Aula 6Derivadas Direcionais e o

Vetor GradienteMA211 - Cálculo II

Marcos Eduardo Valle

Departamento de Matemática AplicadaInstituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Universidade Estadual de Campinas

Derivadas DirecionaisSuponha que desejamos calcular a taxa de variação dez = f (x),x = (x1, x2, . . . , xn), no ponto a = (a1,a2, . . . ,an) nadireção de um vetor unitário u = (u1, . . . ,un).

Lembre-se que um vetor u é unitário se ‖u‖ = 1.

Exemplo 1

Suponha que f (a) é a temperatura no ponto a numa sala comar-condicionado mas com a porta aberta. Se movemos nadireção da porta, a temperatura irá aumentar. Porém, semovemos na direção do ar-condicionado, a temperatura irádiminuir.

A taxa de variação de z = f (x) em a na direção de u é aderivada direcional. Note que derivada direcional de dependetando do ponto a como da direção u na qual afastamos de a.

Definição 2

Derivada Direcional Seja f : D → R uma função de n variáveis,isto é, D ⊆ Rn. Considere um ponto a no interior de D e u ∈ Rn

um vetor com ‖u‖ = 1. A derivada direcional de f em a nadireção u é

Duf (a) = limh→0

f (a + hu)− f (a)h

,

se esse limite existir.

Observação

A distância entre a e a + hu é |h|. Logo, o quociente

f (a + hu)− f (a)h

representa a taxa média de variação de f por unidade dedistância sobre o segmento de reta de a à a + hu.

Derivada Direcional e as Derivadas Parciais

A derivada direcional generaliza as derivadas parciais noseguinte sentido. A derivada direcional de f em a na direção dai-ésima componente da base canônica, ou seja,

ei = (0, . . . ,0, 1︸︷︷︸i-ésima componente

,0, . . . ,0)

é a derivada parcial de f em a com respeito à xi , ou seja,

Dei f (a) =∂f∂xi

(a) = fxi (a) = Di f (a).

Derivadas Parciais e a Derivada DirecionalConsidere a função g : R→ R dada por

g(h) = f (a + hu).

Por um lado, note que

g′(0) = limh→0

g(h)− g(0)h

= limh→0

f (a + hu)− f (a)h

= Duf (a).

Por outro lado, da regra da cadeia concluímos que

g′(h) =∂f∂x1

dx1

dh+

∂f∂x2

dx2

dh+ . . .+

∂f∂xn

dxn

dh.

Agora, x(h) = a+hu = (a1 +hu1,a2 +hu2, . . . ,an +hun). Logo,

dx1

dh= u1,

dx2

dh= u2, . . . ,

dxn

dh= un.

Portanto, tem-se

g′(0) =∂f∂x1

∣∣∣∣a

u1 +∂f∂x2

∣∣∣∣a

u2 + . . .+∂f∂xn

∣∣∣∣a

un =n∑

j=1

∂f∂xj

∣∣∣∣a

uj .

Teorema 3Se f é uma função diferenciável em a, então f tem derivadadirecional para qualquer vetor unitário u e

Duf (a) =n∑

j=1

∂f∂xj

∣∣∣∣a

uj

Observação:

Qualquer vetor unitário u ∈ R2 pode ser escrito comou = (cos θ, sen θ), para algum angulo θ. Nesse caso,

Duf (x , y) = fx(x , y) cos θ + fy (x , y) sen θ.

Teorema 3Se f é uma função diferenciável, então f tem derivadadirecional para qualquer vetor unitário u e

Duf (x) =n∑

j=1

∂f∂xj

uj

Observação:

Qualquer vetor unitário u ∈ R2 pode ser escrito comou = (cos θ, sen θ), para algum angulo θ. Nesse caso,

Duf (x , y) = fx(x , y) cos θ + fy (x , y) sen θ.

Vetor Gradiente

A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita emtermos do seguinte produto escalar

Duf (x) =n∑

j=1

∂f∂xj

uj =

(∂f∂x1

,∂f∂x2

, . . . ,∂f∂xn

)︸ ︷︷ ︸

vetor gradiente

·u.

Definição 4 (Vetor Gradiente)

O gradiente de uma função f , denotado por ∇f ou grad f , é afunção vetorial cujas componentes são as derivadas parciais,ou seja,

∇f =(∂f∂x1

,∂f∂x2

, . . . ,∂f∂xn

).

Vetor Gradiente

A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita emtermos do seguinte produto escalar

Duf (x) =n∑

j=1

∂f∂xj

uj =

(∂f∂x1

,∂f∂x2

, . . . ,∂f∂xn

)︸ ︷︷ ︸

vetor gradiente

·u = ∇f · u.

Definição 4 (Vetor Gradiente)

O gradiente de uma função f , denotado por ∇f ou grad f , é afunção vetorial cujas componentes são as derivadas parciais,ou seja,

∇f =(∂f∂x1

,∂f∂x2

, . . . ,∂f∂xn

).

Interpretação do Vetor GradienteSabemos que o produto escalar de dois vetores a e b satisfaz:

a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ,

em que θ é o angulo entre a e b. Assim, podemos escrever

Duf = ∇f · u = ‖∇f‖ ‖u‖︸︷︷︸=1

cos θ = ‖∇f‖ cos θ.

O valor máximo de cos θ é 1, e isso ocorre quando θ = 0. Logo,

Teorema 5O valor máximo da derivada direcional Duf de uma funçãodiferenciável é ‖∇f‖ e ocorre quando u tem a mesma direção esentido que ∇f .

Em outras palavras, a maior taxa de variação de f (x) ocorre nadireção e sentido do vetor gradiente.

Em R2...Considere uma função f de duas variáveis x e y e uma curvade nível dada pelo conjunto dos pontos

{r(t) = (x(t), y(t)) : f (x(t), y(t)) = k}.

Se P = (x(t0), y(t0)), então pela regra da cadeia, temos que

∂f∂x

dxdt

+∂f∂y

dydt

= 0 ⇐⇒ ∇f (x0, y0) · r′(t0) = 0,

em que x0 = x(t0), y0 = y(t0) e r ′(t0) = (x ′(t0), y ′(t0)) é o vetortangente a curva de nível em P.

Conclusão:O vetor gradiente ∇f (x0, y0), além de fornecer a direção esentido de maior crescimento, é perpendicular à reta tangenteà curva de nível de f (x , y) = k que passa por P = (x0, y0).

Em R3...

O vetor gradiente ∇F (x0, y0, z0), além de fornecer a direção esentido de maior crescimento, é perpendicular ao planotangente à superfície de nível de F (x , y , z) = k que passa porP = (x0, y0, z0).

O plano tangente à superfície F (x , y , z) = k em P = (x0, y0, z0)é dado por todos os vetores que partem de (x0, y0, z0) e sãoortogonais ao gradiente ∇F (x0, y0, z0), ou seja, a equação doplano tangente é:

∇f (x0, y0, z0) · (x − x0, y − y0, z − z0) = 0.

A reta normal a superfície F (x , y , z) = k em P = (x0, y0, z0) édada pelo gradiente ∇F (x0, y0, z0), ou seja,

(x − x0, y − y0, z − z0) = λ∇f (x0, y0, z0), λ ∈ R.

Alternativamente, suas equações simétricas são

x − x0

Fx(x0, y0, z0)=

y − y0

Fy (x0, y0, z0)=

z − z0

Fz(x0, y0, z0).

Exemplo 6

Determine a derivada direcional Duf (x , y) se

f (x , y) = x3 − 3xy + 4y2,

e u é o vetor unitário dado pelo ângulo θ = π/6.Qual será Duf (1,2)?

Exemplo 6

Determine a derivada direcional Duf (x , y) se

f (x , y) = x3 − 3xy + 4y2,

e u é o vetor unitário dado pelo ângulo θ = π/6.Qual será Duf (1,2)?

Resposta:

Duf (x , y) =12

(3√

3x2 − 3x + (8− 3√

3)y))

e

Duf (1,2) =13− 3

√3

2.

Exemplo 7

Determine a derivada direcional da função

f (x , y) = x2y3 − 4y ,

no ponto P = (2,−1) na direção do vetor v = 2i + 5j.

Exemplo 7

Determine a derivada direcional da função

f (x , y) = x2y3 − 4y ,

no ponto P = (2,−1) na direção do vetor v = 2i + 5j.

Resposta:

Duf (2,−1) =32√29.

Exemplo 8

Sef (x , y , z) = x sen yz,

a) determine o gradiente de f ,b) determine a derivada direcional de f no ponto (1,3,0) na

direção v = i + 2j− k.

Exemplo 8

Sef (x , y , z) = x sen yz,

a) determine o gradiente de f ,b) determine a derivada direcional de f no ponto (1,3,0) na

direção v = i + 2j− k.

Resposta:a) O gradiente de f é

∇f (x , y , z) = (sen yz, xz cos yz, xy cos yz).

b) A derivada direcional é

Duf (x , y , z) = 3(− 1√

6

)= −

√32.

Exemplo 9

Suponha que a temperatura no ponto (x , y , z) do espaço sejadada por

T (x , y , z) =80

1 + x2 + 2y2 + 3z2 ,

em que T é medida em graus Celsius e x , y e z em metros.Em que direção no ponto (1,1,−2) a temperatura aumentamais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?

Exemplo 9

Suponha que a temperatura no ponto (x , y , z) do espaço sejadada por

T (x , y , z) =80

1 + x2 + 2y2 + 3z2 ,

em que T é medida em graus Celsius e x , y e z em metros.Em que direção no ponto (1,1,−2) a temperatura aumentamais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?

Resposta: A temperatura aumenta mais rapidamente nadireção −i− 2j + 6k e a taxa de aumento é

58

√41 ≈ 4oC/m.

Exemplo 10

Determine as equações do plano tangente e da reta normal noponto (−2,1,−3) ao elipsoide

x2

4+ y2 +

z2

9= 3.

Exemplo 10

Determine as equações do plano tangente e da reta normal noponto (−2,1,−3) ao elipsoide

x2

4+ y2 +

z2

9= 3.

Resposta: A equação do plano tangente é

3x − 6y + 2z + 18 = 0.

As equações simétricas da reta normal são

x − 2−1

=y − 1

2=

z + 3−2

3

.