Aula de Física II - Capacitância e Energia · Energia Eletrostática A unidade de medida de...

Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico

Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática

Aula de Física II - Capacitância e Energia

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes

([email protected])

Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ

Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação

25 de novembro de 2010

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física II - Capacitância e Energia

Capacitor Plano

Seja um par de placas metálicas planas paralelas carregadas,

conforme a �gura:

O campo elétrico devido às placas (Veri�que!!!) é dado por:

|~E | = σ

ε0; σ =

Capacitor Plano

conforme a �gura:

|~E | = σ

ε0; σ =

Capacitor Plano

conforme a �gura:

|~E | = σ

ε0; σ =

Capacitor Plano

conforme a �gura:

|~E | = σ

ε0; σ =

Capacitor Plano

conforme a �gura:

|~E | = σ

ε0; σ =

onde A é a área das placas. A diferença de potencial entre elas é

dada por:

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

~E ∗ ~dl = E ∗ d (2)

De fato, pois ~E aponta no sentido da placa positiva pra negativa.

V =σd

ε0A(3)

é proporcional à carga Q da placa. De�nimos como sendo a

capacitância ζ do par de condutores, que se diz constituir um

capacitor, o coe�ciente:

ζ ≡ Q

V=ε0A

dada por:

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

~E ∗ ~dl = E ∗ d (2)

V =σd

ε0A(3)

ζ ≡ Q

V=ε0A

dada por:

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

~E ∗ ~dl = E ∗ d (2)

V =σd

ε0A(3)

ζ ≡ Q

V=ε0A

dada por:

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

~E ∗ ~dl = E ∗ d (2)

V =σd

ε0A(3)

ζ ≡ Q

V=ε0A

dada por:

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

~E ∗ ~dl = E ∗ d (2)

V =σd

ε0A(3)

ζ ≡ Q

V=ε0A

dada por:

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

~E ∗ ~dl = E ∗ d (2)

V =σd

ε0A(3)

ζ ≡ Q

V=ε0A

A unidade de medida de capacitância é o Farad (1F ≡ 1C1∨ ). Por

exemplo, para um capacitor de placas planas com 1mm de

distãncia, para ter uma capacitância de 1F, precisaríamos de placas

de área:

ζ =ε0A

d=⇒ A =

10−3m ∗ 1F8, 85 ∗ 10−12 F

= 1, 13 ∗ 108m2 (5)

o que corresponde a 100 km2, o que mostra que F é uma unidade

de grandes dimensões. As mais usadas são µF e pF .

de área:

ζ =ε0A

=⇒ A =dC

10−3m ∗ 1F8, 85 ∗ 10−12 F

= 1, 13 ∗ 108m2 (5)

de área:

ζ =ε0A

10−3m ∗ 1F8, 85 ∗ 10−12 F

= 1, 13 ∗ 108m2 (5)

de área:

ζ =ε0A

d=⇒ A =

10−3m ∗ 1F8, 85 ∗ 10−12 F

= 1, 13 ∗ 108m2 (5)

de área:

ζ =ε0A

d=⇒ A =

10−3m ∗ 1F8, 85 ∗ 10−12 F

= 1, 13 ∗ 108m2 (5)

Capacitor Cilíndrico

Neste caso, sendo l o comprimento do capacitor, então:

E (a) = σ+

ε0= B

2πε0al

E (b) = −σ−ε0

= −Bb= − Q

2πε0bl

2πε0l(6)

E (a) = σ+

ε0= B

2πε0al

E (b) = −σ−ε0

= −Bb= − Q

2πε0bl

2πε0l(6)

E (a) = σ+

ε0= B

2πε0al

E (b) = −σ−ε0

= −Bb= − Q

2πε0bl

2πε0l(6)

E (a) = σ+

ε0= B

2πε0al

E (b) = −σ−ε0

= −Bb= − Q

2πε0bl

2πε0l(6)

A diferença de potencial entre os cilindros é:

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

E (ρ)dρ = BV

ρ= B ln

o que por (6) dá:

ζ =2πε0l

Se b = a + d , com d << a, então:

)≈ d

a=⇒ ζ =

2πε0al

d=ε0A

onde A = 2πal é a área da superfície lateral do cilindro, ou seja, o

capacitor cilíndrico funciona como um "capacitor plano enrolado".

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

E (ρ)dρ = BV

ρ= B ln

o que por (6) dá:

ζ =2πε0l

)≈ d

a=⇒ ζ =

2πε0al

d=ε0A

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

E (ρ)dρ = BV

ρ= B ln

o que por (6) dá:

ζ =2πε0l

)≈ d

a=⇒ ζ =

2πε0al

d=ε0A

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

E (ρ)dρ = BV

ρ= B ln

o que por (6) dá:

ζ =2πε0l

)≈ d

a=⇒ ζ =

2πε0al

d=ε0A

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

E (ρ)dρ = BV

ρ= B ln

o que por (6) dá:

ζ =2πε0l

)≈ d

a=⇒ ζ =

2πε0al

d=ε0A

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

E (ρ)dρ = BV

ρ= B ln

o que por (6) dá:

ζ =2πε0l

)≈ d

=⇒ ζ =2πε0al

d=ε0A

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

E (ρ)dρ = BV

ρ= B ln

o que por (6) dá:

ζ =2πε0l

)≈ d

ζ =2πε0al

d=ε0A

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

E (ρ)dρ = BV

ρ= B ln

o que por (6) dá:

ζ =2πε0l

)≈ d

a=⇒ ζ =

2πε0al

d=ε0A

V ≡ V+ − V− =

∫ −+

E (ρ)dρ = BV

ρ= B ln

o que por (6) dá:

ζ =2πε0l

)≈ d

a=⇒ ζ =

2πε0al

d=ε0A

Capacitor Esférico

4πε0r2r̂ ; V =

4πε0

R1− 1

Capacitor Esférico

4πε0r2r̂ ; V =

4πε0

R1− 1

Capacitor Esférico

4πε0r2r̂ ; V =

4πε0

R1− 1

Logo, a capacitância será:

ζ = 4πε0

R2 − R1

Caso R2 − R1 = d << R1, obtemos (9) novamente. Em particular,

se R2 →∞, obtemos a capacitância de uma esfera de raio R

(ζ = 4πε0R). As linhas de força vão da superfície da esfera ao

in�nito. Um exemplo é a Terra, cujo raio é R ≈ 6, 37 ∗ 106m, o que

ζ ≈ 4π ∗ 6, 37 ∗ 106m ∗ 8, 85 ∗ 10−12 Fm≈ 710µF (12)

o que é considerável para que se possa escoar bastante carga para a

Terra sem alterar apreciavelmente seu potencial ("ligação terra").

ζ = 4πε0

R2 − R1

ζ ≈ 4π ∗ 6, 37 ∗ 106m ∗ 8, 85 ∗ 10−12 Fm≈ 710µF (12)

ζ = 4πε0

R2 − R1

ζ ≈ 4π ∗ 6, 37 ∗ 106m ∗ 8, 85 ∗ 10−12 Fm≈ 710µF (12)

ζ = 4πε0

R2 − R1

ζ ≈ 4π ∗ 6, 37 ∗ 106m ∗ 8, 85 ∗ 10−12 Fm≈ 710µF (12)

ζ = 4πε0

R2 − R1

ζ ≈ 4π ∗ 6, 37 ∗ 106m ∗ 8, 85 ∗ 10−12 Fm≈ 710µF (12)

Associação de Capacitores

As placas superiores de uma conexão em paralelo formam um

condutor único, de carga:

Q = Q1 +Q2 +Q3 = ζ1V + ζ2V + ζ3V = (ζ1 + ζ2 + ζ3)V = ζeqV(13)

Agora, numa asociação em série de capacitores:

A diferença de potencial entre as extremidades é:

ζ3= Q

Energia Eletrostática

Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num

instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial

instantânea entre as placas é V = qζ , e a bateria realiza um

trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo:

dU = V dq =q dq

ζ=⇒ U =

q=Q∫q=0

q dq =q2

∣∣∣∣∣ζ

o que dá:

2ζV 2 =

2QV (16)

para a energia total armazenada até atingir a carga �nal Q.

dU = V dq =q dq

ζ=⇒ U =

q=Q∫q=0

q dq =q2

∣∣∣∣∣ζ

o que dá:

2ζV 2 =

2QV (16)

dU = V dq =q dq

=⇒ U =1

q=Q∫q=0

q dq =q2

∣∣∣∣∣ζ

o que dá:

2ζV 2 =

2QV (16)

dU = V dq =q dq

ζ=⇒

q=Q∫q=0

q dq =q2

∣∣∣∣∣ζ

o que dá:

2ζV 2 =

2QV (16)

dU = V dq =q dq

ζ=⇒ U =

q=Q∫q=0

q dq =q2

∣∣∣∣∣ζ

o que dá:

2ζV 2 =

2QV (16)

dU = V dq =q dq

ζ=⇒ U =

q=Q∫q=0

q dq =q2

∣∣∣∣∣ζ

o que dá:

2ζV 2 =

2QV (16)

dU = V dq =q dq

ζ=⇒ U =

q=Q∫q=0

q dq =q2

∣∣∣∣∣ζ

o que dá:

2ζV 2 =

2QV (16)

dU = V dq =q dq

ζ=⇒ U =

q=Q∫q=0

q dq =q2

∣∣∣∣∣ζ

o que dá:

2ζV 2 =

2QV (16)

Para um capacitor plano, isto leva a:

dV 2 =

ε02Ad

=ε02~E 2Ad (17)

Logo, podemos pensar na energia como estando armazenada no

campo, no espaço entre as placas, como uma densidade de

energia:

Ad=ε02~E 2 (18)

Consideremos agora uma esfera condutora, isolada, com carga Q.

Tratando-a como um capacitor, a energia potencial armazenada é:

8πε0R(19)

=ε02Ad

=ε02~E 2Ad (17)

energia:

Ad=ε02~E 2 (18)

8πε0R(19)

dV 2 =

ε02Ad

=ε02~E 2Ad (17)

energia:

Ad=ε02~E 2 (18)

8πε0R(19)

dV 2 =

ε02Ad

=ε02~E 2Ad (17)

energia:

Ad=ε02~E 2 (18)

8πε0R(19)

dV 2 =

ε02Ad

=ε02~E 2Ad (17)

energia:

Ad=ε02~E 2 (18)

8πε0R(19)

dV 2 =

ε02Ad

=ε02~E 2Ad (17)

energia:

Ad=ε02~E 2 (18)

8πε0R(19)

dV 2 =

ε02Ad

=ε02~E 2Ad (17)

energia:

Ad=ε02~E 2 (18)

8πε0R(19)

dV 2 =

ε02Ad

=ε02~E 2Ad (17)

energia:

Ad=ε02~E 2 (18)

8πε0R(19)

o que também resulta de ser:

4πε0R(20)

o potencial na superfície, e de ser:

∫VσdS =

2QV (21)

a energia potencial das cargas distribuídas na superfície com

densidade σ. Supondo (18) válida, então:

u(~r) =ε02~E 2(~r) =

16π2ε20r4

4πε0R(20)

∫VσdS =

2QV (21)

u(~r) =ε02~E 2(~r) =

16π2ε20r4

4πε0R(20)

∫VσdS =

2QV (21)

u(~r) =ε02~E 2(~r) =

16π2ε20r4

4πε0R(20)

∫VσdS =

2QV (21)

u(~r) =ε02~E 2(~r) =

16π2ε20r4

4πε0R(20)

∫VσdS =

2QV (21)

u(~r) =ε02~E 2(~r) =

16π2ε20r4

4πε0R(20)

∫VσdS =

2QV (21)

u(~r) =ε02~E 2(~r)

16π2ε20r4

4πε0R(20)

∫VσdS =

2QV (21)

u(~r) =ε02~E 2(~r) =

16π2ε20r4

Logo, a energia contida numa camada esférica de raio r e espessura

dr seria:

dU(r) = 4πr2dr u(r) =Q2

8πε0r2dr (23)

e a energia total contida no campo seria:

8πε0

∞∫R

r2︸︷︷︸= 1R

8πε0R(24)

que concorda com (19). De modo geral, podemos a�rmar que:

U =ε02

∫~E 2(~r)dV =

∫ρ(~r)V (~r)dV (25)

dr seria:

8πε0r2dr (23)

8πε0

∞∫R

r2︸︷︷︸= 1R

8πε0R(24)

U =ε02

∫~E 2(~r)dV =

∫ρ(~r)V (~r)dV (25)

dr seria:

8πε0r2dr (23)

8πε0

∞∫R

r2︸︷︷︸= 1R

8πε0R(24)

U =ε02

∫~E 2(~r)dV =

∫ρ(~r)V (~r)dV (25)

dr seria:

8πε0r2dr (23)

8πε0

∞∫R

r2︸︷︷︸= 1R

8πε0R(24)

U =ε02

∫~E 2(~r)dV =

∫ρ(~r)V (~r)dV (25)

dr seria:

8πε0r2dr (23)

8πε0

∞∫R

r2︸︷︷︸= 1R

8πε0R(24)

U =ε02

∫~E 2(~r)dV =

∫ρ(~r)V (~r)dV (25)

dr seria:

8πε0r2dr (23)

8πε0

∞∫R

r2︸︷︷︸= 1R

8πε0R(24)

U =ε02

∫~E 2(~r)dV =

∫ρ(~r)V (~r)dV (25)

De fato, se tomarmos a Equação de Poisson:

~∇ ∗ ~E =ρ

ε0=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)

Então:

U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)

Aplicando a identidade:

~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)

Temos:

UV =ε02

~E 2dV +ε02

~∇ ∗ (V ~E )dV (29)

~∇ ∗ ~E =ρ

=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)

Então:

U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)

~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)

Temos:

UV =ε02

~E 2dV +ε02

~∇ ∗ (V ~E )dV (29)

~∇ ∗ ~E =ρ

ε0=⇒

ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)

Então:

U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)

~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)

Temos:

UV =ε02

~E 2dV +ε02

~∇ ∗ (V ~E )dV (29)

~∇ ∗ ~E =ρ

ε0=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)

Então:

U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)

~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)

Temos:

UV =ε02

~E 2dV +ε02

~∇ ∗ (V ~E )dV (29)

~∇ ∗ ~E =ρ

ε0=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)

Então:

U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)

~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)

Temos:

UV =ε02

~E 2dV +ε02

~∇ ∗ (V ~E )dV (29)

~∇ ∗ ~E =ρ

ε0=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)

Então:

U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)

~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)

Temos:

UV =ε02

~E 2dV +ε02

~∇ ∗ (V ~E )dV (29)

~∇ ∗ ~E =ρ

ε0=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)

Então:

U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)

~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)

Temos:

UV =ε02

~E 2dV +ε02

~∇ ∗ (V ~E )dV (29)

~∇ ∗ ~E =ρ

ε0=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)

Então:

U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)

~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)

Temos:

UV =ε02

~E 2dV +ε02

~∇ ∗ (V ~E )dV (29)

~∇ ∗ ~E =ρ

ε0=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)

Então:

U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)

~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)

Temos:

UV =ε02

~E 2dV +ε02

~∇ ∗ (V ~E )dV (29)

Pelo Teorema da Divergência:

~∇ ∗ (V ~E )dV =

V~r~E (~r) ∗ n̂ dS (30)

Se afastarmos a superfície S inde�nidamente, V (~r) sobre S cai

como 1R, ~E (~r) cai como 1

R2 e dS cresce como R2. Logo, a∮Scai

como 1R

e tende a zero para R →∞. Portanto:

U =ε02

∫~E 2dV (31)

onde integramos sobre todo o espaço, o que demonstra a (25).

Pelo Teorema da Divergência:∫V

~∇ ∗ (V ~E )dV =

V~r~E (~r) ∗ n̂ dS (30)

como 1R

U =ε02

∫~E 2dV (31)

~∇ ∗ (V ~E )dV =

V~r~E (~r) ∗ n̂ dS (30)

como 1R

U =ε02

∫~E 2dV (31)

~∇ ∗ (V ~E )dV =

V~r~E (~r) ∗ n̂ dS (30)

como 1R

U =ε02

∫~E 2dV (31)

~∇ ∗ (V ~E )dV =

V~r~E (~r) ∗ n̂ dS (30)

como 1R

U =ε02

∫~E 2dV (31)

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