Aula 4: A solucao de Schwarzschild 4-1

Introducao a Relatividade e ao seu Ensino 2/2019

Aula 4: A solucao de Schwarzschild

Profa. Raissa F. P. Mendes

Einstein publicou a forma final das equacoes de campo da Relatividade Geral em 25 de novembro de1915: um conjunto de dez equacoes nao lineares acopladas para as componentes da metrica espaco-temporal. Einstein imaginava que as equacoes da RG eram tao complicadas que seria difıcil ouimpossıvel encontrar solucoes exatas, mesmo no vacuo, e que deverıamos nos contentar com solucoesaproximadas. Mas, algumas semanas depois do trabalho de novembro de 1915, Karl Schwarzschild,um fısico alemao que estava servindo no exercito alemao na fronte russa da primeira guerra mundial,encontrou a primeira solucao exata (no vacuo) das equacoes de Einstein (apresentada em 13 dejaneiro de 1916) e, quatro meses depois, uma segunda solucao exata, na presenca de materia. (Noentanto, em junho de 1916, Schwarzschild faleceu devido a uma doenca contraıda no fronte russo...)

A solucao de Schwarzschild e uma solucao muito simples, mas muito relevante fisicamente: eladescreve o espaco-tempo fora de uma distribuicao esfericamente simetrica e estatica de massa. E,portanto, diretamente relevante, por exemplo, para a descricao da fısica no sistema solar: de fato,efeitos como o avanco do perielio de Mercurio ou a deflexao da luz pelo Sol podem ser obtidos deuma forma simples e elegante usando a solucao descoberta por Schwarzschild.

4.6 A metrica de Schwarzschild

A metrica de Schwarzschild e uma solucao exata das equacoes da Relatividade Geral no vacuo. Elaassume sua forma mais simples num sistema de coordenadas {ct, r, θ, φ}, sendo dada por

ds2 = −(

1− rgr

)c2dt2 +

1

1− rg/rdr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2. (4.25)

A constante rg, conhecida como raio gravitacional ou raio de Schwarzschild, e um parametro livre,que depende da massa M que gera a deformacao no espaco-tempo, da forma:

rg =2GM

c2. (4.26)

Algo que ja aprendemos sobre Relatividade e que nao devemos atribuir um significado fısico imediatoas coordenadas. Entao, vamos comecar explorando o significado das coordenadas {ct, r, θ, φ} e suarelacao com tempos, angulos e distancias.

4.6.1 Simetria esferica: θ e φ

O elemento de linha do espaco euclidiano em coordenadas esfericas e dado por

ds2 = dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2).

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Da mesma forma, o intervalo espaco-temporal da Relatividade Restrita pode ser escrito em coor-denadas esfericas como

ds2 = −c2dt2 + dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2).

Esse sao casos de espacos com simetria por rotacoes ao redor da origem, ou simetria esferica.Da mesma forma, cada superfıcie com t e r constantes no espaco-tempo de Schwarzschild tem ageometria de uma esfera, com elemento de linha dl2 = r2(dθ2 + sin2 θdφ2). A coordenada r estaassociada ao “raio” da esfera, no sentido, por exemplo, de que a circunferencia de cada esfera e 2πre sua area e 4πr2. Note, porem, que r nao esta relacionado, a princıpio, com a distancia da esferaate o “centro”. O centro nao faz parte da esfera e um espaco com simetria esferica nem precisa terum centro, como mostra a figura abaixo!

Figura 4.4: Ilustracao de um “buraco de minhoca”; exemplo de espaco com simetria esferica massem um “centro”.

4.6.2 Curvatura do espaco: r

A coordenada r rotula as sucessivas esferas e determina seu “tamanho”. Note que, quando r →∞,ou seja, muito longe do centro de atracao, a metrica (4.25) tende a metrica de Minkowski (emcoordenadas esfericas). Muito longe, podemos desprezar a existencia do objeto massivo, e o espaco-tempo se comporta como o da Relatividade Restrita. O mesmo acontece no limite em que M tendea zero.

Para entendermos melhor o significado da coordenada radial, considere duas esferas adjacentes,rotuladas por r e r + dr. Pergunta: qual e a distancia entre elas? Imagine uma regua ao longo dadirecao radial entre as duas cascas esfericas. No mesmo “instante de tempo” t (que, como veremosabaixo, e proporcional ao tempo proprio de um observador parado na casca esferica), lancamos doisrojoes em cada extremidade da regua. A distancia entre as duas esferas, dl, pode ser entendidacomo (a raiz quadrada d)o intervalo espaco-temporal entre esses dois eventos:

dl2 = ds2 =dr2

1− rg/r−→ dl =

dr√1− rg/r

(4.27)

A distancia (fısica) se reduz a distancia coordenada (dl ≈ dr) quando nos afastamos no centroatrator (r →∞), mas aumenta a medida que nos aproximamos dele.

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Visualizando a parte espacial da geometria de Schwarzschild. Existem varias formas detentarmos visualizar aspectos da geometria de Schwarzschild; nenhuma, porem, e completa. Umavisualizacao parcial e obtida da parte espacial da metrica de Schwarzschild. Congele o tempo (t =cte) e se concentre no plano equatorial (θ = π/2). O intervalo espaco-temporal entre dois eventosnessa superfıcie e

ds2 =1

1− rg/rdr2 + r2dφ2.

Essa superfıcie pode ser representada como nas figuras abaixo. O raio r de cada cırculo e acoordenada radial r. Nos adicionamos uma dimensao vertical ao diagrama e a ajustamos de modoque a distancia, ao longo da superfıcie, entre um cırculo de raio r e um cırculo de raio r+dr seja dl,como dado pela Eq. (4.27). A figura resultante e um paraboloide de revolucao. Ela ilustra o fatode que dl > dr, uma manifestacao da curvatura desse espaco. Note que o tempo nao entra nessediagrama: ele nao acomoda diretamente o movimento de nada (partıculas ou raios de luz)! Notetambem que a razao dl/dr aumenta sem limites quando r → rg: discutiremos isso mais tarde!

Figura 4.5: Diagrama de imersao de uma secao espacial da metrica de Schwarzschild.

4.6.3 O tempo distante: t

Que observador mede a coordenada temporal t como seu tempo proprio? Considere observadoresestaticos, ou seja, observadores em repouso em diferentes valores da coordenada radial r. Ao longode sua linha de mundo, r nao varia, nem θ, nem φ. Temos, portanto, que o tempo proprio dessesobservadores e dado por

dτ2 = −ds2/c2 =(

1− rgr

)dt2 −→ τ = t

√1− rg

r. (4.28)

Quando r → ∞, ou seja, muito longe do centro atrator, τ → t: a coordenada t e o tempo propriomedido por observadores estaticos muito distantes.

Para observadores estaticos mais proximos do centro atrator, o tempo proprio e alterado, segundoa relacao (4.28). Note que essa expressao e consistente com o efeito de dilatacao temporal gravi-tacional, que estudamos no contexto Newtoniano: com relacao a um relogio distante, o tempo derelogios estacionarios mais proximos do centro atrator passa mais devagar.

Outro efeito relacionado e o de redshift gravitacional. Considere dois raios de luz emitidos comum intervalo ∆τA por um observador estatico em r = rA, e recebidos com um intervalo ∆τB porum observador estatico em r = rB < rA. Qual e a relacao entre ∆τA e ∆τB? Uma vez que oespaco-tempo e estatico, nao importa qual e a trajetoria do primeiro raio de luz de A a B; o queimporta e que a trajetoria do segundo raio de luz sera congruente a primeira! Isso implica que ointervalo de tempo coordenado, ∆t, entre os dois eventos de emissao e os dois eventos de recepcaoe o mesmo! Portanto, usando que ∆τA = ∆t

√1− rg/rA e ∆τB = ∆t

√1− rg/rB, temos que

∆τB = ∆τA

√1− rg/rB1− rg/rA

.

Se rB � rg, isso se reduz a

∆τB = ∆τA

(1 +

GM

rAc2− GM

rBc2

)< ∆τA

que pode ser mais facilmente comparada a formula Newtoniana que derivamos antes.

Interpretado em termos do perıodo do raio de luz e de sua frequencia, esse resultado implica quea frequencia do raio de luz aumenta no trajeto de A a B. De forma equivalente, a luz emitida,digamos, pela superfıcie de uma estrela, e medida por um observador distante como tendo umafrequencia menor; dizemos que houve um desvio para o vermelho, ou redshift, gravitacional. O queacontece no limite em que r → rg?

4.6.4 O raio de Schwarzschild

Da metrica de Schwarzschild fica aparente que algo “da errado” quando r assume o valor especialr = rg. O termo temporal vai a zero e a componente radial aumenta sem limites quando isso ocorre.Note, porem, que tipicamente rg e bastante pequeno. Inserindo a massa do Sol na expressao (4.26),encontramos que o raio de Schwarzschild do Sol e de apenas 3km. Esta escondido, portanto, nointerior do Sol, numa regiao em que a metrica do espaco-tempo difere da Eq. (4.25), por nao seruma regiao de vacuo. Mas somos levados a contemplar a seguinte questao. O raio do Sol e deaproximadamente 700.000 km. A metrica de Schwarzschild descreve o espaco-tempo fora dessaregiao. Uma ana branca, com a massa do Sol, tem raio de cerca de 5.000 km (aproximadamente oraio da Terra). Uma estrela de neutrons, com a massa do Sol, tem raio de cerca de 10 km: umaparcela cada vez maior da geometria de Schwarzschild e descortinada. Poderia existir um corpotao compacto cujo raio fosse menor ao raio de Schwarzschild, de modo que este ficasse exposto?A resposta e que tal corpo nao poderia ser uma estrela: nenhum tipo de materia pode apresentara pressao necessaria para manter-se em equilıbrio numa regiao tao pequena. Mas esse objeto -um buraco negro - pode resultar do colapso gravitacional de uma estrela. Entao, a metrica deSchwarzschild pode ser aplicada em quase todo o espaco. O que um observador veria ao atravessaro raio de Schwarzschild?!

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