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Tecnólogo em Construção de Edifícios

Aula 4

Função do 2º GrauProfessor Luciano Nóbrega

1

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FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAUUma função polinomial do 2º grau é uma relação entre as variáveis “y” e “x”,

tal que f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ R, e a ≠ 0.

EXEMPLOS: f(x) = 3x2 + 2x – 3 ; f(x) = (–½).x2 – 9 ; f(x) = 5x – 2x2 ; f(x) = –x2

Determine os valores de “a”, “b” e “c” nos exemplos acima.

DEFINIÇÂO Uma função f: R ⟶ R é do 2º grau quando a todo valor de “x”

está associado um único valor y = f(x) = ax2 + bx + c, com “a”, “b” e “c” sendo

números reais e a ≠ 0FUNÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS E INCOMPLETAS Quando todos os

coeficientes de uma função do 2º grau são diferentes de zero, dizemos que

trata-se de uma função do 2º grau completa. EX:

Se os coeficientes “b” e/ou “c” de uma função do 2º grau são zero, então a

função do 2º grau é incompleta. EXS:

46 – Determine a função do 2º grau em que f(0) =1, f(1) = 3 e f(–1) = 1

47 – Dada a função f(x) = x2 – 6x + 8, determine:

a) Os coeficientes a, b e c; b) f(1) ; f(0) ; f(–2) e f(1/2)

c) O valor de x tal que f(x) = 3 d) O valor de x tal que f(x) = – 3

GABARITO–46) f(x) = x2+ x + 1

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FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

GRÁFICOS DA FUNÇÃO DO 2º GRAU

O gráfico da função do 2º determina uma curva

denominada “PARÁBOLA”. Inicialmente,

podemos construir o gráfico de uma função

do 2º grau, simplesmente, atribuindo valores

para “x” e calculando os valores de “y”.

EXEMPLO: Construa o gráfico de f(x) = x2/2 +3.

x

y

OUTRO EXEMPLO:

f(x) = 1 + 4x2 – 3x; a = , b = e c =

OBS: Toda função do 2o grau corta o eixo y no termo

independente de x, ou seja, corta o eixo y na “altura” c.

x

y

48 – Sendo “n” o número de lados de um polígono e “d”

o número de diagonais, tal que:Calcule:

a) O valor de “d”, quando n = 7

b) O valor de “n”, quando d = 27

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RAIZ DA FUNÇÃO DO 2º GRAUÉ todo número x que possui imagem nula. Isto é, f(x) = 0. As raízes da

função determinam onde o gráfico intercepta o eixo “x”.Determinando os zeros da função do 2º grau

f(x) = ax2 + bx + c

49 – Determine as raízes (ou zeros) de

cada uma das seguintes equações:

a) f(x) = 2x2 – 5x+ 9

b) f(x) = (–3/4)x2 d) f(x) = x2 – 6x + 5

c) f(x) = –x2 + 49 e) f(x) = –x2 +6x – 5

50 – Sendo x’ = (– b + √∆)/2a e x” = (– b –√∆)/2a , determine:

a) x’ + x” b) x’ . x”

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VÉRTICE DA FUNÇÃO DO 2º GRAUO vértice da parábola é o ponto extremo da função do 2º grau dado

pelo ponto

a4;

a2

bV Onde:

xv = –b/2a e yv = –∆/4a

Essas fórmulas são obtidas da seguinte maneira:

1º) Determinamos xv como sendo a média aritmética entre x’ e x”;

2º) Substituímos o valor encontrado (-b/2a), na função genérica ƒ(x) =

ax2 +bx + c, e obtemos yv.

51 – Demonstre as fórmulas para determinação do vértice da parábola.

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

52 – Observe os gráficos ao lado.

Na 1ª figura, temos os gráficos das funções f(x) = –x2,

f(x) = –x2 + 1 e f(x) = –x2 + 3

Na 2ª figura, temos os gráficos das funções f(x) = x2,

f(x) = (x + 1)2 e f(x) = (x – 3)2

x

y

x

y

O que podemos concluir à respeito do coeficiente “a”

de x2 ?

Como seria o esboço do gráfico de f(x) = –x2 –2 ?

Como seria o esboço do gráfico de f(x) = (x + 2)2 ?

Quais são os vértices dos gráficos de todas as funções anteriores?

O que podemos concluir com relação ao

eixo de simetria e o coeficiente “b”?

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O PAPEL DO DISCRIMINATE (DELTA)Quando o valor de ∆ = 0 , podemos verificar que x’ = x”.

EXEMPLO:

Sendo y = f(x) = x2 + 2x + 1, calcule o valor de delta e justifique o que

acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico.

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O PAPEL DO DISCRIMINATE (DELTA)Quando o valor de ∆ > 0 , podemos verificar que x’ ≠ x”.

EXEMPLO:

Sendo y = f(x) = x2 –4x + 3, calcule o valor de delta e justifique o que acontece

com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico.

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Quando o valor de ∆ < 0 , podemos verificar que NÃO existe raiz.

EXEMPLO:

Sendo y = f(x) = x2 –x + 2, calcule o valor de delta e justifique o que acontece

com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico.

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O PAPEL DO DISCRIMINATE (DELTA)

RESUMINDO:

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MÁXIMOS & mínimos DA PARÁBOLAExistem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está

relacionada com a questão de “MÁXIMOS” e “mínimos”.

Dependendo do sinal do coeficiente “a”, a função terá um ponto de máximo

ou um ponto de mínimo. Em ambos os casos, como já vimos, tal ponto é

denominado de vértice da parábola.

53 – Sabe-se que o custo C (em reais) para produzir x unidades de um certo

produto é dado por: C = x2 – 80x + 3000. Determine:

a) A quantidade de unidades que a empresa deveria produzir, para que seu

custo fosse mínimo.

b) O valor mínimo desse custo de produção.

54 – Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura máxima

atingida por uma bala, em metros, em função do tempo, em

segundos, é dada por h(t) = –20t2 + 200t .

Qual a altura máxima atingida pela bala?

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ESTUDO DO SINALLEMBRE-SE: Estudar o sinal de uma função significa avaliar para quais

valores de “x” temos f(x) < 0, f(x) = 0 ou f(x) > 0.

1º CASO: a > 0

2º CASO: a < 0

– –+

+ + + ++

– –+

– – – ––

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INEQUAÇÃO DO 2º GRAUUma inequação do 2º grau é uma função do 2º grau que apresenta um sinal de

desigualdade. Assim:

ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c ≤ 0 ax2 + bx + c ≥ 0

55 – Determine todos os possíveis números inteiros positivos

para os quais satisfaça a inequação x2 – 6x + 8 < 0

56 – Determine o conjunto solução da inequação 1000 < −x2 +140x −1875 < 2400

57 – Resolva em R a inequação (x2 – 25) / (–2x + 4) ≤ 058 – (Prise-2005) Ao chutar uma lata, um cientista observou que sua trajetória seguiu a lei

matemática h(t) = 6 + 4t – t², na qual h é a altura, em metros, atingida pela lata em função

do tempo t, em segundos, após o chute. Com base nesta situação e analisando as

afirmativas a seguir:

I. O gráfico que traduz a função acima descrita é uma parábola com concavidade voltada

para cima. II. A altura máxima atingida por essa lata é de 10m.

III. Essa função possui duas raízes reais. É correto afirmar que:

a) todas as afirmativas são verdadeiras b) todas as afirmativas são falsas

c) somente a afirmativa I é falsa d) somente a afirmativa II é verdadeira

e) somente a afirmativa III é verdadeira

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS59 – (UFRGS) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória

plana vertical de equação

y = –1/7x2 + 8/7x+2, na qual os valores de x e y são dados em metros. Oscar acerta o

arremesso, e o centro da bola passa pelo centro de cesta, que está a 3 metros de

altura. Determine a distância do centro da cesta ao eixo y.

60 – (UMC-SP) Uma loja fez campanha

publicitária para vender seus produtos

importados. Suponha que x dias após o

término da campanha, as vendas diárias

tivessem sido calculadas segundo a função

y = -2x2 + 20x + 150, conforme o gráfico.

Calcule:

a) depois de quantos dias, após encerrada a

campanha, a venda atingiu o valor máximo.

b) Depois de quantos dias as vendas se

reduziram a zero.

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