Aula: Equações diferenciais lineares de ordem superior 340/2015-II/slides/Aula EDO de ordem... ·...

Equacoes Diferenciais lineares de ordem superior

Aula: Equacoes diferenciais lineares de ordemsuperior

MAT 340 - Equacoes Diferenciais Ordinarias I

Profa. Ariane Piovezan EntringerDMA - UFV

MAT 340 - Equacoes Diferenciais Ordinarias I Aula: Equacoes diferenciais lineares de ordem superior


Problema de Valor Inicial - EDO de ordem n

Problema de Valor Inicial - EDO de ordem n

an(x) dnydxn + an−1(x) dn−1y

dxn−1 + · · ·+ a1(x) dydx + a0(x)y = g(x)

y(x0) = y0

y ′(x0) = y0,1

y ′′(x0) = y0,2

. . .y (n−1)(x0) = y0,n−1,

onde y0, y0,1, . . . , y0,n−1 sao constantes.

Teorema [Existencia e Unicidade de Solucao]

Sejam an(·), an−1(·), . . . , a1(·), a0(·), g(·) funcoes contınuas em umintervalo I com an(·) 6= 0 para todo x em I . Se x0 ∈ I , entao existe umaunica solucao y = y(x) para o PVI acima no intervalo I .



Exemplo: 3y ′′′ + 5y ′′ − y ′ + 7y = 0y(1) = 0y ′(1) = 0y ′′(1) = 0

Solucao.



Dependencia e Independencia Linear

Um conjunto de funcoes f1, f2, · · · , fn e linearmente dependente em umintervalo I se existem constantes c1, c2, · · · , cn nao todas nulas tais que

c1f1(x) + c2f2(x) + · · ·+ cnfn(x) = 0,

para todo x ∈ I .

Se o conjunto f1, f2, · · · , fn nao e linearmente dependente no intervalo,dizemos que este conjunto e linearmente independente (L.I.).

Exemplo.



Criterios para independencia linear de funcoes

Sejam f1(·), f2(·), · · · , fn(·) funcoes diferenciaveis ate a ordem n − 1 (pelomenos). Se o determinandte (Wronskiano)

W (f1(x), f2(x), · · · , fn(x)) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣f1 f2 · · · fnf ′1 f ′2 · · · f ′nf ′′1 f ′′2 · · · f ′′n

. . .

f(n−1)

1 f(n−1)

2 · · · f(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I , entao asfuncoes f1, f2, · · · , fn sao linearmente independentes neste intervalo.

Exemplo.



Princıpio da Superposicao - Eq. Homogeneas

Sejam y1, y2, · · · , yk solucoes para a EDO linear de ordem n homogenea

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = 0 (1)

em um intervalo I . Entao a combinacao linear

y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ ckyk(x),

com ci constante arbitratia para cada i = 1, 2, · · · , k , e tambem solucaono intervalo.

O conjunto de solucoes y1, y2, · · · , yn, com n solucoes para a EDO linearhomogenea acima e L. I. se, e somente se,

W (y1, · · · , yn) 6= 0, ∀ x ∈ I .



Qualquer conjunto y1, y2, · · · , yn, com n solucoes linearmenteindependentes para a EDO linear homogenea de ordem n e chamadoconjunto fundamental de solucoes desta EDO no intervalo I .

Teorema

Toda solucao Y (x) para (1) e uma combinacao linear de n solucoes L. I.,y1, y2, · · · , yn. Ou seja, existem constantes c1, · · · , cn tais que

Y (x) = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x).

Teorema

Existe um conjunto fundamental de solucoe para a EDO (1) em umintervalo I .



Portanto,

A solucao geral para a EDO (1) no intervalo I e definida por

y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x)

onde c1, · · · , cn sao constantes arbitrarias e y1, y2, · · · , yn sao solucoes de(1) linearmente independentes no intervalo I .

Exemplo.



Equacoes lineares nao homogeneas

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x) (2)

Definicao

Seja yp uma solucao para a EDO (2) em um intervalo I . A solucao geralpara esta EDO no intervalo I e definida por

y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x) + yp(x) = yc(x) + yp(x).

Exemplo.



Princıpio de superposicao

Teorema [Princıpio da Superposicao - Equacoes nao homogeneas]

Seja ypi uma solucao particular para a equacao diferencial ordinaria den-esima ordem

an(x)y (n) + an−1(x)y (n−1) + · · ·+ a1(x)y ′ + a0(x)y = gi (x),

em um intervalo I , para cada i = 1, 2, · · · k . Entao

yp = yp1(x) + yp2(x) + · · ·+ ypk(x)

e uma solucao particular para

an(x)y (n)+an−1(x)y (n−1)+· · ·+a1(x)y ′+a0(x)y = g1(x)+g2(x)+· · ·+gk(x).



Exemplo

Verifique que

X yp1 = −4x2 e uma solucao particular paray ′′ − 3y ′ + 4y = −16x2 + 24x − 8,

X yp2 = e2x e uma solucao particular para y ′′ − 3y ′ + 4y = 2e2x ,

X yp3 = xex e uma solucao particular para y ′′ − 3y ′ + 4y = 2xex − ex .

Assim, pelo Teorema anterior,

y = yp1 + yp2 + yp3 = −4x2 + e2x + xex

e uma solucao para

y ′′ − 3y ′ + 4y = −16x2 + 24x − 8 + 2e2x + 2xex − ex .



Equacoes Lineares Homogeneas com CoeficientesConstantes

any(n) + an−1y

(n−1) + · · ·+ a1y′ + a0y = 0, (3)

onde ai e constantes, para todo i = 0, 1, 2, · · · , n.

Assim como para equacoes lineares de ordem 1 e 2 homogeneas comcoeficientes constantes, todas as solucoes de (3) sao funcoesexponenciais ou construıdas a partir de funcoes exponenciais.

Equacao auxiliar

Se tentarmos uma solucao da forma y = emx , substituindo y , y ′ e y ′′ em(3), obtemos a equacao auxiliar

anmn + an−1m

n−1 + · · ·+ a2m2 + a1m + a0 = 0. (4)



Se todas as raızes de (4) sao reais e distintas, entao a solucao geralpara (3) e

y = c1em1x + c2e

m2x + · · ·+ cnemnx .

Os demais casos nao sao tao simples de resumir porque as raızes deuma equacao auxiliar de grau maior que dois podem ocorrer comvarias combinacoes.

Por exemplo:

Uma equacao de grau 5 pode ter:

cinco raızes reais e distintas,ou tres raızes reais e distintas e duas raızes complexas,ou uma raiz real e quatro complexas,ou cinco raızes reais e iguais,ou cinco raızes reais, sendo duas iguais, etc.



Quando m1 e uma raiz de multiplicidade k de uma equacao auxiliar degrau n (isto e k raızes sao iguais a m1), pode ser mostrado que assolucoes linearmente independnetes sao

em1x , xem1x , x2em1x , · · · , xk−1em1x

e a solucao geral tem de conter a combinacao linear

c1em1x + c2xe

m1x + c3x2em1x + · · ·+ xk−1em1x .

Exemplos.



Equacoes lineares nao homogeneas de ordem n - solucaoparticular

Coeficientes a determinar

Analogo ao aplicado as EDOs lineares de 2a ordem nao-homogeneas.Pode-se utilizar o Teorema 10.

Exemplos.



Equacoes lineares nao homogeneas de ordem n - solucaoparticular

Variacao dos ParametrosPode-se generalizar o que fizemos para EDOs lineares de 2a ordemnao-homogeneas, desde que coloque-se a EDO (3) na sua formapadrao

y (n) + Pn−1(x)y (n−1) + · · ·+ P1(x)y ′ + P0(x)y = f (x). (5)

Se y = c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn e a funcao complementar de (5),entao uma solucao particular e

yp = u1(x)y1 + u2(x)y2 + · · ·+ un(x)yn,

em que os u′ks sao determinados pelas n equacoes



y1u′1 + y2u

′2 + . . . + ynu

′n = 0

y ′1u′1 + y ′2u

′2 + . . . + y ′nu

′n = 0

...

y(n−1)1 u′1 + y

(n−1)2 u′2 + . . . + y (n−1)

n u′n = f (x).

As primeiras n − 1 equacoes sao suposicoes feitas para simplificar asprimeiras n − 1 derivadas de yp.

A ultima equacao resulta da substiuticao em (5) da derivada de ordem nde yp e as derivadas de ordem menor simplificadas.



Pela Regra de Cramer, obtemos

u′k =Wk

W, k = 1, 2, . . . n,

em que W e o Wronskiano de y1, y2, . . . , yn e Wk e o determinanteobtido substituindo a k-esima coluna do Wronskiano pela coluna

00...0

f (x)



Equacoes Diferenciais com Coeficientes Variaveis

Equacao de Cauchy-Euler

EDO da forma

anxny (n) + an−1x

n−1y (n−1) + · · ·+ a1xy′ + a0y = g(x),

onde ai e constante para todo i = 0, 1, 2, · · · , n.

Metodo de solucaoProcurar solucao da forma y = xm, onde m deve ser determinado.Substituindo y e suas derivadas ate ordem n na equacao acima,chegamos na equacao auxiliar, que e um polinomio em m de grau n.

Tres casos possıveis:

Raızes reais e distintasNeste caso, se m1, m2, · · · ,mn sao as raızes da equacaoauxiliar,entao as solucoes da EDO sao y = xmi , com i = 1, 2, · · · , n.Raızes reais e repetidasRaızes complexasEstes dois ultimos casos nao sao tao simples, pois dependem damultiplicidade das raızes e etc.



Exemplo:

Resolva x3y ′′′ + 5x2y ′′ + 7xy ′ + 8y = 0.Solucao.

Observacao: Para resolver uma equacao de Cauchy-Eulernao-homogenea, usa-se o metodo de variacao de paramentros, uma vezque o metodo dos coeficientes a determinar nao se aplica, em geral, aequacoes com coeficientes variaveis.



Referencias Bibliograficas

Zill, Dennis G. Equacoes diferenciais com aplicacoes em modelagem.2a Edicao. Sao Paulo: Cengage Learning, 2014.

Zill, Dennis G., Cullen, Michael R. Equacoes diferenciais, vol. 1, 3a

Edicao. Sao Paulo: Pearson Makron Books, 2001.


Aula: Equações diferenciais lineares de ordem superior 340/2015-II/slides/Aula EDO de ordem... ·...

Documents

Transcript of Aula: Equações diferenciais lineares de ordem superior 340/2015-II/slides/Aula EDO de ordem... ·...