Aula Cap10a Nice

8/6/2019 Aula Cap10a Nice

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Sistemas de Controle 2010-1

Prof. Dr. Marcos Antnio de Sousa

Resposta em Frequncia Parte I (Cap. 10, NISE)

- Relaciona a Estabilidade de um sistema de Malha Fechada com a Resposta emFrequncia de Malha Aberta e tambm com a posio dos Plos e Zeros de MalhaAberta;

- O critrio basicamente para a Anlise de Estabilidade, mas seus conceitos podem serestendidos para as anlises da Resposta Transitria e dos Erros de EstadoEstacionrio;O Critrio de Nyquist baseado nos seguintes conceitos:

- Relao entre os Plos de 1+G(s)H(s) (FTMF) e os Plos de G(s)H(s) (FTMA);- Relao entre os Zeros de 1+G(s)H(s) e os Plos da funo de transferncia demalha fechada T(S);

- O conceito de mapeamento de pontos em uma funo F(s);- O conceito de mapeamento de contornos em uma funo F(s).

O Critrio de Nyquist baseia-se no mapeamento de contornos no plano complexo de F(s)onde so conhecidos seus Plos e Zeros;

Critrio de Estabilidade de NYQUIST:

- O mapeamento de um Contorno no sentido horrio que envolve um Zero de F(s) resulta em umcontorno que circunda a origem do plano complexo tambm no sentido horrio.- O mapeamento de um Contorno no sentido horrio que envolve um Plo de F(s) resulta em umcontorno que circunda a origem do plano complexo no sentido anti-horrio.


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Resposta em Frequncia Parte I

- Se F(s) possui P Plos e Z Zeros envolvidos por um determinado contorno, o

mapeamento deste contorno atravs de F(s) ir produzir um contorno que envolver aorigem N vezes, com N=P-Z.- Um resultado para N positivo significa que P maior do Z e o contorno

resultante est no sentido anti-horrio;- Por conveno, contornos positivos so aqueles no sentido anti-horrio.

Lembrando: um sistema tpico de controle com realimentao negativa unitria dado por:

Onde F.T.M.A=

e F.T.M.F=


)()( sHsG

)()(1

)(

sHsG

sG

+


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- Para a Estabilidade necessrio saber se existem ou no Plos de Malha Fechada do ladodireito do plano s.

- Se for considerado um contorno que engloba todo o lado direito do plano s e mapear estecontorno atravs de 1+G(s)H(s) pode-se, atravs do conceito desenvolvido anteriormente, saberse existem ou no Plos instveis.

- No entanto, para fazer o mapeamento preciso conhecer os Plos de 1+G(s)H(s). Em geralso conhecidos, pois so os Plos de malha aberta.

- Tambm, para fazer o mapeamento, preciso conhecer os Zeros de 1+G(s)H(s), que so osPlos de malha fechada. No entanto, se estes Zeros forem conhecidos o problema daestabilidade j esta resolvido e no existe necessidade de aplicar nenhum critrio.

- A idia utilizar no o mapeamento de 1+G(s)H(s), mas sim de G(s)H(s) para a qual em geralso conhecidos os Plos e os Zeros.

- Para efeito de saber o nmero de Plos dentro do contorno escolhido que engloba todo o ladodireito do plano s, no se pode considerar os envolvimentos da origem, mas sim do ponto -1,pois, na teoria do mapeamento de contornos, somar uma constante a qualquerF(s) desloca ocontorno mapeado para a direita desta mesma constante.



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- Desta forma, se um contorno, A, que envolve todo o semiplano da direita for mapeado atravsde G(s)H(s), ento o nmero de Plos a malha fechada, Z, no semiplano da direita igual aonmero de Plos a malha aberta, P, que esto no semiplano da direita menos o nmero derotaes no sentido anti-horrio, N, em torno de -1 do mapeamento;

- Isto : Z=P-N

- Este mapeamento chamado de Diagrama de Nyquist, ou Grfico de Nyquist, de G(s)H(s).


Plano sContorno A

Plano F

Contorno B

Mapeando o contornoA atravs da funo F(s) no contorno B:


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Resposta em

Frequncia Parte I

(Exemplos de mapeamentos)

-O mapeamento de cada ponto definidopor meio de operaes aritmticas comnmeros complexos, onde o nmeroresultante, R, calculado a partir dosnmeros complexos representados porV.Onde:- (Caso 1) Ao se admitir o sentido horrio

para mapeamento dos pontos do ContornoA, ento o Contorno B ser mapeado nosentido horrio se F(s) possuir unicamenteZeros ou possuir apenas Plos que noestejam envolvidos pelo contorno.- (Caso 2) O Contorno B ser mapeado nosentido anti-horrio se F(s) possuir apenasPlos que estejam envolvidos pelo contorno.- (Caso 3) Se o Plo ou Zero de F(s) estiverenvolvido pelo Contorno A, o mapeamentoenvolver a origem.- (Caso 4) A rotao do Plo e do Zero secancelam, e o mapeamento no envolve a

origem.

Plano s

Contorno

Contorno

Plano s

Plano s

Contorno

Contorno

Plano s

Plano s

Contorno

Contorno

Plano F

Contorno

Plano F

Contorno

Plano F Contorno

Plano F Contorno

Plano FContorno

(Caso 1)

(Caso 2)

(Caso 3)

(Caso 4)


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- Existe uma nica relao entre: o nmero de Plos de F(s) contidos no interior do Contorno A,o nmero de Zeros contidos tambm no interior do Contorno A, e o nmero de envolvimentos daorigem no sentido anti-horrio do mapeamento do Contorno A no Contorno B.

- Este inter-relacionamento pode ser usado para determinar a Estabilidade de sistemas a malhafechada Este mtodo de determinao da estabilidade chamado de Critrio de Nyquist.- Considere F(s) = 1 + G(s)H(s), com distribuio dos Plos e dos Zeros de 1 + G(s)H(s),conforme figura abaixo, prximo do Contorno A;- Cada ponto Q do Contorno A substitudo em 1 + G(s)H(s) e resulta um ponto mapeado noContorno B;

Representao de Mapeamento por Vetor:

Plano s

ContornoA ContornoB

Plano 1 + GH


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- medida que se desloca ao longo do Contorno A na direo horria, cada vetor que seencontre no interior do Contorno A parecer ser submetido a uma rotao completa, ou umamudana de 360o;- Por outro lado, cada vetor desenhado a partir dos Plos e dos Zeros de 1 + G(s)H(s) que

exista fora do Contorno A parecer oscilar e retornar sua posio anterior, sofrendo umavariao angular lquida de 0o.- Se os pontos do Contorno A forem percorridos em sentido horrio, cada Zero dentro doContorno A produzir uma rotao completa no sentido horrio, enquanto cada Plo dentro docontorno A produzir uma rotao completa no sentido anti-horrio, uma vez que os plos esto

no denominador da funo F(s).


Plano s

ContornoA ContornoB

Plano 1 + GH


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- Logo: N = P ZOnde:N = nmero de rotaes no sentido anti-horrio sobre o Contorno B em torno da origem;

P = nmero de Plos de 1 + G(s)H(s) no interior do Contorno AZ = nmero de Zeros de 1 + G(s)H(s) no interior do mesmo Contorno A- Os Plos de 1 + G(s)H(s) tambm so os Plos de G(s)H(s), e so conhecidos;- Os Zeros de 1 + G(s)H(s) tambm so os Plos do sistema a malha fechada, e no soconhecidos.- Portanto, P = nmero de plos a malha aberta envolvidos e Z= nmero de plos a malha

fechada envolvidos.


Plano s

ContornoA ContornoB

Plano 1 + GH


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- Portanto, N = P-Z, ou, alternativamente, Z=P-N, estabelece que o nmero de Plos a malhafechada no interior do contorno (que idntico ao nmero de Zeros dentro do contorno) igual

ao nmero de Plos em malha aberta de G(s)H(s) no interior do contorno menos o nmero derotaes no sentido anti-horrio do mapeamento em torno da origem.


Plano s

ContornoA ContornoB

Plano 1 + GH


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- Se o contorno for estendido para incluir todo o semiplano da direita, conforme figuraabaixo, pode-se contar o nmero de Plos a malha fechada no interior do Contorno A que

esto no semiplano da direita e determinar a Estabilidade do Sistema.- Uma vez que se pode contar o nmero de Plos a malha aberta, P, dentro do contorno,que so os mesmos Plos de G(s)H(s) no semiplano da direita, o nico problema que resta como obter o mapeamento e determinarN na expresso: Z=P-N.


Plano s

- Contorno envolvendo todo o semiplano da direita para determinar a Estabilidade:

- Por que este mtodo classificado como umatcnica de resposta em frequncia?-Ao longo do Contorno A, mapear os pontos sobreo eixo j, atravs da funo G(s)H(s), o mesmo

que substituir s = jem G(s)H(s) para formar a

funo Resposta em Frequncia G(j)H(j).-Desta forma, determina-se a resposta emfrequncia de G(s)H(s) sobre a parte do Contorno A

no eixo positivo j.- Em outras palavras, parte do Diagrama de Nyquistrepresenta o grfico polar da resposta em

frequncia de G(s)H(s).


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- Se um Contorno, A, que envolve todo o semi-plano da direitafor mapeado atravs de G(s)H(s), ento o nmero de Plos amalha fechada, Z, no semi-plano da direita igual ao nmerode Plos a malha aberta, P, que esto no semi-plano da direitamenos o nmero de rotaes no sentido anti-horrio, N, emtorno do ponto -1 do mapeamento.

- Ou seja: Z=P-N.

- O mapeamento gerado conhecido como Diagrama deNyquist, ou Grfico de Nyquist, de G(s)H(s);

- N positivo quando est no sentido anti-horrio em torno doponto -1.

Critrio de Nyquist:


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Plano s Plano GH

Plano GHPlano sRaio de teste

Zeros de 1 + G(s)H(s)

(Localizao no conhecida)Plos do sistema a malha fechada

(Localizao conhecida)

Plos de 1 + G(s)H(s)

Plos de G(s)H(s)


Exemplos de Mapeamento:

P = 0 N = 0 Z=P-N = 0

(Estvel)

P = 0 N = -2 Z=P-N = 2(Instvel)

Portanto, o problema obter o Diagramade Nyquist, para se ter o valor de N !

- (Caso 1) O contorno no envolve os Plos em malha fechada, isto , os Zeros de 1+G(s)H(s):

- (Caso 2) O contorno envolve os Plos a malha fechada, isto , os Zeros de 1+G(s)H(s):

- Os dois Plos em malha fechada so mostradosno interior do Contorno A como Zeros de

1+G(s)H(s).- Lembrar que a existncia destes Plos no conhecida a priori.)


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Esboando o Diagrama de Nyquist - Exemplo:Sistema de Controle

de Velocidade:

Aplicao: Controle dafrequncia de sada de umsistema de energia eltricaformado por um parturbina-gerador.

Funcionamento:1 Regulando avelocidade, o sistema decontrole assegura que afrequncia gerada semantm dentro datolerncia.

2 Os desvios em relao velocidade desejada socaptados por sensores, euma vlvula age sobre ovapor para compensar oerro de velocidade.

TurbinaVapor Gerador

Atuador deControlador

Velocidade (ou freqncia) desejada

Medidas de freqnciaou de velocidade

Velocidadedesejada

GeradorTurbina

Pressode vapor

Amplificador,atuador de vlvula

e vlvulade vapor

vlvula

Velocidade

real


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Plano s Plano s

Plano GH

0,874

8,36

Z=P-NZ=0-0=0(Estvel)

MatLab:

G=zpk([], [-1,-3,-10], 500)nyquist(G)

( )( ) ( )( ) ( )2322

32

433014

433014500

++

+=

jjG

( )( )( )( )1031

500

+++=

ssssG

- O diagrama de Nyquist traadosubstituindo-se os pontos do

contorno ao lado, na funo:

- Eixo Imaginrio: substituirs j emultiplicar o numerador e o denominador

pelo conjugado complexo dodenominador:

- Este processo equivalente a efetuar

operaes aritmticas com nmeroscomplexos usando vetores de G(s)traados aos pontos do Contorno.


Esboando o Diagrama de Nyquist - Exemplo:

--Conferir o procedimento de construo do Diagrama de Nyquist em: Nise, 5 Ed., pg. 440--


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Esboando o Diagrama de Nyquist - Exemplo:- A magnitude da resultante o produto dos comprimentos dos vetores devidos aos Zerosdividido pelo produto dos comprimentos dos vetores devidos aos Plos;- O ngulo da resultante a soma dos ngulos devidos aos Zeros menos a soma dosngulos devidos aos Plos;

- No exemplo anterior no havia Plos a malha aberta situados sobre o contorno queenvolve o semiplano da direita. Se houver Plos sobre o contorno, torna-se necessrio fazerum desvio ao redor dos Plos de malha aberta;- Caso contrrio, o mapeamento tenderia para o infinito de uma forma indeterminada, seminformao angular.- Consequentemente, um esboo completo do diagrama de Nyquist no poderia ser feito, e onmero de envolvimentos do ponto -1 no poderia ser determinado.Exemplo de sistema com Plos de malha aberta sobre o contorno:

Planos Planos Planos

Desvio de+180o

Desvio de-180o


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Outro Exemplo:Esboar o Diagrama de Nyquist para um sistema com realimentaounitria onde: Ponto A':

- ngulo = 0o2.(90o) = 180o

- Magnitude =Ponto B':- ngulo = +90o2.[90o]= 90o

- Magnitude = 0- Rotao A'-B': anti-horria

=+90o (o Zero apenas)Ponto D':- ngulo = 90o2[90o] = 90o- Magnitude = 0- Rotao B'-C'-D': anti-horria

= 180o2.[180o] = +180o

Trecho D'-E':- Imagem espetacular de A'-B'Ponto A':- ngulo = 0o180o = 180o

- Magnitude =- Rotao E'-F'-A': horria

= 0o2.[180o] = 360o

--Conferir o procedimento de construo do Diagrama de Nyquist em: Nise, 5 Ed., pg. 441--

2

)2()(

s

ssG

+=

Plano GH

Planos

Dois plos

Raio de teste

Z = P N = 0 0 = 0(Sistema Estvel)

N=0 (uma volta no sentido anti-horrio euma volta no sentido horrio)

MatLab:

G=zpk([-2], [0,0], 1)nyquist(G)


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Estabilidade por Intermdio do Diagrama de Nyquist

Pergunta:- E se o sistema a malha fechada tiver um ganho de malha, K, varivel? Para que faixa de

ganho o sistema estvel?

Resposta:- A abordagem geral consiste em ajustar o ganho de malha, K, com Valor Unitrio e esboar oDiagrama de Nyquist.- Uma vez que o ganho simplesmente um fator de multiplicao, o efeito do ganho o demultiplicar a resultante por uma constante em qualquer ponto do Diagrama de Nyquist.

Exemplo:- medida que o ganho varia, pode-sevisualizar o Diagrama de Nyquistexpandindo (aumentando o ganho) ou

encolhendo (diminuindo o ganho);- Esta ao pode mover o Diagrama deNyquist para alm do ponto -1, alterando aEstabilidade.


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Estabilidade por Intermdio do Diagrama de NyquistExemplo:

Planos Plano GH

1,33

- Neste sistema tem-se P = 2 para atingir a estabilidade o ponto crtico (-1) deve ser envolvido peloDiagrama de Nyquist para se obterN = 2.- Uma reduo do ganho colocaria o ponto crtico fora do Diagrama de Nyquist onde N=0 Z=2 SistemaInstvel.- Outra forma de fazer isto: pensar no Diagrama de Nyquist como permanecendo estacionrio e o ponto -1 semovendo ao longo do eixo real. Para fazer isto, ajusta-se o ganho unitrio e posiciona-se o ponto crtico em-1/K em vez de -1. Assim, o ponto crtico se deslocar para mais perto da origem medida que K aumentar.- Agora, se o Diagrama de Nyquist cruza o eixo real em -1, ento G(j)G(j) = -1.- Com base no conceito de lugar geomtrico das razes, quando G(s)H(s)= -1, a varivel s um plo a malhafechada do sistema a frequncia na qual o Diagrama de Nyquist cruza -1 a mesma frequncia em que olugar das razes cruza o eixoj Portanto, o sistema marginalmente estvel se o Diagrama de Nyquist

interceptar o eixo real em -1.

MatLab:

G=zpk([-3,-5], [2,4], 1)

nyquist(G)


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Planos

Lugar das razes

Plano GHContorno


Anlise da Estabilidade pelo Mapeamento Exclusivo do eixojPositivoCaso 1: Nenhum Plo de malha aberta no semi-plano da direita

Estabilidade: P=0 N=0 Valores baixos para o ganho K Como o contorno no envolve os plos a malha aberta, o Critrio de Nyquist diz que no se deve ternenhum envolvimento de -1 para que o sistema seja estvel.

Instabilidade: P=0 N0 Valores altos para o ganho K

Pode-se ver a partir do Diagrama de Nyquist que o envolvimento do ponto crtico (-1) pode ser determinadoapenas com base no mapeamento do eixojpositivo:- Se o ganho forpequeno, o mapeamento passar direita de -1, e o sistema ser estvel- Se o ganho foralto, o mapeamento passar esquerda de -1, e o sistema ser instvel

- Portanto, este sistema estvel para a faixa de valores de ganho de malha, K, que garante que a magnitude

a malha aberta menor que um (a unidade) na frequncia onde o ngulo de fase 180o (ou, de forma

equivalente, -180

o

)


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Estabilidade por Intermdio do Mapeamento do EixojPositivo

Planos

Lugar das razes

Contorno Plano GH

Caso 2: Plos de malha aberta no semi-plano da direita


Estabilidade: P=2 N=2 Valores altos para o ganho K Como o contorno inclui dois plos a malha aberta, necessrio haver dois envolvimentosdo ponto crtico (-1) no sentido anti-horrio para se ter estabilidade.Instabilidade: P=2 N2 Valores baixos para o ganho K

Para este caso, o sistema estvel se a magnitude a malha aberta for maior que um (a unidade) na

frequncia onde o ngulo de fase 180o

(ou, de modo equivalente, -180o

)


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Planos

Contorno

Plano GH


Estabilidade por Intermdio do Mapeamento do EixojPositivoExemplo 10.7: Determine a faixa de valores de ganho K para a estabilidade e instabilidade, e o ganhopara a estabilidade marginal para um sistema com realimentao unitria onde G(s) dada pela funoindicada abaixo. Para estabilidade marginal, determine a frequncia de oscilao em rad/s.- Como os plos a malha aberta esto somente no semiplano da esquerda, o Critrio de Nyquist diz queno se pode ter nenhum envolvimento de -1 para a Estabilidade.- Portanto, necessrio um ganho menor que um (a unidade) em 180o.- FazerK=1 e desenhar o trecho do contorno ao longo do eixo imaginriojpositivo.- Interseo com o eixo real negativo: obtida fazendo s = jem G(s)H(s), ajustando a parte imaginriaigual a zero para determinar a frequncia, e ento substituindo a frequncia na parte real de G(j)H(j):

- Igualando a zero a parte imaginria, encontra-se rad/s. Substituindo este valor na equao, obtm-se a parte real igual a -(1/20) = (1/20)180o.- Este sistema a malha fechada estvel se a magnitude da resposta em frequncia for menor que um (aunidade) em 180o:

- Sistema estvel: para K20- Sistema marginalmente estvel: K=20 - Frequncia angular de oscilao: 2,45 rad/s.

( ) ( )( ) ( )2322

32

644

644)(

+

=

jjG

( )2)22(

)(2

+++=

sss

KsG

MatLab:

G=zpk([],[-1+1i,-1-1i,-2],1)nyquist(G)

6=

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