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CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P/ TRT 24ª REGIÃO PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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Olá pessoal!

Resolverei algumas questões que foram pedidas no fórum de dúvidas dos seguintes assuntos: problemas de produção e tempo, mmc, mdc e sistemas de medidas.

01. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?

a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas

Resolução

Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e tempo. A tática é a seguinte: perguntar o que cada objeto produz na unidade de tempo. A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora.

Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora.

O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneiraenche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas.

Cada parte representa do tanque.



A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do tanque. Ou seja, a segunda torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora.

Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda torneira em 1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão:

124

148

2 148

348

116

Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em horas, em 1 hora encherão 1/x.

Assim:

1

116

16 .Letra E

Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tempo?

Considere que um objeto execute um serviço em horas, outro objeto execute um serviço o mesmo serviço em horas, outro objeto execute o mesmo serviço em horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos executem o serviço em horas. Temos a seguinte relação:

1

1

1

No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em .

124

148

1

2 148

1

348

1

Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

3 · 1 · 48

483 16 .



02. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em a) 6 horas e 30 minutos. b) 7 horas e 30 minutos. c) 6 horas. d) 7 horas. e) 8 horas.

Resolução

Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha em horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas.

1 5

1

13

1

1 3

1 5

1

5 315

1

215

Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

2 · 1 · 15

152 7,5 7 30

Letra B

03. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Trabalhando individualmente, o funcionário A é capaz de cumprir certa tarefa em 8 horas, o funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5 horas. Nessas condições, se trabalharem juntos na execução dessa tarefa, o esperado é que ela seja cumprida em, aproximadamente, (A) 1 hora e 40 minutos. (B))2 horas, 2 minutos e 2 segundos. (C) 2 horas e 20 minutos. (D) 2 horas, 22 minutos e 30 segundos. (E) 2 horas e 54 minutos.

Resolução



A tática para resolver tais problemas é fazer a seguinte pergunta: que fração da tarefa cada funcionário faz em 1 hora?

Vejamos o funcionário A. Ele é capaz de cumprir determinada tarefa, sozinho, em 8 horas. Isto significa que em cada hora ele realiza 1/8 da tarefa.

O funcionário B realiza a mesma tarefa em 6 horas. Analogamente, podemos concluir que em cada hora o funcionário B realiza 1/6 da tarefa.

O funcionário C realiza a tarefa em 5 horas. Concluímos que ele realiza 1/5 da tarefa em cada hora.

Ora, se em uma hora o funcionário A realiza 1/8 da tarefa, o funcionário B realiza 1/6 da tarefa, o funcionário C realiza 1/5 da tarefa, então os três juntos, em uma hora, realizam:

Resumindo: os três funcionários, trabalhando juntos, realizam 59/120 da tarefa em 1 hora.

Vamos considerar que os três funcionários, trabalhando juntos, realizam toda a tarefa em horas. Isto significa que em uma hora eles realizam 1/ da tarefa.

Assim:

1

59120

59 · 120

12059

Vamos dividir 120 horas por 59.

A tarefa foi dividida em 8 partes iguais. Em cada hora ofuncionário realiza uma dessas partes, ou seja, 1/8 da tarefa.

Cada parte representa 1/8



120 59

Vamos dividir o resto (2 horas). Já que 1 hora = 60 minutos, então 2 horas =

2 2

120 minutos.

120 59 2 2

Vamos dividir o resto (2 minutos). Já que 1 min = 60 s, então 2 min = 120 s.

120 59 2 2

Ainda ficou um resto de 2 segundos. Como o problema pede uma resposta aproximada, então:

2 2 min 2

Letra B

Utilizando o método que descrevi na primeira questão...

No nosso caso, o funcionário A realiza a tarefa em 8 horas, o funcionário B realiza a tarefa em 6 horas e o funcionário C realiza a tarefa em 6 horas. Os três juntos realizam a tarefa em horas, portanto:

E finalmente chegamos na mesma equação que antes.

04. (Agente Administrativo CRF-SP 2009/VUNESP) Uma torneira enche completamente um tanque em 4 horas. Há um registro de saída no fundo do tanque e, quando aberto, esvazia esse tanque em 8 horas. Se a torneira for totalmente aberta com o tanque vazio, e o registro estiver totalmente aberto, o tanque estará completamente cheio em (A) 12 horas. (B) 10 horas. (C) 8 horas. (D) 6 horas. (E) 5 horas.

Resolução



Neste caso, como o tanque executa um serviço “destrutivo”, devemos colocar um sinal negativo na sua parte da equação.

A torneira enche o tanque em 4 horas, portanto em 1 hora esta torneira enche 1/4 do tanque.

O registro de saída esvazia o tanque em 8 horas, portanto em 1 hora o registro esvazia 1/8 do tanque.

Se a torneira for totalmente aberta com o tanque vazio, e o registro estiver totalmente aberto, o tanque estará completamente cheio em horas.

1 4

1 8

1

2 18

1

1 8

1

8 Letra C

05. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a (A) 24. (B) 36. (C) 49. (D) 64. (E) 89.

Resolução

Vejamos, por exemplo, o fio X. Cada rolo do fio X tem 84 metros. Será que podemos dividir o rolo do fio X em pedaços de 10 metros sem que haja resto? É óbvio que não! E por que não? Porque 10 não é um divisor de 84.

Será que podemos dividir o rolo do fio X em pedaços iguais de 4 metros sem que haja resto? Sim! E por que sim? Porque 4 é um divisor de 84, ou seja, 84 dividido por 4 é igual a 21 e resto 0.

Seguindo este raciocínio, o tamanho de cada pedaço deve ser um divisor do comprimento de cada rolo de fio. Ou seja, o tamanho do pedaço que estamos querendo calcular deve ser um divisor de 84, 144 e 60. Temos que calcular um



número que seja divisor comum destes três números. O problema é que há vários divisores comuns, como por exemplo, 2 ou 4.

O enunciado então determina que o tamanho de cada pedaço seja o maior possível.

Resumindo: o tamanho de cada pedaço deve ser o maior divisor comum de 84, 144 e 60. Vocês conhecem este número como MDC: M de maior, D de divisor e C de comum.

Vamos calcular o 84,144,60 . Utilizaremos o método da fatoração simultânea. Como bem diz o nome do método, devemos fatorar os três números simultaneamente, ou seja, de uma só vez. Para isto, devemos procurar números que dividam simultaneamente os três números.

Pense em um número que divida 84, 144 e 60. Pensou? Que tal 2?

84 dividido por 2 é igual a 42, 144 dividido por 2 é igual a 72 e 60 dividido por 2 é igual a 30.

Vamos pensar em um número que divida 42, 72 e 30. Que tal 2 novamente?

42 dividido por 2 é igual a 21, 72 dividido por 2 é igual a 36 e 30 dividido por 2 é igual a 15.

Pense em um número que divida 21, 36 e 15... Que tal 3?

21 divido por 3 é igual a 7, 36 dividido por 3 é igual a 12 e 15 dividido por 3 é igual a 5.

Há algum número natural (diferente de 1) que divida 7, 12 e 5 simultaneamente? Não! Então devemos parar. Para calcular o MDC, devemos multiplicar 2 · 2 · 3 12.

Conclusão: cada pedaço terá 12 metros.

84, 144 , 60 242, 72 , 30

84, 144 , 60 242, 72 , 30 221, 36, 15

84, 144 , 60 242, 72 , 30 221, 36, 15 37, 12, 5



O rolo do fio X tem 84 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio X será dividido em:

84 12 7 ç

Como temos 4 rolos do fio X, então teremos no total 4 · 7 ç .

O rolo do fio Y tem 144 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio Y será dividido em:

14412 12 ç

Como temos 3 rolos do fio Y, então teremos no total 3 · 12 ç .

O rolo do fio Z tem 60 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio Z será dividido em:

60 12 5 ç

Como temos 5 rolos do fio Z, então teremos no total 5 · 5 ç .

Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a 28 36 25 89.

Depois de calculado o comprimento de cada pedaço, poderíamos seguir o seguinte raciocínio para calcular o total de pedaços.

Temos 4 rolos do fio X, cada um com 84 metros. O comprimento total do fio X é igual a 4 · 84 336 .

Temos 3 rolos do fio Y, cada um com 144 metros. O comprimento total do fio Y é igual a 3 · 144 432 .

Temos 5 rolos do fio Z, cada um com 60 metros. O comprimento total do fio Z é igual a 5 · 60 300 .

O comprimento total de todos os rolos de fio é igual a 336 432 300 1.068 .

Como cada pedaço de fio terá 12 metros, então teremos:

1.068 12 89 ç

Letra E



06. (SEAP-SP 2009/VUNESP) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados (A) 5 grupos. (B) 8 grupos. (C) 10 grupos. (D) 12 grupos. (E) 13 grupos.

Resolução

Para que os grupos tenham o mesmo número de integrantes, devemos encontrar um número que seja divisor de 240 e seja divisor de 160 (para que não haja resto). Além disso, este divisor deve ser o maior possível. Devemos, portanto, calcular o máximo divisor comum (MDC) dos números 240 e 160. O processo para o cálculo do MDC está descrito na questão 02 da aula demonstrativa. Devemos fatorar os números apenas por números que dividam os dois números simultaneamente.

Portanto, 240,160 2 · 2 · 2 · 2 · 5 80. Isto significa que cada grupo terá 80 detentos.

Dividindo os 400 detentos em grupos de 80, teremos 5 grupos (observe que 400 dividido por 80 é igual a 5).

Letra A

07. (Instituto Butantan 2010/VUNESP) Um paciente recebe 3 medicamentos, todos os dias. O primeiro, de 4 em 4 horas, o segundo, de 8 em 8 horas, e o terceiro, a cada 10 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009. Receberá os 3 medicamentos juntos, novamente, no mês de novembro de 2009, dia (A) 28, às 19 horas. (B) 28, às 23 horas. (C) 29, às 7 horas. (D) 29, às 11 horas. (E) 30, às 7 horas.

Resolução

240, 160 2120, 80 2 60, 40 2 30, 20 2

15, 10 53, 2



Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos.

Desta forma, . . . 4,8,10 2 · 2 · 2 · 5 40 . Isto significa que os 3 medicamentos chegam juntos a cada 40 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009.

Ora, sabemos que 40 24 16 1 16

7 horas do dia 27 de novembro de 2009 + 1 dia = 7 h do dia 28 de novembro de 2009.

7 h do dia 28 de novembro de 2009 + 16 horas = 23 h do dia 28 de Nov. de 2009.

Letra B

08. (SEAP-SP 2009/VUNESP) Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas em um determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a cada 18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de controle a cada (A) 1 h 24 min. (B) 1 h 18 min. (C) 1 h 12 min. (D) 1 h 06 min. (E) 1 h.

Resolução

Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos.

Desta forma, . . . 36,24,18 2 · 2 · 2 · 3 · 3 72 .

72 60 12 1 12

4, 8, 10 22, 4, 5 21, 2, 5 21, 1, 5 51, 1, 1

36, 24, 18 218. 12, 9 2 9, 6, 9 2 9, 3, 9 3

3, 1, 3 31, 1 , 1



Letra C

Sistemas de Medidas

09. (PUC-MG) Em metrologia, pé é uma unidade de medida linear equivalente a cerca de 30,48 cm. Um avião que trafega a 30000 pés do solo está voando a uma altura mais próxima de:

a) 6km b) 7km c) 8km d) 9km e) 10km

Resolução

30.000 pés = 30.000 x 30,48 cm = 914.440 cm. Para transformar de centímetro para metro devemos dividir o resultado por 100. Assim, 914.440 cm = 9.144,40 m. E para transformar de metro para quilometro devemos dividir o resultado por mil. Dessa forma, 9.144,40 m = 9,14440 km.

Letra D

Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro.

Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km).

Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).

km hm dam m dm cm mm

Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 10 a cada passagem.

Então para 914.440 cm serem transformados em quilômetros, devemos dividir por 100.000 (5 casas). 914.440 cm = 9,14440 km.

Significados dos prefixos:

k quilo (1000)

h hecto (100)

da deca (10)

d deci (1/10)



c centi (1/100)

m mili (1/1000)

O mesmo processo pode ser usado para os múltiplos e submúltiplos do litro e grama.

kl hl dal l dl cl ml

kg hg dag g dg cg mg


Por exemplo: Transformar 8.432 dg (decigramas) para dag (decagramas). Devemos andar duas casas para a esquerda, assim devemos dividir 8.432 por 100 obtendo 84,32 dag.

Se estivermos trabalhando com unidades de área (múltiplos e submúltiplos de m2), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 100.

Se estivermos trabalhando com unidades de volume (múltiplos e submúltiplos de m3), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 1.000.

10. (COVEST 2003) Uma empresa de exportação de gasolina comunicou à ANP o desaparecimento de 7,2 milhões de litros de gasolina dos seus depósitos. Se um caminhão-tanque tem capacidade de 32m3, quantos caminhões seriam necessários para transportar a gasolina desaparecida? (obs.: 1m3=1000 litros)

a) 205

b) 210

c) 215

d) 220

e) 225

Resolução

O texto nos informou que 1m3=1000 litros. 7,2 milhões de litros = 7.200.000 litros. Pela relação dada temos que 7.200.000 litros = 7.200m3. Como cada caminhão transporta 32 m3, o total de caminhões desaparecidos é 7.200/32 = 225.



Letra E

11. (TJPA 2006/CESPE-UnB) A extensão do estado do Pará, que é de 1.248.042 km2, corresponde a 16,66% do território brasileiro e 26% da Amazônia. O estado do Pará, cortado pela linha do Equador no seu extremo norte, é dividido em 143 municípios, onde vivem cerca de seis milhões de pessoas. Com base no texto acima, assinale a opção correta. A) O estado do Pará tem 1.248.042.000 m2 de extensão. B) A extensão do estado do Pará corresponde a mais de 1/5 do território brasileiro. C) A extensão do estado do Pará corresponde a menos de 7/25 da Amazônia. D) No estado do Pará, há exatamente 6 habitantes por km2.

Resolução

Vamos analisar cada alternativa de per si.

A) O estado do Pará tem 1.248.042.000 m2 de extensão.






O mesmo processo pode ser usado para os múltiplos e submúltiplos do litro e do grama.

kl hl dal l dl cl ml

kg hg dag g dg cg mg


Se estivermos trabalhando com unidades de área (múltiplos e submúltiplos de m2), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 100.

Se estivermos trabalhando com unidades de volume (múltiplos e submúltiplos de m3), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 1.000.



Ora, o texto nos informou que a extensão do estado do Pará é de 1.248.042 km2. Queremos transformar esta medida para m2. Observe a seguinte tabela de transformação de unidades:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 100 a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 100 a cada passagem. Ora, multiplicar por 100 significa adicionar 2 zeros (se o número for inteiro) ou deslocar a vírgula duas casas decimais para a direita. Analogamente, dividir por 100 significa cortar 2 zeros (se houver) ou deslocar a vírgula para a esquerda.

Para concluir o raciocínio: queremos efetuar a transformação de unidades de km2 para m2. Devemos andar 3 casas para direita (a cada passagem adicionamos 2 zeros), então devemos acrescentar 6 zeros.

Portanto,

A alternativa A é falsa.

1.248.042 1.248.042.000.000

B) A extensão do estado do Pará corresponde a mais de 1/5 do território brasileiro.

A extensão do Pará foi dada em termos percentuais (16,66% do território nacional). Como fazer a comparação deste percentual com a fração 1/5?

Devemos transformar a fração 1/5 em porcentagem, para isto basta multiplicá-la por 100%.

1 5

1 5 · 100% 20%

Como 16,66% é menor do que 20%, então a extensão do Pará corresponde a menos de 1/5 do território brasileiro.

A alternativa B é falsa.

C) A extensão do estado do Pará corresponde a menos de 7/25 da Amazônia.

Da mesma maneira que foi resolvida a alternativa B, devemos transformar a fração 7/25 para porcentagem.

725

7 25 · 100% 28%



Como a extensão do Pará é 26% da Amazônia, então corresponde a menos de 7/25 da Amazônia.

A alternativa C é verdadeira.

D) No estado do Pará, há exatamente 6 habitantes por km2.

No estado do Pará há cerca de seis milhões de pessoas em 1.248.042 km2 de extensão. A densidade demográfica é de:

6.000.000 1.248.042 6 /

A alternativa D é falsa.

Gabarito oficial: Letra C

12. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Um peso de papel, feito de madeira maciça, tem a forma de um cubo cuja aresta mede 0,8 dm. Considerando que a densidade da madeira é 0,93 g/cm3, quantos gramas de madeira foram usados na confecção desse peso de papel? (A) 494,18 (B))476,16 (C) 458,18 (D) 49,418 (E) 47,616

Resolução






A aresta do cubo é de 0,8 dm. Para transformar esta medida para centímetros, devemos multiplicar por 10.

0,8 8

Sendo aresta de um cubo, o seu volume é igual a ³. Portanto, o volume do cubo dado é igual a:



³ 8³ 512 ³

A densidade de um corpo é a razão entre a massa e o volume do corpo.

Portanto:

0,93 512 476,16

Letra B

13. (CREA/SP 2010/VUNESP) De um caminhão de entrega são descarregadas 500 caixas iguais de mercadorias, em forma de paralelepípedo, medindo cada uma 40 cm de comprimento por 30 cm de largura e por 20 cm de altura. Essas caixas empilhadas e justapostas vão ocupar um volume de

Dado: volume do paralelepípedo = comprimento x largura x altura

(A) 12 m3 (B) 120 L. (C) 1.200 L. (D) 12.000 m3 (E) 120.000 cm3

Resolução

É importante saber que 1 í ú corresponde a 1 litro. Desta forma, para saber o volume de cada paralelepípedo em litros, devemos transformar todas as suas medidas para decímetro.

1 decímetro é o mesmo que 10 centímetros. Portanto:

40 4

30 3

20 2

O volume de cada paralelepípedo é igual a 4 · 3 · 2 24 24

Portanto, o volume de cada paralelepípedo é igual a 24 litros.

Tem-se 500 caixas no total e o volume ocupado por elas é igual a:

500 · 24 12.000



Por enquanto não encontramos alternativas, mas lembre-se que 1 m³ é o mesmo que 1.000 litros. Desta forma, 12.000 litros equivalem a 12 m³.

Letra A

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