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Resistência dos Materiais
Aula 6 – Estudo de Torção, Transmissão de Potência e Torque
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Definição de Torque
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Torque é o momento que tende a torcer a peça em
torno de seu eixo longitudinal. Seu efeito é de
interesse principal no projeto de eixos ou eixos de
acionamento usados em veículos e maquinaria.
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Deformação por Torção
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Equação da Torção
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Quando um torque externo é aplicado a um eixo, cria um torque interno correspondente no interior do eixo.
A equação da torção relaciona o torque interno com a distribuição das tensões de cisalhamento na seção transversal de um eixo ou tubo circular.
Para material linear-elástico aplica-se a lei de Hooke.
γτ ⋅= G
onde: G = Módulo de rigidez
γ = Deformação por cisalhamento
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Equação da Torção
J
cTmáx
⋅=τ
onde:
τ = Tensão de cisalhamento no eixo
T = Torque interno resultante que atua na seção transversal
J = Momento de inércia polar da área da seção transversal
c = Raio externo do eixo
ρ = Raio medido a partir do centro do eixo
J
T ρτ
⋅=
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Dimensionamento de Eixo Sólido
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∫ ⋅=A
dAJ2ρ ( )∫ ⋅⋅⋅⋅=
c
dJ0
2 2 ρρπρ
∫ ⋅⋅=c
dJ0
32 ρρπ
c
J0
4
4
2 ρπ ⋅⋅=
2
4c
J⋅
=π
Momento de inércia polar:
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Falha na Torção
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Dimensionamento de Eixo Tubular
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( )2
44ie cc
J−⋅
=π
Momento de inércia polar:
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Exercício 1
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1) O tubo mostrado na figura tem um diâmetro interno de 80 mm e diâmetro externo de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o apoio em A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da parte central do tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao torquímetro.
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Solução do Exercício 1
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Torque interno: É feito um corte na localização intermediária C ao longo do eixo do tubo, desse modo:
∑ = 0yM
02,0803,080 =−⋅+⋅ T
40=T Nm
Momento de inércia polar:
( )2
44ie cc
J−⋅
=π
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Solução do Exercício 1
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( )2
04,005,0 44 −⋅=
πJ
6108,5 −⋅=J m4
J
cTmáx
⋅=τ
Tensão de cisalhamento:
6108,5
05,040−⋅
⋅=máxτ
610344,0 ⋅=máxτ
344,0=máxτ
Na superfície interna:
6108,5
04,040−⋅
⋅=iτ
J
cT ii
⋅=τ
610276,0 ⋅=iτ
276,0=iτ
PaPa
MPaMPa
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Transmissão de Potência
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Eixos e tubos com seção transversal circular são
freqüentemente empregados para transmitir a potência
gerada por máquinas. Quando usados para essa finalidade, são submetidos a torque que
dependem da potência gerada pela máquina e da velocidade
angular do eixo.
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Definição de Potência
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A potência é definida como o trabalho realizado por unidade
de tempo:
dt
dTP
θ⋅=
Onde:
T = Torque aplicado
dθ = Ângulo de rotação
dt
dθω =
ω⋅= TP
Sabe-se que a velocidade angular do
eixo é dada por:
Portanto:
No SI, a potência é expressa em watts
1W = 1Nm/s
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Relação Potência-Freqüência
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No caso da análise de máquinas e mecanismos, a freqüência de rotação de um eixo, é geralmente conhecida.
Expressa em hertz (1Hz = 1 ciclo/s), ela representa o número de revoluções
que o eixo realiza por segundo.
TfP ⋅⋅⋅= π2
f⋅⋅= πω 2
Portanto, a equação da potência pode ser escrita do seguinte modo:
Como 1 ciclo = 2π rad, pode-se escrever que:
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Dimensionamento de Eixos
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Quando a potência transmitida por um eixo e sua rotação são conhecidas, o torque no eixo pode ser determinado.
Conhecendo-se o torque atuante no eixo e a tensão de cisalhamento do
material é possível determinar a dimensão do eixo a partir da equação
da torção da seguinte forma:
adm
T
c
J
τ=
Para eixo maciço:
2
4c
J⋅
=π
2
)( 44ie cc
J−⋅
=π
Para eixo tubular:
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Exercício 2
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2) Um eixo tubular de diâmetro interno de 30 mm e diâmetro externo de 42 mm éusado para transmitir 90 kW de potência. Determinar a freqüência de rotação do eixo de modo que a tensão de cisalhamento não exceda 50 MPa.
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Solução do Exercício 2
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J
cTmáx
⋅=τ
Solução:
O torque máximo que pode ser aplicado ao eixo é determinado pela equação da torção: c
JT máx ⋅
=τ
2
)( 44ie cc
J−⋅
=π
Para eixo tubular:
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Solução do Exercício 2
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Portanto:
c
cc
T
iemáx 2
)( 44−⋅
⋅
=
πτ
021,02
)015,0021,0(1050
446 −⋅
⋅⋅
=
π
T
538=T Nm
A partir da equação da freqüência:
TfP ⋅⋅⋅= π2
T
Pf
⋅⋅=
π2
5382
1090 3
⋅⋅
⋅=
πf
6,26=f Hz
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Exercícios Propostos
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1) O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo.
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Exercícios Propostos
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2) O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm. Determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta nele desenvolvida e traçar o gráfico da distribuição cisalhamento-tensão ao longo de uma reta radial onde o cisalhamento é máximo. Considerar T1 = 20 Nm.
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Exercícios Propostos
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3) O eixo de aço está submetido à carga de torção mostrada. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B e desenhar o gráfico da tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. O eixo onde A e B estão localizados tem raio externo de 60 mm.
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Exercícios Propostos
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4) O acoplamento é usado para acoplar dois eixos. Supondo que a tensão de cisalhamento nos parafusos seja uniforme, determinar o número de parafusos necessários para que a tensão de cisalhamento máxima no eixo seja igual à tensão de cisalhamento nos parafusos. Cada parafuso tem diâmetro d.
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Exercícios Propostos
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5) A bomba opera com um motor que tem potência de 85 W. Supondo que o impulsor em B esteja girando a 150 rpm, determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em A, localizada no eixo de transmissão que tem 20 mm de diâmetro.
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