Aula 9 - Matrizes
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1
Curso Tecnologia Automação Industrial FMA – Profa Gisele – 1º semestre/2015
Aula 9: Matrizes
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Exemplo: Tomando os dados referentes à altura, peso e idade de um grupo de 4 pessoas, temos:
Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)
Pessoa 1 1,70 70 23
Pessoa 2 1,75 60 45
Pessoa 3 1,60 52 25
Pessoa 4 1,81 72 30
Assim obtemos a matriz:
307281,1
255260,1
456075,1
237070,1
I) Definição:
Sejam m 1 e n 1 dois números inteiros. Uma matriz real m n é uma dupla seqüência de números reais, distribuídos em m linhas (horizontal) e n colunas (vertical), formando uma tabela que se indica por:
...a a a
...a a a
a ... a a
mnm2m1
2n2221
1n1211
ou
a ... a a
a . .. a a
a ... a a
mnm2m1
2n2221
1n1211
ou
a ... a a
a ... a a
...a a a
mnm2m1
2n22 21
1n1211
Abreviadamente: Indicamos por A = (aij) m n a matriz A com m linhas e n colunas onde, nesta ordem, i indica a linha e j indica a coluna
Exemplo: A =(aij) 23 =
10 4 1
8 5 2
A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, assim podemos indicar: A = (aij) 23 aij : termo geral, é o elemento que ocupa a i-ésima linha e j-ésima coluna
2
Indicamos por M m n () o conjunto das matrizes reais m n Podemos construir uma matriz a partir de uma “lei” de formação, a qual é dada em função da posição que o elemento ocupará na matriz. Exemplos:
1) Determinar a matriz A = (aij) 23 sendo aij = 2i + 3j –1
2) Determine a matriz A= (a ij ) 14x em que aij = i 2 -j 2
3) Determine a matriz B= (b ij ) 33x em que bij =
jise
jise
0
1
II) Tipos de matrizes:
1) Matriz quadrada: m = n, ou seja, o número de linhas é igual ao número de colunas.
Exemplo: A =
4 1-
3 2
Quando tivermos uma matriz quadrada do tipo nxn , dizemos que a mátria é quadrada de ordem n.
Exemplo: matriz quadrada de ordem 2; matriz quadrada de ordem 3 etc.
Na matriz quadrada destacamos a diagonal principal e a diagonal secundária , a diagonal principal é composta pelos elementos aij para os quais i = j, a diagonal secundária é aquela composta dos elementos aij, para os quais i+ j = n + 1. 2) Matriz identidade: matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os
demais elementos são todos iguais a zero. Indicamos tal matriz por In .
Exemplo: I 3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
; I 2 =
10
01 ; I 4 =
1000
0100
0010
0001
3) Matriz Diagonal :é toda matriz quadrada em que os elementos não pertencentes à diagonal principal são iguais a zero
44
33
22
11
000
000
000
000
a
a
a
a
Exemplos:
300
020
001
;
40
03 ;
100
050
000
3
4) Matriz Triangular: é toda matriz quadrada em que os elementos situados acima ( ou abaixo) da diagonal principal são todos nulos
Exemplos:
415
031
001
;
2000
8500
7630
6543
5) Matriz linha: m = 1 Exemplo: B = ( -2 ½ 0 4 )
6) Matriz coluna: n = 1
Exemplo: C =
4-
0
2
1
7) Matriz Nula : é a matriz quadrada ou não que tem todos os elementos nulos.
Representamos por O mxn .
O 23x =
00
00
00
O 33x =
000
000
000
Igualdade de Matrizes Sejam as matrizes Am x n e Bm x n . Dizemos que A = B se e somente se aij = bij, ou seja, os elementos de mesmo índice são correspondentes. Exemplos:
1) Seja A =
2 4 1-
3 5 2 e B =
2 4 1-
3zy y x - x , determine x, y e z sabendo que A = B.
2) Sabendo que
2
12 4
x
x
y
y =
21
11 determine x e y
3) Se A = (a ij ) 23x com a ij =
jiseji
jiseji e B =
sp
pr
qp2 e A = B, determine os valores de p,q e r
4
III) Operações com Matrizes
1) Adição (A + B)
Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes m n. A adição de A com B, indicada A + B, será a matriz C cujo termo geral é dado por: cij = aij + bij
Exemplo: A =
0 3 1
5 4- 3 B =
9 10 2-
1 7 5
Propriedades:
- Comutativa: A + B = B + A - Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C - Elemento neutro: Existe uma matriz O chamada de matriz nula, pois é composta por zeros, tal que:
A + O = O + A = A - Existência da matriz oposta: Dada uma matriz A Existe uma matriz B = –A, tal que:
A + (–A) = O
2) Subtração A – B = A + (- B ) Exemplo: Calcular A – B sendo A e B as matrizes do exemplo anterior
3) Multiplicação de um matriz por um número
Dados a matriz A = (aij)m n e um número real , o produto de por A é a matriz real m n dada por:
A =
a ... a a
a ... a a
a ... a a
mnm2m1
2n2221
1n1211
Exemplo: Calcule 2. A sendo A =
0 3 1
5 4- 3
5
Propriedades:
- ( . ) A = ( A)
- ( + ) A = A + A
- (A + B) = A + B - 1. A = A
4) Multiplicação
Sejam A = (aij) m n e a matriz B = (bij) n p. O produto A . B (também indicado AB) é matriz C = (cij) m p cujo termo geral cij é obtido somando-se a multiplicação ordenada dos elementos da i-ésima linha pela j-ésima coluna. Observação (IMPORTANTE): Só definimos o produto de duas matrizes quando o número de colunas da 1a for igual ao número de linhas da 2a .
A m n . B n p = C m p Exemplo: 1) Calcular A . B e A . C sendo:
A =
0 3 1
5 4- 3 , B =
6 7
2 0
5 2-
e C =
4
0
1-
Propriedades:
- A (BC) = (AB) C (associativa) - A ( B + C ) = AB + AC (distributiva à esquerda) - (A + B ) C = AC + BC (distributiva à direita) - A . In = Im . A = A (elemento neutro)
- (A) B = A (B) = (A B) Falsas propriedades do produto de matrizes
1) A.B=B.A em que A e B são matrizes quaisquer (FALSO)
Há casos em que A.B = B. A. Exemplo:
A =
30
21 ; B =
10
34
A. B = B . A
30
14 Nesse caso dizemos que A e B são comutáveis.
6
2) Se A . B = O A = 0 ou B= 0 (FALSO)
Exemplo: Efetue o produto de A por B em que A=
00
21 e B =
43
86
3) Se A.B = A . C B = C A O (FALSO)
Exemplo: A =
63
42 : B =
32
01 e C =
10
43
Matriz transposta (At )
Se A = (aij) m n sua transposta será At = (bji) tal que bji = aij , ou seja, a transposta é obtida transformando-se as linhas em colunas e vice-versa.
Exemplo: A =
1- 0 5
4 2- 3 e At =
1- 4
0 2-
5 3
Propriedades da matriz Transposta:
1) (A t ) t = A
2) ( A+B) t = A t + B t
3) ( A ) t = . A t ; R
4) (A. B) t = B t . A t Obs: 1) Quando At = A dizemos que a matriz A é simétrica.
Exemplo: A =
0 4 5
4 7 3
5 3 1
A é matriz simétrica
Observe que os elementos situados em posições simétricas em relação à diagonal principal são iguais e os
elementos da diagonal principal podem ser quaisquer números
7
2) Quando At = - A dizemos que a matriz A é anti-simétrica
Exemplo: B = [ 0 2 − 3−2 0 − 1 3 1 0
] B é matriz antisimétrica
Observe que os elementos situados em posições simétricas em relação à diagonal principal são opostos e os
elementos da diagonal principal só podem ser iguais a zero.
Matriz Inversa
Dada a matriz quadrada A de ordem n, chama-se matriz inversa de A à matriz A 1 tal que
A . A 1 = A 1 . A = I n
Exemplo: A inversa da matriz A =
74
21 é a matriz A 1 =
14
27
Obs: Nem todas as matrizes quadradas admitem inversas. Quando a matriz admite inversa, dizemos que ele é inversível. Calcule, se existirem, a matriz inversa das matrizes:
1) A =
10
22
1
; B =
63
21; C=
310
025
101
Lista 1 Exercícios sobre matrizes
1) Dada a matriz A =
40203
26530
42432
03471
, determine
a) o número de elementos dessa matriz b) a ordem (tipo) dessa matriz
c) os elementos a 21 ; a 34 ; a 41
d) os elementos da 3ª linha e) os elementos da 4ª coluna
8
2) Sendo A= (a ij ) uma matriz de ordem 4x3, determine:
a) o número de elementos da matriz
b) que valores assume o índice i do elemento genérico a ij
c) que valores assume o índice j do elemento genérico a ij
d) quantos elementos tem uma linha de A e) quantos elementos tem uma coluna de A
3) Escreva todos os elementos da matriz A= (a ij ) mxn , em cada caso:
a) A = (a ij ) 23x ,em que a ij = i – 2j
b) A = (a ij ) 22x , em que a ij = i2 – 3j
c) A = (a ij ) 32x , em que a ij = i . ( -1) j1
d) A = (a ij ) 24x , em que a ij = ij
e) A = (a ij ) 24x , em que a ij = i j
f) A = (a ij ) 24x , em que a ij = ( -i ) j
4) Escreva todos os elementos da matriz quadrada, em cada caso:
a) A= (a ij ) 33x onde a ij =
jise
jise
jise
0
1
2
b) B = ( b ij ) 44x onde b ij =
jiseji
jiseji232
c) C = ( c ij ) 22x onde c ij =
jisej
jisei
d) D= (d ij ) 32x tal que a ij =
jiseji
jisei
jisejij
2
2
5) Dada a matriz A =
430
33
253
2401
e considerando B = ( b ij ) 34x tal que b ij = a ji , determine:
a) b 12 b) b 34 c) b 33 d) b 23
6) Dadas as matrizes A= (a ij ) 34x tal que a ij = j
i e B = ( b ij ) 34x tal que b ij = ij, determine os seguintes
elementos de C = ( c ij ) 34x :
a) c 11 = a 1111 b
b) c 323232 ba
c) c 33 = -2 a 3333 3 b
9
7) Dadas as matrizes A =
0203
12
1
6
110
e B =
11212
3161
Determine: a) A + B b) A – B c) -3 A + 2 B
d) BA5
6
3
2
e) A - 2
B
8) Determine xR tal que
41
53
3
62
7
4 2
2 x
xx
x
x
=
x
x
1
22
0 2
9) Dados os tipos das matrizes A e B, determine os tipos das matrizes A.B e B.A, se existirem
a) A 32x e B 23x
b) A 4234 xx Be
c) A 3333 xx Be
d) A 33x e B 23x
e) A 24x e B 22x
10) Calcule os produtos das seguintes matrizes:
a)
231
312.
43
21
b)
20
32.
12
01
c)
23
21.
50
13
12
d)
25
30
12
.212
031
e)
5
6
5
.320
521
f)
1
2.63
g)
06
13
21
.503
10
h)
3
2.
12
05
11) Dadas as matrizes A =
54
21 e B =
12
32
1
3
2
, calcule:
a) AB b) BA
c) A2 d) B2 e) ( A+B)2 f) A2 + 2 AB + B2 g) A2 + 2 BA + B2
12) Resolva as seguintes equações matriciais:
a)
5
3.
31
12
b
a
b)
10
1
7
.
110
101
011
z
y
x
13) Resolver as seguintes equações matriciais:
a)
121
242.
1
2X
b)
3
8.
13
21X
14) Verifique se as matrizes A =
22
11 e B =
14
21 são comutáveis
15) Dadas as matrizes A=
22
11 e B =
y
x
6
2, determine x e y para que A e B comutem.
16) Determine as transpostas das seguintes matrizes:
a) A =
2954
1531
b) B =
3
2
2
c) C =
602
104
532
11
17) Determine, em cada caso, os valores das incógnitas de modo que a matriz A seja simétrica ( A é simétrica se At = A)
a) A =
12
102
73
cb
a
b) B =
39
6 2a
c) C =
ca
b
a
a
251
)3(164
560
1422
c) D =
127
)(21
)()(3
cb
caba
18) Determine, em caso, os valores das incógnitas de modo que a matriz A seja antissimétrica:
a) A =
00
10
04
c
b
a
b) B =
02
1 a
19) Considere a matriz A=
yyy
zxx
zx
9
7422
. Determine A sabendo que A é uma matriz simétrica.
20) Considere a matriz B =
0332
104
220
zyxz
xzy
zyzx
. Determine B sabendo que B é uma matriz
antissimétrica 21) Determine a matriz inversa de A, se existir:
a) A=
43
75; b) A =
021
210
132
22) Considere a matriz A=
45
34. Determine a matriz B =
dc
ba de modo que A. B = I 2
23) Determine, em cada caso, os valores de x e y, sabendo que as matrizes A e B são inversas:
12
a) A =
11
12 e B=
y
x
1
1
b) A =
20
32
1 e B=
yx
32
c) A =
021
130
212
e B =
63
221
52
y
x
24) Um fabricante de determinado produto produz três modelos: A, B e C. Cada modelo é manufaturado parcialmente na fábrica F1 em Formosa e depois na fábrica F2 nos Estados Unidos. O custo total de cada produto é a soma do custo de produção com o custo de transporte que estão representados nas tabelas abaixo:
F1 – FORMOSA
modelo Custo de produção Custo de transporte
A 32 40
B 50 80
C 70 20
F2 – ESTADOS UNIDOS
modelo Custo de produção Custo de transporte
A 40 60
B 50 50
C 130 20
a) Represente em matriz as tabelas F1 e F2 b) Calcule o custo total de produção de cada produto
25)Joga-se pesticida nas plantas para eliminar insetos daninhos. Entretanto, parte do pesticida é absorvida pela planta. Os pesticidas são absorvidos pelos herbívoros que comem essas plantas. Para determinarmos a quantidade de pesticida absorvida por um herbívoro, vamos proceder da maneira descrita a seguir. Suponha que tenhamos três tipos de pesticidas e quatro tipos de plantas. Denote por a ij a quantidade de
pesticida i ( em miligramas) que foi absorvida pela planta j. Esta informação pode ser representada pela matriz A:
13
A =
4 6 1 4
5 2 2 3
3 4 3 2
onde as linhas representam os pesticidas 1, 2 e 3 respectivamente e as colunas
representam as plantas 1, 2, 3 e 4 respectivamente. Suponha agora que temos três herbívoros e denote por bij o número de plantas do tipo i que um herbívoro do tipo j come por mês. Esta informação pode ser representada pela matriz B:
B =
20 16 40
10 12 30
15 15 28
8 12 20
onde as linhas representam as plantas 1, 2, 3 e 4 respectivamente e as colunas
representam os herbívoros 1, 2 e 3 respectivamente. Pergunta-se: Quantos mg do pesticida 2 foram absorvidos pelo herbívoro 3?
26) Uma empresa fabrica três produtos: P 1 , P 2 e P 3 conforme mostra a Tabela A abaixo, e os custos e lucros
de cada produto estão representados pela tabela B: Tabela A
Produtos Mês
P 1 P 2 P 3
Janeiro 2 1 3
Fevereiro 0 0 1
Março 4 5 2
Tabela B
Reais Produtos
Custo Lucro
P 1 1 0
P 2 2 1
P 3 3 2
Com base nas informações, calcule o lucro obtido em março.
Gabarito – Lista 1 - Matrizes
14
1) a) 20; b) 4x5; c) 2;5;-3; d) 0,3,-5,6,2; e) -3,2,6,0 2) a) 12; b) 1 i 4; c) 1 j3; d) 3; e) 4
3) a) A =
11
20
31
; b) A =
21
52; c) A =
222
111; d) A =
164
93
42
11
; e) A =
16
1
4
19
1
3
14
1
2
111
; f) A =
164
93
42
11
4) a) A =
211
021
002
; b) B =
2765
42254
452323
4625102
; c) C =
21
21
5) a) 3; b) não existe; c) -4; d) -3 6) a) 2; b) -9/2; c) 25
7) a)
11413/7
2/76/771; b)
11013/5
2/56/551; c)
21823
2/92/392; d)
5/615/1965/645/98
15/4945/4915/985/6; e)
2/142/13/2
13/12/32/1
8) x=2 9) a) A. B :2x2 ; B.A : 3x3
b) A. B :não existe ; B.A : 2x3 c) A. B :3x3 ; B.A : 3x3 d) A. B :3x2 ; B.A : não existe e) A. B :4x2 ; B.A : não existe
10) a)
171510
774; b)
84
32; c)
1915
40
65
; d)
56
102; e)
27
18
f) 12 ; g) 633 ;h)
7
10
11) a)
36/29
2/53/11; b)
82/5
6/233/4
12) a)
1
2; b)
1
9
2
15
13) a) 121 ; b)
3
2
14) A e B comutam 15) x = 3 e y = -1
17) a) a = 2 , b = -7 , c = ½ b) a = 3 ou a= -3 c) a = 0 ou a = 1; b = 3 ou b = 1 , c = Rc d) a =2, b = -3 , c = 5
18) a) a = 0, b = -4, c = 1 b) impossível pois a11 0
19) A =
818
144
842
20) A =
012
100
200
21) A 1 =
53
74 ; A 1 =
211
412
724
22) B =
45
34
23) x=1 e y = -2; x =0 e y = ½; x=4 e y =-5 25) 174 mg
Fontes:
1) Matemática –Volume Único : Gelson Iezzi e outros. Atual Editora 2) Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares: Manoel B. Rodrigues/ Álvaro Z. Aranha . Editora Policarpo