Aula Matlab Avancado

1MQI 2104 - Processamento eAnlise de Sinais Digitais

Carlos Hall Sala 06 Ramal [email protected]

Processamento de Sinais

Anlise de Dados Interpolao Regresso e Ajuste de Curvas Integrao e Diferenciao Minimizao de Funes Processamento Simblico

Anlise de Dados

Variveis Aleatrias Gerao de Nmeros Aleatrios Mximos e mnimos Somas e Produtos Anlise Estatstica

Variveis Aleatrias

Muitas medies (seno todas) tm umelemento de aleatoriedade

Estatstica: ramo da Matemtica Aplicadaque envolve anlise, interpretao eapresentao de dados que incluemalgum grau de aleatoriedade ou incerteza

Estatstica Descritiva: resume oudescreve as caractersticas maisimportantes de um conjunto de dados

Variveis Aleatrias

Varivel Aleatria: Entidade matemtica que representa os

possveis valores que uma determinadamedida pode assumir para cada medio, ouobservao Varivel Aleatria Contnua: podem assumir

qualquer valor em um intervalo contnuo Varivel Aleatria Discreta: s pode assumir

alguns valores de um conjunto discreto

Variveis Aleatrias

Populao: todos os possveis valoresque uma varivel aleatria pode assumir

Amostra: Conjunto finito de medidas ouobservaes. Assumindo que foram feitas N observaes

de uma varivel aleatria, esta amostra podeser representada por um vetor x, comelementos x(n), n = 1, ..., N

2Variveis Aleatrias

Distribuio de Freqncia: Indica as freqncias relativas com que os

possveis valores da varivel aleatriaocorrem na populao

Caso discreto: Funo Distribuio deProbabilidades (PDF) x pode assumir os valores {X1, X2, ..., Xm} PDF de Xk:

( ) ( )kk XxPXPDF ==

Variveis Aleatrias


possveis valores da varivel aleatria ocorremna populao

Caso contnuo: Funo Densidade deProbabilidades (pdf) x pode assumir qualquer valor no intervalo [-8 ,+8 ] pdf de X: uma funo f(X) tal que

( ) ( )= 21

21

X

X

dXXfXxXP ( ) XXf ,0 ( ) 1=+

dXXf

Gerao de Nmeros Aleatrios

Muitos problemas precisam usar nmerosaleatrios no desenvolvimento de uma soluo

Em alguns casos, so usados para simularsolues de um problema, repetindo-se asimulao diversas vezes (mtodo deMontecarlo)

Em outros casos, so usados para representarrudo, como o incidente em sinais de rdio

Matlab: Distribuio Uniforme Distribuio Normal


Nmeros aleatrios so caracterizadospor suas distribuies de freqncia

Distribuio Uniforme: Distribuio (pdf) Constante ao longo de sua

faixa de variao, entre os valores mnimo emximo

X

f(X)

Xmin Xmax


Distribuio Uniforme: Matlab: distribuio uniforme em [0,1] Funo rand Na verdade, so seqncias pseudo-

aleatrias A partir de uma semente, gera-se uma

seqncia A mesma semente gerar a mesma seqncia!

Intervalo Real: [2-53, 1-2-53]


Matlab: rand: gera um nmero aleatrio distinto a

cada vez que chamada rand(n): gera uma matriz n x n de nmeros

aleatrios no intervalo [0,1] rand(m,n): gera uma matriz m x n de

nmeros aleatrios no intervalo [0,1]

3Gerao de Nmeros Aleatrios

Matlab: s = rand(state): retorna um vetor de estado, com

35 elementos que caracterizam o gerador denmeros aleatrios

rand(state,s): coloca o estado do gerador em s rand(state,0): coloca o gerador em seu estado

inicial rand(state,N): coloca o gerador em seu N-simo

estado rand(state,sum(100*clock)): coloca o gerador em

um estado diferente a cada instante


Matlab (exemplo):

>> rand('state',0)>> set1 = rand(10,1);>> rand('state', 123)>> set2 = rand(10,1);>> [set1 set2]

ans =

0.9501 0.0697 0.2311 0.2332 0.6068 0.7374 0.4860 0.7585 0.8913 0.6368 0.7621 0.6129 0.4565 0.3081 0.0185 0.2856 0.8214 0.0781 0.4447 0.9532


rand: distribuio uniforme em [0,1] Para obter distribuies uniformes em outros

intervalos [m,n] n + rand*(m-n)

>> data1 = 2*rand(1,500) + 2; [2,4]>> data2 = rand(1,500)+3; [3,4]>> subplot(2,1,1), plot(data1), axis([0 500 0 6])>> subplot(2,1,2), plot(data2), axis([0 500 0 6])



rand: simulao de v.a. discretas Combinao com funo floor() floor(): arredondamento para baixo ceil(): arredondamento para cima round(): arredondamento para o mais

prximo


rand: simulao de v.a. discretas x pode assumir m valores {X1, X2, ..., Xm} com

mesma probabilidade Deseja-se observar N valores de x

x = floor(m*rand(1,N)+1)


rand: simulao de v.a. Discretas Exemplo: moeda (cara ou coroa) m=2 N = 50

x = floor(2*rand(1,50)+1);hist(x, [1 2])xlabel('1: cara, 2: coroa')ylabel('Frequencia')set(gcf, 'color', 'w')title('Histograma freq. abs. para 50 moedas')



rand: simulao de v.a. Discretas Exemplo: moeda (cara ou coroa) m=2 N = 1000

x = floor(2*rand(1,1000)+1);hist(x, [1 2])xlabel('1: cara, 2: coroa')ylabel('Frequencia')set(gcf, 'color', 'w')title('Histograma freq. abs. para 1000 moedas')



rand: simulao de v.a. Discretas Exemplo: dado de 6 faces m = 6 N = 100

x = floor(6*rand(1,100)+1);hist(x, [1:6])xlabel('Numero')ylabel('Frequencia')set(gcf, 'color', 'w')title('Histograma freq. abs. para 100 dados')



rand: simulao de v.a. Discretas Exemplo: dado de 6 faces m = 6 N = 1000

x = floor(6*rand(1,1000)+1);hist(x, [1:6])xlabel('Numero')ylabel('Frequencia')set(gcf, 'color', 'w')title('Histograma freq. abs. para 1000 dados')



Distribuio Normal: Funo Densidade de Probabilidade (pdf)

segue a funo gaussiana:

( ) ( )22

222

1

=

x

exf

Representao: N(,)


Distribuio Normal: Matlab: distribuio Normal N(0,1) Mdia zero Varincia Unitria

Funo randn Na verdade, so seqncias pseudo-

aleatrias A partir de uma semente, gera-se uma

seqncia A mesma semente gerar a mesma seqncia!


Matlab: randn: gera um nmero aleatrio distinto a

cada vez que chamada randn(n): gera uma matriz n x n de nmeros

aleatrios com distribuio N(0,1) randn(m,n): gera uma matriz m x n de

nmeros aleatrios com distribuio N(0,1)


Matlab: s = randn(state): retorna um vetor de estado, com

35 elementos que caracterizam o gerador denmeros aleatrios

randn(state,s): coloca o estado do gerador em s randn(state,0): coloca o gerador em seu estado

inicial randn(state,N): coloca o gerador em seu N-simo

estado randn(state,sum(100*clock)): coloca o gerador em

um estado diferente a cada instante


Matlab (exemplo):

>> randn('state',0)>> set3 = randn(10,1);>> randn('state', 123)>> set4 = randn(10,1);>> [set3 set4]

ans =

-0.4326 1.6056 -1.6656 -0.0416 0.1253 1.2127 0.2877 0.4977 -1.1465 -0.9253 1.1909 0.6648 1.1892 0.0013 -0.0376 -0.8141 0.3273 -0.7747 0.1746 -1.2441


randn: distribuio Normal N(0,1) Para obter distribuies normais com outros

parmetros [,] + randn*

>> data3 = randn(1,500) + 3; [3,1]>> data4 = randn(1,500)*3 + 1; [1,3]>> subplot(2,1,1),plot(data3),axis([0 500 -10 10])>> subplot(2,1,2),plot(data4),axis([0 500 -10 10])

Gerao de Nmeros Aleatrios Mximos e mnimos

Funes max e min Funcionalidades ligeiramente diferentes de

acordo com os argumentos max(x), x=vetor: maior elemento de x max(X), X=matriz: vetor com o maior elemento

de cada coluna de x max(X,Y), X,Y=vetor ou matriz: vetor ou matriz

com mesmas dimenses, onde cada elemento o mximo entre os elementos correspondentesde X e Y

Mximos e mnimos

Funes max e min No exemplo anterior:

>> max(set1)ans = 0.95010000000000

>> max([set1 set2])ans = 0.95010000000000 0.95320000000000

>> max(set1,set2)

Mximos e mnimos


>> max(set1)ans = 0.95010000000000

>> max([set1 set2])ans = 0.95010000000000 0.95320000000000

>> max(set1,set2)

ans =

0.95010000000000 0.23320000000000 0.73740000000000 0.75850000000000 0.89130000000000 0.76210000000000 0.45650000000000 0.28560000000000 0.82140000000000 0.95320000000000

7Anlise de Dados


Mximos e mnimos

Funes max e min min(x), x=vetor: menor elemento de x min(X), X=matriz: vetor com o menor

elemento de cada coluna de x min(X,Y), X,Y=vetor ou matriz: vetor ou

matriz com mesmas dimenses, onde cadaelemento o mnimo entre os elementoscorrespondentes de X e Y

Mximos e mnimos


>> min(set1)ans = 0.01850000000000

>> min([set1 set2])ans = 0.01850000000000 0.06970000000000

>> min(set1,set2)

Mximos e mnimos


>> min(set1)ans = 0.01850000000000

>> min([set1 set2])ans = 0.01850000000000 0.06970000000000

>> min(set1,set2)

ans =

0.06970000000000 0.23110000000000 0.60680000000000 0.48600000000000 0.63680000000000 0.61290000000000 0.30810000000000 0.01850000000000 0.07810000000000 0.44470000000000

Mximos e mnimos

Funes max e min: sintaxes alternativas [y,k] = max(x) y: maior elemento de x k: ndice do primeiro maior elemento de x

[y,k] = min(x) y: menor elemento de x k: ndice do primeiro menor elemento de x

Mximos e mnimos

Funes max e min: sintaxes alternativas Exemplo:>> v = [3 -2 4 -1 5 0];>> max(v)ans = 5>> [vmin, kmin] = min(v)vmin = -2kmin = 2

8Anlise de Dados


Somas e Produtos

Suponha x um vetor de N elementos: sum(x): soma dos elementos do vetor x

prod(x): produto dos elementos do vetor x

( ) [ ]=

= Nk

kxxsum1

( ) [ ]=

= Nk

kxxprod1

Somas e Produtos

Suponha x um vetor de N elementos: cumsum(x): soma cumulativa dos elementos

do vetor x, uma seqncia (vetor)

prod(x): produto cumulativo dos elementosdo vetor x, uma seqncia (vetor)

[ ] [ ]( ) [ ]=

== nk

kxnxcumsumny1

[ ] [ ]( ) [ ]=

== nk

kxnxcumprodny1

Somas e Produtos

Suponha X uma matriz MxN: sum(X): vetor de N elementos contendo a

soma dos elementos de cada coluna de X prod(X): vetor de N elementos contendo o

produto dos elementos de cada coluna de X

cumsum(X): matriz MxN onde cada coluna a soma cumulativa da respectiva coluna de X

cumprod(X): matriz MxN onde cada coluna o produto cumulativo da respec. coluna de X

Somas e Produtos

Exemplo:

Matlab:>> N = 8;>> k =1:N;>> S = sum(k)S =

36>> N *(N+1)/2ans =

36

( )2

11

+==

NNkN

k

Soma dos Termos de uma P.G.

Somas e Produtos

Exemplo:

Matlab:>> nfact4 = prod(1:4)nfact4 =

24

>> nfact70 = prod(1:70)nfact70 =

1.1979e+100

( ) ( ) 1221! = Lnnnn Fatorial de n

9Anlise de Dados


Anlise Estatstica


possveis valores da varivel aleatriaocorrem na populao

Caso discreto: Aproximao da PDF x pode assumir os valores {X1, X2, ..., Xm} N observaes de x

Freqncia Relativa de Xk:

( ) ( ) ( )mXNXNXNN +++= L21

( ) ( )NXN

XFDP kk =~

Anlise Estatstica

Distribuio de Freqncia: Caso contnuo: Aproximao da pdf x pode assumir qualquer valor no intervalo [X1,X2] N observaes de x, m bins Largura de cada bin:

N(k) = nmero de amostras tais que

Freqncia Relativa do bin k: ( ) ( )N

kNkfdp =~

( ) XkXXXkX ++ 11 1

mXXX 12 =

Anlise Estatstica

Matlab: funes hist() e bar() hist(x): calcula e exibe automaticamente o

histograma com 10 bins dos dados contidosno vetor x

N = hist(x): calcula automaticamente eretorna no vetor N o histograma com 10 binsdos dados contidos no vetor x

N = hist(x,m): calcula e retorna no vetor N ohistograma dos dados contidos no vetor x,usando m bins

Anlise Estatstica

Matlab: funes hist() e bar() N = hist(x,xc): calcula automaticamente e

retorna no vetor N o histograma dos dadoscontidos no vetor x, com o vetor xc definindoos centros das bins

[N,xc] = hist(...): calcula automaticamente eretorna no vetor N o histograma dos dadoscontidos no vetor x, e no vetor xc o centrosdas bins

Anlise Estatstica

Matlab: exemplosubplot(2,1,1)hist(data1)title('Histograma de data1 U(2,4)')xlabel('x'), ylabel('N')subplot(2,1,2)hist(data3)title('Histograma de data3 N(3,1)')xlabel('x'), ylabel('N')

10

Anlise Estatstica Anlise Estatstica

Matlab: exemplosubplot(2,1,1)hist(data1,25)title('Histograma de data1 U(2,4)')xlabel('x'), ylabel('N')subplot(2,1,2)hist(data3,25)title('Histograma de data3 N(3,1)')xlabel('x'), ylabel('N')


Matlab: funes hist() e bar() hist(): s calcula as freqncias absolutas! Caso se deseje trabalhar com as freqncias

relativas, deve-se utilizar a funo bar() emcombinao com a funo hist() hist(): usada para calcular o histograma de

freqncias absolutas bar(): usada para exibir o histograma de

freqncias relativas

Anlise Estatstica

Matlab: freqncia relativa

n1 = length(data1);[freq1,x1] = hist(data1,25);rfreq1 = freq1/n1;n3 = length(data3);[freq3,x3] = hist(data3,25);rfreq3 = freq3/n3;

Anlise Estatstica

Matlab: freqncia relativasubplot(2,1,1), bar(x1,rfreq1)title('Histograma relativo de data1')xlabel('x'), ylabel('freq. relativa')

subplot(2,1,2), bar(x3,rfreq3)title('Histograma Relativo de data3')xlabel('x'), ylabel('freq. relativa')

11


Medidas de Tendncia Central mean(): mdia amostral

median(): mediana valor central de umconjunto ordenado de amostras sort(x): ordena o vetor x de forma crescente

( )=

=N

nnx

Nx

1

1

Anlise Estatstica

Medidas de Tendncia Central>> mean(data3)ans =

3.0264>> mean(data4)ans =

0.9303>> median(data3)ans =

3.0190>> median(data4)ans =

1.1722

Anlise Estatstica

Anlise Estatstica

Medidas de Variao std(): desvio padro amostral

var(): varincia quadrado do desvio padro

( )( )=

=N

nxnx

N 12

11

Anlise Estatstica

Medidas de Variao>> std(data3)ans =

1.0475

>> std(data4)ans =

2.8223

12

Anlise Estatstica Processamento de Sinais


Interpolao

Definio: Estimao de um valor yicorrespondente a um determinado xi,a partir de um conjunto disponvel depares (x,y) x: vetor de N elementos, crescentes y: vetor de N elementos, correspondentes

aos elementos do vetor x x(1) = xi = x(N) Interpolao Linear Interpolao por Spline

Interpolao

Interpolao Linear:1) Encontra o intervalo [x(k) x(k+1)] quecontm o valor xi

Interpolao

Interpolao Linear:2) Aplica a equao de interpolao

( ) ( )( )kxxmkyy ii +=( ) ( )( ) ( )kxkx

kykym ++=

11

Interpolao Linear

Matlab: funo interp1() yi = interp1(x,y,xi) x: vetor de N elementos, crescentes y: vetor de N elementos, correspondentes aos

elementos do vetor x xi: vetor de M elementos, contendo os pontos

para os quais deseja-se fazer a interpolaolinear

yi: vetor de M elementos, contendo os pontosinterpolados

13

Interpolao Linear

Matlab: funo interp1() Exemplo:>> x = 0:5;>> y = [0 20 60 68 77 110];

>> plot(x,y, '.', 'markersize', 20)>> xlim([-1 6]), ylim([-20 120])>> xlabel('x'), ylabel('y')>> xi = [2.6 3.2 4.9];>> hold on, plot([xi;xi], ylim, 'r:')

Interpolao Linear

Interpolao Linear

Matlab: funo interp1() Exemplo:>> yi = interp1(x,y,xi);>> plot(xi,yi, 'r.', 'markersize', 20)

>> plot(x,y)

Interpolao Linear

Interpolao Linear Interpolao Linear

Matlab: funo interp2() Similar, para interpolao bidimensional Z = interp2(X,Y,Z,Xi,Yi) X: matriz MxN elementos, crescentes Y: matriz de MxN elementos, correspondentes aos

elementos da matriz X Z: matriz de MxN elementos, correspondentes aos

elementos da matrizes X e Y

Xi e Yi: matrizes de PxQ elementos, contendo ospontos para os quais deseja-se fazer a interpolaolinear

Zi: matriz de PxQ elementos, contendo os pontosinterpolados

14

Interpolao Cbica (Spline)

Mesmas premissas da interpolaolinear

Encontra o intervalo [x(k) x(k+1)] quecontm o valor xi

Ajusta um polinmio de grau 3 entre osdois pontos

Oferece uma transio mais suave O polinmio passa pelos dois pontos As curvaturas e derivadas de polinmios

adjacentes so iguais


Equao de Interpolao:

( )( ) ( )( ) ( )( ) 432231 akxxakxxakxxay iiii +++=


Matlab: funo spline() yi = spline(x,y,xi) x: vetor de N elementos, crescentes y: vetor de N elementos, correspondentes aos

elementos do vetor x xi: vetor de M elementos, contendo os pontos

para os quais deseja-se fazer a interpolaopor spline cbica

yi: vetor de M elementos, contendo os pontosinterpolados


Matlab: funo spline() Mesmo exemplo:>> x = 0:5;>> y = [0 20 60 68 77 110];>> plot(x,y, 'b.-' )>> xlim([-1 6]), ylim([-20 120])>> xlabel('x'), ylabel('y')>> xi = [2.6 3.2 4.9];>> hold on, plot([xi;xi], ylim, 'r:')>> yi = spline(x,y,xi);>> plot(xi,yi, 'r.', 'markersize', 20)


Matlab: funo spline() Mesmo exemplo:>> x = 0:5;>> y = [0 20 60 68 77 110];>> plot(x,y, 'b.-' )>> xlim([-1 6]), ylim([-20 120])>> xlabel('x'), ylabel('y')>> xi = [2.6 3.2 4.9];>> hold on, plot([xi;xi], ylim, 'r:')>> yi = spline(x,y,xi);>> plot(xi,yi, 'r.', 'markersize', 20)

Interpolao Linear

15


Matlab: funo spline() Mesmo exemplo:>> xi = 0:0.01:5;>> yi = spline(x,y,xi);>> plot(xi,yi, 'r')


Interpolao Experimental

Medies experimentais bidimensionais: muito comum fazer medies em posies

espaciais (ou temporais) no igualmenteespaadas

Normalmente armazenadas em uma matrizde 3 colunas (X,Y e Z) e N linhas(correspondentes aos valores medidos)

Para visualizao no Matlab, necessrioque os dados estejam em formato de matriz


Medies experimentais bidimensionais: Tem-se 3 vetores, x, y e z, de tamanho N Deseja-se 3 matrizes [PxQ], X, Y e Z Essas matrizes podem ento ser usadas

pelas funes pcolor(), surf(), mesh(), etc

Matlab: funo griddata()


Matlab: funo griddata() Zi = griddata(xe,ye,ze,Xi,Yi) xe: vetor de N elementos ye: vetor de N elementos, correspondentes aos

elementos do vetor x ze: vetor de N elementos, contendo as medidas

experimentais Xi, Yi: matrizes PxQ, contendo os pontos para

os quais deseja-se fazer a interpolao Zi: matriz PxQ, contendo os pontos

interpolados


Exemplo: Campo Magntico Bz

16


Exemplo: Campo Magntico Bz

157 pontos


Exemplo: Campo Magntico Bz -1.7419 1.3860 -0.0604

-1.5346 1.4035 -0.0704 -1.3410 1.4035 -0.0810 -1.2028 1.4386 -0.0832 -0.9539 1.4912 -0.0824 -0.6636 1.4737 -0.0803 -0.3456 1.4912 -0.0507 -0.1382 1.4912 -0.0219 0.1106 1.4386 0.0199 0.4009 1.4561 0.0617 0.6083 1.4561 0.0802 0.8295 1.4386 0.0909

xe ye be

..

.


Interpolao de Pontos Experimentais noMatlab:load medida.txtxmin = min(xe); xmax = max(xe);ymin = min(ye); ymax = max(ye);N = 50;

xi = xmin:(xmax-xmin)/(N-1):xmax;yi = ymin:(ymax-ymin)/(N-1):ymax;


Interpolao de Pontos Experimentais noMatlab:

[Xi Yi] = meshgrid(xi,yi);Bi = griddata(xe, ye, be, Xi, Yi);pcolor(Xi,Yi,Bi)shading interpxlabel('x'), ylabel('y')axis([-3 3 -3 3])

Interpolao Experimental Processamento de Sinais






Regresso e Ajuste de Curvas

A interpolao um mtodo local, queconsidera os pontos mais prximos dodesejado

A regresso, ou ajuste de curvas, ummtodo global, que determina a melhorfuno para o conjunto completo dosdados disponveia

Ou seja, deseja-se encontrar a funoy = f(x) que melhor se ajusta aos dados


Quantificao da qualidade do ajuste: MSE: Mean Squared Error RMSE: Root Mean Squared Error

( )=

=N

kkk yyN

MSE1

21

MSERMSE =yk: valores reais da funo

yk: valores estimados pelo ajuste^


Exemplo: Medidas de Temperatura aolongo do tempo

Tempo (s) Temp (C)0 01 202 603 684 775 110


Exemplo: Medidas de Temperatura aolongo do tempo>> t = 0:5;>> T = [0 20 60 68 77 110];>> plot(t, T, '.', 'markersize',20 )>> xlabel('t(s)')>> ylabel('T(C)')

2Regresso e Ajuste de Curvas Regresso e Ajuste de Curvas

Exemplo: Medidas de Temperatura aolongo do tempo Deseja-se fazer uma regresso linear Ou seja, deseja-se ajustar aos dados uma

funo do tipo

Observando o grfico, nota-se que uma boaaproximao poderia ser:

batT +=

tT 20 =

Regresso e Ajuste de Curvas Regresso e Ajuste de Curvas

Exemplo: Medidas de Temperatura aolongo do tempo O quo bom o ajuste? Clculo do MSE:

>> T_ = 20*t;>> e = T_ - T;>> MSE = mean(e.^2) 95.5>> RMSE = sqrt(MSE) 9.772


Exemplo: Medidas de Temperatura aolongo do tempo RMSE de 9.772 parece razovel Mas como achar a melhor reta possvel? Ajuste por MMSE - Minimum Mean Squared

Error Tambm chamado de Least-Square Busca os parmetros (no caso, a e b) que

minimizam o MSE (e o RMSE)


Ajuste por Mnimos Quadrados: Clculo do MSE:

batT += ( )= =N

kkk TTN

MSE1

21

( )=

+= Nk

kk TbatNMSE

1

21

3Regresso e Ajuste de Curvas

Ajuste por Mnimos Quadrados: MSE mnimo quando as derivadas parciais

em relao aos parmetros a e b so nulas:

0=

aMSE 0=

b

MSE




( )=

+= N

kkkk tTbatNa

MSE1

2

( )02

2

111

2

1

2

=

+

=

+=

===

=N

kkk

N

kk

N

kk

N

kkkkk

tTbtatN

tTbtatNa

MSE




( )=

+= N

kkk TbatNb

MSE1

2

0211

=

+

=

==

N

kk

N

kk TNbatNb

MSE




011

=

+

==

N

kk

N

kk TNbat

0111

2 =

+

===

N

kkk

N

kk

N

kk tTbtat


Ajuste por Mnimos Quadrados: Em forma matricial:

=

=

=

=

==N

kk

N

kkk

N

kk

N

kk

N

kk

T

Tt

ba

Nt

tt

1

1

1

11

2


Matlab: funo polyfit() c = polyfit(x,y,M) x: vetor de N elementos, crescentes y: vetor de N elementos, correspondentes aos

elementos do vetor x M: ordem do polinmio interpolador M = 1: interpolao linear

c: vetor de M+1 elementos, contendo oscoeficientes do polinmio interpolador

4Regresso e Ajuste de Curvas

Exemplo: Medidas de Temperatura aolongo do tempo>> t = 0:5;>> T = [0 20 60 68 77 110];>> c = polyfit(t, T, 1) [20.83 3.76]>> T_ = polyval(c, t);>> e = T_ - T;>> MSE = mean(e.^2) 95.5 59.47>> RMSE = sqrt(MSE) 9.772 7.71



Exemplo: Outros graus de interpolao c1 = polyfit(t, T, 1); c3 = polyfit(t, T, 3); c5 = polyfit(t, T, 5); t2 = 0:0.01:5; T_1 = polyval(c1, t2); T_3 = polyval(c3, t2); T_5 = polyval(c5, t2);


Exemplo: Outros graus de interpolao xlabel('t(s)'), xlim([-1 6]) ylabel('T(C)'), ylim([-1 120]) plot(t, T, '.', 'markersize',20 ) hold plot(t2, T_1, 'r', 'linewidth', 2) plot(t2, T_3, 'b', 'linewidth', 2) plot(t2, T_5, 'm', 'linewidth', 2) legend('Ordem 1', 'Ordem 3', 'Ordem 5')

Regresso e Ajuste de Curvas Processamento de Sinais

Anlise de Dados Interpolao Regresso e Ajuste de Curvas Minimizao de Funes Integrao e Diferenciao Processamento Simblico

5Minimizao de Funes Considere uma funo real de n variveis:

Mtodos de Minimizao de Funo: Encontrar o vetor x que corresponde ao

menor valor possvel de y, global ou local Sujeito ou no a restries e limites

H dois tipos bsicos de minimizao: Minimizao de funes lineares Minimizao de funes no-lineares

( ) nxyxfy = ,,

Sistemas Lineares

Considere um sistema de M equaeslineares de N variveis:

Ax = b

A: matriz M x N b: vetor M x 1 x: vetor N x 1

Sistemas Lineares

Considere um sistema de M equaeslineares de N variveis:


=

MNMNMM

N

N

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

MML

MOMMLL

2

1

2

1

21

22221

11211

Sistemas Lineares

Soluo do sistema de M equaeslineares de N variveis: M = N: x = A-1b A-1 = matriz MxM, inversa de A (A-1A = I ) Ax = b A-1Ax = A-1b x = A-1b

M ? N: x = A*b A* = matriz NxM, pseudo-inversa de A (A*A = I ) Ax = b A*Ax = A*b x = A*b

Sistemas Lineares

Soluo do sistema de M equaeslineares de N variveis: Matlab Funo inv: inversa de matriz quadrada x = inv(A) * b

Funo pinv: pseudo-inversa de matrizretangular ou singular x = pinv(A) * b

operador \ - backslash x = A \ b

Sistemas Lineares

Exemplo:

15231023

321

321

321

==++=+

xxxxxxxxx

6Sistemas Lineares

Exemplo:

=

15

10

111231123

3

2

1

xxx

A x b

Sistemas Lineares

Exemplo: Matlab

>> A = [3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]>> b = [10 5 -1];

>> x = inv(A)*bx = 26.0000 -18.0000 41.0000

Sistemas Lineares

Exemplo: Matlab

>> A = [3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]>> b = [10 5 -1];

>> x = A\bx = 26.0000 -18.0000 41.0000

Minimizao de Funes Lineares Considere um sistema de M equaes

lineares de N variveis:

Ax = b


E um sistema de M restries lineares de Nvariveis (inequaes):

Cx = d

Minimizao de Funes Lineares Considere um sistema de M equaes

lineares de N variveis:

Ax = b


E um sistema de M restries lineares de Nvariveis (inequaes):

Cx = d

dCxbAx

x

,2

min2

Funes de minimizao linear do Matlab: lsqlin: resoluo de problemas de mnimos

quadrados lineares com restries Sintaxe: x = lsqlin(A, b, C, d);

lsqnonneg: resoluo de problemas demnimos quadrados lineares com restries denegatividade Sintaxe: x = lsqnonneg(A, b);

Minimizao de Funes Lineares

7Minimizao de Funes No-Lineares

Considere uma funo real no-linearde n variveis:

onde f(.) uma funo no-linear

( ) nxyxfy = ,, Exemplo para funo unidimensional: Campo de um dipolo magntico para

y = 0, z = 1

>> x = -10:0.1:10;>> [Bx,By,Bz] = campodip(x,0,1);>> plot(x,Bx, 'linewidth', 2)>> xlabel('x'), ylabel('Bx')

( ) 5223

rrxxBx

= 22 zxr +=

Minimizao de Funes No-Lineares

Exemplo para funo unidimensional:

xmin


Algumas funes de minimizao no-linear do Matlab: fminbnd fzero fsolve lsqnonlin lsqcurvefit

Diferem quanto ao tipo de minimizaoe o mtodo empregado


Algumas funes de minimizao doMatlab: fminbnd: minimizao de funo escalar no-

linear limitada fzero: busca de raiz de funo escalar no-

linear fsolve: resoluo de sistema de equaes no-

lineares por mnimos quadrados lsqnonlin: resoluo de problemas de mnimos

quadrados no-lineares lsqcurvefit: resoluo de problemas de

mnimos quadrados no-lineares


Funo fminbnd: minimizao defuno escalar no-linear limitada Sintaxe: x = fminbnd(FUN, x1, x2); FUN: ponteiro para a funo desejada x1, x2: limites inferior e superior de busca x: mnimo local encontrado em [x1,x2]

FUN(x): valor do mnimo local em x Exemplo: x = fminbnd(@cos, 3, 4) ou

x = fminbnd('cos', 3, 4)


8 Funo fminbnd: minimizao defuno escalar no-linear limitada Exemplo: Clculo de

>> x = fminbnd(@cos, 3, 4)ans = 3.14159480185141


Funo optimset: parmetros deotimizao options = optimset(@fminbnd)ActiveConstrTol: []DerivativeCheck: []Diagnostics: []DiffMaxChange: []DiffMinChange: []Display: 'notify'GoalsExactAchieve: []GradConstr: []GradObj: []Hessian: []HessMult: []HessPattern: []HessUpdate: []Jacobian: []JacobMult: []JacobPattern: []LargeScale: []

LevenbergMarquardt: []LineSearchType: []MaxFunEvals: 500MaxIter: 500MaxPCGIter: []MaxSQPIter: []MeritFunction: []MinAbsMax: []NonlEqnAlgorithm: []Preconditioner: []PrecondBandWidth: []ShowStatusWindow: []TolCon: []TolFun: []TolPCG: []TolX: 1.0000e-004TypicalX: []


Funo optimset: parmetros deotimizao options = optimset(@fminbnd)

>> options.MaxFunEvals 500>> options.MaxIter 500>> options.TolX 1e-4


Funo fminbnd: minimizao defuno escalar no-linear limitada Exemplo: Clculo de

>> options.TolX = 1e-12;>> x = fminbnd(@cos, 3, 4, options)ans = 3.14159265402771 (3.14159480185141)


Exemplo para campo magntico: Definio da Funo a ser minimizada:function y = fun(x) y = campodip(x, 0, 1);


Funo fminbnd:>> options.TolX = 1e-12;>> x = fminbnd(@fun, -1, 1, options)x = -1.089617451163368e-012 (xmin = 0)

>> x = fminbnd(@fun, -2, 2, options)x = 5.551115123125783e-016 (xmin = 0)


9 Funo fminbnd:>> x = fminbnd(@fun, -3, 3, options)x = -1.998401444325282e-015 (xmin = 0)

>> x = fminbnd(@fun, -4, 4, options)x = -4 (mnimo local!)


Funo fminbnd:>> x = fminbnd(@fun, -3, 3, options)x = -1.998401444325282e-015 (xmin = 0)

>> x = fminbnd(@fun, -4, 4, options)x = -4 (mnimo local!)


Funo fzero: busca de raiz de funoescalar no-linear Sintaxe: x = fzero(FUN, x0); FUN: ponteiro para a funo desejada x0: ponto inicial de busca x: zero encontrado prximo a x0, ou NaN

se no encontrar soluo FUN(x) = 0!

Exemplo: x = fzero(@sin, 3) ou x = fzero('sin', 3)


Funo optimset: options = optimset(@fzero)

>> options.TolX 2.22e-16


Funo fzero: busca de raiz de funoescalar no-linear Exemplo: Clculo de

>> x = fzero(@sin, 3)ans =

3.14159265358979


Funo fzero: busca de raiz de funoescalar no-linear Exemplo: Campo magntico

>> x = fzero(@fun, 1)ans =

0.70710678118655


10

Funo fzero: busca de raiz de funoescalar no-linear Exemplo: Clculo de

>> x = fzero(@sin, 3)ans =

3.14159265358979



>> x = fzero(@fun, -1)ans =

-0.70710678118655



>> x = fzero(@fun, -1)ans =

-0.70710678118655


Funo fsolve: resoluo de sistema deequaes no-lineares por mnimosquadrados Sintaxe: X = fsolve(FUN, X0); FUN: ponteiro para a funo desejada X0: vetor com o ponto inicial de busca X: vetor de zero encontrado prximo a X0 FUN(X) = 0

options = optimset(@fsolve)


options = optimset(@fsolve) DerivativeCheck: 'off' Diagnostics: 'off' DiffMaxChange: 0.10000000000000 DiffMinChange: 1.000000000000000e-008 Display: 'final' Jacobian: 'off' JacobPattern: 'sparse(ones(jrows,jcols))' LargeScale: 'off' LevenbergMarquardt: 'off' LineSearchType: 'quadcubic' MaxFunEvals: '100*numberofvariables' MaxIter: 400 MaxPCGIter: 'max(1,floor(numberofvariables/2))' NonlEqnAlgorithm: 'dogleg' PrecondBandWidth: 0 TolFun: 1.000000000000000e-006 TolPCG: 0.10000000000000 TolX: 1.000000000000000e-006 TypicalX: 'ones(numberofvariables,1)'


Funo fsolve: resoluo de sistema deequaes no-lineares por mnimosquadrados Exemplo: Clculo de >> x = fsolve(@sin, 3)Optimization terminated successfully: First-order optimality is less than

options.TolFun.x = 3.14159265329799


11

Funo fsolve: resoluo de sistema deequaes no-lineares por mnimosquadrados Exemplo: Campo magntico

>> x = fsolve(@fun, 1, optimset('fsolve'))Optimization terminated successfully: First-order optimality is less than

options.TolFun.x = 0.70710678110186


Funo fsolve: resoluo de sistema deequaes no-lineares por mnimosquadrados Exemplo: Campo magntico>> x = fsolve(@fun, 2, optimset('fsolve'))Optimization terminated successfully: First-order optimality is less than

options.TolFun.x = 11 fun(11) = 0.0015


Funo fsolve: resoluo de sistema deequaes no-lineares por mnimosquadrados Exemplo: Campo magntico>> x = fsolve(@fun, 2, optimset('fsolve'))Optimizer appears to be converging to a

minimum that is not a root:Sum of squares of the function values is >

sqrt(options.TolFun).Try again with a new starting point.x = 0


Exemplo para funo bidimensional: Campo de um dipolo magntico para z = 1

( ) 5223

rrxxBx

=

222 zyxr ++=


Exemplo para funo bidimensional: Campo de um dipolo magntico para z = 1

( ) 5223

rrxxBx

=

222 zyxr ++=


Exemplo para campo magntico: Definio da Funo a ser minimizada:function y = fun2(x) y = campodip(x(1), x(2), 1);


12

Funo fsolve: resoluo de sistema deequaes no-lineares por mnimos quadrados Exemplo: Campo magntico

>> x = fsolve(@fun, [0.5 0.5], optimset('fsolve'))Optimization terminated successfully:Gradient in the search direction less than

tolFunGradient less than 10*(tolFun+tolX)x = 0.70710531298487 0.00194507200989


Funo fsolve: resoluo de sistema deequaes no-lineares por mnimos quadrados Exemplo: Campo magntico

>> x = fsolve(@fun, [1 1], optimset('fsolve'))Optimization terminated successfully:Search direction less than tolXx = 1 1


Campo magntico 2D: infinitos zeros!

>> contour(X,Y,Bx, [0 0], 'r')>> grid>> xlabel('x')>> ylabel('y')


Campo magntico 2D: infinitos zeros!


Funo lsqnonlin: resoluo de problemas demnimos quadrados no-lineares Sintaxe: x = lsqnonlin(FUN, x0, lb, ub, options, p1,

p2, ...); FUN: ponteiro para a funo desejada x0: escalar ou vetor com o ponto inicial de busca x: escalar ou vetor com o mnimo encontrado

prximo a x0 lb, ub: vetores com limites inferiores e superiores

para x options: opes de otimizao p1, p2, ... : parmetros para a funo


( )[ ] xFUNx 2min

options = optimset(@lsqnonlin)Minimizao de Funes No-Lineares

DerivativeCheck: 'off'Diagnostics: 'off'DiffMaxChange: 0.10000000000000DiffMinChange: 1.000000000000000e-008Display: 'final'Jacobian: 'off'JacobPattern: 'sparse(ones(jrows,jcols))'LargeScale: 'on'LevenbergMarquardt: 'on'LineSearchType: 'quadcubic'MaxFunEvals: '100*numberofvariables'MaxIter: 400MaxPCGIter: 'max(1,floor(numberofvariables/2))'PrecondBandWidth: 0TolFun: 1.000000000000000e-006TolPCG: 0.10000000000000TolX: 1.000000000000000e-006TypicalX: 'ones(numberofvariables,1)'

13

Funo lsqnonlin: resoluo de problemas demnimos quadrados no-lineares Exemplo: Caixa Preta


CIRCUITOELETRNICO

Vin Vout



Vin Vout

R

C

= CRtVV inout exp1

Funo lsqnonlin: resoluo de problemas demnimos quadrados no-lineares Exemplo: Caixa Preta Vin = 5V 11 medidas de Vout, uma a cada segundo

t Vout0 0.0141 3.186

2 4.337 3 4.775 4 4.884 5 4.966 6 4.985 7 4.963 8 5.004 9 4.978 10 5.028



>> Vin = 5;>> t = 0:10;>> Vout_e = [0.014 3.186 4.337 4.775 4.884 4.966 4.985

4.963 5.004 4.978 5.028];>> plot(t, Vout_e, '.-', 'markersize', 20)>> xlabel('t(s)')>> ylabel('Vout(V)')>> xlim([0 11])>> ylim([0 5.5])


Funo lsqnonlin: resoluo de problemas demnimos quadrados no-lineares


Como descobrir R e Ca partir destas medidasexperimentais?


function erro = filtroRC(X, Vin, t, Vout_e) R = X(1); C = X(2); Vout = Vin * (1 exp(-t/(R*C)));

erro = Vout - Vout_e;


14


>> Vin = 5;>> t = 0:10;>> Vout_e = [0.014 3.186 4.337 4.775 4.884 4.966

4.985 4.963 5.004 4.978 5.028];>> X0 = [1 1];>> options = optimset(@lsqnonlin)>> X = lsqnonlin('filtroRC', X0, [], [], options, Vin, t, Vout_e)



>> Vin = 5;>> t = 0:10;>> Vout_e = [0.014 3.186 4.337 4.775 4.884 4.966

4.985 4.963 5.004 4.978 5.028];>> X0 = [1 1];>> options = optimset(@lsqnonlin)>> X = lsqnonlin('filtroRC', X0, [], [], options, Vin, t, Vout_e)


Optimization terminated successfully: Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun

X =

0.9938 0.9938


>> R = X(1);>> C = X(2);>> Vout = Vin * (1 - exp(-t/(R*C)));

>> figure>> plot(t, Vout_e, 'b.', 'markersize', 20)>> hold on, plot(t, Vout, 'r')>> xlabel('t (s)'), ylabel('Vout (V)')>> legend('Experimental', 'Ajustado')


Funo lsqnonlin: resoluo de problemas demnimos quadrados no-lineares


Funo lsqcurvefit: resoluo de problemasde mnimos quadrados no-lineares (ajustede curva) Sintaxe: X = lsqcurvefit(FUN, X0, Xd, Yd); FUN: ponteiro para a funo desejada X0: ponto inicial de busca X: mnimo encontrado prximo a X0 Xd, Yd: dados para o ajuste


( )( )[ ] 2,min ydxdxFUNx

Funo lsqcurvefit: resoluo de problemasde mnimos quadrados no-lineares Exemplo: Caixa Preta

function Vout = filtroRC2(X, t, Vin) R = X(1); C = X(2); Vout = Vin * (1 exp(-t/(R*C)));


15

Funo lsqcurvefit: resoluo de problemas demnimos quadrados no-lineares Exemplo: Caixa Preta>> Vin = 5;>> t = 0:10;>> Vout_e = [0.014 3.186 4.337 4.775 4.884 4.966 4.985

4.963 5.004 4.978 5.028];>> X0 = [1 1];>> options = optimset(@lsqcurvefit)>> X = lsqcurvefit('filtroRC2', X0, t, Vout_e, ...

[], [], options, Vin)


Funo lsqcurvefit: resoluo de problemas demnimos quadrados no-lineares Exemplo: Caixa Preta>> Vin = 5;>> t = 0:10;>> Vout_e = [0.014 3.186 4.337 4.775 4.884 4.966 4.985

4.963 5.004 4.978 5.028];>> X0 = [1 1];>> options = optimset(@lsqcurvefit)>> X = lsqcurvefit('filtroRC2', X0, t, Vout_e, ...

[], [], options, Vin)


Optimization terminated successfully: Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun

X =

0.9938 0.9938







Integrao e Diferenciao

Conceitos chave da rea de clculo Fundamentais para resoluo de

muitos problemas de engenharia ecincia

Em alguns casos h soluo analtica Em outros casos, necessria a

soluo numrica Integrao numrica Diferenciao numrica

Integrao

Integral de uma funo f(x), para xvariando entre a e b: rea sob a curva, entre x=a e x=b

Integrao

Integral de uma funo f(x), para xvariando entre a e b: rea A sob a curva, entre x=a e x=b

f(x): integrando a: limite inferior de integrao b: limite superior de integrao x: varivel de integrao

( )= ba

dxxfA

Integrao

Integral de uma funo f(x), para xvariando entre a e b: soluo analtica: encontrar a primitiva p(x) da funo f(x)

calcular a funo p(x) em x = a e x = b a integral ser dada por:

( ) ( ) ( ) ( )xfdx

xdpxpxf =

( ) ( )apbpA =

2Integrao Numrica

Integral de uma funo f(x), para xvariando entre a e b: soluo numrica: quadratura aproximar a funo f(x) por outra funo, que

seja fcil de calcular a rea ou seja, cuja primitiva seja simples

calcular a integral da funo de aproximao Quanto melhor a aproximao da funo f(x),

mais exato ser o valor da integral numrica

Integrao Numrica

Integral de uma funo f(x), para xvariando entre a e b: soluo numrica: quadratura Tcnicas mais comuns: Regra Trapezoidal: Aproximao por

segmentos de reta Regra de Simpson: Aproximao por

segmentos de parbola Regra de Newton-Cotes: Aproximao por

segmentos de funes de ordens superiores

Integrao Numrica

Regra Trapezoidal: Aproximao porsegmentos de reta Divide-se o intervalo [a,b] em n sub-intervalos

de igual largura x

Cada subintervalo definido por [xi,xi+x]

Define-se a funo de aproximao por retasque conectam os valores da funo f(x) nosextremos de cada intervalo

nabx =

xiaxi +=

Integrao Numrica

Regra Trapezoidal: Aproximao porsegmentos de reta

( ) ( ) xxfxfA iii += +2 1

Ai

Integrao Numrica

Regra Trapezoidal: Aproximao porsegmentos de reta

( ) ( )( )= +=

+== ni

ii

n

ii xfxf

xAA0

10 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )nno xfxfxfxfxfxA +++++= 121 2222 L

Integrao Numrica

Matlab: funo trapz() z = trapz(x,y) x: vetor de N elementos, crescentes y: vetor de N elementos, correspondentes aos

elementos do vetor x, definindo a funoy=f(x)

z: integral numrica de y=f(x), correspondente rea A da funo no intervalo definido pelomnimo e pelo mximo do vetor x

3Integrao Numrica

Exemplo: funo y=humps(x)

>> x = -1:0.01:2;>> y = humps(x);>> plot(x,y,'linewidth', 2)>> xlabel('x')>> ylabel('humps(x)')>> grid

Integrao Numrica


Integrao Numrica

Exemplo: funo y=humps(x) Integrao usando 20 pontos:

>> xi = -1:3/19:2;>> yi = humps(xi);>> hold>> plot(xi,yi,'r.', 'markersize', 20)

Integrao Numrica


Integrao Numrica


Integrao Numrica

Exemplo: funo y=humps(x) Integrao usando 20 pontos:

>> area = trapz(xi,yi)

area = 26.4507

4Integrao Numrica

Exemplo: funo y=humps(x) Variando o nmero de pontos de integrao:

>> for N = 1:300,>> xi = -1:3/N:2;>> yi = humps(xi);>> area(N) = trapz(xi,yi);>> end>> plot(1:300, area)>> xlabel('N'), ylabel('area'), grid

Integrao Numrica


Integrao Numrica

Matlab: funo cumtrapz() z = cumtrapz(x,y) x: vetor de N elementos, crescentes y: vetor de N elementos, correspondentes aos

elementos do vetor x, definindo a funoy=f(x)

z: integral cumulativa numrica de y=f(x)

( ) ( )= xa

dxxfxA

Integrao Numrica

Exemplo: funo y=humps(x) Integrao cumulativa usando 200 pontos:>> xi = -1:3/199:2;>> yi = humps(xi);>> zi = cumtrapz(xi,yi);>> plot(xi,yi,'b', 'linewidth', 2)>> hold>> plot(xi,zi,'r', 'linewidth', 2)>> xlabel('N'), grid>> legend('f(x)', 'A(x)')

Integrao Numrica


Integrao Numrica

Exemplo: Navegao Inercial Acelermetro: mede a acelerao

instantnea a(t) de um objeto Velocidade Instantnea:

Posio Instantnea:

( ) ( )= t dttatv0

( ) ( )=t

dttvtx0

5Integrao Numrica

Exemplo: Navegao Inercial Experimento Realizado:

t (s) a (m/s2)0 01 22 43 74 115 176 247 328 419 4810 51

Integrao Numrica

Exemplo: Navegao Inercial Experimento Realizado:>> t = [0:10];>> a = [0,2,4,7,11,17,24,32,41,48,51];>> v = cumtrapz(t,a);>> x = cumtrapz(t,v);>> plot(t,a,t,v,t,x)>> xlabel('t(s)'), xlabel('t(s)'), grid>> legend('a(t)', 'v(t)', 'x(t)')

Integrao Numrica

Exemplo: Navegao Inercial

Integrao Numrica

Regra de Simpson: Aproximao porsegmentos de parbola Divide-se o intervalo [a,b] em 2n sub-intervalos

de igual largura x

Cada subintervalo definido por [xi,xi+x]

Define-se a funo de aproximao por trechosde parbola que conectam os valores da funof(x) nos extremos de cada intervalo

nabx

2=

xiaxi +=

Integrao Numrica

Regra de Simpson: Aproximao porsegmentos de parbola

Matlab: Funo quad: regra de Simpson Funo quadl: regra de Newton-Cotes

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+++++++=

nnn

o

xfxfxfxfxfxfxfxA

21222

321

42424

3L

Integrao Numrica

Matlab: funo quad() z = quad(FUN,a,b) FUN: ponteiro para a funo desejada a, b: limites inferior e superior de

integrao z: integral numrica de FUN(x),

correspondente rea A da funo nointervalo [a,b]

IMPORTANTE: a prpria funo quad (e aquadl) determina automaticamente onmero timo de intervalos

6Integrao Numrica


>> quad('humps', -1, 2)ans = 26.34496050120123

>> quadl('humps', -1, 2)ans = 26.34496047137897

Integrao Numrica

Integrao Bidimensional: funo dblquad() z = dblquad(FUN,xmin,xmax,ymin,ymax) FUN: ponteiro para a funo desejada xmin, xmax: limites inferior e superior de

integrao na varivel x ymin, ymax: limites inferior e superior de

integrao na varivel x z: integral numrica de FUN(x,y),

correspondente rea A da funo nointervalo [xmin,xmax], [ymin,ymax]

Integrao Numrica

Exemplo: funo y=func(x)

function z = func(x,y)z = sin(x).*cos(y) + 1;

x = 0:pi/19:pi;y = -pi:2*pi/19:pi;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = func(X,Y);mesh(X,Y,Z),xlabel('x'),ylabel('y')

Integrao Numrica

Exemplo: funo y=func(x)

Integrao Numrica

Exemplo: funo y=func(x,y)

>> dblquad(func,0,pi,-pi,pi)

ans =

19.73921476256606

Diferenciao

Derivada de uma funo f(x): Inclinao da reta tangente funo f(x)

7Diferenciao

Derivada de uma funo f(x): Taxa de variao da funo f(x) em relao

a x:

Diferenciao e Integrao so operaescomplementares:

( ) ( )dx

xdfxf =

( ) ( ) ( )xgdx

xdfxf == ( ) ( )= dxxgxf

Diferenciao

Derivada de uma funo f(x): Definio Formal:

( ) ( ) ( )x

xfxxfxfx

+= 0lim

Diferenciao Numrica

Aproximao da derivada da funof(x): Estima-se a derivada em um ponto xk

por meio da aproximao da inclinaoda tangente em xk:Utiliza valores da funo prximos a xk Diferenas Regressivas Diferenas Progressivas Diferenas Centrais

Diferenciao Numrica

Diferenas Regressivas: Inclinao da reta ligando (xk-1, f(xk-1)) a

(xk, f(xk))

( ) ( ) ( )1

1

=

kk

kkk xx

xfxfxf

( ) ( ) ( )x

xfxfxf kkk = 1

Diferenciao Numrica

Diferenas Progressivas: Inclinao da reta ligando (xk, f(xk)) a

(xk+1, f(xk+1))

( ) ( ) ( )kk

kkk xx

xfxfxf =

++

1

1

( ) ( ) ( )x

xfxfxf kkk = +1

Diferenciao Numrica

Observaes A diferena progressiva em xk idntica

diferena regressiva em xk+1

8Diferenciao Numrica

Observaes: A qualidade de ambas as aproximaes

depende fortemente de dois fatores: Espaamento entre as amostras Espalhamento nos dados devido a erros de

medio

Quanto maior o espaamento xk, maisdifcil a estimao da derivada

Diferenciao Numrica

Diferenas Centrais: Mdia entre as diferenas regressivas e

as diferenas progressivas

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

= +x

xfxfx

xfxfxf kkkkk 1121

( ) ( ) ( )x

xfxfxf kkk = +

211

Diferenciao Numrica

Matlab: funo diff() dx = diff(x) x: vetor de dimenso N dx: vetor contendo as diferenas entre

os elementos de x, com dimenso N-1

dx = [x(2)-x(1) x(3)-x(2) ... x(n)-x(n-1)]

Diferenciao Numrica

Matlab: funo diff() Exemplo:

>> x = [0,1,2,3,4,5];>> y = [2,3,1,5,8,10];>> dx = diff(x)dx = 1 1 1 1 1

>> dy = diff(y)dy = 1 -2 4 3 2

Diferenciao Numrica

Matlab: funo diff() Aproximao para f(x):

>> df = dy./dx

df =

1 -2 4 3 2

Diferenciao Numrica

Matlab: funo diff() Os valores da aproximao para f(x) valem

tanto para as diferenas progressivasquanto para as diferenas regressivas

A diferena est em quais valores de x soatribudos aos valores de df

>> xr = x(2:end)xr = 1 2 3 4 5>> xp = x(1:end-1)xp = 0 1 2 3 4

9Diferenciao Numrica

Matlab: funo diff()>> xr = x(2:end);>> xp = x(1:end-1);>> plot(x, y, 'b.-', ... xr, df, 'r.-',xp,df, 'g.-')>> xlabel('x'), ylabel('y'), grid>> axis([-1 6 -3 11])>> legend('f(x)', 'f''(x)-Reg.', ... 'f''(x)-Prog.')

Diferenciao Numrica

Matlab: funo diff()

Diferenciao Numrica

Exemplo: Senide ruidosa>> x = [0:pi/50:pi]; n = length(x);>> yr = sin(x)+0.025*randn(1,n);>> td = cos(x);>> dyr_r = diff(yr)./diff(x);>> subplot(2,1,1),>> plot(x(2:n),td(2:n),x(2:n),dyr_r,'o')>> xlabel('x'), ylabel('Derivada')>> axis([0pi -2 2])>> legend('Derivada real','Diferenas Regressivas')

Derivada do sinal senoidal sem rudo

Diferenas Regressivas

Diferenciao Numrica

Exemplo: Senide ruidosa>>dyr_c = (yr(3:n)-yr(1:n-2))./(x(3:n)-x(1:n-2));>> subplot(2,1,2)>> plot(x(2:n-1),td(2:n-1),x(2:n-1),dyr_c, 'o')>> xlabel('x'), ylabel('Derivative')>> axis([0 pi -2 2])>> legend('Derivada real', 'Diferenas Centrais')

Diferenas Centrais

Diferenciao Numrica Diferenciao Numrica

10



Processamento Simblico

At o momento: ProcessamentoNumrico Envolvendo dados numricos Representados por nmeros em ponto

flutuante com preciso dupla

Matlab: Tambm realiza ProcessamentoSimblico Manipulao de expresses matemticas,

como se estivesse usando papel e lpis Objetivo: obter solues em forma fechada


Declarao de Variveis e Constantescomo Objetos Simblicos: Variveis:

>> syms x y Variveis Reais:

>> syms x y real Constantes:

>> pi = sym('pi')>> delta = sym('1/10')>> sqroot2 = sym('sqrt(2)')


Declarao de Variveis e Constantescomo Objetos Simblicos:>> whosName Size Bytes Classdelta 1x1 132 sym objectpi 1x1 128 sym objectsqroot2 1x1 138 sym objectx 1x1 126 sym objecty 1x1 126 sym object

Grand total is 20 elements using 650 bytes


Expresses Simblicas: Utilizam as variveis e constantes simblicas

definidas previamente Juntamente com os operadores e funes

pr-definidas do Matlab Exatamente como se estivesse fazendo um

clculo numrico


Expresses Simblicas:>> syms s t A

>> f = s^2 + 4*s + 5 f = s^2+4*s+5

>> g = s + 2 g = s+2

11


Expresses Simblicas:>> h = f*g h = (s^2+4*s+5)*(s+2)

>> z= exp(-s*t) z = exp(-s*t)

>> y = A*z y = A*exp(-s*t)


Funo findsym: determina quais so osobjetos simblicos contidos em um outroobjeto simblico (ou expresso)

>> findsym(f)ans = s

>> findsym(z)ans = A, s, t


Notao Matricial: tambm aplicvel noprocessamento simblico

>> n = 3;>> syms x>> B = x.^((0:n)'*(0:n))


Notao Matricial: tambm aplicvel noprocessamento simblico

>> n = 3;>> syms x>> B = x.^((0:n)'*(0:n))

B =[ 1, 1, 1, 1][ 1, x, x^2, x^3][ 1, x^2, x^4, x^6][ 1, x^3, x^6, x^9]


Manipulao de Expresses Polinomiais: expand(S): expanso da expresso simblica

polinomial S como um produto de seusfatores

factor(S): fatorao polinomial da expressosimblica polinomial S

simplify(S): simplificao da expressosimblica polinomial S

subs(S): substituio de variveis numden(S): forma racional do polinmio S


Adio:

>> syms s>> A = s^4 -3*s^3 -s +2;>> B = 4*s^3 -2*s^2 +5*s -16;>> C = A + B

C =s^4+s^3+4*s-14-2*s^2

12


Multiplicao Escalar:

>> A = s^4 -3*s^3 -s +2;>> C = 3*A

C =3*s^4-9*s^3-3*s+6


Multiplicao:>> A = s+2;>> B = s+3;>> C = A*B

C =(s+2)*(s+3)

>> C = expand(C)C =s^2+5*s+6


Fatorao:>> D = s^2 + 6*s + 9;>> D = factor(D) D = (s+3)^2

>> P = s^3 - 2*s^2 -3*s + 10;>> P = factor(P) P = (s+2)*(s^2-4*s+5)


Denominador Comum:

( )sss

sH 3/212/1

36/1 +++=

( )sss

ssH34

223 ++

+=


Denominador Comum:>> H = -(1/6)/(s+3) -(1/2)/(s+1) +(2/3)/s;>> [N,D] = numden(H)

N = s+2

D = (s+3)*(s+1)*s

>> D = expand(D)D =s^3+4*s^2+3*s ( )

sssssH

34223 ++

+=


Cancelamento de Termos:

>> H = (s^3 +2*s^2 +5*s +10)/(s^2 + 5);>> H = simplify(H) H = s+2

( )5

10522

23

++++=

sssssH

13


Cancelamento de Termos:

>> factor(s^3 +2*s^2 +5*s +10)ans =(s+2)*(s^2+5)

( )5

10522

23

++++=

sssssH ( ) 2+= ssH


Substituio de Variveis:

( )86

32 ++

+=ss

ssH

( ) ( ) 2+== sssHsG


Substituio de Variveis:>> H = (s+3)/(s^2 +6*s + 8);>> G = subs(H,s,s+2) G = (s+5)/((s+2)^2+6*s+20)

>> G = collect(G) G = (s+5)/(s^2+10*s+24) ( ) 2410

52 ++

+=ss

ssG


Expresses Trigonomtricas:>> syms theta phi>> A = sin(theta + phi) A = sin(theta+phi)

>> A = expand(A) A = sin(theta)*cos(phi)+cos(theta)*sin(phi)


Expresses Trigonomtricas:

>> B = cos(2*theta) B = cos(2*theta)

>> B = expand(B) B = 2*cos(theta)^2-1


Expresses Trigonomtricas:

>> C = 6*((sin(theta))^2+(cos(theta))^2) C = 6*sin(theta)^2+6*cos(theta)^2

>> C = expand(C) C = 6*sin(theta)^2+6*cos(theta)^2

C = 6 !!!

14


Expresses Trigonomtricas:>> syms theta real>> A = real(exp(j*theta)) A = 1/2*exp(i*theta)+1/2*exp(-i*theta)

>> A = simplify(A) A = cos(theta)


Equaes Algbricas e Transcendentais funo solve(E1,E2,...,EN): encontra as

razes das expresses E1, E2, ..., EN

>> syms s>> E = s+2;>> s = solve(E) s = -2




>> syms s>> D = s^2 +6*s +9;>> s = solve(D) s = [ -3] [ -3]




>> P = s^3 -2*s^2 -3*s + 10;>> s = solve(P) s = [ -2] [ 2+i] [ 2-i]




>> syms theta x z>> E = z*cos(theta) - x;>> theta = solve(E,theta) theta = acos(x/z)




>> syms x>> E = exp(2*x) + 4*exp(x) -32;>> x = solve(E) x = [ log(-8)] [ log(4)]

15


Clculo - Diferenciao funo diff: diff(E): diferencia a expresso simblica E em

relao varivel livre, determinadaautomaticamente

diff(E,v): diferencia a expresso simblica E emrelao varivel simblica v

diff(E,n): diferencia n vezes a expressosimblica E em relao varivel livre

diff(E,v,n): diferencia n vezes a expressosimblica E em relao varivel simblica v


Clculo - Diferenciao>> syms s n>> p = s^3 + 4*s^2 -7*s -10;>> d = diff(p) d = 3*s^2+8*s-7>> e = diff(p,2) e = 6*s+8>> f = diff(p,3) f = 6


Clculo - Diferenciao

>> g = s^n;>> h = diff(g) h = s^n*n/s

>> h = simplify(h) h = s^(n-1)*n


Clculo - Diferenciao>> syms x>> f1 = log(x);>> df1 = diff(f1) df1 = 1/x

>> f2 = (cos(x))^2;>> df2 = diff(f2) df2 = -2*cos(x)*sin(x)



>> f3 = sin(x^2);>> df3 = diff(f3) df3 = 2*cos(x^2)*x

>> df3 = simplify(df3) df3 = 2*cos(x^2)*x



>> f4 = cos(2*x);>> df4 = diff(f4) df4 = -2*sin(2*x)

>> f5 = exp(-(x^2)/2);>> df5 = diff(f5) df5 = -x*exp(-1/2*x^2)

16


Clculo - Integrao funo int: int(E): determina a integral indefinida da

expresso simblica E em relao varivellivre, determinada automaticamente. Se Econstante, integrao em relao varivel x

int(E,v): integral indefinida da expressosimblica E em relao varivel simblica v

int(E,a,b): integral definida da expressosimblica E com limites de integrao a e b

diff(E,v,a,b): integral definida da expressosimblica E em relao varivel simblica vcom limites de integrao a e b


Clculo - Integrao

>> syms x n a b t

>> int(x^n) ans = x^(n+1)/(n+1)

>> int(x^3 +4*x^2 + 7*x + 10) ans = 1/4*x^4+4/3*x^3+7/2*x^2+10*x


Clculo - Integrao

>> int(x,1,t) ans = 1/2*t^2-1/2

>> int(x^3,a,b) ans = 1/4*b^4-1/4*a^4


Clculo - Integrao

>> syms x>> int(1/x) ans = log(x)

>> int(cos(x)) ans = sin(x)


Clculo - Integrao

>> int(1/(1+x^2)) ans = atan(x)

>> int(exp(-x^2)) ans = 1/2*pi^(1/2)*erf(x)

Aula Matlab Avancado

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