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PROAB 2010 AULA 6 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EQUAÇÃO EQUAÇÃO É TODA SENTENÇA MATEMÁTICA ABERTA QUE EXPRIME UMA RELAÇÃO DE IGUALDADE. A PALAVRA EQUAÇÃO TEM O PREFIXO “EQUA”, QUE EM LATIM QUER DIZER “IGUAL”.
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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EQUAÇÃO

EQUAÇÃO É TODA SENTENÇA MATEMÁTICA ABERTA QUEEXPRIME UMA RELAÇÃO DE IGUALDADE. A PALAVRA

EQUAÇÃO TEM O PREFIXO “EQUA”, QUE EM LATIM QUERDIZER “IGUAL”.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

AS EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU SÃO AQUELAS QUEPODEM SER REPRESENTADAS SOB A FORMA ax + b = 0,

EM QUE “a” E “b” SÃO CONSTANTES REAIS, COM “a”DIFERENTE DE 0, E “x” É A VARIÁVEL.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

2x + 8 = 0

5x – 4 = 6x + 8

3a – b – c = 0

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

NÃO SÃO EQUAÇÕES

4 + 8 = 7 + 5 (NÃO É UMA SENTENÇA ABERTA)

x – 5 < 3 (NÃO É IGUALDADE)

5 ≠ - 2 (NÃO É SENTENÇA ABERTA, NEM IGUALDADE)

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

CONSIDERANDO AS DUAS IGUALDADES ABAIXO:

2 + 3 = 52 + 1 = 5

DIZEMOS QUE AS IGUALDADES SÃO SENTENÇASMATEMÁTICAS FECHADAS, POIS SÃO DEFINITIVAMENTEFALSAS OU DEFINITIVAMENTE VERDADEIRAS. NO CASO,

A PRIMEIRA É SEMPRE VERDADEIRA E A SEGUNDA ÉSEMPRE FALSA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

CONSIDERANDO A IGUALDADE ABAIXO:

2 + x = 5

DIZEMOS QUE A IGUALDADE É UMA SENTENÇAMATEMÁTICA ABERTA, POIS PODE SER VERDADEIRA OU

FALSA, DEPENDENDO DO VALOR ATRIBUÍDO A LETRA “x”.NO CASO, É VERDADEIRA QUANDO ATRIBUÍMOS A “x” OVALOR 3 E FALSA QUANDO O VALOR ATRIBUÍDO A “x” É

DIFERENTE DE 3. SENTENÇAS MATEMÁTICAS DESSE TIPOSÃO CHAMADAS DE EQUAÇÕES.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

A LETRA “x” É A VARIÁVEL DA EQUAÇÃO.

O NÚMERO 3 É A RAIZ OU SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO.

O CONJUNTO SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO, TAMBÉMCHAMADO DE CONJUNTO VERDADE É S = {3}.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

2x + 1 = 73 É A ÚNICA RAIZ, ENTÃO S = {3}

3x – 5 = -21 É A ÚNICA RAIZ, ENTÃO S = {1}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

CONSIDERE A EQUAÇÃO 2x – 8 = 3x – 10

A LETRA “x” É A INCÓGNITA DA EQUAÇÃO. A PALAVRA“INCÓGNITA” SIGNIFICA “DESCONHECIDA”.

NA EQUAÇÃO ACIMA A INCÓGNITA É “x” E TUDO QUEANTECEDE O SINAL DA IGUALDADE DENOMINA-SE

1º MEMBRO, E O QUE SUCEDE, 2º MEMBRO.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

QUALQUER PARCELA, DO 1º OU DO 2º MEMBRO, É UMTERMO DA EQUAÇÃO.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

RESOLVER UMA EQUAÇÃO É DETERMINAR TODAS ASRAÍZES DA EQUAÇÃO QUE PERTENCEM A UM CONJUNTO

PREVIAMENTE ESTABELECIDO, CHAMADO CONJUNTOUNIVERSO.

PARA RESOLVER A EQUAÇÃO x² = 4 em R

AS RAÍZES REAIS DA EQUAÇÃO SÃO -2 E +2, ASSIM:

S = {-2, +2}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PARA RESOLVER A EQUAÇÃO x² = 4 em N

A ÚNICA RAÍZ NATURAL DA EQUAÇÃO É +2, ASSIM:

S = {+2}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

NA RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES, PODEMOS NOS VALERDE ALGUMAS OPERAÇÕES E TRANSFORMÁ-LAS EM EQUA-

ÇÕES EQUIVALENTES, ISTO É, QUE APRESENTAM OMESMO CONJUNTO SOLUÇÃO, NO MESMO UNIVERSO.

VEJAMOS ALGUMAS DESTAS PROPRIEDADES:

P1) QUANDO ADICIONAMOS OU SUBTRAÍMOS UM MESMONÚMERO AOS DOIS MEMBROS DE UMA IGUALDADE, ESTA

PERMANECE VERDADEIRA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

OBSERVEMOS A EQUAÇÃO:

x + 2 = 3

SUBTRAINDO 2 NOS DOIS MEMBROS DA IGUALDADE,TEMOS:

x + 2 = 3 => x + 2 – 2 = 3 – 2

ASSIM:

x + 2 = 3 => x = 3 – 2

x + 2 = 3 => x = 1

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

P2) QUANDO MULTIPLICAMOS OU DIVIDIMOS OS DOISMEMBROS DE UMA IGUALDADE POR UM NÚMERODIFERENTE DE ZERO, A IGUALDADE PERMANECE

VERDADEIRA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

OBSERVEMOS A EQUAÇÃO:

-2x = 6

DIVIDINDO POR -2 OS DOIS MEMBROS DA IGUALDADE,TEMOS:

-2x = 6 => -2x/-2 = 6/-2

ASSIM:

-2x = 6 => x = – 3

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

3x – 5 = 0 (a = 3 E b = -5)

PARA RESOLVER UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU, DEVEMOSISOLAR A INCÓGNITA EM UM DOS MEMBROS DA

IGUALDADE, USANDO AS PROPRIEDADES P1 E P2 DOITEM ANTERIOR

3x – 5 = 03x – 5 + 5 = 0 + 5

3x = 53x/3 = 5/3

x = 5/3

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

3x – 5 = 2x + 63x – 2x = 6 + 5

x = 11

S = {11}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

2(x + 3) + 3(x - 1) = 7(x + 2)2x + 6 + 3x – 3 = 7x + 142x + 3x – 7x = 14 + 3 – 6

-2x = 11x = -11/2

S = {-11/2}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

EM UM SÍTIO, ENTRE OVELHAS E CABRITOS, HÁ 200 ANIMAIS.SE O NÚMERO DE OVELHAS É IGUAL A 1/3 DO NÚMERO DE

CABRITOS, DETERMINE QUANTAS SÃO O NÚMERO DEOVELHAS E QUANTOS SÃO O NÚMERO DE CABRITOS.

x = OVELHAS y = CABRITOS

x = 1/3.200 = 67x + y = 200

67 + y = 200y = 200 – 67

y = 133S = {67, 133}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

EM UM QUINTAL EXISTEM PORCOS, AVETRUZ E GALINHAS,FAZENDO UM TOTAL DE 60 CABEÇAS E 180 PÉS.

x = ANIMAIS DE DOIS PÉS (AVESTRUZ E GALINHAS)y = ANIMAIS DE QUATRO PÉS (PORCOS)

x + y = 60 => x = 60 – y

ASSIM, ANIMAIS DE DOIS PÉS 2x, E QUATRO PÉS 4y,LOGO SÃO OBSERVADOS:

2x + 4y = 180

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

2x + 4y = 1802(60 – y) + 4y = 180120 - 2y + 4y = 180-2y + 4y = 180 - 120

2y = 60y = 30

x + y = 60x + 30 = 60x = 60 – 30

x = 30

LOGO, S = {30, 30}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

A SOMA DE DOIS NÚMEROS DADOS É 8 E A DIFERENÇAENTRE ESTES MESMO NÚMEROS É IGUAL A 4.

QUAIS SÃO OS NÚMEROS?

x + y = 8 x - y = 4

x + x + y – y = 8 + 42x = 12

x = 12/2 = 6

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

x – y = 46 – y = 4-y = 4 – 6

-y = -2 (x-1)y = 2

S = {6,2}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

DENOMINA-SE EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM UMA VARIÁVELTODA E QUALQUER EQUAÇÃO QUE ESTEJA NA FORMA:

ONDE a, b E c PERTENCEM AOS REAIS “R”, COM a ≠ 0.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

DESTA FORMA, SÃO EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU:

3x² - 4x + 2 = 0

ONDE:

a = 3

b = -4

c = 2

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

DESTA FORMA, SÃO EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU:

y² + 10y - 15 = 0

ONDE:

a = 1

b = 10

c = -15

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

COEFICIENTES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

OS NÚMEROS REAIS a, b E c SÃO CHAMADOS DECOEFICIENTES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, E SEGUEM

DA SEGUINTE FORMA:

• “a” É SEMPRE O COEFICIENTE DO TERMO x².

• “b” É SEMPRE O COEFICIENTE DO TERMO x.

• “c” É CHAMADO DE TERMO INDEPENDENTE OU MESMODE TERMO CONSTANTE.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

O QUE SÃO EQUAÇÕES COMPLETAS E EQUAÇÕESINCOMPLETAS.

COMO JÁ DEFINIMOS, O COEFICIENTE “a” É SEMPREDIFERENTE DE ZERO (a ≠ 0). MAS OS COEFICIENTES

“b” E “c” PODEM SER NULOS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

QUANDO “b” E “c” SÃO DIFERENTES DE ZERO, A EQUAÇÃOSE DIZ COMPLETA.

2x² - 4x + 2 = 0

y² - 3y + 4 = 0

-3t² + 4t + 3 = 0

OBS.: TODAS AS EQUAÇÕES ACIMA SÃO CHAMADAS DE“EQUAÇÕES COMPLETAS”.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

QUANDO (b = 0), OU (c = 0) OU (b = c = 0), A EQUAÇÃO SEDIZ INCOMPLETA.

x² - 5 = 0

10x² = 0

t² + 2t = 0

OBS.: TODAS AS EQUAÇÕES ACIMA SÃO CHAMADAS DE“EQUAÇÕES INCOMPLETAS”.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS

PARA RESOLVER UMA EQUAÇÃO, QUE SIGNIFICADETERMINAR O CONJUNTO DE SOLUÇÕES DESSA

EQUAÇÃO, INICIALMENTE OBSERVAMOS O SEGUINTE:

• SE x² = a, ENTÃO x = RAIZ QUADRADA POSITIVAE NEGATIVA (RELAÇÃO FUNDAMENTAL).

• SE a.b = 0, ENTÃO a = 0 OU b = 0.

BASEADO NAS CONDIÇÕES ACIMA, VERIFICAREMOS COMORESOLVER AS EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS

A EQUAÇÃO É DA FORMA ax² + bx = 0, ONDE c = 0.

EXEMPLOS

x² - 4x = 0

COLOCANDO O FATOR “x” EM EVIDÊNCIA, TEMOS:

x.(x – 4) = 0x = 0

x - 4 = 0x = 4

LOGO S = {0,4}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

y² - 10x = 0

COLOCANDO O FATOR “y” EM EVIDÊNCIA, TEMOS:

y.(y + 10) = 0y = 0

y + 10 = 0y = -10

LOGO S = {0,-10}

OBSERVE QUE NOS DOIS EXEMPLOS ACIMA, SEMPRE PROCURAMOSCOLOCAR A VARIÁVEL EM EVIDÊNCIA PARA QUE A EQUAÇÃO SEJA

SOLUCIONADA MAIS RAPIDAMENTE.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS

A EQUAÇÃO É DA FORMA ax² + c = 0, ONDE b = 0.

EXEMPLOSx² - 49 = 0

CALCULANDO O TERMO INDEPENDENTE E TRANSPONDOO TERMO, TEMOS O SEGUINTE:

x² - 49 = 0x² = 49

x = +/- raiz quadrada de 49 (√49) – relação fundamentalx = +/- 7

x = +7 ou -7S = {-7,7}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

4x² - 36 = 0

CALCULANDO O TERMO INDEPENDENTE E TRANSPONDOO TERMO, TEMOS O SEGUINTE:

4x² - 36 = 04x² = 36x² = 36/4

x² = 9x = +/- raiz quadrada de 9 (√9) – relação fundamental

x = +/- 3 x = +3 ou -3

S = {-3,3}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

IDENTIFIQUE OS COEFICIENTES DE CADA EQUAÇÃO EDIGA SE ELA É COMPLETA OU INCOMPLETA:

4x² - 2x - 2 = 0

a = 4

b = -2

c = -2

A EQUAÇÃO É DENOMINADA COMPLETA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

IDENTIFIQUE OS COEFICIENTES DE CADA EQUAÇÃO EDIGA SE ELA É COMPLETA OU INCOMPLETA:

4x² + 60 = 0

a = 4

b = 0

c = 60

A EQUAÇÃO É DENOMINADA INCOMPLETA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

IDENTIFIQUE OS COEFICIENTES DE CADA EQUAÇÃO EDIGA SE ELA É COMPLETA OU INCOMPLETA:

x² - 6x = 0

a = 1

b = -6

c = 0

A EQUAÇÃO É DENOMINADA INCOMPLETA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

CALCULE A EQUAÇÃO ABAIXO.

y² + 15y = 0

y.(y + 15) = 0

y = 0

y + 15 = 0

y = -15

S = {0, -15}

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS

INICIALMENTE OBSERVAMOS A FÓRMULA RESOLUTIVAE DISCRIMINANTE. CONSIDERANDO A EQUAÇÃO:

ax² - bx + c = 0

EM QUE a, b E c PERTENCEM AOS REAIS “R” E a ÉDIFERENTE DE ZERO.

SERÁ USADA A FÓRMULA RESOLUTIVA OU FÓRMULA DEBÁSCARA PARA A RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

COMPLETAS.

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS

A EXPRESSÃO:

AONDE O SÍMBOLO APONTADO ACIMA CHAMA-SE“DELTA”.

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS

A FÓRMULA DE BÁSCARA:

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

DELTA

O POLINÔMIO INDICADO E QUE SE ENCONTRA DENTRO DARAÍZ DA FÓRMULA É CHAMADO DE DELTA OU

DISCRIMINANTE.

DESSA FORMA, A FÓRMULA RESOLUTIVA PODE SERESCRITA NA FORMA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

DELTA

CONFORME O DELTA SEJA POSITIVO, NEGATIVO OU NULO,EXISTEM TRÊS CASOS PARA SE ESTUDAR E RESOLVER:

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

DELTA

O DISCRIMINANTE É POSITIVO:

A EQUAÇÃO TERÁ DUAS RAÍZES REAIS DIFERENTES EDISTINTAS, SENDO COSTUME FAZER ESTA

REPRESENTAÇÃO POR x’ E x”.

A FÓRMULA RESOLUTIVA DESTE CASO É:

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

DELTA

O DISCRIMINANTE É NULO:

A EQUAÇÃO TERÁ DUAS RAÍZES REAIS E IGUAIS.

NESTE CASO EXISTE UM CASO PARTICULAR PARAFÓRMULA RESOLUTIVA:

x = -b/2a

ASSIM x = x’ = x” = -b/2a

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

DELTA

O DISCRIMINANTE É NEGATIVO:

NESTE CASO O VALOR DA RAIZ QUADRADA DE DELTA NÃOEXISTE EM “R”, POIS NÃO EXISTE NO CONJUNTO DOSNÚMEROS REAIS A RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO

NEGATIVO.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

x² - 6x + 5 = 0

a = 1b = -6c = 5

DISCRIMINANTE:

= (-6)² - 4.(1).(5)= 36 – 20

= 1616 > 0

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

x = -(-6) +- √16  = 6 +- 4              2.(1)           2

x’ = 6 + 4 = 5            2 x’’ = 6 – 4 = 1         2 S = {1,5}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

x² = 5(2x – 5)x² = 10x – 25

x² -10x + 25 = 0

a = 1b = -10c = 25

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

DISCRIMINANTE:

= (-10)² - 4.(1).(25)= 100 – 100

= 00 = 0 (DUAS RAÍZES)

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

Fórmula resolutiva: x = x’ = x’’ = -b                    2a x = -(-10)     ---> x = 10/2       2.(1) x = 5 S = {5}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

x² + 3x + 8 = 0

a = 1b = 3c = 8

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

DISCRIMINANTE:

= (3)² - 4.(1).(8)= 9 – 32= - 23

-23 < 0

COMO < 0, A EQUAÇÃO NÃO TEM RAÍZES REAIS.

S = ø

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU EM SUA DEFINIÇÃO MAIS SIMPLESE COMPREENSÍVEL, PODE SER DEFINIDA COMO TODA EQUALQUER SENTENÇA DA MATEMÁTICA QUE É ABERTA

POR UM SINAL DE DESIGUALDADE.

ax + b > 0ax + b < 0

ax + b >= 0ax + b <= 0

SENDO QUE: “a” E “b”, SÃO NÚMEROS REAIS E DIFERENTESDE ZERO (a E b ≠ 0), RESPECTIVAMENTE.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

2x – 8 > 0

3x – 9 < 0

4x + 9 >= 0

5x + 1/3 <= 0

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

O QUE REPRESENTA OS SINAIS DAS INEQUAÇÕES.

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

OBSERVANDO AS CONDIÇÕES DE VIDA DA POPULAÇÃO DOBRASIL, OBVIAMENTE ENCONTRAREMOS UM GRANDE MARDE DESEQUILÍBRIO. ESTAS DESIGUALDADES PODEM SERENCONTRADAS EM DIVERSAS ÁREAS, MAIS A QUE MAIS

SE DESTACAM SÃO SOCIAL E ECONÔMICA.

VEJAM ALGUNS EXEMPLOS DE DESIGUALDADES:

SALARIAL: ENQUANTO MUITOS BRASILEIROS ESTÃO COMFAIXAS DE SALÁRIOS BAIXAS QUE MAL PODEM SE

SUSTENTAR, ALGUNS OUTROS TEM SEUS SALÁRIOS ALTOS.

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

HABITAÇÃO: MUITOS BRASILEIROS TÊM CASAS BOAS EMBAIRROS E CIDADES NOBRES, OUTROS NÃO TÊM

CONDIÇÕES DE TER SUA CASA PRÓPRIA.

MORADIA: AS PESSOAS QUE VIVEM NAS RUAS AUMENTAMCADA VEZ MAIS COM O PASSAR DOS ANOS.

ALIMENTAÇÃO: CERCA DE 40% DA POPULAÇÃO QUE VIVEEM AMBIENTE RURAL, NO CAMPO, VIVE EM SITUAÇÃO

PRECÁRIA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

NAS INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU QUE ESTEJAM NAFORMA ax + b > 0, TEM-SE O OBJETIVO DE SE APURAR UMCONJUNTO DE TODAS E QUAISQUER POSSÍVEIS VALORES

QUE POSSAM ASSUMIR UMA OU MAIS VARIÁVEL QUEESTEJAM ENVOLVIDAS NAS INEQUAÇÕES PROPOSTA

NO PROBLEMA.

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

DETERMINE TODOS OS POSSÍVEIS NÚMEROS INTEIROSPOSITIVOS PARA AS QUAIS SATISFAÇA A INEQUAÇÃO:

3x + 5 < 17

VEJAOS SEGUINTES PASSOS PARA A SOLUÇÃO:

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

APÓS FAZER OS DEVIDOS CÁLCULOS DA INEQUAÇÃOACIMA, PODE-SE CONCLUIR QUE A SOLUÇÃO

APRESENTADA É FORMADA POR TODOS OS NÚMEROSINTEIROS E POSITIVOS MENORES QUE O NÚMERO 4.

S = {1, 2, 3}

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

2 – 4x >= x + 17

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

3(x + 4) < 4(2 – x)

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

QUAIS OS VALORES DE “x” QUE TORNAM A INEQUAÇÃO-2x + 4 > 0 VERDADEIRA.

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

O NÚMERO 2 NÃO É A SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO DADA,MAIS SIM QUALQUER VALOR MENOR QUE 2.

PARA x = 1

-2x + 4 > 0-2.(1) + 4 > 0

-2 + 4 > 02 > 0 (VERDADEIRO)

OBSERVE, ENTÃO, QUE O VALOR DE “x” MENOR QUE 2 É A SOLUÇÃO PARA A INEQUAÇÃO.

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PRINCÍPIOS PARA SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

1)ADICIONANDO UM MESMO NÚMERO A AMBOS OSMEMBROS DE UMA INEQUAÇÃO, OU SUBTRAINDO UM

MESMO NÚMERO DE AMBOS OS MEMBROS, ADESIGUALDADE SE MANTÉM.

2) DIVIDINDO OU MULTIPLICANDO AMBOS OS MEMBROS DEUMA INEQUAÇÃO POR UM MESMO NÚMERO POSITIVO,

A DESIGUALDADE SE MANTÉM.

3) DIVIDINDO OU MULTIPLICANDO POR UM MESMO NÚMERONEGATIVO AMBOS OS MEMBROS DE UMA INEQUAÇÃO DO

TIPO >, >=, < OU <=, A DESIGUALDADE INVERTE O SENTIDO.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PRINCÍPIOS PARA SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

É FÁCIL PERCEBER QUE A RESOLUÇÃO DE UMA INEQUA-ÇÃO DO 1º GRAU BASEIA-SE NOS MESMO PRINCÍPIOS DARESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU ATENTANDO

-SE AO ITEM 3 ANTERIORMENTE QUE DIFERENCIA. UMAINEQUAÇÃO DO 1º GRAU É RESOLVIDA DA MESMA FORMA

QUE SE RESOLVE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU, SÓ QUEQUANDO O “x” É NEGATIVO, NO FINAL DA RESOLUÇÃOMULTIPLICA-SE AMBOS OS MEMBROS DA INEQUAÇÃO

POR (-1) E AÍ O SENTIDO SE INVERTE, SE É “>” FICA “<“,SE É “<“ FICA “>”, SE É “<=“ FICA “>=“ E

SE É “>=“ FICA “<=“.

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

CONSIDERANDO COMO UNIVERSO O CONJUNTO DOSNÚMEROS NATURAIS, DETERMINE O CONJUNTO

SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO:

5x – 8 < 3x + 125x – 3x < 12 + 8

2x < 20x < 20/2x < 10

ASSIM O CONJUNTO SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO É:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

SE, O UNIVERSO DO EXERCÍCIO ANTERIOR FOSSE OCONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, QUAL SERIA O

CONJUNTO SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO?

NÃO É POSSÍVEL EXPLICITAR, UM A UM, TODOS OSNÚMEROS REAIS MENORES QUE 10. POR ISSO,REPRESENTA-SE O CONJUNTO SOLUÇÃO “S”

SIMPLESMENTE POR

S = {x/x є R / x < 10}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

QUANDO UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU É RESOLVIDA,SÃO USADOS OS RECURSOS MATEMÁTICOS TAIS COMO:

SOMAR OU DIMINUIR UM VALOR IGUAL AOS DOISMEMBROS DA EQUAÇÃO OU MULTIPLICAR E DIVIDIROS MEMBROS DA EQUAÇÃO POR UM MESMO VALOR.

O MESMO CONCEITO SERVE PARA A RESOLUÇÃO DASINEQUAÇÕES DO 1º GRAU.

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

5 > 3

RECURSO:

5 > 3 (SOMAR O VALOR 2)

5 + 2 > 3 + 2

7 > 5 (CONTINUA SENDO UMA INEQUAÇÃO VERDADEIRA)

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

5 > 3

RECURSO:

5 > 3 (SUBTRARIA O VALOR 1)5 – 1 > 3 – 1

4 > 2 (CONTINUA SENDO UMA INEQUAÇÃO VERDADEIRA)

DESTA FORMA, É POSSÍVEL CONCLUIR QUE DE ACORDOCOM AS PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES DE 1º GRAU,

PODEMOS USAR OS MESMOS RECURSOS MATEMÁTICOSDE SOMAR OU SUBTRAIR UM MESMO VALOR AOSMEMBROS DA INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU.

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

5 > 2

RECURSO:

5 > 2 (MULTIPLICAR PELO VALOR NEGATIVO -2)5.(-2) > 2.(-2)

-10 > -4 (A INEQUAÇÃO NÃO É VERDADEIRA)

PARA QUE A INEQUAÇÃO ACIMA SE TORNE VERDADEIRAÉ PRECISO INVERTER O SINAL.

-10 < -4 (AGORA A INEQUAÇÃO É VERDADEIRA)

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

PORTANTO, É PRECISO TER O MÁXIMO DE CUIDADO AOUTILIZAR O RECURSO MATEMÁTICO DE (MULTIPLICAR

OU DIVIDIR POR UM MESMO VALOR OS COMPONENTES DAINEQUAÇÃO) PARA RESOLVER UMA INEQUAÇÃO DO

PRIMEIRO GRAU. CASO ESTE VALOR SEJA UM NÚMERONEGATIVO, O SINAL DE DESIGUALDADE (INEQUAÇÃO)

DEVE SER INVERTIDO.

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU

DADAS AS FUNÇÕES f(x) E g(x), CHAMAMOS DE INEQUAÇÃO-PRODUTO TODA INEQUAÇÃO QUE PODE ASSUMIR UMA DAS

SEGUINTES FORMAS:

f(x).g(x) > 0

f(x).g(x) >= 0

f(x).g(x) < 0

f(x).g(x) <= 0

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU

A FORMA DA INEQUAÇÃO-PRODUTO PODE SER ESTENDIDAPARA MAIS DE DUAS FUNÇÕES.

(x – 1).(2x – 3).(x + 1) < 0

(x – 2).(-2x + 1).(4 – x) <= 0

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AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU

PARA RESOLVERMOS INEQUAÇÕES-PRODUTO, PRIMEIROESTUDAMOS O SINAL DE CADA FUNÇÃO QUE COMPÕE O

PRODUTO E, ENTÃO, DETERMINAMOS O SINAL DO PRODUTO.

(x – 1).(2x – 3) >= 0

f(x) = x – 1g(x) = 2x – 3

f(x) = 0x – 1 = 0

x = 1 (ZERO DA FUNÇÃO)

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU

COMO a = 1 > 0, VEM:

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g(x) = 02x – 3 = 0

2x = 3x = 3/2

COMO a = 2 > 0, VEM:

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QUADRO DO PRODUTO

LOGO:

S = {x є R/ x <= 1 ou x >= 3/2}