Aula de FT 02 - Dinâmica dos Fluidos.pdf

Professor: Gleyzer Martins


DINÂMICA DOS FLUIDOS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIAFaculdade de Ciências Integradas do Pontal

Curso de Engenharia de Produção

DISCIPLINA DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE


Dinâmica dos Fluidos

Na análise do movimento dos fluidos, podemos seguir um de dois caminhos:

�Procurar descrever os detalhes do escoamento em cada ponto (x, y, z)

do campo, representando a abordagem "diferencial"

�Trabalhar com uma região finita, fazendo um balanço dos escoamentos

que entram e saem, e determinando os seus efeitos globais, tais como a

força ou o torque sobre um corpo, ou a troca total de energia. Esse

segundo caminho representa o método do "volume de controle".


Dinâmica dos Fluidos

Desenvolve-se primeiramente o conceito de volume de controle

determinando a taxa de variação de uma propriedade global do fluido,

aplicaremos esse conceito para equação da conservação da massa e o caso

especial de quantidade de movimento e energia, sem atrito e sem trabalho de

eixo: a equação de Bernoulli. A equação de Bernoulli é uma relação histórica

e fascinante, porém extremamente restritiva.


Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos

Os problemas de estática requerem apenas o conhecimento da

densidade do fluido e da posição da superfície livre, enquanto muitos

problemas de escoamento exigem a análise de um estado arbitrário do

movimento do fluido, definido pela geometria, pelas condições de contorno e

pelas leis da mecânica.

A análise de volume de controle é “mais igual”, constituindo uma

ferramenta singularmente valiosa do engenheiro para a análise de

escoamentos. Ela fornece respostas “de engenharia”, freqüentemente globais e

não-refinadas podendo levar cerca de meia hora, mas sempre úteis.


Sistemas versus Volumes de Controle

Todas as leis da mecânica são escritas para um sistema. que é

definido como uma quantidade de massa de identidade fixa. Tudo que

for externo a esse sistema é designado pelo termo vizinhanças, sendo

o sistema separado de suas vizinhanças por uma fronteira. As leis da

mecânica estabelecem então o que ocorre quando houver uma

interação entre o sistema e suas vizinhanças



Em primeiro lugar, o sistema é uma quantidade fixa de massa,

denotada por . Logo, a massa do sistema conserva-se e não se altera.

Esta é uma lei da mecânica e assume uma forma matemática muito

simples, chamada conservação da massa:

sistm const=

0

dm

dt=



Segundo, se as vizinhanças exercem uma força resultante F sobre o

sistema, a segunda lei de Newton estabelece que a massa começará a se

acelerar

Na mecânica dos fluidos, a lei de Newton é chamada de relação de

quantidade de movimento linear. Observe que se trata de uma lei vetorial, que

implica três equações escalares

( )dV d

F m a m m Vdt dt

= ⋅ = ⋅ = ⋅



Terceiro, se as vizinhanças exercem um momento resultante relação ao

centro de massa do sistema, haverá um efeito de rotação:

Representa a quantidade de movimento angular do sistema em relação ao seu centro de massa. A equação acima é denominada relação de quantidade de movimento angular. Observe que ela também é uma equação vetorial, implicando três equações escalares

dHM

dt= ( )H r V mδ= × ⋅∑



Quarto, se uma quantidade de calor é transferida ao sistema ou se um trabalho é

realizado pelo sistema, a energia do sistema deve variar de acordo com a relação de

energia, ou primeira lei da termodinâmica, ou

Tal como a conservação da massa, a equação representa uma relação escalar, tendo,

portanto, um único componente.

dQ dW dE− =

dQ dW dE

dt dt dt− =



Todas essas leis envolvem propriedades termodinâmicas e, assim, deve-se

suplementá-las com relações de estado e para o fluido particular em estudo.

O objetivo é colocar nossas quatro leis básicas na forma de volume de controle

apropriada para regiões arbitrárias de um escoamento:

� Conservação da massa

� A relação de quantidade de movimento linear

� A relação de quantidade de movimento angular

� A equação da energia

Ao analisar um volume de controle, convertem-se as leis do sistema para que se

apliquem a uma região específica que o sistema pode ocupar por um único

instante. Tudo que precisa conhecer é o campo de escoamento nessa região e,

não raro, hipóteses simples serão suficientemente precisas (p. ex.. escoamento

uniforme na entrada e/ou na saída).


Vazão Volumétrica e Vazão em Massa

Todas as análises envolvem a avaliação da vazão volumétrica ou da vazão

em massa que atravessa uma superfície (imaginária) definida no escoamento.

Em geral, se V varia com a posição, deve-se integrar sobre a superfície

elementar dA da Figura 1a.



Então, à quantidade de fluido deslocado através de dA durante o tempo dt

corresponde o volume do paralelepípedo inclinado da Figura :

A integral de dυ/dt é a vazão volumétrica total Q através da superfície S

( ) ( )d V dt dA dAdtυ θ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅cos V n

( ) n

s s

Q dA V dA= ⋅ =∫ ∫V n



A vazão volumétrica pode ser multiplicada pela massa específica para se obter a vazão

em massa . Se a massa específica variar sobre a superfície, deverá fazer parte da

integral de superfície

Se a massa específica for constante, ela pode sair do sinal de integração, resultando

uma proporcionalidade direta:

Massa específica constante:

( ) n

s s

m dA V dAρ ρ= ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫V n�

m Qρ= ⋅�


O Teorema de Transporte de Reynolds

Para converter uma análise de sistema em uma análise de volume de controle, deve-se

transformar nossa matemática de modo a aplicá-la a uma região fixa, em vez de a

massas individuais. Essa transformação, chamada teorema de transporte de Reynolds,

pode ser aplicada a todas as leis básicas.

Examinando as leis básicas, vê-se que todas, se referem as derivadas temporais de

grandezas do fluido, m ,V , H e E . O que precisa, portanto, é de relacionar a derivada

temporal de uma grandeza do sistema à taxa de variação da mesma grandeza no interior

de uma certa região.


Volume de Controle Fixo Unidimensional

Considere um duto ou tubo de corrente, comum escoamento aproximadamente

unidimensional no tempo t e no instante t+dt,



Seja agora uma grandeza B qualquer do fluido (energia, quantidade de

movimento etc.), e seja a grandeza intensiva correspondente, definida pela quantidade

de B por unidade de massa em qualquer porção pequena do fluido. A quantidade total

de B no volume de controle é, portanto

A derivada temporal de BVC

é definida pelo limite do cálculo

dB dmβ = /

VC

Vc

B dβ ρ υ= ⋅∫

( ) ( ) ( )1 1

VC VC VC

dB B t dt B t

dt dt dt= + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1VC sai ent

dB B t dt d d B t

dt dt dtβ ρ υ β ρ υ = ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1VC sai ent

dB B t dt B t V dA V dA

dt dtβ ρ β ρ = ⋅ + − − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅



O primeiro termo à direita é a taxa de variação de B dentro do sistema 2 no

instante em que ele ocupa o volume de controle. Reorganizando tem-se:

Essa é a forma unidimensional do teorema de transporte de Reynolds para um

volume de controle fixo. Os três termos do segundo membro da são,

respectivamente

� A taxa de variação de B dentro do volume de controle

� O fluxo de B para fora, através da superfície de controle

� O fluxo de B para dentro, através da superfície de controle

Se o padrão de escoamento é permanente, o primeiro termo desaparece. A Equação

pode ser facilmente generalizada para um escoamento de padrão arbitrário

( ) ( ) ( ) ( )1

VC sist sai ent

dB B V dA V dA

dt dtβ ρ β ρ= − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )1

sist sai ent

VC

dB d V dA V dA

dt dtβ ρ υ β ρ β ρ

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

∫


Volume de Controle Fixo Arbitrário

Para um volume de controle fixo generalizado a única complicação adicional é

a presença de porções variáveis de fluxo de entrada e de saída, ao longo da superfície

de controle. Em geral, em cada elemento de área dA da superfície haverá uma

velocidade V diferente, formando um diferente ângulo θ com a normal local a dA, ou

seja

Este é o teorema de transporte de Reynolds para um volume de controle fixo

arbitrário. Uma segunda forma alternativa oferece elegância e compacidade como

vantagens

( )1

cos cossist sai ent

VC SC SC

dB d V dA V dA

dt dtβ ρ υ β ρ θ β ρ θ

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫ ∫

( ) ( )1

sist

VC SC

dB d dA

dt dtβ ρ υ β ρ

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫ V n


Aproximações Unidimensionais para os Termos de Fluxo

Em muitas aplicações, o escoamento atravessa as fronteiras da superfície de

controle apenas em certas entradas e saídas simplificadas, que são aproximadamente

unidimensionais, isto é, as propriedades do escoamento são aproximadamente

uniformes ao longo das seções transversais de entrada ou de saída.

Logo, os dois termos da integral de fluxo requeridos na equação se reduzem a

uma simples soma de termos com sinal positivo (saída) e termos com sinal negativo

(entrada), dados por produtos das propriedades do escoamento nas seções transversais

( ) ( ) ( )i i ri i i i ri isai ent

SC

dA V A V Aβ ρ β ρ β ρ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∑ ∑∫ V n


Conservação da massa

Para a conservação da massa, tem-se

Substituindo no teorema de Reynolds

Se o volume de controle tem apenas um certo número de entradas e saídas

unidimensionais, podemos escrever

B m=

1dm

dmβ = =

( )0 V nsist VC SC

dm dd dA

dt dtρ υ ρ

= = + ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

( ) ( ) 0i i i i i isai ent

VC

dd V A V A

dt

ρυ ρ ρ

+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

∑ ∑∫


A Equação da Quantidade de Movimento Linear

Na segunda lei de Newton, a grandeza a ser diferenciada é a quantidade de

movimento linear, portanto:

Substituindo no teorema de Reynolds

VB m= ⋅ dB dm Vβ = =

( ) ( )1

sist

VC SC

dB d dA

dt dtβ ρ υ β ρ

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫ V n

( ) ( )V F V V V nsist

VC SC

d dm d dA

dm dtρ υ ρ

⋅ = = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

∑ ∫ ∫


A Equação da Quantidade de Movimento Linear

Os pontos relacionados a seguir, concernentes a essa relação. devem ser

fortemente enfatizados:

� A grandeza V é a velocidade do fluido em relação a um referencial inercial

(não-acelerado): de outro modo, a segunda lei de Newton deveria ser

modificada para incluir termos não-inerciais de aceleração relativa

� O termo ΣF é a soma vetorial de todas as forças atuantes no volume de

controle material, considerado como um corpo livre; ou seja, ele inclui as

forças de superfície sobre todos os fluidos e sólidos cortados pela superfície

de controle, mais todas as forças de campo (gravitacional e eletromagnético)

atuando sobre as massas no interior do volume de controle


Fluxo de Quantidade de Movimento Unidimensional

Por analogia com a expressão fluxo de massa, a integral de superfície da

equação de quantidade de movimento é chamada de fluxo de quantidade de

movimento. Ser indicarmos a quantidade de movimento por M, então

Por causa do produto escalar, o resultado será negativo para um fluxo de quantidade de

movimento de entrada e positivo para um fluxo de saída. Se a seção transversal é

unidimensional, V e ρ são uniformes sobre a área e o resultado integrado é

( )M V V nst

SC

dAρ= ⋅ ⋅ ⋅∫�

( )i iM V Vst i ni i i

V A mρ= ⋅ ⋅ = ⋅� �


Fluxo de Quantidade de Movimento Unidimensional

Para um fluxo de saída e para um fluxo de entrada. Logo, se o volume de

controle tem apenas entradas e saídas unidimensionais, a equação se reduz

( ) ( )i iV V V

i isai ent

VC

dF d m m

dtρ υ

= ⋅ + ⋅ − ⋅

∑ ∑ ∑∫ � �


Força de Pressão Resultante sobre uma Superfície de

Controle Fechada

As forças de superfície sobre um volume de controle devem-se a (1) forças

expostas pelos cortes através dos corpos sólidos que se prolongam pela superfície e (2)

forças devidas às pressões e tensões viscosas do fluido circundante.

O cálculo da força de pressão é relativamente simples, como mostra a Figura 3.


Força de Pressão Resultante sobre uma Superfície de

Controle Fechada

Se a pressão tiver um valor uniforme , ao longo de toda a superfície, como na

Figura 3, a força de pressão resultante será zero

Logo, a Equação da força de pressão é completamente equivalente a

( ) ( ) 0F n nPU a a

SC SC

p dA P dA= − = − − =∫ ∫

( )( ) ( ) ( )F n npressao a man

SC SC

p p dA p dA= − − = −∫ ∫


Exercício

Conforme mostra a Figura, uma pá fixa deflete um jato de água de área ,

segundo um ângulo , sem variar a magnitude da velocidade. O escoamento é

permanente, a pressão é em todo lugar e o atrito na pá é desprezível.(a) Encontre os

componentes Fx , e F

y, da força aplicada pela pá. (b) encontre expressões para a

magnitude F e para o ângulo θ entre F e a horizontal


O Teorema da Quantidade de Movimento Angular

Uma análise de volume de controle pode ser aplicada à relação de quantidade

de movimento angular, fazendo nossa variável. Se O é o ponto em relação ao qual os

momentos são calculados, a quantidade de movimento angular em relação a O é dada

por

Logo, a quantidade de movimento angular por unidade de massa é

O teorema de transporte de Reynolds, fornece-nos então

( )OH r Vsist

dm= ×∫

OH

r Vd

dmβ = = ×

( ) ( ) ( )OHr V r V V n

sist VC SC

d dd dA

dm dtρ υ ρ

= × + × ⋅

∫ ∫


O Teorema da Quantidade de Movimento Angular

O teorema da quantidade de movimento angular deve ser igual ao somatório de

todos os momentos de força, em relação ao ponto O, aplicados sobre o volume de

controle

Para entradas e saídas unidimensionais, os termos do fluxo de quantidade de

movimento angular sobre a superfície são dados por

O teorema da quantidade de movimento angular tem aplicação direta em muitos

problemas importantes de escoamento de fluidos envolvendo torques e momentos, tais

como na análise de dispositivos rotativos com escoamento de fluidos, usualmente

chamados de turbomáquinas

( ) ( ) ( ) ( )O

O

HM r F r V r V V n

Osist VC SC

d dd dA

dm dtρ υ ρ

= = × = × + × ⋅

∑ ∑ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )r V V n r V r Vsai entsai ent

SC

dA m mρ× ⋅ = × ⋅ − × ⋅∑ ∑∫ � �


Exercício 2

Em uma bomba centrífuga o fluido entra axialmente e passa pelas pás da

bomba, que giram à velocidade angular ω; a velocidade do fluido varia de V1 a V

2 ; e a

pressão varia de P1 a P

2 (a) Encontre uma expressão para o torque Toque deve ser

aplicado pelas pás para manter esse escoamento. (b) A potência fornecida à bomba .

Para uma ilustração numérica, suponha r1=0.2m, r

2=0.5m e b=0.1m. Considere que a

bomba tem rotação igual a 600 rpm e bombeia água a 2,5 m3/s com uma massa

específica de 1.000 kg/m3. Calcule o torque idealizado e a potência fornecida.


Conservação da Energia

Aplicando o teorema de Transporte de Reynolds à primeira lei da

termodinâmica. A variável toma-se a energia E, e a energia por unidade de massa é

A Equação pode ser escrita para um volume de controle como se segue:

A energia do sistema por unidade de massa, e , pode ser de vários tipos:

Considerando apenas os três primeiros termos, desta tem-se

dE dm eβ = =

( )VC SC

dQ dW dE de d e V n dA

dt dt dt dtρ υ ρ

− = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

interna cinetica potencial outrase e e e e= + + +

212

e u V g z= + + ⋅



Usando por conveniência o "ponto em cima" para denotar derivadas temporais,

dividiremos o termo de trabalho em três partes:

O trabalho de eixo isola aquela porção de trabalho que é deliberadamente

realizada por uma máquina (rotor de uma bomba, pá de um ventilador, pistão etc.)

prolongando-se através da superfície de controle para dentro do volume de controle.

A taxa de trabalho realizada pelas forças de pressão ocorrem apenas na

superfície;

Todos os trabalhos das porções internas do material no volume de controle

realizam-se por forças iguais e opostas, e se cancelam.

O trabalho de pressão é igual ao produto da força de pressão sobre um

elemento de superfície pelo componente normal da velocidade entrando no volume de

controle

eixo pressao tensoesviscosas e p vW W W W W W W= + + = + +� � � � � � �

( ) ( ), V np n ent

dW p dA V p dA= − − ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅�



O trabalho total de pressão é a integral sobre a superfície de controle

Quando se substitui o trabalho na equação da energia, verifica-se que o termo de trabalho de pressão pode ser combinado com o termo de fluxo de energia, uma vez que ambos envolvem integrais de superfície de V.n . A equação da energia para um volume de controle toma-se:

Da termodinâmica sabe-se que, .

A forma geral final da equação da energia para um volume de controle fixo fica

( )V np

SC

W p dA= ⋅∫�

( ) ( )e v SCOVC SC

d pQ W W e d e V n dA

dtρ υ ρ

ρ

− − = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫� � �

/h u p v u p ρ= + ⋅ = +

( ) ( ) ( )2 21 12 2e v

VC SC

dQ W W u V g z d h V g z V n dA

dtρ υ ρ

− − = + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫� � �


Termos de fluxo de energia unidimensionais

Se o volume de controle tem uma série de entradas e saídas unidimensionais, a

integral de superfície se reduz a uma soma de fluxos de saída menos outra de fluxos de

entrada:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 12 2 2sai entsai ent

SC

h V g z V n dA h V g z m h V g z mρ+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅∑ ∑∫ � �


A Equação da Energia no Escoamento Permanente

Para escoamento permanente com uma entrada e uma saída, ambas

consideradas unidimensionais, a Equação da energia se reduz a uma célebre relação

usada em muitas análises de engenharia. Seja a seção 1de entrada e a seção 2 de saída.

Então

Mas, a partir da equação da continuidade

Podemos re-arrumar a equação como se segue

( ) ( )2 21 11 1 1 1 2 2 2 22 2e vQ W W m h V g z m h V g z− − = − ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅� � � � �

1 2m m m= =� � �

( )2 21 11 1 1 2 2 22 2 e vh V g z h V g z q w w+ + ⋅ = + + ⋅ − + +


A Equação da Energia no Escoamento Permanente

Cada termo da Equação tem dimensão de energia por unidade de massa, ou de

velocidade ao quadrado. Se dividirmos tudo por g, cada termo torna-se um

comprimento, ou altura. O símbolo tradicional para altura é h, que não devemos

confundir com entalpia. Logo, usaremos energia interna ao re-escrever a equação da

energia em termos de altura:

2 2

1 1 1 2 2 2

1 22 2

q e v

p u V p u Vz z h h h

g g g gγ γ+ + + = + + + − + +

⋅ ⋅


Escoamento sem atrito: a equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é muito famosa e muito usada, mas é necessário estar

atento às suas restrições - todos os fluidos são viscosos e, portanto, todos os

escoamentos apresentam algum atrito. Para usar corretamente a equação de Bernoulli,

devemos restringi-la a regiões de escoamento aproximadamente sem atrito.



Considere um volume de controle formado por um tubo de corrente elementar.

As propriedades podem variar com e com o tempo, mas admite-se que são uniformes

sobre a seção transversal . O atrito no tubo de corrente está mostrado, mas é desprezado

- uma hipótese altamente restritiva.

A conservação da massa para esse volume de controle elementar, conduz a

Logo, nossa forma desejada para a conservação de massa é

Esta relação não requer a hipótese de escoamento sem atrito.

0sai ent

VC

dd m m d dm

dt t

ρρ υ υ

∂+ − = ≈ +

∂ ∫ � � �

( )dm d A V A dst

ρρ

∂= ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

∂�



Escreva agora a relação de quantidade de movimento linear na direção das

linhas de corrente:

Se desprezarmos a força cisalhante nas paredes (escoamento sem atrito), as

forças se devem à pressão e à gravidade. A força de gravidade na direção da linha de

corrente é igual ao correspondente componente do peso do fluido dentro do volume de

controle:

( ) ( ) ( ) ( )s sai ent

VC

ddF V d m V m V V A ds d m V

dt tρ υ ρ

∂= ⋅ + ⋅ − ⋅ ≈ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

∂ ∑ ∫ � � �

,s gravdF dP sen A ds sen A dzθ γ θ γ= − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅



A força de pressão é mais facilmente visualizada

Subtraindo-se antes um valor uniforme p de todas as superfícies, lembrando-se, que

isso não altera a força de pressão resultante.



A força de pressão ao longo da lateral inclinada do tubo de corrente tem um

componente na direção das linhas de corrente, que atua não sobre A , mas sobre o anel

externo correspondente à variação de área dA. . A força de pressão resultante é,

portanto.

em primeira ordem. Substitua esses dois termos de força na relação de

quantidade de movimento:

( )1

2,s press

dF dp dA dp A dA A dp= ⋅ − + ≈ − ⋅

( ) ( )sdF A dz A dp V A ds d m Vt

VV A ds A ds m dV V dm

t t

γ ρ

ρρ

∂= − ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

∂

∂ ∂= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

∂ ∂

∑ �

� �



O primeiro e o último termos da direita se cancelam, em virtude da relação de

continuidade. Dividindo-se o que resta por ρ.A e rearrumando, obtém-se a relação final

desejada:

Essa é a equação de Bemoulli para escoamento sem atrito, não-permanente, ao

longo de uma linha de corrente. Ela está em uma forma diferencial e pode ser

integrada entre dois pontos 1 e 2 quaisquer sobre a linha de corrente:

0

V dpds V dV g dz

t ρ

∂+ + ⋅ + ⋅ =

∂

2 2 2 2

1 1 1 1

0V dp

ds V dV g dzt ρ

∂+ + ⋅ + ⋅ =

∂∫ ∫ ∫ ∫



Ou seja

Para avaliar as duas integrais restantes, devemos estimar o efeito não-

permanente e a variação da massa específica com a pressão. A essa altura,

consideramos apenas o caso de escoamento permanente e incompressível (densidade

constante), para o qual Equação fica:

( ) ( )2 2

2 2

2 1 2 1

1 1

10

2

V dpds V V g z z

t ρ

∂+ + ⋅ − + ⋅ − =

∂∫ ∫

( ) ( )2 22 12 1 2 1

10

2

p pV V g z z

ρ

−+ ⋅ − + ⋅ − =

2 2

1 1 2 2

1 22 2

p V p Vg z g z const

ρ ρ+ + ⋅ = + + ⋅ =



Se comparamos a equação de Bernoulli com a equação da energia, vemos que a

equação de Bernoulli contém ainda mais restrições do que se poderia imaginar de

início. A lista completa de hipóteses para a Equação de Bernoulli é a seguinte:

• Escoamento permanente - uma hipótese comum, aplicável a muitos escoamentos.

• Escoamento incompressível - aceitável, se o número de Mach do escoamento for

menor que 0,3.

• Escoamento sem atrito - muito restritiva, as paredes sólidas introduzem efeitos de

atrito.

• Escoamento ao longo de uma única linha de corrente - linhas de corrente

diferentes podem ter diferentes "constantes de Bernoulli" , dependendo das

condições do escoamento. 2

02

p Vw g z

ρ= + + ⋅



• Ausência de trabalho de eixo entre 1 e 2 - sem bombas ou turbinas sobre a linha

de corrente.

• Ausência de troca de calor entre 1 e 2 - seja calor adicionado, seja calor removido.


Linhas piezométricas e de energia

Uma interpretação visual proveitosa

da equação de Bernoulli consiste em traçar

duas linhas de carga para um escoamento.

A linha de energia (LE) mostra a altura da

"constante" de Bernoulli

A linha piezométrica (LP), ou hidráulica, mostra a altura correspondente à elevação mais a altura de pressão

2

02

p Vh z

gγ= + +

⋅

pz

γ+


Linhas piezométricas e de energia

Em condições mais gerais de escoamento, a LE irá cair suavemente em virtude das

perdas por atrito, e irá cair rapidamente no caso de uma perda substancial (uma válvula

ou obstrução) ou no caso de uma extração de trabalho (por uma turbina).

A LE só poderá se elevar se houver acréscimo de trabalho (caso de uma bomba ou

de um propulsor). A LP geralmente segue o comportamento da LE no que se refere às

perdas ou à transferência de trabalho, elevando-se e/ou caindo se a velocidade diminui

e/ou aumenta.

Como mencionamos anteriormente, não são necessários fatores de conversão nos

cálculos com a equação de Bemoulli se forem usadas unidades consistentes do SI,

conforme mostram os exemplos adiante.

Em todos os problemas tipo de Bernoulli deste livro, tomamos o ponto 1 a montante e

o ponto 2 a jusante, sistematicamente.


Exercício 2

A água flui por um bocal e atinge uma placa reta, a força necessária para segurar

a placa é 50N. Assumindo escoamento unidimensional e sem atrito. Determinar:

• A vazão volumétrica (1 ponto)

• A altura de mercúrio (1 ponto)

• As velocidades de entrada e saída (1 ponto)


Exercício 3

Um tubo de Venturi desenvolve um escoamento a baixa pressão na garganta

capaz de aspirar fluido para cima de um reservatório a uma altura de 5 cm, como na

figura. Determinar a velocidade na garganta e vazão mínima para o venturi aspirar

água do reservatório, sabendo que escoamento é sem atrito


Exercício 3

O manômetro de mercúrio da figura e colocado em um duto de água. Estime a

velocidade média do duto, (1 ponto), admitindo velocidade constante ao longo de todo

duto; a diferença de pressão estática e dinâmica (1 ponto); e a vazão volumétrica, (1

ponto) e mássica no sistema, (1 ponto)? Sabendo que:

Densidade do mercúrio 13.550 kg/m3

Densidade da água 1.000 kg/m3

100 mm

10 mm

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