Resistência de Materiais

Gisele Duarte Caboclo, M. C.giselecaboclo@yahoo.com.br

Aula  3

Problema resolvido 1.2

Duas forças são aplicadas ao suporte da figura. 

(a)  Sabendo‐se  que  a  barra  de  controle AB  é feita  de  aço  com tensão última de 600MPa, determinar o diâmetro da barra para que o coeficiente de segurança seja de 3,3. 

(b)  O  pino  no  ponto  C  é feito  de  aço  com  tensão  última  a cisalhamento de 350MPa. Determinar o diâmetro do pino C que leva a um coeficiente de segurança ao cisalhamento de valor 3,3.

A reação em C está representada por suas componentes Cx e Cy:

∑ = 0xF

∑ = 0yF

kNCx 40=

kNCy 65=kNCCC yx 3,7622 =+=

∑ = 0cM 06,0.153,0.506,0. =−−P

kNP 40=

Letra a

• Como o coeficiente de segurança é 3,3 a tensão admissível é: 

Para a P=40kN, a área da seção transversal é:

MPaMPaSCU

adm 8,1813,3

600..

===σσ

26102208,181

40 mxMPakNPA

admnec

−===σ

mmd

mxdA

AB

ABnec

74,16

102204

262

=

== −π

Letra b

Cisalhamento no pino C. Para o coeficiente de segurança de 3,3, temos:

Como o pino tem corte duplo, temos:

MPaMPaSC

Uadm 1,106

3,3350

..===

ττ

mmmmdc

mmdA

mmMPa

kNCA

cnec

admnec

224,21

3604

3601,106

2/)3,76(2/

22

2

≈=

==

===

πτ

Exe.1Uma  carga  P  de  6kN  é suportada  por  dois  membros  de madeira de 75x125mm de  seção  transversal  retangular, que são unidos  mostrado na figura. Determinar a tensão normal e de cisalhamento na junção.

Tensão e deformação ‐ cargas axiais

• Estática: Supõe sistemas rígidos indeformáveis

• Tensão ⇒ deformação

• Análise das deformações  ⇒Resolução de problemas estaticamente indeterminados

Diagrama força‐deformação

Tensão e deformação ‐ cargas axiais

Lδε = Deformação específica

Diagrama tensão‐ deformação: não depende das dimensões da barra

Tensão e deformação ‐ cargas axiais

Diagrama tensão‐deformação

Exemplo 1

Consideremos,  uma  barra  de  comprimento  L=0,6m  e  secção transversal uniforme, que se deforma de um valor δ=150x10‐6m. A deformação específica correspondente é:

66

102506,010150 −

−

=== xm

mxLδε

• Área da seção variável

Tensão e deformação ‐ cargas axiais

dxd

xxδδε =

∆∆

= →∆ 0lim

Fratura

• Materiais dúcteis

Escoam a temperaturas normais

Fratura

Materiais dúcteis

• A parte inicial do diagrama tensão‐deformação é uma linha reta com grande coeficiente angular

• Quando é atingido um valor crítico de tensão σe, o CP sofre uma longa deformação, com pouco aumento de carga aplicada

• σe é a  tensão  de  escoamento; σu é a  tensão  última  e σr é a tensão de ruptura

Ruptura nos materiais dúcteis ocorre por tensões 

de cisalhamento

• Quando  o  carregamento  atinge um  certo  valor  máximo,  o diâmetro  do  CP  começa  a diminuir  (estricção),  devido  àperda de resistência local

• Após  o  início  da  estricção,  um carregamento  mais  baixo  ésuficiente  para  manter  o  CP  se deformando até a ruptura

• A  ruptura  se  dá segundo  uma superfície  em  forma  de  cone, que  forma  um  ângulo aproximado  de  45o com  a superfície inicial do CP

Fratura

Fratura 

• Materiais frágeis

‐ A fratura ocorre sem nenhuma mudança sensível no modo de deformação

‐ Não existe diferença entre a tensão última e a tensão de ruptura

‐ A deformação é muito menor que nos materiais dúcteis

‐ Não ocorre estricção

‐ A ruptura se dá em uma superfície perpendicular ao carregamento  ⇒via tensões normais

Fratura frágil em um navio (Callister, 2005)

Fratura

FraturaMateriais frágeis

Material frágil submetido ao ensaio de tração

Fratura

Fratura

Tensão de escoamento 

Fratura

Tensão de escoamento 

• A tensão convencional de escoamento é obtida tomando‐se no eixo das abscissas a deformação específica ε=0,2% (ou ε=0,002)

• Por este ponto traça‐se uma reta paralela ao trecho linear inicial do diagrama

• A tensão σe corresponde ao ponto de interseção dessa reta com o diagrama, sendo definida como tensão convencional a 0,2%

Determinação da tensão de escoamento convencional

Determinação da tensão de escoamento

Medidas de ductilidade

Alongamento percentual =0

0100L

LL R −

Redução percentual da área =0

0100A

AA R −

Ensaios de compressão

Estricção: não ocorre na compressão

Tensões e deformações específicas verdadeiras

0AF

=σ A área A0 é tomada antes de qualquer deformação

Área da secção transversal diminui com o aumento da carga aplicada ⇒ as tensões do diagrama tensão‐deformação não 

correspondem aos valores reais!!!

AF

V =σ Tensão verdadeira

∑∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆=∆=

LL

V εε

∫ ==L

LV LL

LdL

0 0

lnε

Tensões e deformações específicas verdadeiras

Lei de Hooke – Módulo de elasticidade

E: módulo de elasticidade do material

O limite de proporcionalidade vai até a tensão de escoamento do material

εσ E=

A rigidez do material permanece inalterada a tratamentos térmicos, ou seja, o valor de E não muda!!!

Comportamento elástico e comportamento plástico dos materiais

• Comportamento elástico ⇒ As deformações causadas por um carregamento desaparecem após a retirada do carregamento.

• Limite de elasticidade ⇒ O maior valor de tensão para o qual o material apresenta comportamento elástico.

Comportamento elástico e comportamento plástico dos materiais

O limite de elasticidade coincide com a tensão de escoamento em materiais com o limite de escoamento bem definido.

Comportamento elástico e comportamento plástico dos materiais

• Se o material atingir o limite de escoamento  e  se  deformar, quando  a  carga  é retirada  as tensões  e  deformações decrescem de maneira linear

• O fato de ε não voltar ao ponto zero  indica  que  o  material sofreu  uma  deformação plástica ou permanente.

Comportamento elástico e comportamento plástico dos materiais

• Materiais  sem  limite  de escoamento  bem  definido ⇒adota‐se  o  limite  de  tensão convencional  de  escoamento como  o  ponto  onde  a deformação plástica se inicia

Comportamento elástico e comportamento plástico dos materiais

• Aumento do limite de proporcionalidade e elasticidade ⇒ recuperação de resistência

• Ductilidade (medida no ponto D) ⇒ diminui

Curva de carregamento‐descarregamento

Fadiga

• Ocorre quando após inúmeros ciclos de carregamento o material fratura, mesmo sobre tensões bem inferiores a sua tensão última.

• A ruptura é sempre frágil, mesmo para materiais dúcteis.

Limite de duração: a ruptura não ocorre mesmo para um grande número de ciclos

Deformação de barras sujeitas à carregamento axial

Eεσ =

AEP

E==

σε

Lεδ =AEPL

=δ

Se    as  forças  forem  aplicadas  em  outros  pontos,  ou  se  a  barra consiste de várias partes  com diferentes  secções  transversais ou compostas  de  diferentes  materiais,  devemos  dividi‐la  em segmentos. 

∑=i ii

ii

EALPδ

AEPdxdxd == εδ

∫=L

AEPdx

0

δ

Deformação de barras sujeitas à carregamento axial

Problema resolvido 2.1

Determine a deformação da barra de aço da figura sob a ação das cargas indicadas (E=200GPa)

mLL 3,021 ==26

21 10600 mxAA −==26

3

3

10200

4,0

mxA

mL−=

=

NxkNP

NxkNP

NxkNP

33

32

31

10200200

10100100

10400400

==

−=−=

==

( )( ) ( )( ) ( )

mmmxx

xx

xx

xx

ALP

ALP

ALP

EEALP

i ii

ii

75,231075,210200

)400,0(1020010600

300,01010010600

300,01040010200

1

1

6

3

6

3

6

3

9

3

33

2

22

1

11

=−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++==

−−−

∑

δ

δ

Barras com duas extremidades livres

A deformação da barra é medida pelo deslocamento 

relativo das suas extremidades

AEPL

ABAB =−= δδδ /

Problema Resolvido 2.1

A barra rígida BDE é suspensa por duas hastes AB e CD. A haste AB é de alumínio (E=70GPa) com área da secção transversal de 500mm2; a haste CD é de aço(E=200GPa) com área da secção transversal de 600mm2. Para a força de 30kN determine: a) deslocamento de B; b)deslocamento de D; deslocamento de E.

Corpo livre BDE

∑∑

=

=

0

0

D

B

M

M( )( ) ( )

( )( ) ( )kNF

mFmkNkNF

mFmkN

AB

AB

CD

CD

6002,04,030

9002,06,030

−==−−

==+−

Força trativa

Força compressiva

a) Deslocamento de B

( )( )( )( ) mx

PaxmxmNx

AEPL

B6

926

3

105141070105003,01060 −

− −=−

==δ

mmB 514,0=δ

O sinal negativo indica uma contração da barra AB, e em consequência, o deslocamento para cima de B:

b) Deslocamento de D

( )( )( )( ) mx

PaxmxmNx

AEPL

D6

926

3

103001020010600

4,01090 −− ===δ

mmD 300,0=δ

c) Deslocamento de E

Sejam B’ e D’ as posições de B e d após o deslocamento. Como a barra BDE é rígida, os pontos B’, D’ e E’ estão em uma linha reta, e podemos escrever:

HDBH

DDBB

=''

HDHE

DDEE

=''

( )x

x−=

2003,0

514,0 mmx 7,73=

7,737,73400

3,0+

=Eδ mmE 928,1=δ