Aula de FT - Transferência de Calor - Completo

Professor: D.Sc. André Luís Novais Mota

Fenômenos de Transporte

Fundamentos de transferência de calor (Fundamentos de transferência de calor e de massa – F. P.

Incropera)

[email protected]

mailto:[email protected]

Transferência de Calor

É a energia em trânsito devido a uma diferença de temperatura

Fundamentos de transferência de calor

Modos de transferência de calor

Condução: Transferência de calor em sólido ou fluido estacionário devido ao movimento aleatório das moléculas.

Convecção: Transferência de calor devido ao efeito combinado do movimento aleatório das moléculas e do movimento global (ou macroscópico) do fluido sobre uma superfície.

Radiação: É a energia que é emitida por toda matéria que se encontra a uma temperatura não nula e é atribuída a mudanças nas configurações eletrônicas dos átomos ou moléculas e é transportada como ondas eletromagnéticas (ou fótons).


Condução

Os processos de transferência de calor podem ser quantificados em termos de equações de taxa de transferência de calor (quantidade de energia transferida por unidade de tempo).

Para condução de calor, a equação da taxa de transferência de calor é conhecida como lei de Fourier.

Para uma parede plana unidimensional (Figura), que possui uma distribuição de temperatura T(x),

dx

dTkqx " ( 1)

Fluxo de energia (ou fluxo de calor)

W/m2

Condutividade térmica W/mK

Gradiente de temperatura °C/m ou K/m

Nota: O sinal negativo é uma consequência do calor ser transferido no sentido da diminuição da temperatura.


O gradiente de temperatura pode ser expresso como

L

TT

dx

dT 12

Assim, o fluxo de calor é

L

TTkqx

12"

ou

L

Tk

L

TTkqx

21"

(2)

A taxa de transferência de calor, qx (W) é dado por

Aqq xx "

Condução

Exercício 1


A parede de um forno industrial é construída em tijolo refratário com espessura de 0,15 m e condutividade térmica de 1,7 W/mK. Medições efetuadas durante a operação em regime estacionário revelaram temperaturas de 1.400 e 1.150 K nas superfícies interna e externa da parede do forno, respectivamente. Qual a taxa de calor perdida através de uma parede com dimensões 0,5 por 3 m?

Solução

Considerações: 1. Condições em regime estacionário 2. Condição unidimensional através da parede 3. Condutividade térmica constante

Análise: Uma vez que a transferência de calor através da parede se dá por condução, o fluxo de calor pode ser determinado a partir da lei de Fourier:

221" /833.215,0

150.1400.1/7,1 mW

m

KKmW

L

Tk

L

TTkqx

E a perda de calor através da parede é: WmmWwHqAqq xxx 250.435,0/833.2 22""


Relação da convecção entre um fluido em movimento e uma superfície a temperaturas diferentes, e desenvolvimento da velocidade e da camada limite na transferência de calor por convecção.

Convecção

Região da camada limite hidrodinâmica ou de velocidade: A velocidade varia entre zero (no contato com a superfície, y = 0) e um valor finito u , associado com o escoamento do fluido.

Região da camada limite térmica: A temperatura varia de Tsup (em y = 0) a T, associada à região do escoamento afastada da superfície.

Tsup T

TThq sup" (3)


Processos de transferência de calor por convecção. (a) Convecção forçada. (b) convecção natural. (c) Ebulição. (d) Condensação.

Convecção


Lei do resfriamento de Newton

Convecção

TThq sup" (3)

q" é o fluxo de calor por convecção (W/m2).

Tsup: temperatura de superfície

T: temperatura do fluido

h: coeficiente de transferência de calor por convecção (W/m2K)

O fluxo de calor é considerado positivo se o calor é transferido a partir da superfície (Tsup T), e negativo se o calor e transferido para superfície (Tsup T ). Contudo, a equação 3 pode ser expressa por:

sup" TThq


Lei de Stefan-Boltzmann: A radiação que é emitida pela superfície tem sua origem na energia térmica da matéria que está limitada pela sua superfície, e taxa pela qual a energia é liberada por unidade de área (W/m2) é conhecida como poder emissivo E da superfície.

Radiação

4

supTEn (4)

Onde Tsup é a temperatura absoluta (K) da superfície, e é a constante de Stefan-Boltzmann ( 5,67 108 W/m2K4). Uma superfície que emite o limite definido pela equação 3 é chamado de radiador ideal ou corpo negro.

O fluxo de calor emitido por uma superfície real é menor do que aquele emitido por um corpo negro à mesma temperatura e é dado por

4

supTE (5)

Onde é uma propriedade radiante da superfície conhecida por emissividade.

0 1 medida da capacidade de emissão de energia de uma superfície em relação a um corpo negro.


A radiação oriunda de uma fonte, tal como o sol, também pode incidir sobre uma superfície a partir da vizinhança, chamada de irradiação G.

Uma porção, ou toda, a irradiação pode ser absorvida pela superfície, aumentando a energia térmica do material.

A taxa segunda a qual a energia radiante é absorvida, por unidade de área, pode ser avaliada a partir da propriedade radiante da superfície conhecida por absortividade .

Radiação

GGabs (6)

Onde 0 1

Se 1 e a superfície é opaca, frações da irradiação são refletidas.

Se a superfície é semitransparente, frações da irradiação podem ser transmitidas.


Caso especial: uma superfície pequena a Tsup exposta a uma larga vizinhança de temperatura constante (isotérmica), Tviz. Para essa condição, a irradiação pode ser aproximada pela emissão de um corpo negro a Tviz:

Se a superfície for considerada uma para qual (uma superfície cinza), a taxa líquida de transferência de calor por radiação a partir da superfície, expressa por unidade de área da superfície, é dada por

Radiação

44

supsup

"

viznrad TTGTEA

qq (8)

Nota: Essa expressão fornece a diferença entre a energia térmica que é liberada devido à emissão de radiação e aquela que é ganha devido à absorção de radiação.

4

vizTG (7)


As superfícies mostradas na Figura abaixo podem também, simultaneamente, transferir calor por convecção para um gás adjacente.

Para as condições da Figura, a taxa total de transferência de calor a partir da superfície pode ser expresso por

Radiação

44

supsup vizradconv TTATThAqqq (9)

vizsrrad TTAhq

Em algumas situações é conveniente expressar a troca líquida de calor por radiação através da expressão

(10)

Nota (apenas nomenclaturas diferentes): Tsup = Ts

Exercício 2


Uma tubulação de vapor sem isolamento térmico passa através de uma sala onde o ar e as paredes se encontram a 25°C. O diâmetro externo do tubo é de 70 mm, a temperatura de sua superfície é de 200 °C, e a sua emissividade é de 0,8. Quais são o poder emissivo e a irradiação da superfície? Se o coeficiente associado com a transferência de calor por convecção natural da superfície para o ar é de 15 W/m2K, qual a taxa de calor perdida pela superfície do tubo, por unidade de comprimento?

Solução

Achar: 1. Poder emissivo (E) e irradiação da superfície (G) 2. Perda de calor do tubo por unidade de comprimento, q’

Considerações: 1. Condições em regime estacionário 2. A troca de radiação entre o tubo e a sala é semelhante àquela que existe entre uma superfície pequena que se encontra no interior de um espaço fechado muito maior 3. A emissividade e absortividade da superfície são iguais

Exercício 2


Análise: 1. O poder emissivo da superfície pode ser avaliado através da Eq. 5, enquanto a irradiação corresponde à Eq. 7:

244284

sup /270.2473/1067,58,0 mWKKmWTE

15,273 CTKT

244284 /447298/1067,5 mWKKmWTG viz

2. A perda de calor da tubulação para o ar da sala se dá por convecção, e para as paredes, por radiação. Logo, a Eq. 9, com A D L (área lateral do cilindro)

44

supsup vizradconv TTATThAqqq

44

supsup vizTTLDTTLDhq

A perda de calor por unidade de comprimento do tubo é

L

qq '

Exercício 2


Então,

L

TTLD

L

TTLDh

L

qq

viz

44

supsup'

444

42

8

22984731067,507,08,029847307,015' K

Km

WmKm

Km

Wq

mWmWmWq /998/421/577'

Exercício 3


Um recipiente fechado completamente cheio com café quente encontra-se em uma sala cujo ar e paredes estão a uma temperatura fixa. Identifique todos os processos de transferência de calor que contribuem para o resfriamento do café. Teça comentários sobre algumas características que contribuíram para melhorar o projeto do recipiente.

Solução

Dados: Café quente encontra-se separado da vizinhança, mais fria, por frasco de plástico, um espaço contendo ar e um invólucro plástico

Achar: Os processos de transferência de calor relevantes.

Exercício 3


q1: convecção natural do café para o frasco q2: condução através do frasco q3: convecção natural do frasco para o ar q4: convecção natural do ar para o invólucro plástico q5: troca líquida por radiação entre a superfície externa do frasco e a superfície interna do invólucro plástico q6: condução através do invólucro plástico q7: convecção natural do invólucro plástico para o ar ambiente q8: troca líquida de calor por radiação entre a superfície externa do invólucro plástico e a vizinhança

Exercício 3


Comentários:

Melhoras no projeto estão associadas:

(1) Ao uso de superfícies aluminizadas (baixa emissividade( para o frasco e o invólucro plástico a fim de reduzir a transferência por radiação, e

(2) Ao preenchimento, com material que dificulte a convecção natural, do espaço compreendido entre o frasco e o invólucro plástico, ou mesmo à elaboração de vácuo nesse espaço, que pode chegar à zerar a contribuição da convecção natural na situação de vácuo absoluto.

Exercício 4


Você experimenta um resfriamento por convecção toda vez que estende a sua mão para fora da janela de um veículo em movimento ou que a imerge em uma corrente de água fria. Com a superfície de sua mão a uma temperatura de 30°C, determine o fluxo de calor por convecção para (a) o caso de um veículo a 35 km/h em meio ao ar a 5°C e com coeficiente de transferência de calor por convecção de 40 W/m2K, e para (b) uma corrente de água com velocidade de 0,2 m/s, temperatura de 10°C e coeficiente de transferência por convecção de 900 W/m2K. Qual a condição que o faria sentir mais frio? Compare esses resultados com uma perda de calor de aproximadamente 30 W/m2 para as condições ambientes normais.

Exercício 4


Solução

Considerações: (1) A temperatura é uniforme na superfície da mão; (2) O coeficiente de convecção é uniforme na mão; e (3) desprezar a troca por radiação entre a mão e a vizinhança no caso do fluxo de ar.

Análise: A mão sentirá mais frio para a condição na qual resultar em uma maior perda de calor. A perda de calor pode ser determinada pela lei de resfriamento de Newton, Eq. 3,

TThq sup"

Para a corrente de ar:

2

2

" /400.1)5(3040 mWKKm

Wqar

Para a corrente de água:

2

2

" /000.181030900 mWKKm

Wqágua

Exercício 4


Solução

Comentários: A perda de calor da mão na corrente de água é maior do que na corrente de ar para a dada temperatura e condições de coeficiente de convecção. Em contrapartida, a perda de calor para as condições ambientes normais é somente 30 W/m2, que é um valor muito menor do que a perda na corrente de ar. Nas condições ambientes normais, a mão sentiria confortável; na corrente de ar e água, a mão sentiria um frio desconfortável devido à elevada perda de calor.

Exercício 5


O fluxo de calor através de uma placa de madeira com 50 mm de espessura, cujas temperaturas das superfícies interna e externa são de 40°C e 20°C, respectivamente, foi determinado e é igual a 40 W/m2. Qual a condutividade térmica da madeira?

Solução

Considerações: 1. Condução unidimensional na direção x. 2. Condições em regime estacionário 3. Propriedades constantes

21

"21"

TT

Lqk

L

TTkq xx

Km

m

Wk

2040

05,040

2

Km

Wk 10,0

Análise: Uma vez que a transferência de calor através da parede se dá por condução, o fluxo de calor pode ser determinado a partir da lei de Fourier:


A Figura abaixo demonstra um experimento de condução de calor, em regime estacionário.

Um bastão cilíndrico de material conhecido tem a sua superfície lateral isolada termicamente, enquanto que as duas faces restantes são mantidas a diferentes temperaturas, com T1 T2. A diferença de temperaturas causa transferência de calor por condução no sentido positivo do eixo x.

É possível medir a taxa de transferência de calor qx e determinar como qx depende das seguintes variáveis: T (a diferença de temperaturas); x (o comprimento do bastão); e A (a área da seção transversal do bastão).

Introdução à Condução

Equação da Taxa de Condução (Lei de Fourier)

x

TAqx

(10)


Mudando o material (por exemplo, de um metal para um plástico), a

proporcionalidade permanece válida. Contudo, mantendo os

valores de A, x e T, o valor de qx seria menor para o plástico do que para o

metal. Assim, podemos introduzir um coeficiente que é a medida do

comportamento do material. Assim,



x

TAqx

x

TkAqx

Onde k é a condutividade térmica (W/(mK) do material.

Ou para fluxo de calor,

(11)

dx

dTk

A

qq x

x "

dx

dTkAqx ou

(12)


A direção do fluxo de calor é sempre normal à superfície isotérmica (temperatura constante).

Como o fluxo térmico é uma grandeza vetorial, a equação da taxa de condução (lei de Fourier) pode ser escrita de formal geral:



z

Tk

y

Tj

x

TikTkq"

(13) z

Tkq

y

Tkq

x

Tkq zyx

"""

Decompondo em componentes,


A condutividade térmica k é dependente da temperatura.

A figura ao lado mostra essa dependência para alguns materiais sólidos.


Condutividade térmica

xT

qk x

x

/

"


A condutividade térmica k é dependente da temperatura.

A figura ao lado mostra essa dependência para alguns fluidos.


Condutividade térmica

xT

qk x

x

/

"


A distribuição de temperatura representa como a temperatura varia com a posição no meio.

Conhecendo essa distribuição, o fluxo de calor por condução em qualquer ponto do meio ou na sua superfície pode ser calculado através da lei de Fourier.


A Equação da Difusão de Calor (Difusão Térmica)

Volume de controle diferencial, dx dy dz, para análise da condução em coordenadas cartesianas


As taxas de transferência de calor por condução perpendiculares a cada uma das superfícies de controle na posição de coordenadas x, y e z são indicadas pelos termos qx, qy e qz, respectivamente.

As taxas de transferência de calor por condução nas superfícies opostas podem ser expressas como



dxx

qqq x

xdxx

dyy

qqq

y

ydyy

dzz

qqq z

zdzz

(14a)

(14b)

(14c)

O componente x da taxa de transferência de calor na posição x + dx é igual ao valor desse componente em x somado à quantidade pela qual ele varia multiplicada por dx.


No interior do meio pode haver um termo de fonte de energia associado à taxa de geração de energia térmica, representado como



(15) dzdydxqEg

Onde é a taxa na qual é a energia gerada por unidade de volume do meio (W/m3).

Pode haver armazenamento de energia pela matéria no interior do volume de controle. O termo referente ao acúmulo de energia pode ser escrito como

q

(16) dzdydxt

TcE pacu

Onde é a taxa de variação com o tempo da energia sensível (térmica) do meio, por unidade de volume. cp é o calor específico a pressão cte.

tTcp /


A conservação de energia, em base de taxa, é



(17) acusaigentra EEEE

A equação do calor é, em coordenadas cartesianas, pode ser expressa por

(18) t

Tcq

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

xp

Postulado da Eq. 18: “Em qualquer ponto do meio, a taxa líquida de transferência de energia por condução para o interior de um volume unitário somada à taxa volumétrica de geração de energia térmica deve ser igual à taxa de variação da energia térmica acumulada no interior deste volume.”

dxdydzt

Tcqqqdxdydzqqqq pdzzdyydxxzyx


Se a condutividade térmica for constante, a Equação 18 pode ser simplificada na forma



(19) t

T

k

q

z

T

y

T

x

T

12

2

2

2

2

2

Onde k/( cp) é a difusividade térmica.

Se as condições for regime estacionário, não há variação na quantidade de energia armazenada; assim, a Equação 18 se reduz a

(20) 0

q

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

x


Além disso, se a transferência de calor for unidimensional (como, por exemplo, na direção x) e não existir geração de energia, a Equação 20 se reduz a



(21) 0

x

Tk

x

Assim, em condições de transferência de calor unidimensional, em regime estacionário, sem geração de energia, o fluxo de calor é uma constante na direção da transferência 0/ dxqd x

Exercício 6


A distribuição de temperaturas ao longo de uma parede com espessura de 1 m, em um certo instante de tempo, é dada por

3/1000 mWq

2)( cxbxaxT

na qual T está em graus Celsius e x em metros, enquanto a = 900°C, b = -300°C/m, e c = 50°C/m2. Uma geração de calor uniforme, , está presente na parede, cuja área é de 10 m2. O seu material possui as seguintes propriedades: 1600 kg/m3, k 40 W/(m K) e cp 4 KJ/(Kg K).

1. Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede (x = 0) e que deixa a parede (x = 1).

2. Determine a taxa de variação de energia acumulada na parede.

3. Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas posições x = 0; 0,25 e 0,5 m.

Exercício 6


Solução

Dados: Distribuição de temperatura T(x) em um dado instante t e, uma parede unidimensional com geração de calor uniforme.

Achar: 1. As taxas de transferência de calor entrando, qentra (x = 0), e saindo, qsai (x = 1 m), da parede. 2. A taxa de variação de energia acumulada na parede, 3. A taxa de variação da temperatura em relação ao tempo em x = 0; 0,25 e 0,5 m.

.acuE

Considerações: 1. Condução unidimensional na direção x. 2. Meio isotrópico com propriedades

constantes independente da direção. 3. Geração de calor interna uniforme, )/( 3mWq

Exercício 6


Solução

1. Uma vez que a distribuição de temperaturas no meio é conhecida, a taxa de transferência de calor por condução em qualquer ponto deste meio, ou nas superfícies, pode ser determinada pela lei de Fourier (Equação 10).

0

0

)2()0(

x

x

xentra cxbkAdx

dTkAqq

2)( cxbxaxT

kWmmK

W

m

CbkAqentra 1201040300 2

e

Lx

Lx

xsai cxbkAdx

dTkALqq

)2()(

kWq

mmK

Wm

m

C

m

Cq

kAcLbq

sai

sai

sai

160

10401502300

)2(

2

2

Exercício 6


Solução

2. A taxa de variação de temperatura acumulada na parede Eacu pode ser determinada aplicando-se um balanço de energia global na parede. Usando a Equação 17 para um volume de controle entorno da parede

2)( cxbxaxT acusaigentra EEEE

dzdydxqEg

E pela Equação 15:

LqAEg

saientrasaigentraacu qALqqEEEE

Assim,

kWmmmWkWEacu 160110/1000120 23

kWEacu 30

Exercício 6


Solução

3. A taxa de variação de temperatura em relação ao tempo, em qualquer ponto do meio, pode ser determinada pela Equação 18, e com k cte.

2)( cxbxaxT

t

Tcq

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

xp

pp

pc

q

x

T

c

k

t

T

t

Tcq

x

Tk

2

2

2

2

22

2

2

/100/50222 mCmCccxbxt

T

xx

T

sCsCsCt

T

kgKkJmkg

mWmC

kgKkJmkg

mKW

c

q

x

T

c

k

t

T

pp

/1069,4/1056,1/1025,6

/4/1600

/1000/100

4/1600

40

444

3

32

32

2

Nota: A derivada é independente da posição no meio.


A determinação da distribuição de temperatura em um meio depende das condições físicas existentes nas fronteiras do meio, e, se a situação variar com o tempo, a solução também de depende das condições existentes no meio em algum em algum instante inicial.

Com relação às condições de contorno (ou condições nas fronteiras), há várias possibilidades comuns.

Os três tipos de condições de contorno frequentemente encontrados na transferência de contorno estão apresentados na Tabela a seguir.


Condições de Contorno e Inicial


Introdução à Condução – Condições de Contorno e Inicial

Tabela: Condições de contorno para a equação da difusão de calor na superfície (x = 0)

Exercício 7


Considere condições de regime estacionário na condução unidimensional em uma parede plana com condutividade térmica de k = 50 W/(mK) e uma espessura L = 0,25 m, sem geração interna de calor.

Determine o fluxo térmico e a grandeza desconhecida em cada caso e esboce a distribuição de temperaturas, indicando a direção do fluxo térmico.

Caso T1(°C) T2(°C) dT/dx (K/m)

1 50 20

2 30 10

3 70 160

4 40 80

5 30 200

Exercício 7


Considerações: (1) Condições em regime estacionário; (2) Condução unidimensional na direção x; (3) Sem geração interna de calor; (4) Propriedades constantes.

Solução

dx

dTkqx "

L

TT

dx

dT 12

Análise: A equação do fluxo de calor do gradiente de temperatura deste sistema são:

(caso 1):

2" /0,1428050

/28025,0

5020

mkWm

K

Km

Wq

mKm

K

dx

dT

x


1 50 20

2 30 10

3 70 160

4 40 80

5 30 200 Dados: k = 50 W/(mK), L = 0,25 m

(caso 2):

2" /0,48050

/8025,0

3010

mkWm

K

Km

Wq

mKm

K

dx

dT

x

Exercício 7



Solução

dx

dTkqx "

L

TT

dx

dT 12


(caso 3):

CCm

KmT

dx

dTLT

mkWm

K

Km

Wqx

1107016025,0

/0,816050

12

2"


1 50 20 280

2 30 10 80

3 70 160

4 40 80

5 30 200 Dados: k = 50 W/(mK), L = 0,25 m

(caso 4):

Cm

KmC

dx

dTLTT

mkWm

K

Km

Wqx

608025,040

/0,48050

21

2"

Exercício 7



Solução

dx

dTkqx "

L

TT

dx

dT 12


(caso 5):


1 50 20 280

2 30 10 80

3 70 110 160

4 60 40 80

5 20 30 200 Dados: k = 50 W/(mK), L = 0,25 m

Cm

KmC

dx

dTLTT

mkWm

K

Km

Wqx

2020025,030

/1020050

21

2"

Exercício 8


Observa-se que a distribuição de temperaturas, em estado estacionário, no interior de uma parede unidimensional com condutividade térmica de 50 W/(mK) e espessura de 50 mm tem a forma T(°C) = a + bx2, onde a = 200°C, b = 2000°C/m2 e x está em metros.

(a) Qual a taxa de geração de calor na parede?

(b) Determine os fluxos de calor nas duas faces da parede. De que forma esses fluxos de calor estão relacionados com a taxa de geração de calor?

q


Solução

Esquema:

Exercício 8


Solução

Para: (1) Condições em regime estacionário; (2) Condução unidimensional na direção x; (3) Sem geração interna de calor; e (4) Propriedades constantes:

t

Tcq

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

xp

0 (2) 0 (1) 0 (2) (4)

dx

dT

dx

dkq

kbxbdx

dkbxa

dx

d

dx

dkq 222

352 /100,2/50/20002 mWKmWmCq

(a)

Exercício 8


Solução

Os fluxos de calor nas paredes podem ser calculados pela lei de Fourier. (b)

x

xdx

dTkq

"

kbxbxadx

dkqx 22"

Para o fluxo em x = 0 e x = L,

0020" kbqx

2

2

" /000.1005,020005022 mWmm

C

mK

WkbLLqx

Exercício 8


Solução

Comentários: Do balanço global de energia na parede (b)

0 gsaientra EEE 00 "" LqLqq xx

352""

/100,205,0

0/000.10)0()(mW

m

mW

L

qLqq xx

Exercício 9


A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em um material semitransparente, com condutividade térmica k e espessura L, exposto à irradiação laser é descrita por

CBxeka

AxT ax

2)(

Onde A, a, B e C são constantes conhecidas. Nessa situação, a absorção de radiação do material é manifestada por um termo de geração de calor distribuída, )(xq

(a) Obtenha expressões para os fluxos de calor por condução nas superfícies superior e inferior.

(b) Deduza uma expressão para )(xq

Exercício 9


)(xq

Considerações: (1) Condições em regime estacionário; (2) Condução unidimensional na direção x; (3) Propriedades constantes; (4) total irradiação laser é absorvida e pode ser caracterizado pelo termo de geração de calor volumétrica interna,

Solução

(a) Pela lei de Fourier,

Bea

ka

AkBxe

ka

A

dx

dk

dx

dTkq axax

x )(22

"

Superfície superior, x = 0:

kB

a

AkB

ka

kABea

ka

Akq a

x 1)()0( )0(

2

"

Exercício 9


Solução

(a) Pela lei de Fourier,

Bea

ka

AkBe

ka

A

dx

dk

dx

dTkq axax

x )(22

"

Superfície inferior, x = L:

kBe

a

ABe

ka

AkLq aLaL

x )("

(b) A equação de difusão térmica no meio é

t

Tcq

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

xp

0 (2) 0 (1) 0 (2) (3)

dx

dT

dx

dkq

axaxax Aeeaka

kABea

ka

A

dx

dkxq

)()()(

2


Na condução de calor unidimensional em uma parede plana, a temperatura é função somente da coordenada x e o calor é transferido exclusivamente nesta direção.

Na Figura, uma parede plana separa dois fluidos, que se encontram em diferentes temperaturas.

Condição Unidimensional em Regime Estacionário

A Parede Plana

A transferência de calor ocorre por convecção do fluido quente a T,1 para uma superfície da parede a Ts,1, por condução através da parede e por convecção da outra superfície da parede a Ts,2 para o fluido frio a T,2 .


A distribuição de temperaturas na parede pode ser determinada através da solução da equação de calor com as condições de contorno pertinentes.

Para regime estacionário, sem a presença de fontes ou sumidouros de energia distribuídos no interior da parede, a forma apropriada do calor é a Equação 21.

Condição Unidimensional em Regime Estacionário: A Parede Plana

Distribuição de temperaturas

(21) 0

x

Tk

x

Se a condutividade térmica do material da parede for considerada constante, a equação pode ser integrada duas vezes, obtendo-se a solução geral

21)( CxCxT (22)


Para obter as constantes de integração C1 e C2, devem ser introduzidas condições de contorno.

Optando pela aplicação de condições de contorno do primeiro tipo em x = 0 e x = L.



T (0) = Ts,1 e T (L) = Ts,2

Substituindo a condição em x = 0 na solução geral ,

Substituindo a condição em x = L,

21)( CxCxT

Ts,1 = C2

Ts,2 = C1L +C2 = C1L + Ts,1

L

TTC

ss 1,2,

1


Substituindo C1 e C2 na solução geral ,



21)( CxCxT

1,1,2, sss TL

xTTxT (23)

A partir desse resultado, fica evidente que, para a condução unidimensional em regime estacionário em uma parede plana sem geração de calor e com condutividade térmica constante, a temperatura varia linearmente com x.

Com a distribuição de temperaturas, podemos usar a lei de Fourier, Equação 10, para determinar a taxa de transferência de calor por condução,

)( 2,1, ssx TTL

kA

dx

dTkAq (24)


O fluxo térmico, então, pode ser expresso por



(25) )( 2,1,

"

ssx

x TTL

k

A

qq

As Equações 24 e 25 indicam que tanto a taxa de transferência de calor qx quanto o fluxo térmico são constantes, independentes de x. "

xq


Assim como uma resistência elétrica está associada à condução de eletricidade, uma resistência térmica pode ser associada à condução de calor.


Resistência térmica

A resistência térmica na condução (resistência térmica condutiva) pode ser expressa por

kA

L

q

TTR

x

ss

condt

2,1,

,(26)

Analogicamente, na condução elétrica, a lei de Ohm fornece uma resistência elétrica que tem a forma

A

L

I

EER

ss

e

2,1, (27)


Uma resistência térmica também pode ser associada à transferência de calor por convecção em uma superfície. A partir da lei do resfriamento de Newton,



(28) )( TThAq s

A resistência térmica na convecção (resistência térmica convectiva) é

hAq

TTR s

convt

1,

(29)


O circuito térmico equivalente para a parede com condições de convecção nas duas superfícies é mostrado na Figura abaixo.



Uma vez que qx é constante ao longo de todo o circuito,

Ah

TT

kA

L

TT

Ah

TTq

ssss

x

2

2,2,2,1,

1

1,1,

11

(30)


Em termos da diferença de temperatura total ou global, T,1 T,2, e da resistência térmica total, Rtot, a taxa de transferência de calor pode ser representado por



(31)

total

xR

TTq

2,1,

Como as resistências condutiva e convectiva estão em série e, assim, podem ser somadas,

AhkA

L

AhRtotal

21

11 (32)


A troca radiante entre a superfície e a vizinhança pode, também, ser importante se o coeficiente de transferência de calor por convecção for pequeno (como é frequente na convecção natural de um gás). Assim, uma resistência térmica para a radiação pode ser definida por



(33) Ahq

TTR

rrad

vizsradt

1,

Para radiação entre uma superfície e uma grande vizinhança, hr é determinado pela Equação 10 vizsrrad TTAhq

As resistências convectivas e radiante em uma superfície atuam em paralelo, e se T =Tviz, elas podem ser combinadas para se obter uma resistência na superfície única e efetiva.


Circuitos térmicos equivalentes também podem ser usados em sistema mais complexos, como em paredes compostas.


A Parede Composta

(34)

Tais paredes podem possuir uma quantidade qualquer de resistências térmicas em série e em paralelo, devido à presença de camadas de diferentes materiais.

Para a parede composta, em série, da Figura ao lado, a taxa de transferência de calor unidimensional pode ser representada por

t

xR

TTq

4,1,

Onde T,1 T,4 é a diferença de temperaturas global e o somatório inclui todas as resistências térmicas.


Assim,


A Parede Composta

(35)

Alternativamente, a taxa de transferência de calor pode ser relacionada à diferença de temperaturas e à resistência térmica associadas a cada elemento:

AhAk

L

Ak

L

Ak

L

Ah

TTq

C

C

B

B

A

A

x

41

4,1,

11

...1

3221,

1

1,1,

Ak

L

TT

Ak

L

TT

Ah

TTq

B

B

A

A

ss

x(36)


Em sistemas compostos, é muitas vezes é conveniente trabalhar com um coeficiente global de transferência de calor, U, que é definido por uma expressão análoga à lei de resfriamento de Newton. Assim,


A Parede Composta

(38)

TUAqx (37)

Onde T é a diferença de temperaturas global.

O coeficiente global de transferência de calor está relacionado à resistência térmica total e a partir das Equações 34 e 37, verifica-se que UA1/Rtot.

Assim, para a parede composta da Figura anterior,

41

11

11

hk

L

k

L

k

L

h

ARU

C

C

B

B

A

Atot


Em geral, podemos escrever


A Parede Composta

(39) UAq

TRR ttot

1


As paredes compostas também podem ser caracterizadas por configurações série-paralelo, tal como mostrado na Figura.

Embora nesse sistema o escoamento de calor seja multidimensional, muitas vezes é aceitável a hipótese de condições unidimensionais.


A Parede Composta

Com base nesta hipótese, dois circuitos térmicos diferentes podem ser usados.


No caso (a), considera-se que as superfícies normais à direção de x sejam isotérmicas

No caso (b), supõe-se que as superfícies paralelas à direção x sejam adiabáticas.

São obtidos resultados diferentes para Rtot e o valor real da taxa de transferência de calor está compreendido entre os valores previstos em cada caso.


A Parede Composta

Exercício 10


As paredes de uma geladeira são tipicamente construídas com uma camada de isolante entre dois painéis de folha de metal. Considere uma parede feita com isolante de fibra de vidro, com condutividade térmica ki = 0,046 W/(mK) e espessura Li = 50 mm, e painéis de aço, cada um com condutividade térmica kp = 60 W/(mK) e espessura Lp = 3 mm. Com a parede separando ar refrigerado a T,i = 4°C do ar ambiente a T,o = 25°C, determine o ganho de calor por unidade de área superficial. Os coeficientes associados à convecção natural nas superfícies interna e externa podem ser aproximados por hi = ho = 5 W/(m2K).

Solução

Exercício 10


Considerações: (1) Transferência de calor unidimensional; (2) Condições em regime estacionário; (3) Resistência de contato desprezível; (4) Radiação desprezível; (5) Propriedades constantes.

Análise: Para o circuito térmico, o calor ganho por unidade de área é

i

i

p

p

io

ip

p

i

i

p

p

io

k

L

k

L

h

TT

hk

L

k

L

k

L

h

TTq

21

211

"

0

,,

0

,,

2

22/1,14

)087,10001,04,0(

21

046,0

05,0

60

003,02

5

12

425" mW

W

Km

C

W

Kmm

W

Kmm

W

Km

Cq

Exercício 11


3.7 A sensação de calafrio (resfriamento pelo vento), que é experimentada em dias frios com ventos, está relacionada ao aumento da transferência de calor da pele para o ambiente. Considere uma camada de tecido gorduroso (k = 0,2 W/mK) que possui 3 mm de espessura e cuja superfície interna é mantida a uma temperatura de 36°C. Em um dia calmo, o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície externa é de 25 W/m2K, mas com ventos de 30 km/h ele chega a 65 W/m2K. Em ambos os casos a temperatura do ambiente é de -15°C. (a) Qual é a razão entre a perda de calor , por unidade de área da pele, em um dia calmo e

a de um dia de vento? (b) Qual será a temperatura da superfície externa da pele em um dia calmo? E em um dia

de vento?

Exercício 11


Solução

Considerações: (1) Transferência de calor unidimensional; (2) Condições em regime estacionário; (3) Sem geração de calor interna; (4) Radiação desprezível; (5) Meio homogêneo e propriedades constantes.

Análise: O circuito térmico para este sistema é

Exercício 11


Solução (a) Qual é a razão entre a perda de calor , por unidade de área da pele, em um dia calmo e a de um

dia de vento?

[ ]vento

[ ]calmo

Exercício 11


Solução (b) Qual será a temperatura da superfície externa da pele em um dia calmo? E em um dia de vento?

Aplicando um balanço de energia na superfície para a superfície externa (qx é constante ao longo de todo o circuito)

Exercício 12


3.9 A parede composta de um forno possui três materiais, dois dos quais com condutividade térmica conhecida, kA = 20 W/mK e kC = 50 W/mK, e espessura LA = 0,30 m e LC = 0,15 m conhecidas. O terceiro material, B, que se encontra entre os materiais A e C, possui espessura LB = 0,15 m conhecida, mas sua condutividade térmica kB é desconhecida. Em condições de operação em regime estacionário, medidas revelam uma temperatura na superfície externa do forno de Ts,e = 20°C, uma temperatura na superfície interna de Ts,i = 600°C e uma temperatura do ar no interior do forno de T = 800°C. O coeficiente de transferência de calor por convecção no interior do forno h é igual a 25 W/m2K. Qual é o valor de kB?

Exercício 12


Considerações: (1) Condições em regime estacionário; (2) Transferência de calor unidimensional; (3) Resistência de contato desprezível; (4) Radiação desprezível; (5) Propriedades constantes.

Análise: Para o circuito térmico (representado no esquema), o fluxo de calor pode ser expresso por

Km

m

k

m

Km

m

C

k

L

k

L

k

L

TTq

BC

C

B

B

A

A

esis

/50

15,015,0

/20

3,0

20600"

,,

2//15,0018,0

580" mW

kq

B

Exercício 12


O fluxo de calor pode ser obtido por

)(" ,isTThq

2

2/5000)600800(25" mWC

Km

Wq

2//15,0018,0

580" mW

kq

BSubstituindo em

KmWkk

B

B

/53,1/15,0018,0

5805000

Aula de FT - Transferência de Calor - Completo

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