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Integrais Impróprias Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

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Integrais Impróprias

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

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Integrais Impróprias

1.Integrais impróprias

2.Integrais com limites de integração infinitos

3.Integrais com integrando infinito

4.Aplicação

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1. Integrais impróprias

A definição da integral definida

( )b

af x dx∫

exige que o intervalo [a, b] seja finito e que f sejalimitada em [a, b].

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1. Integrais impróprias

Nesta aula vamos estudar integrais que nãosatisfazem essas exigências por uma das razõesabaixo:

1. Pelo menos um dos limites de integração éinfinito.

2. f tem uma descontinuidade infinita no intervalo[a, b].

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1. Integrais impróprias

As integrais que apresentam uma dessascaracterísticas são denominadas de integraisimpróprias. Por exemplo, as integrais

20

1 e

1xe dx dx

x

∞ ∞−

−∞ +∫ ∫

são impróprias porque pelo menos um dos limitesde integração é infinito, como mostram as figurasa seguir.

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1. Integrais impróprias

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1. Integrais impróprias

Analogamente, as integrais

( )5 2

21 2

1 1 e

1 1dx dx

x x−− +∫ ∫

são impróprias, porque seus integrandos tendempara infinito em algum ponto do intervalo deintegração, conforme mostrado nas figuras aseguir.

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1. Integrais impróprias

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

Para vermos como calcular uma integralimprópria, consideremos a integral da figuraabaixo

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

211

1 1 1 11 1

bb

dxx x b b

= − = − + = −

Desde que b seja um número real maior doque 1 (não importando qual), trata-se de umaintegral definida cujo valor é

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

A tabela abaixo dá os valores desta integralpara diversos valores de b.

b

2 0,5000

5 0,8000

10 0,9000

100 0,9900

1.000 0,9990

10.000 0,9999

21

1 11

bdx

x b= −∫

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

2 21 1

1 1 1lim lim 1 1

b

b bdx dx

x x b

→∞ →∞

= = − =

∫ ∫

Por esta tabela, é visível que o valor daintegral se aproxima de um limite quando baumenta ilimitadamente. Este limite érepresentado pela seguinte integral imprópria.

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

Integrais Impróprias (Limites de Integração Infinitos)

1. Se f é contínua em [a, ∞), então

2. Se f é contínua em (- ∞, b], então

3. Se f é contínua em (- ∞, ∞), então

( ) lim ( )b

a abf x dx f x dx

→∞=∫ ∫

( ) lim ( )b b

aaf x dx f x dx

−∞ →−∞=∫ ∫

( ) ( ) ( ) c

ccf x dx f x dx f x dx

∞ ∞

−∞ −∞∈= +∫ ∫ ∫ ℝ

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

Em qualquer caso, se o limite existe, aintegral imprópria converge; em caso contrário, aintegral imprópria diverge.

Assim, no terceiro caso, a integral divergiráse qualquer uma das integrais à direita divergir.

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

Exemplo 1: Determine a convergência ou adivergência da integral imprópria

1

1dx

x

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

Comecemos aplicando a definição de integralimprópria

1 1

1 1lim

b

bdx dx

x x

→∞=∫ ∫

[ ]1lim ln

b

bx

→∞=

( )lim ln 0b

b→∞

= −

= ∞

Definição de integral imprópria

Determinando a antiderivada

Aplicando o Teorema Fundamental

Calculando o limite

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

Como o limite é infinito, a integral imprópriadiverge.

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

Ao começar a trabalhar com integraisimpróprias, começaremos a observar que integraisaparentemente semelhantes podem ter valoresmuito diferentes.

Considere, por exemplo, as duas integraisimpróprias

Integral divergente1

1 dx

x

∞= ∞∫

Integral convergente21

11 dx

x

∞=∫

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

A primeira diverge e a segunda convergepara 1. Graficamente, isto significa que as áreasmostradas na figura abaixo são muito diferentes.

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

A região compreendida entre o gráfico (àesquerda) da figura anterior e o eixo x (para x ≥ 1)tem área infinita, e a região entre o gráfico (àdireita) e o eixo x (para x ≥ 1) tem área finita.

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

Exemplo 2: Calcule a integral imprópria

( )0

32

1

1 2dx

x−∞ −∫

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

Comecemos aplicando a definição de integralimprópria

( ) ( )0 0

3 32 2

1 1lim

1 2 1 2aadx dx

x x−∞ →−∞=

− −∫ ∫

01

lim1 2a

ax→−∞

= −

1lim 1

1 2a a→−∞

= − −

1 0 1= − =

Definição de integral imprópria

Determinando a antiderivada

Aplicando o Teorema Fundamental

Calculando o limite

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

Assim, a integral imprópria converge para 1.Conforme mostra a figura abaixo, isto implica quea região entre o gráfico de y = 1/(1 – 2x)3/2 e oeixo x (para x ≤ 0) tem área 1.

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

Exemplo 3: Calcule a integral imprópria

2

02 xxe dx

∞ −∫

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

Apliquemos inicialmente a definição deintegral imprópria

2 2

0 02 lim 2

bx x

bxe dx xe dx

∞ − −

→∞=∫ ∫

2

0lim

bx

be−

→∞ = −

( )2

lim 1b

be−

→∞= − +

0 1 1= + =

Definição de integral imprópria

Determinando a antiderivada

Aplicando o Teorema Fundamental

Calculando o limite

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2. Integrais com limites deintegração infinitos

Assim, a integral imprópria converge para 1.Conforme mostrado na figura abaixo, isto implicaque a região compreendida entre o gráfico dafunção dada e o eixo x (para x ≥ 0) tem área 1.

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3. Integrais com integrandoinfinito

Integrais Impróprias (Integrando Infinito)

1. Se f é contínua no intervalo [a, b), e tende para infinitoem b, então

2. Se f é contínua em (a, b], e tende para infinito em a,então

( ) lim ( )b c

a ac bf x dx f x dx

−→=∫ ∫

( ) lim ( )b b

a cc af x dx f x dx

+→=∫ ∫

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3. Integrais com integrandoinfinito

Integrais Impróprias (Integrando Infinito)

3. Se f é contínua em [a, b], exceto em algum ponto c de(a, b), no qual f tende para infinito, então

( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

Em cada caso, se o limite existe, a integralimprópria converge; caso contrário, a integralimprópria diverge.

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3. Integrais com integrandoinfinito

Exemplo 4: Calcule a integral imprópria

2

31

1

1dx

x −∫

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3. Integrais com integrandoinfinito

2 2

3 31 1

1 1lim

1 1bbdx dx

x x+→=

− −∫ ∫ Definição de integral imprópria

Determinando a antiderivada

Aplicando o Teorema Fundamental

Calculando o limite

( )2

23

1

3lim 1

2bb

x+→

= −

( )2

23

1

3 3lim 1

2 2bb

b+→

= − −

3 30

2 2= − =

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3. Integrais com integrandoinfinito

Assim, a integral converge para 3/2, o queimplica que a área mostrada na figura abaixo temárea 3/2.

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3. Integrais com integrandoinfinito

Exemplo 5: Calcule a integral imprópria

2

21

22

dxx x−∫

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3. Integrais com integrandoinfinito

2 2

21 1

2 1 12 2

dx dxx x x x

= − − − ∫ ∫ Decompondo em frações

parciais

Definição de integralimprópria

Determinando a antiderivada

Calculando o limite

12lim ln 2 ln

b

bx x

−→ = − −

= −∞

12

1 1lim

2

b

bdx

x x−→

= − − ∫

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3. Integrais com integrandoinfinito

Podemos, então, concluir que a integraldiverge. Isto implica que a região mostrada nafigura abaixo tem área infinita.

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3. Integrais com integrandoinfinito

Exemplo 6: Calcule a integral imprópria

2

31

1dx

x−∫

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3. Integrais com integrandoinfinito

Esta integral é imprópria porque o integrandotem uma descontinuidade infinita no valor interior x = 0,conforme se vê na figura abaixo.

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3. Integrais com integrandoinfinito

Podemos, pois, escrever

2 0 2

3 3 31 1 0

1 1 1dx dx dx

x x x− −= +∫ ∫ ∫

Aplicando a definição de integral imprópria,mostra-se que ambas as integrais divergem.Portanto, a integral original também diverge.

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3. Integrais com integrandoinfinito

OBS: Se não tivéssemos reconhecido que aintegral do Exemplo 6 é imprópria, teríamoschegado ao resultado incorreto

22

3 211

Incorreto1 1 1 1 3

2 8 2 8

dxx x−

= − = − + =

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3. Integrais com integrandoinfinito

As integrais impróprias em que o integrandotem uma descontinuidade infinita entre os limitesde integração são frequentemente esquecidas.Deve-se ficar atento quanto a tais possibilidades.

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4. Aplicação

Exemplo 7: O sólido formado pela revolução, emtorno do eixo x, do gráfico de

1( ) , 1f x x

x= ≤ < ∞

é chamado trombeta de Gabriel (ver figura aseguir). Calcule o volume da trombeta de Gabriel.

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4. Aplicação

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4. Aplicação

Podemos determinar o volume da trombetaaplicando o Método do Disco

2

1

1Volume dx

x

∞ =

∫ π

21lim

b

bdx

x→∞= ∫

π

1

limb

b x→∞

= −

π

limb b→∞

= −

ππ

= π

Método do disco

Definição de integral imprópria

Determinando a antiderivada

Aplicando o Teorema Fundamental

Calculando o limite

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4. Aplicação

Assim, o volume da trombeta de Gabriel é πunidades cúbicas.