1

2019-1 1

Aula 4 – Indutores e Transformadores

Circuitos RC

2019-1 2

O Indutor

• Corrente elétrica passando em um condutor → campo magnético

– Neste caso o densidade de fluxo magnético gerado é

– Onde

• i é a corrente que circula pelo fio

• r é a distância do fio onde o campo é medido

• µ0 é a permeabilidade magnética do espaço (ar / vácuo)

r

iB

.2

.0

π

µ=

×= −

A

mT .

A

N 104

2

7

0 πµ

2

2019-1 3

• No caso de um solenóide a seqüência de espiras

concentra as linhas de campo aumentando o

campo magnético no interior do mesmo

– Neste caso campo magnético é dado por

• Se for inserido um núcleo de material

ferromagnético no interior do solenóide o campo

magnético será aumentado em função das

propriedades do material empregado

– Então o campo magnético poderá ser escrito como

– Onde k é a permeabilidade magnética relativa do

material empregado

L

NninB =→= ..0µ

inkB ... 0µ=

2019-1 4

Definição de Indutância

• Indutância pode ser definida como o comportamento de uma bobina resistindo á

variação da corrente que circula nela.

• Baseado na lei de Faraday a indutância pode ser escrita em termos da tensão

gerada em oposição à variação da corrente

3

2019-1 5

Indutância de uma bobina

• Lei de Faraday

2019-1 6

4

2019-1 7

• Materiais magnéticos

– Compostos por domínios magnéticos

– Ao ser aplicado um campo externo os domínios se alinham gerando uma magnetização dada

por

– Onde

• M é a magnetização do material

• χm é a suscetibilidade magnética do material

• H é o intensidade do campo magnético externo aplicado

– Mas

– logo

HM m

rr.χ=

( ) ( ) HHMHB m

rrrr..1.. 00 µχµµ =+=+=

0

0 .µ

µµµ =→= kk

( )1−= kmχ

2019-1 8

Magnetic permeability & susceptibility for selected materials

Medium Susceptibility Permeability (µµµµ)

Mu-metal 20,000 25,000 µN/A2 at 0.002 T

Permalloy 8000 10,000 µN/A2 at 0.002 T

Transformer iron with ρ=0.01 µΩ·m 4000 5000 µN/A2 at 0.002 T

Steel 700 875 µN/A2 at 0.002 T

Nickel 100 125 µN/A2 at 0.002 T

soft ferrite with ρ=0.1 Ωm source, ferroxcube 5000 µN/A2 < 0.1 mT

soft ferrite with ρ=10 Ωm source, ferroxcube 2500 µN/A2 < 0.1 mT

Platinum 2.65 × 10−4 1.2569701 µN/A2

Aluminum 2.22 × 10−5 1.2566650 µN/A2

Hydrogen 8 × 10−9 or 2.2 × 10−9 1.2566371 µN/A2

Vacuum 0 1.2566371 µN/A2

Sapphire −2.1 × 10−7 1.2566368 µN/A2

Copper −6.4 × 10−6 or −9.2 × 10−6 1.2566290 µN/A2

Water −8.0 × 10−6 1.2566270 µN/A2

From Wikipedia

A permeabilidade depende de B e varia com a freqüência

5

2019-1 9

• Coercividade e Remanência

Material Coercivity (T) Remanence (T) (BB0/µ0)max(kJ/m3)

BaFe12O19 0.36 0.36 25

Alnico IV 0.07 0.6 10.3

Alnico V 0.07 1.35 55

Alcomax I 0.05 1.2 27.8

MnBi 0.37 0.48 44

Ce(CuCo)5 0.45 0.7 92

SmCo5 1.0 0.83 160

Sm2Co17 0.6 1.15 215

Nd2Fe14B 1.2 1.2 260

Data from hyperphysics

2019-1 10

O indutor real

• Símbolo

– Núcleo

A. Ar

B. Ferrite

C. Ferro laminado

• Valores

– nH nano-Henrys

– µH micro-Henrys

– mH mili-Henrys

• Tolerâncias

– Mais comum + 10%

• Esquema Interno

• Aplicações

– Filtros RL

• Passa baixa

– Circuitos tanque LC

• Osciladores

6

2019-1 11

• Série

– Como a corrente que circula por ambos os indutores é a mesma a tensão

gerada à uma variação de corrente será

Associação de Indutores

21

21

2121

e então

mas

LLL

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diLV

dt

diL

dt

diLVVV

+=

−−=−

−=−−=+=

L1

L2

V +

-

+

-

2019-1 12

• Paralelo

– A tensão gerada por ambos os indutores em oposição à uma variação de

corrente será dada por

21

21

21

21

111

e .1

.1

.1

então

.1

mas .1

.1

LLL

dtVL

dtVL

dtVL

dtVL

idtVL

dtVL

i

iii

+=

+=

=+=

+=

∫∫∫

∫∫∫

L1 L2V

+

-

+

-

7

2019-1 13

Comportamento do indutor num circuito CA

• Como vimos na aula de circuitos a tensão gerada no indutor é dada por

dt

diLv .=

No capacitor

2019-1 14

• Neste caso a potência que atravessa o indutor é menor que para um resistor em função da

defasagem

8

2019-1 15

Reatância Indutiva

• Como no resistor ao ser submetido a uma diferença de potencial CA uma corrente

vai circular através do indutor

– Difere do resistor pois depende da Freqüência da fonte

– A reatância de um indutor será dada por

LfLX L ..2. πω ==

Freqüência (Hertz) Reatância (Ohms)

60 3,7699

120 7,5398

2500 157,0796

Reatância de um indutor de 10 mH

2019-1 16

Fator de Mérito de um Indutor

• Considerando o circuito real de um indutor

– O fator de mérito (Qualidade) será dada por

R

XQ L=

9

2019-1 17

Tipos de Indutores

• Núcleo de Ar

• Núcleo de ferrite

2019-1 18

• Núcleo de ferrite toroidal

• Ajustável

10

2019-1 19

• SMD

Data sheet

2019-1 20

Transformadores

• Transfere energia elétrica de um circuito para o outro através de um campo

magnético compartilhado

– A tensão induzida em uma bobina devido à uma variação do fluxo magnética é

dada por (Lei de Faraday)

– Em um transformador o fluxo magnético é o mesmo tanto no circuito primário

quanto no secundário

– então

dt

dNV

φ=

dt

dNV

dt

dNV SSPP

φφ== e

P

S

P

S

S

S

P

P

N

N

V

V

N

V

N

V== ou

11

2019-1 21

• Transferência de Potência

– Ligando o secundário a uma carga a transferência de potencia é praticamente unitária

– Eficiência > 95 % (uma das maquinas elétricas mais eficientes)

– Logo

– então

– Isto implica em:

• A tensão no secundário é menor que no primário a corrente no secundário é maior que no

primário

• Vale o oposto também

SSoutPPin iVPiVP .. ===

S

P

P

S

P

S

i

i

N

N

V

V==

2019-1 22

• Perdas de fluxo

– Algumas linhas de fluxo saem do núcleo reduzindo a eficiência

– Se manifesta como uma auto-indutância

– Em alguns casos é interessante empregar transformadores com

elevada perda de fluxo

• Usados em cargas que apresentam resistência negativa

– Lâmpadas de descarga em gás

– Soldadores a arco

• Efeito da Freqüência

– Como a tensão induzida no transformador aumenta com a freqüência

de acordo com a equação

• Onde

– f freqüência

– N número de espiras

– a área da secção transversal do núcleo

– B densidade de fluxo magnético

– Em função disto

• Quanto maior a freqüência de operação

– Maior impedância do primário / secundário menos enrolamento

– Fluxo varia mais rápido menor chance de saturação menor volume

– Aumento do “skin effect” aumenta a dissipação

– Em aviões f = 400 Hz menor volume/peso de transformadores

BaNfV ....44,4=

“ Skin effect” para o Cobre

FreqüênciaSkin

Thickness

60 Hz 8.57 mm

10 kHz 0.66 mm

100 kHz 0.21 mm

1 MHz 66 µm

10 MHz 21 µm

12

2019-1 23

• Perdas de energia

– Resistência do enrolamento

• Aquecimento resistivo

• “skin effect”

• Efeito de proximidade (interação entre correntes de enrolamentos diversos)

– Histerese

• A inverter o campo é necessário eliminar o campo remanente no núcleo

– Correntes de Foucault (Correntes de Fuga, Eddy currents)

• Surgem quando o fluxo de campo magnético varia sobre um condutor

• Gera aquecimento resistivo

– Magnetostricção

• Variações dimensionais do núcleo induzidas pela variação do fluxo

– Perdas Mecânicas

• Provocada pela atração magnética entre primário e secundário

– Perdas espúrias

• Linhas de campo interceptando estruturas metálicas externas geram

correntes de fuga e calor

2019-1 24

Tipos de Transformadores

• Normais

– Símbolos

A. Núcleo de ar (1:1)

B. Núcleo de ferro ( redutor)

C. NF – Secundário duplo – um com derivação

• Autotransformador

– Símbolo

• Transformadores ressonantes

– Bobina de automóvel

– Fly-back (televisores)

13

2019-1 25

• Transformadores de instrumentação

– Transformadores de corrente

• Medida de corrente em circuitos elétricos CA

– Transformadores toroidais

• Mais eficientes

– Menos perdas

2019-1 26

Circuitos RC

(Prática - Demonstrativa)

14

2019-1 27

Impedância

• A impedância de um circuito tem sempre

– Parte real

– Parte imaginária

– Logo

– Para o resistor o capacitor e o indutor temos

imagReal .ZjZZtotal +=

o

o

90 fase .0..0

-90 fase .0.

1.0

0.

+<+=+=

<−=−=

+=

LL

CC

R

XjLjZ

XjC

jZ

jRZ

ω

ω

1−=j

2019-1 28

Filtros RC

• Filtro passa baixa

– Composto por um resistor em série com um capacitor

– O capacitor está em paralelo com a entrada e a saída de sinal

– A corrente que circula no circuito é dada por

– mas

– neste caso o Zeficaz da associação em série é dado por

( )( )ω

ω

Z

VI in=

( ) ( )ωω CXjRZ .−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )ωω

ωωωωω

22

*..

CeffRC

CCRCRCeffRC

XRZ

XjRXjRZZZ

+=

+×−=×=

15

2019-1 29

• Assim a corrente no par RC é redefinida como

– que implica em

• A tensão sobre o capacitor pode ser definida como

– então o GANHO do circuito pode ser escrito como

( )( )ω

ω

eff

in

Z

Vi =

( )( )

( ) 2

2

22

.

1

.

1

.

.

+

=+

====

CR

C

XR

X

Zi

Zi

V

V

V

Vg

C

C

eff

effC

RC

C

in

out

RC

ω

ω

ω

ωω

( ) ( )ωω ineffRC VZiV == .

( ) ( )outCCeffCC VXiXjiZiV ==−== ....

2ω

( )( )2

..1

1

CRV

Vg

in

out

ωω

+==

2019-1 30

• A diferença de fase entre entrada e saída neste caso é dada por

• Neste circuito a freqüência característica é dada por

( ) ( )CRCi

Ri

V

V

C

R ..tan.

.tantan 111 ω

ωωφ −−− =

=

=

( ) ( )CR..tan 1 ωωφ −=

CXRCR

=⇒= .

10ω

CRf

CR ..2

1 rad/s

.

10

πω =⇒=

16

2019-1 31

2019-1 32

• Filtro passa alta

– Composto por um capacitor em série com um resistor

– O resistor está em paralelo com a entrada e a saída de sinal

– neste caso o Zeficaz da associação em série não muda e é dado por

– Neste caso a tensão de entrada também é igual ao caso anterior

– como a tensão no resistor é

( ) ( )ωω22

CeffRC XRZ +=

( )ωoutR VRiV == .

( ) ( )ωω ineffRC VZiV == .

17

2019-1 33

– então o GANHO do circuito pode ser escrito como

– E a diferença de fase como

( )( ) 2

2

22

.

1.

.

+

=+

====

CR

R

XR

R

Zi

Ri

V

V

V

Vg

CeffRC

R

in

out

RC

ω

ωω

( )( )2

..1

..

CR

CR

V

Vg

in

out

ω

ωω

+==

( )

=

=

= −−−

CRRi

Ci

V

V

R

C

..

1tan

.

.tantan

111

ω

ωωφ

( )

= −

CR..

1tan 1

ωωφ

2019-1 34

18

2019-1 35

Circuito Integrador

• Como no filtro passa baixas

• Considerando apenas altas freqüências tal que

– O capacitor não tem chance para carregar completamente

– Sua carga é baixa tensão no circuito ≅ tensão no resistor

– então

– logo

( ) ( ) ( )2

222

.

1...

+=+==

CRiXRiZiV CeffRCin

ωωωω

CR.

1>>ω

RiVin .≅

CR

.

1

ω>>

2019-1 36

– Portanto

– e consequentemente

dtR

V

Cdti

CC

qVV in

Cout .1

.1∫ ∫≅===

∫≅ dtVCR

V inout ..

1

19

2019-1 37

Circuito Diferenciador

• Como no filtro passa altas

• Considerando apenas baixas freqüências tal que

– O capacitor se carrega quase completamente

– Sua carga é alta tensão no circuito ≅ tensão no capacitor

– então

– logo

( ) ( ) ( )2

222

.

1...

+=+==

CRiXRiZiV CeffRCin

ωωωω

CR.

1<<ω

C

iVin

.ω≅

CR

.

1

ω<<

2019-1 38

– Portanto

– e consequentemente

( )dt

dVCR

dt

VCdR

dt

dqRRiVV CC

Rout ...

... =====

dt

dVCRV in

out .≅

20

2019-1 39

FIM