colocar o terra?

Lembre-se de medir um número de pontos que permita obter curvas bem definidas