Aula Fuzzy
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Sistemas Fuzzy
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Sistemas especialistas Fuzzy
n Especialistas n Senso comum para resolver problemas n Impreciso, inconsistente, incompleto, vago Embora o transformador esteja um pouco carregado, pode-se
us-lo por um tempo n Nenhum problema para outro especialista, mas sim para o EC
n Lgica Fuzzy: n Idia: todas as coisas admitem graus (temperatura, altura,
velocidade, distncia, etc...) n Desenvolvida por Lofti A. Zadeh da Universidade da Califrnia em Berkeley na
dcada de 60
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Grau de Crena x Grau de Verdade n Grau de Crena x Teoria das Probabilidades
n 80% dos pacientes com dor de dentes tm cries n Uma probabilidade de 0.8 no significa 80% verdade mas sim um grau de
crena de 80% na regra Grau de verdade x Lgica Fuzzy
n Mrio alto n A proposio verdadeira para uma altura de Mario 1.65m ?
n ...mais ou menos.... n Observar que no h incerteza, estamos seguros da altura de Mario
n O termo lingustico alto vago, como interpret-lo? n Por exemplo, a teoria de conjuntos Fuzzy (semntica para lgica fuzzy) permite
especificar quo bem um objeto satisfaz uma descrio vaga (predicado vago) n O grau de pertinncia de um objeto a um conjunto fuzzy representado por algum nmero
em [0,1]
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Caractersticas: Lgica Fuzzy (1/2)
n Lgica convencional: sim-ou-no, verdadeiro-ou-falso n Lgica Fuzzy (difusa ou nebulosa):
n Refletem o que as pessoas pensam n Tenta modelar o nosso senso de palavras, tomada de deciso ou senso
comum
n Trabalha com uma grande variedade de informaes vagas e incertas, as quais podem ser traduzidas por expresses do tipo: a maioria, mais ou menos, talvez, etc.
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Caractersticas: Lgica Fuzzy (2/2)
n Antes do surgimento da lgica fuzzy essas informaes no tinham como ser processadas
n A lgica fuzzy contm como casos especiais no s os sistemas lgicos binrios, como tambm os multi-valorados
n A lgica fuzzy vem sendo aplicada nas seguintes reas n Anlise de dados n Construo de sistemas especialistas n Controle e otimizao n Reconhecimento de padres, etc.
n Conjunto de princpios matemticos para a representao do conhecimento baseado no grau de pertinncia dos termos
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Conjuntos Fuzzy (1/3)
n Conjuntos com limites imprecisos
Altura(m)
1.75
1.0
Conjunto Clssico 1.0
Funo de pertinncia
Altura (m)
1.60 1.75
.5
.9
Conjunto Fuzzy
A = Conjunto de pessoas altas
.8
1.70
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Conjuntos Fuzzy (2/3) n Um conjunto fuzzy A definido no universo de discurso X caracterizado por uma
funo de pertinncia A, a qual mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1].
A:X[0,1]
n Desta forma, a funo de pertinncia associa a cada elemento x pertencente a X um nmero real A(X) no intervalo [0,1], que representa o grau de pertinncia do elemento x ao conjunto A, isto , o quanto possvel para o elemento x pertencer ao conjunto A.
n Uma sentena pode ser parcialmente verdadeira e parcialmente falsa n A(X) : x [0,1], A(X) = 0 0 < A(X) < 1 A(X) = 1
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Conjuntos Fuzzy (3/3)
n Definio formal n Um conjunto fuzzy A em X expresso como um conjunto de pares
ordenados:
}|))(,{( XxxxA A =
Universo ou Universo de discurso
Conjunto fuzzy
Funo de pertinncia
(MF)
Um conjunto fuzzy totalmente caracterizado por sua funo de pertinncia (MF)
-
Como representar um conjunto Fuzzy num computador?
1. Funo de pertinncia n Reflete o conhecimento que se tem em relao a intensidade
com que o objeto pertence ao conjunto fuzzy n Mtodos para adquirir esse conhecimento do especialista n Ex: Perguntar ao especialista se vrios elementos pertencem a
um conjunto
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Funo de Pertinncia
n Vrias formas diferentes n Representadas uma funo de mapeamento n Caractersticas das funes de pertinncia:
n Medidas subjetivas n Funes no probabilsticas monotonicamente crescentes, decrescentes
ou subdividida em parte crescente e parte decrescente.
MFs
Altura (m)
alto no Brasil
1.75
.5
.8
.1
alto nos EUA
alto na Itlia
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Funo de Pertinncia n Funo Triangular
n Funo Trapezoidal
n Funo Gaussiana
n Funo Sino Generalizada
trimf x a b cx ab a
c xc b
( ; , , ) max min , ,=
0
trapmf x a b c dx ab a
d xd c
( ; , , , ) max min , , ,=
1 0
gbellmf x a b cx cb
b( ; , , ) =
+
1
12
2
21
),,;(
= cx
ecbaxgaussmf
-
Funo de Pertinncia
0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
Grau
de
Perti
nnc
ia"
(a) Triangular
0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
Grau
de
Perti
nnc
ia"
(b) Trapezoidal
0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
Grau
de
Perti
nnc
ia
(c) Gaussiana
0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 Gr
au d
e Pe
rtin
ncia"
(d) Sino Gerneralizada
-
Funo de pertinncia: Universo Discreto
n X = {SF, Boston, LA} (discreto e no ordenado) n C = Cidade desejvel para se viver n C = {(SF, 0.9), (Boston, 0.8), (LA, 0.6)}
n X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (discreto) n A = Nmero de filhos n A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1), (4, .6),
(5, .2), (6, .1)}
0 2 4 6 0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
X = Nmero de filhos
Grau
de
Perti
nnc
ia
(a) Universo Discreto
-
Funo de pertinncia: Universo Contnuo
n X = (Conjunto de nmeros reais positivos) (contnuo)
n B = Pessoas com idade em torno de 50 anos
n B = {(x, B(x) )| x em X}
B x x( ) =
+
1
1 5010
2
0 50 100 0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
X = Idade
Grau
de
Perti
nnc
ia
(b) Universo Contnuo
-
Partio Fuzzy
n Partio fuzzy do universo de X representando idade, formada pelos conjuntos fuzzy jovem, maduro e idoso.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 1.2
X = Idade
Gra
u de
Per
tinn
cia Jovem Maduro Idoso
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Variveis Lingsticas
n Uma varivel lingstica possui valores que no so nmeros, mas sim palavras ou frases na linguagem natural. n Idade = idoso
n Um valor lingstico um conjunto fuzzy. n Todos os valores lingsticos formam um conjunto de termos:
n T(idade) = {Jovem, velho, muito jovem,... Maduro, no maduro,... Velho, no velho, muito velho, mais ou menos velho,... No muito jovem e no muito velho,...}
n Permitem que a linguagem da modelagem fuzzy expresse a semntica usada por especialistas
Exemplo: If projeto.durao is no muito LONGO then risco is ligeiramente reduzido
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Hedges (modificadores)
n Termos que so usados para modificar a forma dos conjuntos fuzzy n Muito, algo mais ou menos, um
pouco
n So universais n Compostos de nome e frmula n Muito:
n Extremamente
n Muito muito
n Um pouco
n Mais ou menos
n Indeed ( )2)()( xx AMA =
( )3)()( xx AMA =
( ) 3,1)()( xx AMA =
)()( xx AMA =
( )( ) 15,0,)(121)(
5,00,)(*2)(2
2
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A B, se B(x) A(x) para cada x X A = B, se A(x) = B(x) para cada x X A = X - A A(x) = 1 - A(x)
E(x) = Max [0, A(x) - B(x)]
C = A B c(x) = max(A(x), B(x)) C = A(x) B(x)
C = A B c(x) = min(A(x), B(x)) C = A(x) B(x)
Operaes Bsicas
n Subconjunto n Igualdade n Complemento n Complemento Relativo
n Unio
n Interseo
-
Representao
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 A est contido em B
Grau
de
Perti
nnc
ia
B A
(a) Conjuntos Fuzzy A e B (b) Conjunto Fuzzy no A
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 A B
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 (c) Conjunto Fuzzy "A ou B"
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 (d) Conjunto Fuzzy "A e B"
-
Exemplo (Unio|Interseo)
n X = {a, b, c, d, e} n A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e} n B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}
n Unio n C = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e}
n Interseo
n D = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}
-
Propriedades n Comutatividade
n A B = B A A B = B A
n Idempotncia n A A = A A A = A
n Associatividade n A (B C) = (A B) C = A B C A (B C) = (A B) C = A B C
n Distributividade n A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)
Propriedades padres: Comutatividade, Idempotncia Associatividade, Distributividade etc. so vlidas para os conjuntos fuzzy. Exceo:
A A A A X
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Regras Fuzzy
Consistem: n Conjunto de condies IF
(usando conectivos and, or ou not) n Uma concluso THEN n Uma concluso opcional ELSE
Exemplo:
1. Se velocidade > 100 Ento DPP 30 metros
2. Se velocidade < 40 Ento DPP 10 metros
1. Se velocidade alta Ento DPP longa
2. Se velocidade baixa Ento DPP curta
Velocidade [0,220] Baixa, Mdia e alta
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Regras Fuzzy
n E o raciocnio? n Avaliar o antecedente n Aplicar o resultado ao conseqente n As regras so ativadas parcialmente, dependendo do antecedente n Ex: Se a altura alta, o peso pesado (altura =1.85, peso = ?)
1.85
.5 .75
.1
Alto
90
.5 .75
.1
Pesado
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Regras Fuzzy
n E no caso de existir vrios antecedentes?
n E no caso de existir vrios conseqentes?
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1 FUZZIFICAO
2 INFERNCIA
AGREGAO
3 DEFUZZIFICAO
COMPOSIO
Etapas do raciocnio Fuzzy
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Lingustico Numrico Nvel
Variveis Calculadas
Variveis Calculadas
(Valores Numricos)
(Valores Lingusticos) Inferncia Variveis de Comando
Defuzzificao
Objecto
Fuzzificao
(Valores Lingusticos)
Variveis de Comando (Valores Numricos)
Nvel
Etapas do raciocnio Fuzzy
-
Fuzzificao
n Etapa na qual as variveis lingsticas so definidas de forma subjetiva, bem como as funes membro (funes de pertinncia)
n Engloba n Anlise do Problema n Definio das Variveis n Definio das Funes de pertinncia n Criao das Regies
n Na definio das funes de pertinncia para cada varivel, diversos tipos de espao podem ser gerados: n Triangular, Trapezoidal, ...
-
TRIANGULAR
Frio Normal Quente
TRAPEZOIDAL
Lento Rpido
Fuzzificao
-
Inferncia Fuzzy n Etapa na qual as proposies
(regras) so definidas e depois so examinadas paralelamente
n Engloba: n Definio das proposies n Anlise das Regras n Criao da regio resultante
n O mecanismo chave do modelo Fuzzy a proposio
n A proposio o relacionamento entre as variveis do modelo e regies Fuzzy
n Na definio das proposies, deve-se trabalhar com:
n Proposies Condicionais if W is Z then X is Y
n Proposies No-Condicionais
X is Y
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Inferncia Fuzzy
n AGREGRAO n Calcula a importncia de uma determinada regra para a situao
corrente
n COMPOSIO n Calcula a influncia de cada regra nas variveis de sada.
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Defuzzificao n Etapa no qual as regies resultantes so convertidas em valores
para a varivel de sada do sistema n Esta etapa corresponde a ligao funcional entre as regies Fuzzy e
o valor esperado
n Dentre os diversos tipos de tcnicas de defuzzificao destaca-se: n Centride n First-of-Maxima n Middle-of-Maxima n Critrio Mximo
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Exemplos:
z0 z0 z0
Centride First-of-Maxima Critrio Mximo
Defuzzificao
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Inferncia Fuzzy: Um exemplo
n Objetivo do sistema: n um analista de projetos de uma
empresa que determina o risco de um determinado projeto
n Quantidade de dinheiro e de pessoas envolvidas no projeto
n Representao das variveis de entrada
n Base de conhecimento 1. Se dinheiro adequado ou
pessoal pequeno ento risco pequeno
2. Se dinheiro mdio e pessoal alto, ento risco normal
3. Se dinheiro inadequado, ento risco alto
Problema: dinheiro = 35% e pessoal = 60%
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Inferncia Fuzzy: Um exemplo
n Passo 1: Fuzzificar
75,0)(&25,0)( == dd mi
Dinheiro
Inadequado Mdio
Adequado 35
.25
.75
Pessoal
60
Baixo Alto
.2
.8
8,0)(&2,0)( == pp ab
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Inferncia Fuzzy: Um exemplo n Passo 2: Avaliao das regras
n Ou mximo e mnimo
Adequado
Regra 1:
Baixo 0,0 ou
0,2
Risco
mdio
Regra 2:
Alto 0,25
e
0,8
Risco
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Inferncia Fuzzy
Risco
Inadequado
Regra 3:
0,75
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Inferncia Fuzzy n Passo 3: Defuzzificao
Risco
0,75
0,25
10 20 30 40 70 60 50 100 90 80
4,708,35,267
75,075,075,025,025,025,02,02,02,02,075,0*)1009080(25,0*)706050(2,0*)40302010(
==+++++++++
+++++++++=C
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Inferncia Fuzzy
n O mtodo de Sugeno n Igual ao Mandani n Conseqente Singleton
n Computacionalmente eficaz n Mais utilizado em otimizao e adaptao (controle de
sistemas