Aula 9 - Amostragem, probabilidade, distribuição binomial 1 Tópicos iniciais de amostragem.

Aula 9 - Amostragem, probabilidade, distribuição binomial

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Tópicos iniciais de amostragem

População: totalidade de elementos sob estudo. Apresentam uma ou mais características em comum. Supor o estudo sobre a ocorrência de sobrepeso em crianças de 7 a 12 anos no Município de São Paulo.

População alvo – todas as crianças nesta faixa etária deste município. População de estudo – crianças matriculadas em escolas.

Elementos: são unidades de análise; podem ser pessoas, domicílios, escolas, creches, células ou qualquer outra unidade. Amostra: é uma parte da população de estudo. Amostragem: processo para obtenção de uma amostra. Tem como objetivo estimar parâmetros populacionais. Parâmetro: Quantidade fixa de uma população.

Ex: peso médio ao nascer de crianças que nascem no município de São Paulo ( = 3100 g); Proporção de crianças de 7 a 12 anos classificadas como obesas, no município de São Paulo ( = 12%).

Estimador: é uma fórmula matemática que permite calcular um valor (estimador por ponto) ou um conjunto de valores (estimador por intervalo) para um parâmetro.

Ex: Média aritmética:N

XX

N

ii

1 ,

onde N

N

ii XXXX

...211

e N = número de observações.


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Estimativa: Valor do estimador calculado em uma amostra. Estima o valor do parâmetro. Ex: Peso médio ao nascer, calculado em uma amostra de 120.000 crianças nascidas no Município de São Paulo no ano de 2000: média amostral = gx 3000 .

Indicações para utilizar uma amostra População muito grande; Processo destrutivo de investigação; Novas terapias.

Vantagens de realizar um estudo com amostragem:

Menor custo; Menor tempo para obtenção dos resultados; Possibilidade de objetivos mais amplos; Dados possivelmente mais fidedignos.

Desvantagens Resultados sujeitos à variabilidade.


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Tipos de Amostragem

Probabilística: cada unidade amostral tem probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra. É usada alguma forma de sorteio para a obtenção da amostra

Não probabilística: não se conhece a probabilidade de cada unidade amostral pertencer à amostra. Algumas unidades terão probabilidade zero de pertencer à amostra.

Ex: amostragem intencional; por voluntários; acesso mais fácil; por quotas.

Tipos de amostragem probabilística

- aleatória simples (com e sem reposição)

- sistemática

- com partilha proporcional ao tamanho do estrato

- por conglomerado


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Amostragem aleatória simples (AAS) É o processo de amostragem onde qualquer subconjunto de n elementos diferentes de uma população de N elementos tem mesma probabilidade de ser sorteado (Kalton G. 1983, Silva, NN, 1998). Tamanho da população: N; tamanho da amostra: n; fração global de amostragem ou probabilidade de sortear um

indivíduo = N

n

- É necessário ter um sistema de referência que contenha todos os elementos da população da qual será retirada a amostra. - Utilização da tabela de números aleatórios - mecânica - Utilização de programas computacionais


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A m o s t r a g e m s is t e m á t ic a U t i l iz a - s e a o r d e n a ç ã o n a t u r a l d o s e le m e n t o s d a p o p u la ç ã o ( p r o n t u á r io s , c a s a , o r d e m d e n a s c im e n t o ) .

- I n t e r v a lo d e a m o s t r a g e m n

Nk , o n d e N = t a m a n h o d a p o p u la ç ã o e n =

t a m a n h o d a a m o s t r a - I n íc io c a s u a l i , s o r t e a d o e n t r e 1 e k , in c lu s iv e - A m o s t r a s o r t e a d a é c o m p o s t a p e lo s e le m e n t o s : i , i+ k , i+ 2 k , . . . . , i+ ( n - 1 ) k O B S : É n e c e s s á r io t e r c u id a d o c o m a p e r io d ic id a d e d o s d a d o s , p o r e x e m p lo s e f o r f e it o s o r t e io d e d ia n o m ê s , p o d e c a ir s e m p r e e m u m d o m in g o o n d e o p a d r ã o d e o c o r r ê n c ia d o e v e n t o p o d e s e r d if e r e n t e .

E x e m p lo : N = 8 0 ; n = 1 0 ; 810

80

n

Nk ; in íc io c a s u a l: 81 i


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Exemplo: N=80; n=10; 810

80

n

Nk ; início casual: 81 i

Começo casual sorteado: i=4 Amostra composta dos elementos:

i 4 i+k 12 i+2k 20 . . .

.

.

. i+(n-1)k 76


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S e o i n t e r v a l o d e a m o s t r a g e m n ã o f o r i n t e i r o p r o c e d e r d a s e g u in t e f o r m a :

N = 3 2 1 ; n = 1 5 4 ; 084,2154

321

n

NK

i d e v e s e r u m n ú m e r o s o r t e a d o e n t r e 1 e 2 , 0 8 4 S o r t e a r u m n ú m e r o e n t r e 1 0 0 0 e 2 0 8 4 e d i v i d i r o r e s u l t a d o p o r 1 0 0 0 N ú m e r o s o r t e a d o = 1 9 4 1 , p o r t a n t o i= 1 , 9 4 1 I n d i v í d u o s :

e l e m e n t o I 1 , 9 4 1 1 i + k 1 , 9 4 1 + 2 , 0 8 4 = 4 , 0 2 5 4 i + 2 k 1 , 9 4 1 + 4 , 1 6 8 0 = 6 , 1 0 9 6 I + 3 k 1 , 9 4 1 + 6 , 2 5 2 = 8 , 1 9 3 8 . . .

.

.

.

i + ( n - 1 ) k 1 , 9 4 1 + 3 1 8 , 8 5 2 = 3 2 0 , 7 9 3 3 2 0

Se for utilizado o intervalo de amostragem aproximando o valor para 2, no final do sorteio o número

de pessoas que comporiam a amostra será maior que o n calculado. Se for utilizada aproximação (no

lugar de 2,084 utilizar 3), no final do sorteio, o número de pessoas sorteadas não será suficiente para

alcançar o n calculado.


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Amostragem por conglomerado

É o processo no qual os elementos da população são reunidos em grupos que constituem a unidade amostral e, por sua vez, alguns destes são sorteados para comporem a amostra. Se o interesse residir no sorteio de escolares, em um processo de amostragem por conglomerados, seria possível sortear escolas (unidade amostral) e considerar todos os alunos destas para comporem a amostra

(Silva, 1998).


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Amostragem (Patrícia Hinnig, Teses: QFA Quantitativo para crianças de 7 a 10 anos: avaliação das propriedades psicométricas)

Tamanho da amostra

n=190 escolares

Plano de sorteio da amostra

Amostragem por conglomerado em 2 estágios.

Primeiro estágio: escolas (unidades primárias)

Segundo estágio: série escolar (unidade secundária).

Participantes: todos os alunos da unidade secundária

4 escolas (oito séries) - probabilidade proporcional ao tamanho da

escola. Duas séries serão sorteadas, em cada Escola, por Amostragem

Aleatória Simples (AAS)

Exemplo


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Pesos amostrais serão calculados pela seguinte fórmula:

jk

jk

k

kkjki S

F

t

Tww em que,

kw é o peso da escola k, dado pelo inverso de sua probabilidade de seleção.

A probabilidade de seleção é o número total de escolares do 2º ao 5º

ano da escola k dividido pelo número total de escolares do 2º ao 5º ano das 11

escolas municipais de Araraquara multiplicado por 4 (escolas);

kT é o número total de turmas do 2º ao 5º ano na escola k;

kt é o número de turmas do 2º ao 5º ano selecionadas na escola k;

jkF é o número total de escolares matriculados na turma j da escola k;

jkS é o número total de escolares matriculados que responderam à pesquisa

na turma j da escola k.


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EXEMPLO

Na Escola 1 com 393 escolares do 2º ao 5º ano foram sorteadas 2 séries de

um total de 17. Uma das séries tinha 23 alunos. O total de alunos matriculados

do 2º ao 5º ano de escolas municipais da zona urbana de Araraquara é de

3652 alunos. Se todos os alunos da série sorteada participarem do estudo, o

cálculo do peso amostral da série sorteada, será:

1) Calcular a probabilidade da série ser sorteada: 4304,043652

393escolasx

2) Inverso da probabilidade: 3234,24304,0

1

3) jk

jk

k

kkjki S

F

t

Tww

7489,1923

23

2

173234,2 jkiw


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Exercícios

1 - São fornecidos dados da variável X:nível de glicose no sangue (mg%) de 100 homens com idade entre 45 e 67 anos. (id – identificação de cada indivíduo) id X Id X id X Id X id X Id X id X Id X id X Id X 1 107 11 109 21 131 31 122 41 218 51 169 61 139 71 95 81 127 91 198 2 145 12 186 22 88 32 442 42 147 52 160 62 176 72 144 82 153 92 265 3 237 13 257 23 161 33 237 43 176 53 123 63 218 73 124 83 161 93 143 4 91 14 218 24 145 34 148 44 106 54 130 64 146 74 167 84 194 94 136 5 185 15 164 25 128 35 231 45 109 55 198 65 128 75 150 85 87 95 298 6 106 16 158 26 231 36 161 46 138 56 215 66 127 76 156 86 188 96 173 7 177 17 117 27 78 37 119 47 84 57 177 67 76 77 193 87 149 97 148 8 120 18 130 28 113 38 185 48 137 58 100 68 126 78 194 88 215 98 110 9 116 19 132 29 134 39 118 49 139 59 91 69 184 79 73 89 163 99 188 10 105 20 138 30 104 40 98 50 97 60 141 70 58 80 98 90 111 100 208

Com base nos dados apresentados faça um sorteio sistemático de tamanho 10.

a) Apresente o valor do intervalo de amostragem e do início casual sorteado; b) Apresente o número de identificação (id) sorteado e nível de glicose no sangue (mg%) dos

indivíduos.


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Noções de probabilidade

Probabilidade (probability, chance, likelihood)

•É uma afirmação numérica sobre a possibilidade de que algum evento ocorra.

•Quantifica o grau de incerteza de eventos, variando de 0 (0%) a 1 (100%).

•Um evento impossível de ocorrer tem probabilidade 0 (zero)

•Um evento certo tem probabilidade 1 (um)

•Quando se joga uma moeda, não se sabe se vai sair cara. Mas sabe-se que a probabilidade de sair cara é 0,5 = 50% = 1/2.

•Dizer que a eficácia de uma vacina é de 70% corresponde a dizer que cada indivíduo vacinado tem probabilidade 0,7 de ficar imune.


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Probabilidade em espaços finitos contáveis Espaço amostral (S) É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Supor o experimento lançar uma moeda; S= {cara, coroa} Há dois pontos neste espaço amostral, sendo um favorável ao evento A={cara}. Definição clássica de probabilidade

5,02

1

S de elementos de numero

A de elementos de numero)( AP

Exemplo: probabilidade de (ouros) em um baralho de 52 cartas 4

1

52

13


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Probabilidade de eventos mutuamente excludentes

•Diz-se que dois eventos são mutuamente excludentes (ou mutuamente exclusivos) quando não podem ocorrer simultaneamente

Exemplo:

A = {cara} ; B= {coroa}, no lançamento de uma moeda; A e B são mutuamente exclusivos

C = {sexo feminino}; D={sexo masculino}, no nascimento de uma criança; C e D são mutuamente exclusivos.

• A probabilidade da ocorrência de um evento A ou de um evento B é:

Regra da adição P(A ou B) = P(A υ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

•A probabilidade da ocorrência simultânea de eventos mutuamente exclusivos é zero.

P(cara e coroa) = P(cara ∩ coroa) = 0, no lançamento de uma moeda.

•Se A e B forem mutuamente excludentes, P(A ∩ B) = 0 e

P(A ou B) = P(A υ B) = P(A) + P(B)

Exemplo 1: P(Face 2 ou Face 3) no lançamento de um dado

P(2 ou 3)= P(2)+P(3)= 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

P(Resultado ímpar)= P(1 ou 3 ou 5)= P(1)+P(3)+P(5)= 3/6 = 1/2.


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Probabilidade de eventos independentes

•Os eventos A e B são independentes quando o resultado de um não influi no resultado do outro.

Exemplo: no lançamento simultâneo de duas moedas, o resultado de uma não interfere no resultado da outra.

•A probabilidade da ocorrência de eventos independentes é o produto das probabilidades de cada evento.

P(A e B)= P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

•P(face 2 no primeiro dado e face 3 no segundo dado), no lançamento seqüencial de dois dados = P(2 e 3) = P(2)xP(3)= 1/6 x 1/6= 1/36= 0,0278= 2,78%.


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Probabilidade condicional A probabilidade condicional do evento A dado que ocorreu o evento B é

)(

)()|(

BP

BAPBAP

, para 0)( BP

Lê-se P(A|B) como probabilidade de A dado B.

Exemplo: Número de adolescentes segundo história de bronquite aos 5 anos e tosse diurna ou noturna aos 14 anos de idade. Local X, ano Y.

Bronquite Tosse Sim Não Total Sim 26 44 70 Não 247 1002 1249 Total 273 1046 1319

Fonte: Holland, WW et al., 1978. Sorteia-se um paciente. Qual é a probabilidade dele ter tosse aos 14 anos dado que teve bronquite aos 5 anos de idade? P(tosse|bronquite)= P(tosse e bronquite)/P(bronquite)= 26/1319 273/1319= 9,5% Regra da multiplicação

)()|()( BxPBAPBAP

se A e B forem independentes, P(A|B) = P(A) e como conseqüência, )()()( BxPAPBAP


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Os eventos tosse e bronquite não são independentes porque P(tosse e bronquite) P(tosse) x P(bronquite), pois 26/1319 (70/1319) x (273/1319), ou seja, 0,02 0,011.

Exemplo: Considerar uma população de homens que foram classificados segundo o hábito de fumar e doença respiratória crônica. Nesta população sabe-se que 5% dos homens têm doença respiratória e são não fumantes, 15% têm doença e são fumantes, 50% não têm doença e são não fumantes e 30% não têm a doença e são fumantes. Problema respiratório Não fumante

F

Fumante F

Total

Não (R ) 0,50 = P(F R ) 0,30 = P( F R ) 0,80 = P(R ) Sim ( R ) 0,05 = P(F R ) 0,15 = P( F R ) 0,20 = P( R )

Total 0,55 = P(F ) 0,45 = P( F )

Escolhe-se um homem ao acaso, qual a probabilidade dele ter doença respiratória dado que era fumante?

)(

)()|(

FP

FRPFRP

= 0,15/0,45 = 0,33

Os eventos não são independentes porque )()()( RxPFPRFP


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Definição freqüentista de probabilidade:

n repetições do evento A; A ocorre m vezes, então a freqüência relativa de n

mA

Para n suficientemente grande, )(APn

m ou seja, )(lim AP

n

mn

Quando n cresce, n

m tende a se estabilizar em torno de uma constante, P(A)


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Variável aleatória discreta Variável aleatória é qualquer função de número real, definida no espaço amostral, com uma probabilidade de ocorrência associada. Exemplo: No lançamento de 1 moeda, o número de caras é uma variável aleatória. Se esta variável for denominada X, tem-se que os valores possíveis para X são 0 e 1. Assim escreve-se X:0,1. A probabilidade de cara é 0,5: P(cara)= P(X=1)= 0,5= 1/2. No lançamento de 10 moedas, X:0, 1, 2,....,10; e a probabilidade de cara = 0,5. Sair cara (ou coroa) são eventos mutuamente exclusivos. Um particular resultado de cada lançamento exclui a ocorrência do outro. É possível calcular a probabilidade da variável assumir cada valor x, ou seja, P(X=x). O conjunto de valores da variável aleatória e das probabilidades obtidas define uma distribuição de probabilidades. Se X assume valores inteiros, a variável é denominada discreta. Se X assume valores no conjunto dos números reais, a variável é denominada contínua.


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Distribuição Bernoulli Estrutura básica: duas possibilidades de resultado (sucesso e fracasso). Exemplo Joga-se uma moeda uma vez. A moeda é equilibrada, ou seja, os lados possuem peso igual, não favorecendo nenhum dos lados, ao ser lançada. Tem-se como sucesso sair a face cara. Define-se uma variável aleatória X que assume valor 1 se ocorrer sucesso e 0 se ocorrer fracasso.

X: 0,1

Parâmetro: probabilidade da variável assumir valor 1. Notação: ou p. Se probabilidade de sucesso = p, a probabilidade de fracasso será igual a q=(1-p), porque p+q=1. Probabilidade de sair cara = P(X=1) = p(1) = p = 0,5 Probabilidade de sair coroa = P(X=0) = p(0) = q = 1-p = 0,5 Graficamente:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 x

p(x)

p=0,5


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Média de uma variável aleatória discreta: x

)x(xp)X(E

Na distribuição de Bernoulli:

p)0x(p0)1x(p1)x(xp)X(Ex

Média da distribuição Bernoulli é p (probabilidade de ocorrer o sucesso)

Variância de uma variável aleatória discreta:

x

222 )x(p)x(])X[(E)X(V

Desvio padrão: )X(V)X(SD

Desvio padrão da distribuição Bernoulli é

)1x(p.)p1()0x(p.)p0( 22 = pq)p1(p))p1(p(p)p1(p)p1()p1.()p( 22

A distribuição de Bernoulli pode ser escrita como P(X=1) = p(1)=p e P(X=0) =p(0) =1-p; ou, de forma mais

genérica, x1x )p1(p)x(p , x=0,1

Isto significa que para x=0, p1)p1(p)0X(P)0(p 010 ,

para x=1, p)p1(p)1X(P)1(p 111


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Modelo de probabilidade Bernoulli Uma variável aleatória discreta X que pode assumir valores 0 e 1, com função de probabilidade dada por

x1x )p1(p)x(p com x=0,1

segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro p , 0<p<1.

p é a probabilidade de obter o resultado X=1. Isto pode ser escrito como X~Bernoulli(p) com média p e

desvio padrão )p1(p .

O símbolo ~ lê-se “tem distribuição” ou se “distribui segundo”.


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Distribuição binomial Distribuição Binomial é a soma de n distribuições Bernoulli População: 2 categorias

Ex: sexo (masculino, feminino), faces de uma moeda (cara, coroa), desfecho de um tratamento (cura, não cura)

Lançamento de uma moeda

p-1=q 1=q+p

q =(C) adeprobabilid (C) Coroa

p=ade(K)probabilid (K) Cara

p = probabilidade de sucesso; q= probabilidade de fracasso Realiza-se o experimento n vezes, onde cada ensaio é independente do outro e os resultados são mutuamente exclusivos. X: Número de vezes que sai cara A moeda é lançada uma vez (n=1) X: 0,1 X~Bernoulli(p)

X resultado P(X=x) 0 C P(X=0) = q 1 K P(X=1) = p


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A moeda é lançada duas vezes (n=2) X: 0,1,2 X~B(n=2, p) X resultado P(X=x) 0 C,C P(X=0) = q.q = q2 1 K,C ou C,K P(X=1) = p.q+q.p= 2.p.q 2 K,K P(X=2) = p.p= p2

A moeda é lançada três vezes (n=3) X: 0,1,2,3 X~B(n=3, p)

X resultado P(X=x) 0 C,C,C

P(X=0) = q.q.q = q3

1 K,C,C ou C,K,C ou C,C,K

P(X=1) = p.q.q+q.p.q +q.q.p = 3 p.q2

2 K,K,C ou K,C,K ou C,K,K

P(X=2) = p.p.q +p.q.p +q.p.p = 3 p2.q

3 K,K,K P(X=3) = p.p.p = p3 Probabilidade (X=x) é calculada pelo produto de 3 fatores: 1o - número (combinação de n elementos combinados x a x) 2o - probabilidade de sucesso elevado a um expoente (valor de x) 3o - probabilidade de fracasso elevado a um expoente (valor de n-x)

xnxxnx qp

xnx

nqp

x

nxXP

)!(!

!)(


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Modelo de probabilidade Binomial Seja E um experimento com 2 resultados (mutuamente exclusivos): S (sucesso) e F (fracasso) p = probabilidade de ocorrência de S e q= probabilidade de ocorrência de F sendo que p+q=1. Se E for repetido n vezes, de forma independente, mantendo-se p e q, a probabilidade da variável aleatória X= número de vezes que S ocorre é dada por

P X xn

x n xp qx n x( )

!

!( )!

X~B(n,p) onde n e p são os parâmetros da

distribuição; a média = m = n.p, a variância = n.p.q e o desvio padrão = npq


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Nenhum rato ficar infectado?

P(X=0) = 343,0343,01)7,0()!03(!0

!3)7,0()3,0(

0

3 330

x = 34,3%

Um rato ficar infectado?

P(X=1) = 441,049,03,0121

123)7,0()3,0(

)!13(!1

!3)7,0()3,0(

1

3 131131

xxx

xx = 44,1%

Dois ratos ficarem infectados?

P(X=2) = 189,07,009,0112

123)7,0()3,0(

)!23(!2

!3)7,0()3,0(

2

3 232232

xxx

xx = 18,9%

Todos os ratos ficarem infectados?

P(X=3) = 027,01027,01123

123)7,0()3,0(

)!33(!3

!3)7,0()3,0(

3

3 03333

xxxx

xx = 2,7%

Pelo menos 2 fiquem infectados?

No máximo 1 fique infectado?

Exemplo

Uma suspensão contendo organismos de Leishmania é preparada e quando uma determinada quantidade é inoculada em ratos, 30% deles se tornam infectados. Se 3 ratos forem inoculados independentemente, qual a probabilidade de:


30

Noções de probabilidadeExemplo Lançamento de moedas. n= número de ensaios (nº de lançamentos)= 10 X= variável aleatória (nº de caras) x= resultado particular de X (0, 1, 2, ...,10) p= probabilidade de ocorrer cara (sucesso); p=P(cara)= 0,5

xnx ppx

nxXP

)1()(

Distribuição de probabilidade B(n=10; p=0,5) X= nº de caras P(X=x)

0 0,0010 1 0,0098 2 0,0439 3 0,1172 4 0,2051 5 0,2461 6 0,2051 7 0,1172 8 0,0439 9 0,0098 10 0,0010

1

Média = np = 10x0,5 = 5 Variância = npq = 2,5

Desvio padrão = 58,15,25,05,010 xxnpq

Se estivermos trabalhando com a proporção de sucessos, n

X :

Média = 5,0pn

pnx

Variância = n

pq

n

qx

n

pnx = 0,025

Desvio padrão = n

pq

n

npq

n

npq

2 = 0,158

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 1 2 3 44

5 6 7 8 9 10

X

p(X=x)


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Noções de probabilidadeExemplo 3 Um programa de incentivo à amamentação exclusiva ao seio nos primeiros 3 meses está sendo executado em um hospital universitário. Verificou-se que a eficácia do programa era de = 60%. Para uma amostra de 20 mães que deram à luz neste hospital, a distribuição de probabilidade da variável aleatória número de mães amamentando exclusivamente ao seio é a seguinte: X= nº de mães amamentando

P(X=x|p=0,6)

0 0,000 1 0,000 2 0,000 3 0,000 4 0,000 5 0,001 6 0,005 7 0,015 8 0,035 9 0,071 10 0,117 11 0,160 12 0,180 13 0,166 14 0,124 15 0,075 16 0,035 17 0,012 18 0,003 19 0,000 20 0,000

0 0,02 0,04 0,06 0,08

0,1 0,12 0,14 0,16 0,18

0,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X

p(X=x)


32

Exercícios 1- Em uma grande população, 30% das pessoas são canhotas. Assumindo que a variável X: número de pessoas canhotas segue uma distribuição Binomial, e sorteando-se uma amostra aleatória de 10 pessoas, encontre a probabilidade de a) encontrar 2 pessoas canhotas b) encontrar pelo menos 2 pessoas canhotas c) encontrar no máximo 1 pessoa canhota d) encontrar de 1 a 4 pessoas canhotas

2 - Uma indústria de alimentos está realizando testes com um bolo que será comercializado. Durante a prova do bolo, 20% das pessoas selecionadas para tal tarefa acharam o sabor muito doce. Supondo que após a modificação do produto, 5 pessoas provarão o bolo novamente, qual a probabilidade de: a) nenhuma pessoa achar o bolo muito doce? b) todos acharem o bolo muito doce ? c) pelo menos 4 pessoas acharem o bolo muito doce? d) no máximo 2 acharem o bolo muito doce?

3- Certa doença tem letalidade de 70%. Supondo-se que existam 20 pacientes com esta doença, calcular a: a) probabilidade de que todos morram da doença. b) probabilidade de que nenhum paciente morra da doença. c) probabilidade de que 7 pacientes morram da doença. d) probabilidade de que, no máximo, 10 pacientes morram da doença. e) probabilidade de que, no mínimo, 5 pacientes sobrevivam. f) número esperado e desvio padrão do número de óbitos.

Aula 9 - Amostragem, probabilidade, distribuição binomial 1 Tópicos iniciais de amostragem.

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