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Aula 7

Testes de Raiz Unitária para Dados em Painel

Bibliografia: Stata, 2017. help xtunitroot. From Stata/SE 13 (accessed on Oct. 23, 2018).Pesaran, M.H. (2015). Time series and panel data econometrics. Oxford: Oxford University Press.

Rafael S. M. Ribeiro

Centro de Desenvolvimento e Planejamento Regional (CEDEPLAR)

Faculdade de Ciências Econômicas (FACE)

Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Introdução

• Uma das principais razões por trás da aplicação de testes de raizunitária a dados em painel foi para ganhar poder estatístico sobre ostestes de raiz unitária convencionais.

• Por exemplo, o teste de Dickey-Fuller Aumentado (1979)normalmente não é capaz de rejeitar a hipótese de que a taxa decâmbio real é não-estacionária. Por outro lado, os testes de raizunitária para dados em painel geralmente sugerem que a variável taxade câmbio real para um conjunto de países é estacionária, dandoapoio empírico à hipótese de paridade do poder de compra.

2Testes de Raiz Unitária para Dados em PainelProf. Rafael Ribeiro (Cedeplar/UFMG)

Introdução

Testar as hipóteses de raiz unitária usando dados em painel envolvevárias complicações adicionais:

1. Dados em painel geralmente envolvem uma quantidade substancialde heterogeneidade não observada

2. A suposição de independência entre as unidades de corte seccionalé inadequada em muitas aplicações empíricas.


Introdução

3. Os resultados do teste de raiz unitária para dados em painel sãomuitas vezes difíceis de interpretar se a hipótese nula de raizunitária é rejeitada. O melhor que pode ser concluído é que "umafração significativa do unidades de corte transversal é estacionária”.

4. A teoria assintótica é consideravelmente mais complicada devido aofato de que a estrutura de dados em painel envolve uma dimensãode tempo, bem como um dimensão de corte transversal.


Introdução

Vamos apresentar os seguintes testes de raiz unitária para dados empainel:

i. Levin–Lin–Chu

ii. Breitung

iii. Im–Pesaran–Shin

iv. Testes do tipo Fisher


Panorama geral

Considere o modelo para dados em painel com um componente auto-regressivo de primeira ordem:

𝑦𝑖𝑡 = 𝜌𝑖𝑦𝑖,𝑡−1 + 𝒛𝑖𝑡′ 𝛾𝑖 + 𝜖𝑖𝑡 (1)

onde 𝑖 = 1,… , 𝑁 e 𝑡 = 1,… , 𝑇 os índices de unidade e de tempo dopainel, respectivamente, 𝑦𝑖𝑡 é a variável de interesse e 𝜖𝑖𝑡 é o termo deerro estacionário. A equação acima pode incluir ou a média unidade-específica se 𝒛𝑖𝑡 = 1, ou a média e a tendência unidade-específica se𝒛𝑖𝑡 = 1, 𝑡 ou nada se o termo 𝒛𝑖𝑡

′ 𝛾𝑖 for omitido.


Panorama geral

Testes de raiz unitária para dados em painel são usados para se testar ahipótese nula de que 𝐻0: 𝜌𝑖 = 1 para todo 𝑖 contra a alternativa𝐻1: 𝜌𝑖 < 1.

Podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

∆𝑦𝑖𝑡= 𝜙𝑖𝑦𝑖,𝑡−1 + 𝒛𝑖𝑡′ 𝛾𝑖 + 𝜖𝑖𝑡 (1′)

De modo que 𝐻0: 𝜙𝑖 =0 para todo 𝑖 contra a alternativa 𝐻1: 𝜙𝑖 < 0.


Panorama geral

Algumas observações:

• Os testes de Levin–Lin–Chu e Breitung assumem que todas asunidades do painel possuem o mesmo valor para o termo auto-regressive, i.e. 𝜌𝑖 = 𝜌 para todo 𝑖. Os demais testes permitem queeste parâmetro varie entre as unidades de corte transversal.

• Os testes de Levin–Lin–Chu e Breitung só podem ser realizados parapainéis balanceados. Os demais aceitam painéis não-balanceados.


Teste de Levin–Lin–Chu (LLC)

Seja:

∆𝑦𝑖𝑡= 𝜙𝑖𝑦𝑖,𝑡−1 + 𝒛𝑖𝑡′ 𝛾𝑖 +

𝑗=1

𝑝𝑖

𝜃𝑖𝑗∆𝑦𝑖,𝑡−𝑗 + 𝑢𝑖𝑡 (2)

onde 𝑢𝑖𝑡 é ruído branco com variância potencialmente heterogêneaentre unidades diferentes.

O número de defasagens 𝑝𝑖 é definido como sendo aquele queminimiza um dos critérios de informação (BIC, AIC ou HQ).



O primeiro passo é calcular, pelo método de MQO, as equações dosresíduos abaixo:

Ƹ𝑒𝑖𝑡 = ∆𝑦𝑖𝑡 −

𝑗=1

𝑝𝑖

መ𝜃𝑖𝑗∆𝑦𝑖,𝑡−𝑗 − 𝒛𝑖𝑡′ ො𝛾𝑖 (3)

ො𝑣𝑖,𝑡−1 = 𝑦𝑖,𝑡−1 −

𝑗=1

𝑝𝑖

෨𝜃𝑖𝑗∆𝑦𝑖,𝑡−𝑗 − 𝒛𝑖𝑡′ 𝛾𝑖 (3′)



Para controlar a heterogeneidade unidade-específica, calcule:

ǁ𝑒𝑖𝑡 = ΤƸ𝑒𝑖𝑡 ො𝜎𝜖𝑖 e 𝑣𝑖,𝑡−1 = Τො𝑣𝑖,𝑡−1 ො𝜎𝜖𝑖

onde

ො𝜎𝜖𝑖2 =

1

𝑇 − 𝑝𝑖 − 1

𝑡=𝑝𝑖

𝑇

Ƹ𝑒𝑖𝑡 − 𝛿∗ ො𝑣𝑖,𝑡−12

e 𝛿∗é o estimador de MQO da regressão entre Ƹ𝑒𝑖𝑡 e ො𝑣𝑖,𝑡−1.



O segundo passo é estimar a regressão abaixo e calcula a estatística t padrãopara 𝛿:

ǁ𝑒𝑖𝑡 = መ𝛿 𝑣𝑖,𝑡−1 + ǁ𝜖𝑖𝑡 → 𝑡𝛿 = ൗመ𝛿 𝑠𝑒 መ𝛿

onde

𝑠𝑒 መ𝛿 = ො𝜎𝜖

𝑖=1

𝑁

𝑡=𝑝𝑖+2

𝑇

𝑣𝑖,𝑡−12

Τ−1 2

ො𝜎𝜖 =1

𝑁෨𝑇

𝑖=1

𝑁

𝑡=𝑝𝑖+2

𝑇

ǁ𝑒𝑖𝑡 − መ𝛿 𝑣𝑖,𝑡−12

෨𝑇 = 𝑇 − ҧ𝑝 − 1, com ҧ𝑝 sendo a média de 𝑝1, … , 𝑝𝑁



A estatística de teste t ajustada é calculada da seguinte forma:

𝑡𝛿∗ =

𝑡𝛿 −𝑁෨𝑇 መ𝑆𝑁𝑠𝑒 መ𝛿 𝜇 ෨𝑇∗

𝜎෨𝑇∗

onde 𝜇 ෨𝑇∗ e 𝜎෨𝑇

∗ são obtidos por meio da interpolação linear dos valoresapresentados em LLC(2002, Tabela 2); መ𝑆𝑁 = 𝑁−1σ𝑖=1

𝑁 Ƹ𝑠𝑖 em que Ƹ𝑠𝑖 é oestimador do desvio padrão de longo prazo de 𝑦𝑖𝑡 controlado pelaheterogeneidade unidade-específica.

Vale lembrar que o teste de LLC só se aplica a painéis balanceados.


Teste de Breitung

• Os teste LLC adota a estratégia de ajustar primeiro um modelo deregressão e, posteriormente, ajusta ou o parâmetro auto-regressivoou sua estatística t para compensar o viés induzido por ter umregressor dinâmico e efeitos fixos no modelo.

• Os testes de Breitung (2000) e Breitung e Das (2005) adotam umatática diferente, ajustando os dados antes de ajustar um modelo deregressão para que os ajustes de viés não sejam necessários.


Teste de Breitung

• As simulações de Monte Carlo feitas por Breitung (2000) mostramque estatísticas de teste ajustadas, como a estatística 𝑡𝛿

∗ de LLCsofrem de baixo poder do teste, particularmente contra hipótesesalternativas com parâmetros auto-regressivos próximos de 1 equando os efeitos unidade-específicos do painel são incluídos.

• Em contraste, a estatística de teste de Breitung (2000) exibe ummaior poder nestes casos. Além disso, o teste de Breitung tem bomdesempenho mesmo com pequenas amostras (𝑁 = 25, 𝑇 = 25) ,embora o poder do teste pareça deteriorar-se quando T é fixo e N éaumentado.


Teste de Breitung

• O teste de Breitung assume que o termo de erro 𝜖𝑖𝑡 não estácorrelacionado ao longo das unidades 𝑖.

• Breitung e Das (2005) que calcula uma estatística de teste robusta àcorrelação unidade-específica.

• Vale lembrar que o teste de Breitung exige que o painel sejabalanceado.


Teste de Im–Pesaran–Shin (IPS)

Seja o modelo:

∆𝑦𝑖𝑡= 𝜙𝑖𝑦𝑖,𝑡−1 + 𝒛𝑖𝑡′ 𝛾𝑖 + 𝜖𝑖𝑡 (1′)

Considere também os seguintes termos:𝑴𝜏 = 𝑰 − 𝜏𝑇 𝜏𝑇

′ 𝜏𝑇−1𝜏𝑇

′

𝑿𝑖 = 𝜏𝑇 , 𝒚𝑖,−1𝑴𝑋𝑖 = 𝑰 − 𝑿𝑖 𝑿𝑖

′𝑿𝑖−1𝑿𝑖

′

𝒚𝑖,−1 = 𝑦𝑖1, 𝑦𝑖2, … , 𝑦𝑖,𝑇−1 ′

𝜏𝑇 é um vetor de 1’s de ordem 𝑇



Primeiro, assuma a inexistência de autocorrelação serial na equação(1’), ou seja, nenhuma defasagem de ∆𝑦𝑖𝑡 é incluída como variávelexplicativa em (1’).

A partir daí, IPS especificam três estatísticas de teste:



Primeiro, considere a estatística 𝑡 − 𝑏𝑎𝑟𝑁𝑇 . Esta estatística éapropriada quando você assume que N e T são fixos; Os valores críticosdo teste são reportados em IPS (2003).

𝑡 − 𝑏𝑎𝑟𝑁𝑇 = 𝑁−1

𝑖=1

𝑁

𝑡𝑖𝑇

onde

𝑡𝑖𝑇 =∆𝒚𝑖

′𝑴𝜏𝒚𝑖,−1

ෝ𝜎𝑖𝑇 𝒚𝑖,−1′ 𝑴𝜏𝒚𝑖,−1

1/2 e ො𝜎𝑖𝑇2 =

∆𝒚𝑖′𝑴𝑋𝑖

∆𝒚𝑖

𝑇−1



A estatística ǁ𝑡 − 𝑏𝑎𝑟𝑁𝑇 é similar à estatística 𝑡 − 𝑏𝑎𝑟𝑁𝑇, porém umestimador da variância do erro da regressão de Dickey-Fuller éutilizado.

ǁ𝑡 − 𝑏𝑎𝑟𝑁𝑇 = 𝑁−1

𝑖=1

𝑁

ǁ𝑡𝑖𝑇

onde

ǁ𝑡𝑖𝑇 =∆𝒚𝑖

′𝑴𝜏𝒚𝑖,−1

𝜎𝑖𝑇 𝒚𝑖,−1′ 𝑴𝜏𝒚𝑖,−1

1/2 e 𝜎𝑖𝑇2 =

∆𝒚𝑖′𝑴𝜏∆𝒚𝑖

𝑇−1



Por último, a estatística 𝑍 ሚ𝑡−𝑏𝑎𝑟 é a versão padronizada para umadistribuição normal da estatística ǁ𝑡 − 𝑏𝑎𝑟𝑁𝑇.

𝑍 ሚ𝑡−𝑏𝑎𝑟 =𝑁 ǁ𝑡 − 𝑏𝑎𝑟𝑁𝑇 − 𝑁−1σ𝑖=1

𝑁 𝐸( ǁ𝑡𝑇𝑖)

𝑁−1σ𝑖 𝑉𝑎𝑟( ǁ𝑡𝑇𝑖)

onde 𝐸( ǁ𝑡𝑇𝑖) e 𝑉𝑎𝑟( ǁ𝑡𝑇𝑖) são obtidos por meio da interpolação lineardos valores apresentados em IPS(2003, Tabela 1). 𝑍 ሚ𝑡−𝑏𝑎𝑟 tem umadistribuição normal padrão para 𝑇 fixo e 𝑁 → ∞.



Se controlarmos o problema da autocorrelação serial incluindodefasagens da variável dependente, temos o modelo:

∆𝑦𝑖𝑡= 𝜙𝑖𝑦𝑖,𝑡−1 + 𝒛𝑖𝑡′ 𝛾𝑖 +

𝑗=1

𝑝𝑖

𝑝𝑖𝑗∆𝑦𝑖,𝑡−𝑗 + 𝜖𝑖𝑡 (1′′)



Para o modelo (1’’), temos a seguinte estatística de teste:

𝑊𝑡−𝑏𝑎𝑟(𝑝) =𝑁 𝑡 − 𝑏𝑎𝑟𝑁𝑇(𝑝𝑖) − 𝑁−1σ𝑖=1

𝑁 𝐸 𝑡𝑖𝑇 𝑝𝑖

𝑁−1 σ𝑖 𝑉𝑎𝑟 𝑡𝑖𝑇 𝑝𝑖

onde 𝐸 𝑡𝑖𝑇 𝑝𝑖 e 𝑉𝑎𝑟𝐸 𝑡𝑖𝑇 𝑝𝑖 são obtidos por meio da interpolaçãolinear dos valores apresentados em IPS(2003, Tabela 1); 𝑡 − 𝑏𝑎𝑟𝑁𝑇(𝑝𝑖)é a estatística 𝑡 − 𝑏𝑎𝑟𝑁𝑇 calculada a partir do modelo com 𝑝𝑖defasagens. 𝑊𝑡−𝑏𝑎𝑟(𝑝) tem uma distribuição normal padrão para 𝑇 →∞ e 𝑁 → ∞.


Testes do tipo Fisher

• Este teste combina os p-valores dos testes de raiz unitária unidade-específicos usando os quatro métodos propostos por Choi (2001).

• A hipótese nula sendo testada por estes métodos é que todas asunidades do painel contêm uma raiz unitária. Para um número finitode unidades, a alternativa é que pelo menos uma unidade sejaestacionária.

• Usamos ou o teste ADF ou Phillips-Perron para realizar o teste de raizunitária para cada unidade do painel.



Denotar o p-valor para o respectivo teste sobre a i-ésima unidade dopainel como 𝑝𝑖 . Todos esses testes de raiz unitária são baseados em𝑇 → ∞ para que o teste para cada unidade seja consistente. O teste 𝑃é para N finito; os outros testes são válidos se N é finito ou infinito.

Dito isso, vamos especificar as quatro estatísticas de teste a seguir:



A estatística 𝐿∗ tem uma distribuição t de Student com 5𝑁 + 4 graus deliberdade:

𝐿∗ =

𝑖=1

𝑁

𝑙𝑛𝑝𝑖

1 − 𝑝𝑖

onde

𝐿∗ = 𝑘𝐿~𝑡5𝑁+4 e 𝑘 = Τ3(5𝑁 + 4) 𝜋2𝑁(5𝑁 + 2)



A estatística 𝑍 tem uma distribuição t de Student com 5𝑁 + 4 graus deliberdade:

𝑍 =1

𝑁

𝑖=1

𝑁

Φ−1𝑝𝑖

1 − 𝑝𝑖

onde Φ−1( ) é a inversa da distribuição normal padrão 𝑍~𝑁 0,1 .

Choi(2001) recomenda a utilização da estatística 𝑍 . Contudo, suassimulações mostram que o teste 𝐿∗ normalmente concorda com o teste 𝑍.



Para um número finito de unidades, a estatística 𝑃 é recomendável:

𝑃 = −2

𝑖=1

𝑁

𝑙𝑛 𝑝𝑖

onde 𝑃~𝜒2𝑁2 .

Se 𝑇 → ∞ seguido por 𝑁 → ∞, então 𝑃 → ∞ de modo que 𝑃 tem umadistribuição limitante degenerada.



Para painéis grandes, Choi(2001) propõe uma modificação sobre aestatística 𝑃, de modo que 𝑃𝑚 converge para uma distribuição normalpadrão:

𝑃𝑚 = −1

𝑁

𝑖=1

𝑁

𝑙𝑛 𝑝𝑖 + 1

onde 𝑃𝑚~𝑁(0,1).

Choi(2001) sugere que 𝑁 = 100 ainda não é suficiente para que 𝑃𝑚 seaproxime de uma distribuição normal.


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