MEDIDASMEDIDASDESCRITIVASDESCRITIVAS

UNIVERSIDADE FEDERALUNIVERSIDADE FEDERALDA PARAÍBADA PARAÍBA

DESCRITIVASDESCRITIVAS

Departamento de EstatísticaDepartamento de EstatísticaLuiz MedeirosLuiz Medeiros

http://www.de.ufpb.br/~luiz/

►►VimosVimos queque éé possívelpossível sintetizarsintetizar osos dadosdados sobsob aaformaforma dede distribuiçõesdistribuições dede frequênciasfrequências ee gráficosgráficos..

►► PodePode serser dede interesseinteresse apresentarapresentar essesesses dadosdadosatravésatravés dede medidasmedidas descritivasdescritivas queque sintetizamsintetizam asascaracterísticascaracterísticas dada distribuiçãodistribuição..característicascaracterísticas dada distribuiçãodistribuição..

►► ParaPara representarrepresentar umum conjuntoconjunto dede dadosdados dede formaformacondensadacondensada utilizaremosutilizaremos algumasalgumas medidasmedidas dedeposiçãoposição ee dede dispersãodispersão..

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- MÉDIAMÉDIA

MédiaMédia AritméticaAritmética SimplesSimples:: ÉÉ aa somasoma dasdas observaçõesobservações divididadivididapelopelo númeronúmero dede observaçõesobservações.. SeusSeus valoresvalores tendemtendem aa seselocalizarlocalizar emem umum pontoponto centralcentral dentrodentro dede umum conjuntoconjunto dede dadosdados..EmEm geralgeral éé aa medidamedida dede posiçãoposição maismais comumcomum..

AA médiamédia aritméticaaritmética dede XX éé dadadada porpor::�� AA médiamédia aritméticaaritmética dede XX éé dadadada porpor::

�� Para dados agrupados por valor:Para dados agrupados por valor:

ExemploExemplo:: CalculeCalcule aa médiamédia dada distribuiçãodistribuição dedefrequênciafrequência porpor valorvalor

►►PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICAPROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA

►► i) A soma algébrica dos desvios de um conjunto de i) A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números em relação a média aritmética é zero.números em relação a média aritmética é zero.

►► ii) Quando somamos ou subtraímos uma constante ii) Quando somamos ou subtraímos uma constante aos valores de uma variável, a média fica aos valores de uma variável, a média fica aos valores de uma variável, a média fica aos valores de uma variável, a média fica aumentada ou diminuída dessa constante.aumentada ou diminuída dessa constante.

►► iii) Quando multiplicamos ou dividimos todos os iii) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável por uma constante, a valores de uma variável por uma constante, a média fica multiplicada ou dividida por essa média fica multiplicada ou dividida por essa constante.constante.

►► PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICAPROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA

►► IMPORTANTE:IMPORTANTE: Quando um conjunto de dados contém Quando um conjunto de dados contém valores extremos não é aconselhável o uso da média para valores extremos não é aconselhável o uso da média para representação dos dados.representação dos dados.

►► EXEMPLO:EXEMPLO: A partir da distribuição de renda calcule a A partir da distribuição de renda calcule a renda média dos Engenheiros renda média dos Engenheiros em em uma Empresa.uma Empresa.renda média dos Engenheiros renda média dos Engenheiros em em uma Empresa.uma Empresa.

►► 2500 3300 5500 2700 4200 6000 3000 4800 2500 3300 5500 2700 4200 6000 3000 4800 7000 3200 5000 800007000 3200 5000 80000

►► NosNos cálculoscálculos envolvendoenvolvendo médiamédia aritméticaaritmética simples,simples, todastodasasas ocorrênciasocorrências têmtêm exatamenteexatamente aa mesmamesma importânciaimportância ouou oomesmomesmo pesopeso..

►► NoNo entanto,entanto, existemexistem casoscasos ondeonde asas ocorrênciasocorrências têmtêmimportânciaimportância relativarelativa diferentediferente.. NestesNestes casos,casos, oo cálculocálculo dada

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADAMÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

importânciaimportância relativarelativa diferentediferente.. NestesNestes casos,casos, oo cálculocálculo dadamédiamédia devedeve levarlevar emem contaconta estaesta importânciaimportância relativarelativa ououpesopeso relativorelativo..

ExemploExemplo:: AsAs aplicaçõesaplicações maismais comunscomuns nono mercadomercado financeirofinanceiro sãosão::Poupança,Poupança, CertificadoCertificado dede DepósitoDepósito BancárioBancário (CDB),(CDB), ReciboRecibo dedeDepósitoDepósito BancárioBancário (RDB)(RDB) ee osos FundosFundos dede InvestimentoInvestimento.. UmaUmamultinacionalmultinacional decidedecide aplicaraplicar parteparte dodo seuseu lucrolucro emem trêstrêsdiferentesdiferentes aplicaçõesaplicações nono períodoperíodo dede umum anoano.. SegueSegue abaixoabaixo oomontantemontante aplicadoaplicado emem cadacada umauma dasdas aplicaçõesaplicações nono períodoperíodo..

Tipos de Aplicações Valor das Aplicações Rentabilidade

QualQual foifoi aa rentabilidaderentabilidade médiamédia (em(em percentual)percentual) dada empresaempresa comcomasas aplicaçõesaplicações nono finalfinal dodo período?período? JustifiqueJustifique suasua respostaresposta..

Tipos de Aplicações Valor das Aplicações Rentabilidade

Poupança R$ 250.000,00 7%

CDB R$ 100.000,00 11%

RDB R$ 80.000,00 12%

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- MEDIANAMEDIANA

MedianaMediana:: OcupaOcupa aa posiçãoposição centralcentral dede umauma sériesérie dede observaçõesobservaçõesordenadas,ordenadas, ouou seja,seja, éé oo valorvalor queque dividedivide osos dadosdados emem duasduaspartespartes iguaisiguais (isto(isto é,é, emem duasduas partespartes dede 5050%% cada)cada).. ÉÉ denotadadenotadaporpor MeMe..

CasoCaso 11 -- “n”“n” ímparímpar:: ParaPara aa sériesérie dede valoresvalores ordenadosordenados emem ordemordemcrescentecrescente dede grandezagrandeza (isto(isto é,é, umum rol),rol), aa medianamediana éé oo valorvalorcentral,central, istoisto éécentral,central, istoisto éé

Me Me = elemento que está na posição= elemento que está na posição (n+1)/2;(n+1)/2;

CasoCaso 22 -- “n”“n” parpar:: ParaPara aa sériesérie dede valoresvalores ordenadosordenados emem ordemordemcrescentecrescente dede grandezagrandeza (isto(isto é,é, umum rol),rol), aa medianamediana éé aa médiamédiaaritméticaaritmética dosdos valoresvalores centrais,centrais, istoisto éé

Me Me = média aritmética entre os elementos das posições= média aritmética entre os elementos das posições n/2 e (n/2)+1n/2 e (n/2)+1

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- MODAMODAModaModa:: ÉÉ oo valorvalor (valores)(valores) maismais frequentefrequente nana distribuiçãodistribuição dede valores,valores, ee

seráserá denotadodenotado porpor MMOO..

aa.. SeSe todostodos osos valoresvalores sese repetemrepetem aa mesmamesma quantidadequantidade dede vezes,vezes,dizemosdizemos queque nãonão háhá moda,moda, ouou seja,seja, aa distribuiçãodistribuição éé amodalamodal;;

b. Se um valor ocorre com mais b. Se um valor ocorre com mais frequênciafrequência, dizemos que a distribuição é , dizemos que a distribuição é unimodalunimodal;;

cc.. SeSe doisdois valoresvalores sese repetemrepetem aa mesmamesma quantidadequantidade dede vezesvezes ee comcom maismaiscc.. SeSe doisdois valoresvalores sese repetemrepetem aa mesmamesma quantidadequantidade dede vezesvezes ee comcom maismaisfreqüência,freqüência, dizemosdizemos queque aa distribuiçãodistribuição éé bimodalbimodal..

d. Se mais de dois valores se repetem a mesma quantidade de vezes e d. Se mais de dois valores se repetem a mesma quantidade de vezes e com a mesma freqüência, dizemos que a distribuição é multimodal.com a mesma freqüência, dizemos que a distribuição é multimodal.

ExemploExemplo:: UmaUma multinacionalmultinacional estudaestuda implementarimplementar umauma novanovapolíticapolítica dede incentivoincentivo financeirofinanceiro aa suassuas equipesequipes dede vendasvendas.. ComCom ooobjetivoobjetivo dede estabelecerestabelecer umauma metameta mínimamínima aa empresaempresa estudouestudou oocomportamentocomportamento dasdas vendasvendas dede trêstrês diferentesdiferentes equipesequipes duranteduranteseisseis mesesmeses.. OsOs valoresvalores obtidosobtidos (em(em milhõesmilhões dede RR$$)) foramforam::

Equipes Vendas

A 40 38 27 25 38 37

B 27 29 37 44 43 30

a)a) AA equipeequipe dede qualqual regiãoregião éé aa maismais eficienteeficiente nasnas vendas?vendas?b)b) FoiFoi estabelecidaestabelecida umauma remuneraçãoremuneração extraextra parapara aa equipeequipe emem queque

oo númeronúmero dede mesesmeses dasdas vendasvendas superioressuperiores aa médiamédia geralgeral seja,seja,nono mínimo,mínimo, 6060%%.. VerifiqueVerifique sese algumaalguma equipeequipe ganhouganhou essaessaremuneraçãoremuneração.. PorPor quê?quê?

B

C

27

35

29

31

37

38

44

27

43

36

30

29

►► ExemploExemplo:: DeDe acordoacordo comcom informaçõesinformações obtidasobtidas dede umaumamultinacional,multinacional, oo saláriosalário dosdos funcionáriosfuncionários queque possuempossuemcursocurso superiorsuperior sãosão:: RR$$ 25002500,,0000 –– 32003200,,0000 –– 18001800,,0000 ––16001600,,0000 –– 19001900,,0000 –– 21002100,,0000 –– 25002500,,0000 –– 20002000,,0000 ––45004500,,0000 –– 49004900,,0000 –– 15001500,,0000 –– 33003300,,0000 –– 25002500,,0000..BaseadoBaseado nasnas informaçõesinformações dada empresaempresa determinedetermine::

QualQual oo saláriosalário médiomédio dosdos funcionáriosfuncionários queque possuempossuema)a) QualQual oo saláriosalário médiomédio dosdos funcionáriosfuncionários queque possuempossuemcursocurso superior?superior?

b)b) QualQual oo saláriosalário maismais frequentefrequente??

c)c) QualQual oo saláriosalário mediano?mediano?

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- QUARTIS, DECIS E QUARTIS, DECIS E PERCENTISPERCENTIS

EmEm algunsalguns casos,casos, oo pesquisadorpesquisador temtem interesseinteresse ememconhecerconhecer outrosoutros aspectosaspectos relativosrelativos aoao conjuntoconjunto dededadosdados.. NessaNessa direção,direção, osos quartisquartis,, decisdecis ee percentispercentispodempodem fornecerfornecer informaçõesinformações relevantesrelevantes àà pesquisapesquisa..

►► QuartisQuartis: São as observações que dividem o rol em 4 partes : São as observações que dividem o rol em 4 partes ►► QuartisQuartis: São as observações que dividem o rol em 4 partes : São as observações que dividem o rol em 4 partes iguais e são denotadas por Qiguais e são denotadas por Q11, Q, Q22 e Qe Q33..

►► DecisDecis: São as observações que dividem o rol em 10 partes : São as observações que dividem o rol em 10 partes iguais e são denotadas por Diguais e são denotadas por D11,D,D22, . . . ,D, . . . ,D99..

►► PercentisPercentis: São as observações que dividem o rol em 100 : São as observações que dividem o rol em 100 partes iguais e são denotadas por Ppartes iguais e são denotadas por P11, P, P22, . . . , P, . . . , P9999..

Note ainda que QNote ainda que Q22 = D= D55 = P= P5050 = Me.= Me.

ASSIMETRIAASSIMETRIA

►► Média = mediana = moda Média = mediana = moda --> distribuição simétrica> distribuição simétrica

►► Média > Mediana > Moda Média > Mediana > Moda --> distribuição assimétrica positiva> distribuição assimétrica positiva

►► Média < Mediana < Moda Média < Mediana < Moda --> distribuição assimétrica negativa> distribuição assimétrica negativa

MEDIDAS DE DISPERSÃOMEDIDAS DE DISPERSÃO

►►AsAs medidasmedidas dede posiçãoposição apresentadasapresentadas fornecemfornecem aainformaçãoinformação dosdos dadosdados apenasapenas aa nívelnível pontual,pontual,semsem ilustrarilustrar outrosoutros aspectosaspectos referentesreferentes àà formaformacomocomo osos dadosdados estãoestão distribuídosdistribuídos nana amostraamostra..

►►AsAs medidasmedidas dede dispersãodispersão sãosão utilizadasutilizadas paraparaavaliaravaliar oo graugrau dede variabilidade,variabilidade, ouou dispersão,dispersão,dosdos valoresvalores..

MEDIDAS DE DISPERSÃOMEDIDAS DE DISPERSÃOExemplo: Notas de três turmas de Estatística da UFPBExemplo: Notas de três turmas de Estatística da UFPB

Observações importantesObservações importantes

i)i) As três turmas possuem a mesma média.As três turmas possuem a mesma média.ii)ii) As notas estão distribuídas sob diferentes formas.As notas estão distribuídas sob diferentes formas.iii)iii) A média resume o conjunto de dados apenas posição central.A média resume o conjunto de dados apenas posição central.iv)iv) A média não fornece informações sobre a variabilidade dos dados.A média não fornece informações sobre a variabilidade dos dados.

SoluçãoSolução:: ApresentarApresentar juntojunto dada médiamédia umauma medidamedida queque sumarizesumarize aavariabilidadevariabilidade dodo conjuntoconjunto dede dadosdados..

MEDIDAS DE DISPERSÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO –– AMPLITUDE TOTALAMPLITUDE TOTAL

►► AmplitudeAmplitude TotalTotal:: UmaUma formaforma simplessimples dede medirmedir aadispersãodispersão emem umum conjuntoconjunto dede observaçõesobservações ééatravésatravés dada amplitudeamplitude totaltotal::

AT = AT = maxmax(X(X11, . . . ,, . . . ,XXnn) − ) − minmin(X(X11, . . . ,, . . . ,XXnn))

VerificaVerifica--sese queque aa amplitudeamplitude comocomo medidamedida dededispersãodispersão éé limitadalimitada.. EssaEssa medidamedida sósó dependedepende dosdosvaloresvalores extremos,extremos, ouou seja,seja, nãonão éé afetadaafetada pelapeladispersãodispersão dosdos valoresvalores internosinternos

MEDIDAS DE DISPERSÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO -- VARIÂNCIAVARIÂNCIA

►► AA variânciavariância dede umum conjuntoconjunto dede dadosdados (amostra(amostra ouou população)população) ééumauma medidamedida dede “VARIABILIDADE“VARIABILIDADE ABSOLUTA”ABSOLUTA”.. ElaEla medemede aavariabilidadevariabilidade dodo conjuntoconjunto emem termostermos dede desviosdesvios quadradosquadrados ememrelaçãorelação àà médiamédia aritméticaaritmética.. ÉÉ umauma quantidadequantidade sempresempre nãonãonegativanegativa ee expressaexpressa emem unidadesunidades quadradasquadradas dodo conjuntoconjunto dededados,dados, sendosendo dede difícildifícil interpretaçãointerpretação..

a)a) Para dados agrupados por valor:Para dados agrupados por valor:

MEDIDAS DE DISPERSÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO –– DESVIO PADRÃODESVIO PADRÃO

ÉÉ umauma outraoutra medidamedida dede dispersãodispersão maismaiscomumentecomumente empregadaempregada dodo queque aa variância,variância, porporserser expressaexpressa nana mesmamesma unidadeunidade dede medidamedida dodoconjuntoconjunto dede dadosdados.. MedeMede aa "DISPERSÃO"DISPERSÃOABSOLUTA"ABSOLUTA" dede umum conjuntoconjunto dede valoresvalores ee éé obtidaobtidaaa partirpartir dada variânciavariância..aa partirpartir dada variânciavariância..

SS2

=

MEDIDAS DE DISPERSÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO –– COEFICIENTE DE VARIAÇÃOCOEFICIENTE DE VARIAÇÃO

ÉÉ umauma medidamedida dede “VARIABILIDADE“VARIABILIDADE RELATIVA”,RELATIVA”, útilútil parapara compararcomparar aavariabilidadevariabilidade dede observaçõesobservações comcom diferentesdiferentes unidadesunidades dede medidamedida.. ÉÉdefinidadefinida porpor::

Exemplo:Exemplo:

VALORESVALORES MÉDIAMÉDIA D.P.D.P. C.V.C.V.

1 1 -- 2 2 -- 33 22 11 50 %50 %

►► É importante expressar a variabilidade em termos relativos porque, por exemplo, É importante expressar a variabilidade em termos relativos porque, por exemplo, um desvioum desvio--padrão igual a 1 pode ser muito pequeno se a magnitude dos dados padrão igual a 1 pode ser muito pequeno se a magnitude dos dados é da ordem de 1.000, mas pode ser considerado muito elevado se esta é da ordem de 1.000, mas pode ser considerado muito elevado se esta magnitude for da ordem de 10.magnitude for da ordem de 10.

►► Observe também que o coeficiente de variação é adimensional e por este motivo Observe também que o coeficiente de variação é adimensional e por este motivo permite a comparação das variabilidades de diferentes conjuntos de dados.permite a comparação das variabilidades de diferentes conjuntos de dados.

1 1 -- 2 2 -- 33 22 11 50 %50 %

100 100 -- 200 200 -- 300300 200200 100100 50 %50 %

101 101 -- 102 102 -- 103103 102102 11 1 %1 %

CONSIDERAÇÕES GERAISCONSIDERAÇÕES GERAIS

►► OO conjuntoconjunto dede todostodos osos possíveispossíveis elementoselementos dede umauma determinadadeterminadapesquisapesquisa constituiconstitui umauma populaçãopopulação estatísticaestatística.. SuaSua médiamédia éé aa médiamédiapopulacional,populacional, usualmenteusualmente representadarepresentada pelapela letraletra gregagrega µµ.. NaNa grandegrandemaioriamaioria dasdas situaçõessituações práticas,práticas, aa médiamédia populacionalpopulacional éé desconhecidadesconhecida eedevedeve serser estimadaestimada aa partirpartir dede dadosdados amostraisamostrais.. SeSe aa amostraamostra forforextraídaextraída dede formaforma adequada,adequada, aa médiamédia amostralamostral éé umauma boaboaestimativaestimativa dede µµ..

►► AA amplitude,amplitude, apesarapesar dede serser muitomuito fácilfácil dede calcular,calcular, temtem aa desvantagemdesvantagem

X

►► AA amplitude,amplitude, apesarapesar dede serser muitomuito fácilfácil dede calcular,calcular, temtem aa desvantagemdesvantagemdede levarlevar emem consideraçãoconsideração apenasapenas osos doisdois valoresvalores extremosextremos (máximo(máximo eemínimo)mínimo) dada massamassa dede dados,dados, desprezandodesprezando osos demaisdemais..

►► AA variânciavariância populacionalpopulacional éé representadarepresentada porpor σσ22.. Usualmente,Usualmente, aavariânciavariância populacionalpopulacional éé desconhecidadesconhecida ee devedeve serser estimadaestimada aa partirpartir dosdosdadosdados amostraisamostrais.. SeSe aa amostraamostra foifoi extraídaextraída dede formaforma adequada,adequada, aavariânciavariância amostralamostral SS22 éé umauma boaboa estimativaestimativa dede σσ22..

►► AsAs medidasmedidas ,, SS22 ee SS tomadastomadas nana amostra,amostra, denominadasdenominadasESTATÍSTICAS,ESTATÍSTICAS, sãosão estimativasestimativas dosdos PARÂMETROSPARÂMETROS POPULACIONAISPOPULACIONAIS µµ,,σσ22 ee σσ (supostos(supostos desconhecidos)desconhecidos)..

X

CONSIDERAÇÕES GERAISCONSIDERAÇÕES GERAIS

CurtoseCurtose

ExemploExemplo:: NaNa tabelatabela abaixoabaixo encontraencontra--sese aa estruturaestrutura dodoprodutoproduto internointerno brutobruto dodo Brasil,Brasil, emem bilhõesbilhões dede reais,reais,segundosegundo asas atividadesatividades econômicaseconômicas..

a)a) EmEm qualqual dosdos setoressetores ocorreocorre aa maiormaior variabilidade?variabilidade?

PERÍODOPERÍODO AGROPECUÁRIAAGROPECUÁRIA INDÚSTRIAINDÚSTRIA SERVIÇOSSERVIÇOSPERÍODOPERÍODO AGROPECUÁRIAAGROPECUÁRIA INDÚSTRIAINDÚSTRIA SERVIÇOSSERVIÇOS

20022002 6,66,6 27,127,1 66,366,3

20032003 7,47,4 27,827,8 64,864,8

20042004 6,96,9 30,130,1 6363

20052005 5,75,7 29,329,3 6565

20062006 5,55,5 28,828,8 65,865,8

20072007 5,65,6 27,827,8 66,666,6

ExemploExemplo:: UmaUma certacerta empresaempresa queque fabricafabrica duasduas linhaslinhas dedeprodutosprodutos (A(A ee B)B) necessitanecessita reestruturarreestruturar suasua produçãoprodução.. FoiFoirealizadorealizado umum estudoestudo parapara taltal finalidadefinalidade ee umauma dasdas variáveisvariáveisconsideradasconsideradas foifoi VENDAVENDA (quantidade(quantidade mensal)mensal) dede cadacada tipotipodede produtoproduto (A(A ee B)B).. ParaPara esteeste estudoestudo foifoi tomadotomado comocomoreferênciareferência oo primeiroprimeiro semestresemestre dede determinadodeterminado ano,ano, ondeondeforamforam verificadosverificados asas seguintesseguintes VENDASVENDAS::

PRODUTO A 13 32 28 25 24 25

a)a) EmEm relaçãorelação aa estaesta variável,variável, qualqual dosdos produtosprodutos (A(A ouou B)B)apresentouapresentou maiormaior estabilidadeestabilidade nasnas VENDASVENDAS mensais?mensais?

b)b) AA empresaempresa decidedecide penalizarpenalizar aa equipeequipe queque obteve,obteve, ememalgumalgum mês,mês, umum volumevolume dede vendavenda inferiorinferior aa --11,,55SS..AlgumaAlguma equipeequipe foifoi penalizada?penalizada?

PRODUTO A 13 32 28 25 24 25

PRODUTO B 25 20 29 30 26 20

X