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Funções Hiperbólicas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Funções hiperbólicas
1.Introdução
2.Função seno hiperbólico
3.Função cosseno hiperbólico
4.Função tangente hiperbólica
5.Função cotangente hiperbólica
6.Função secante hiperbólica
7.Função cossecante hiperbólica
8.Outras funções hiperbólicas
9.Identidades
3
Certas combinações das funções exponenciaisex e e-x surgem frequentemente em matemática esuas aplicações e, por isso, merecem nomes especiais.Elas são análogas de muitas formas às funçõestrigonométricas e possuem a mesma relação com ahipérbole que as funções trigonométricas têm com ocírculo. Por essa razão são chamadas funçõeshiperbólicas, particularmente seno hiperbólico,cosseno hiperbólico e assim por diante.
1. Introdução
4
A função seno hiperbólico é definida por
O domínio e a imagem são o conjunto de todosos números reais, cujo gráfico apresenta-se a seguir.
2. Função seno hiperbólico
senh2
x xe ex
−−=
5
2. Função seno hiperbólico
senh x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
6
A função cosseno hiperbólico é definida por
O domínio é o conjunto de todos os númerosreais e a imagem é o conjunto de todos os números nointervalo [1, +∞), cujo gráfico apresenta-se a seguir.
3. Função cosseno hiperbólico
cosh2
x xe ex
−+=
7
3. Função cosseno hiperbólico
cosh x
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
8
A função tangente hiperbólica é definida por
O domínio é o conjunto de todos os númerosreais e a imagem é o conjunto de todos os números nointervalo ]-1, 1[, cujo gráfico apresenta-se a seguir.
4. Função tangente hiperbólica
senhtgh
cosh
x x
x x
x e ex
x e e
−
−−= =+
9
4. Função tangente hiperbólica
tgh x
-2
-1
0
1
2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
10
A função cotangente hiperbólica é definidapor
O domínio é o conjunto ℜ - {0} e a imagem é oconjunto de todos os números no intervalo]-∞, -1[ U ]1, ∞[, cujo gráfico apresenta-se a seguir.
5. Função cotangente hiper-bólica
coshcotgh
senh
x x
x x
x e ex
x e e
−
−+= ==−
11
5. Função cotangente hiper-bólica
cotgh x
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-3 -2 -1 0 1 2 3
12
A função secante hiperbólica é definida por
O domínio é o conjunto dos números reais e aimagem é o conjunto de todos os números no intervalo]0, 1], cujo gráfico apresenta-se a seguir.
6. Função secante hiperbólica
1 2sech
cosh x xx
x e e−= =+
13
sech x
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
6. Função secante hiperbólica
14
A função cossecante hiperbólica é definidapor
O domínio é o conjunto ℜ - {0} e a imagem é oconjunto ℜ - {0}, cujo gráfico apresenta-se a seguir.
7. Função cossecante hiper-bólica
1 2cossech
senh x xx
x e e−= =−
15
7. Função cossecante hiper-bólica
cossech x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
16
As funções hiperbólicas também podem serreescritas em função de ex e e-x, como segue:
tgh cotgh
2 2sech cossech
x x x x
x x x x
x x x x
e e e ex x
e e e e
x xe e e e
− −
− −
− −
− += =+ −
= =+ −
8. Outras funções hiperbólicas
17
Existem identidades satisfeitas pelas funçõeshiperbólicas que são similares àquelas satisfeitaspelas funções trigonométricas, cujas demonstraçõesencontram-se a seguir.
2 2
2 2 2 2
1tgh cosh senh 1
cotgh
1 tgh sech 1 cotgh cossech
x x xx
x x x x
= − =
− = − = −
9. Identidades
18
Como
decorre que
senh coshtgh e cotgh
cosh senh
x xx x
x x= =
1tgh
cotgx
x=
9. Identidades
19
Em
provamos a identidade substituindo pelas definiçõesde cosh x e senh x.
2 2cosh senh 1
x x− =
2 2 2 2 2 2
2
2 22 2 4 4
x x x x x x x x x x x x
x
e e e e e e e e e e e e
e
− − − − − − + − + + − +− = − =
22 x x xe e e− −+ + 2xe− 22 x x xe e e− −+ − 2 2 2 21
4 4 4
x x x xe e e e− −+ += = =
9. Identidades
20
Em
provamos a identidade substituindo tgh x pela suadefinição em função de cosh x e senh x.
2 21 tgh sech
x x− =
2 2 22
2 2 2
senh cosh senh 11 sech
cosh cosh cosh
x x xx
x x x
−− = = =
9. Identidades
21
Em
provamos a identidade substituindo cotgh x pela suadefinição em função de cosh x e senh x.
2 21 cotgh cossech
x x− = −
2 2 2 2 2
2 2 2
22
cosh senh cosh cosh senh1
senh senh senh
1cossech
senh
x x x x x
x x x
xx
− −− = = − =
= − = −
9. Identidades
22
Empregando as seguintes relações, obtidas dasdefinições de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico
pode-se provar as seguintes identidades:
cosh senh
cosh senh
x
x
x x e
x x e−
+ =
− =
senh( ) senh x cosh y cosh x senh y
cosh( ) cosh x cosh y senh x senh y
x y
x y
+ = ⋅ + ⋅+ = ⋅ + ⋅
9. Identidades
23
Partindo da definição da função senohiperbólico
obtemos
senh 2
x xe ex
−−=
( ) ( )( ) 1
senh 2 2
x y x yx y x ye e
x y e e e e+ − +
− −−+ = = ⋅ − ⋅
9. Identidades
24
Entretanto
Assim sendo:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
cosh senh cosh senh1senh
2 cosh senh cosh senh
cosh cosh1senh
2
x x y yx y
x x y y
x yx y
+ ⋅ + −+ =
− ⋅ −
⋅+ =
cosh senh senh cosh senh senhx y x y x y+ ⋅ + ⋅ + ⋅
cosh coshx y
−
⋅ cosh senh senh cosh senh senhx y x y x y+ ⋅ + ⋅ − ⋅
( ) [ ]( )
1senh 2 cosh senh 2 senh cosh
2senh senh cosh cosh senh
x y x y x y
x y x y x y
+ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
+ = ⋅ + ⋅
cosh senh
cosh senh
x
x
x x e
x x e−
+ =
− =
9. Identidades
25
Partindo da definição da função cossenohiperbólico
obtemos
cosh 2
x xe ex
−+=
( ) ( )( ) 1
cosh 2 2
x y x yx y x ye e
x y e e e e+ − +
− −++ = = ⋅ + ⋅
9. Identidades
26
Entretanto
Assim sendo:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
cosh senh cosh senh1cosh
2 cosh senh cosh senh
cosh cosh cosh senh1cosh
2
x x y yx y
x x y y
x y x yx y
+ ⋅ + ++ =
− ⋅ −
⋅ + ⋅+ =
senh coshx y+ ⋅ senh senh
cosh cosh cosh senh
x y
x y x y
+ ⋅ +
⋅ − ⋅ senh coshx y− ⋅
( ) [ ]( )
senh senh
1cosh 2 cosh cosh 2 senh senh
2cosh cosh cosh senh senh
x y
x y x y x y
x y x y x y
+ ⋅
+ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
+ = ⋅ + ⋅
cosh senh
cosh senh
x
x
x x e
x x e−
+ =
− =
9. Identidades
