AULA 4AULA 4Análise de FourierAnálise de Fourier

EE –05Princípios de Telecomunicações

Propriedades da Transformada de Propriedades da Transformada de FourierFourier

DualidadeDualidade)(f2)]t(F[)(F)]t(f[

FiltrosFiltros Com a análise feita anteriormente, é Com a análise feita anteriormente, é

possível se analisar filtros.possível se analisar filtros. Os filtros podem ser caracterizados em Os filtros podem ser caracterizados em

passa baixas, passa faixas e passa altas.passa baixas, passa faixas e passa altas.

Filtro passa baixas ideal:Filtro passa baixas ideal:

FiltrosFiltros

Filtro passa-altas ideal(espectro unilateral)Filtro passa-altas ideal(espectro unilateral)

FiltrosFiltros

Filtro passa faixa (espectro unilateral)Filtro passa faixa (espectro unilateral)

FiltrosFiltros

Filtro Rejeita Faixa ideal (espectro unilateral)Filtro Rejeita Faixa ideal (espectro unilateral)

Translado em freqüência e Translado em freqüência e modulaçãomodulação

)(F]e).t(f[)(F)]t(f[ 0tj 0

V(f)

f-w w0

V(f)V(f)

A

Exemplo 1Exemplo 1 Determine o espectro de freqüências do Determine o espectro de freqüências do

sinal modulado s(t).sinal modulado s(t).

Onde v(t)=rect(t)Onde v(t)=rect(t)2ee )t(v)tcos( )t(v)t(s

tf2jtf2j

c

cc

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Exemplo 1Exemplo 1

A transformada de Fourier do Sinal é dada A transformada de Fourier do Sinal é dada porpor

)2

(sinc)]t(rect[)]t(f[

0 10 20 30 40 50 600

10

20

30

40

50

60

70

Exemplo 1Exemplo 1 Aplicando-se a propriedade de translado em Aplicando-se a propriedade de translado em

freqüência tem-se que:freqüência tem-se que:

2)fcf(V

2)fcf(V

]2e).t(v[]

2e. )t(v[)]tcos( )t(v[)f(S

tf2jtf2j

c

cc

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

5

10

15

20

25

30

ConvoluçãoConvolução Sejam duas funções fSejam duas funções f11(t) e f(t) e f22(t) dadas. (t) dadas.

Define-se a convolução entre estas funções Define-se a convolução entre estas funções como sendo:como sendo:

Propriedades da convoluçãoPropriedades da convolução

d)t(f).(f)t(f*)t(f 2121

)t(f*)t(f)t(f*)t(f)]t(f)t(f[*)t(f)]t(f*)t(f[*)t(f)t(f*)]t(f*)t(f[

)t(f*)t(f)t(f*)t(f

3121321

321321

1221

Convolução – Interpretação Convolução – Interpretação gráficagráfica

Tomemos inicialmente dois sinais Tomemos inicialmente dois sinais retangulares fretangulares f11(t)=rect(t) e f(t)=rect(t) e f22(t)=rect(t), (t)=rect(t), façamos a convolução entre elas.façamos a convolução entre elas.

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Convolução – Interpretação Convolução – Interpretação gráficagráfica

A convolução no instante tA convolução no instante t00 pode ser vista pode ser vista como sendo a área da intersecção entre fcomo sendo a área da intersecção entre f11(() ) e fe f22(t(t00--).).

-1.5 -1 -0.5 0 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Convolução – Interpretação Convolução – Interpretação gráficagráfica

A convolução de fA convolução de f11(t) com f(t) com f22(t) dá como (t) dá como resultado uma função chamada tri(t), como resultado uma função chamada tri(t), como se observa abaixo:se observa abaixo:

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Convolução – Interpretação gráficaConvolução – Interpretação gráfica

Convolução – Relação com a Convolução – Relação com a transformada de fouriertransformada de fourier

)t(f).t(f)](F*)(F[21

);(F).(F)]t(f*)t(f[

21211

2121

Amostragem de um sinalAmostragem de um sinal

Dado um sinal no domínio no tempo f(t), Dado um sinal no domínio no tempo f(t), cuja transformada de Fourier é F(cuja transformada de Fourier é F(), afim ), afim de amostrar este sinal, devemos utilizar uma de amostrar este sinal, devemos utilizar uma taxa com uma freqüência igual a duas vezes taxa com uma freqüência igual a duas vezes a freqüência máxima do sinal. Este é o a freqüência máxima do sinal. Este é o conhecido Teorema de Nyquist da conhecido Teorema de Nyquist da amostragem.amostragem.

O que é amostrar um sinal?O que é amostrar um sinal? Significa multiplicá-lo no tempo por um Significa multiplicá-lo no tempo por um

trem de impulsos, tal como se observa na trem de impulsos, tal como se observa na figura abaixo:figura abaixo:

Como a transformada de Fourier de um Como a transformada de Fourier de um trem de pulsos é dada por:trem de pulsos é dada por:

n

00T1

nT )n()f(rep

T1)nTt()t(rep

Qual é o impacto na Qual é o impacto na Transformada de Fourier?Transformada de Fourier?

Como houve uma multiplicação do sinal no Como houve uma multiplicação do sinal no domínio do tempo. Haverá uma convolução domínio do tempo. Haverá uma convolução no domínio transformado, ou seja, haverá no domínio transformado, ou seja, haverá uma repetição da transformada de Fourier uma repetição da transformada de Fourier em torno de cada pulso no domínio em torno de cada pulso no domínio transformado.transformado.

Teorema de Nyquist – Teorema de Nyquist – Interpretação GráficaInterpretação Gráfica

Considere um sinal, cujo transformada de Considere um sinal, cujo transformada de Fourier seja uma função tri(t), o que Fourier seja uma função tri(t), o que acontece se for amostrado a uma taxa acontece se for amostrado a uma taxa inferior a 2finferior a 2fmm, onde fm é a máxima , onde fm é a máxima freqüência do espectro do sinal?freqüência do espectro do sinal?

Resultado de amostragem em Resultado de amostragem em subnyquistsubnyquist

ExemploExemplo

Considere o sinal e sua transformadaConsidere o sinal e sua transformada

v t A f t rep t

v t A f f f fTrep f

T

T

( ) cos( ). ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

21

0

0 0 1

Utilizemos as propriedades da Utilizemos as propriedades da transformada e convoluçãotransformada e convolução

Visualmente, se a taxa for maior que a taxa Visualmente, se a taxa for maior que a taxa de Nyquist temos que a transformada de de Nyquist temos que a transformada de fourier do sinal é dada por:fourier do sinal é dada por:

Se a taxa for menor que a taxa de Nyquist Se a taxa for menor que a taxa de Nyquist temos a seguinte transformada de fourier.temos a seguinte transformada de fourier.

Sinal Sub-Nyquist reconstruído Sinal Sub-Nyquist reconstruído no tempono tempo