Aula - Método de Cross 2
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28/10/2011
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Prof. Leonardo Costa Silva
Teoria das Estruturas IITeoria das Estruturas II
Mtodo de CrossMtodo de Cross
SUMRIOSUMRIO
1. Vigas Contnuas2. Mtodo de Cross
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1. Viga ContnuaA viga contnua um sistema estrutural hiperesttico. Isso significa que as trs equaes da esttica no so suficientes para determinar as incgnitas do sistema.
Desconsiderando a soma das carga na horizontal, visto que o carregamento eminentemente vertical, restam duas equaes para determinao de trs reaes desconhecidas. O que torna o sistema insolvel.
Para resolver esse impasse deve-se criar mais uma equao. Dentro das consideraes da esttica, ela no existe. A nova equao surge do comportamento da viga ante as deformaes.
Por exemplo, obvio que as deformaes verticais nos apoios so nulas.
Essa informao vital para criar a nova equao; basta criar uma relao entre carregamento e deformao em que se imponha que, em determinado ponto, essa deformao seja nula. Com isso, cria-se um nova equao que completa o sistema, que assim pode ser resolvido.
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A terceira equao montada a partir do seguinte modelo:
1 - supe-se inicialmente a eliminao do apoio central; calcula-se a deformao que a viga, agora isosttica, teria no ponto em que o apoio existia;
2 - supe-se agora a aplicao de uma fora de baixo para cima que anulasse a deformao no ponto em que ocorre o apoio na viga real; determinada essa fora define-se a reao que ocorre no apoio inicialmente eliminado, restando apenas duas outras reaes, que pode ser determinados pelas equaes da esttica.
Quando o nmero de incgnitas vai aumentado, mais complexas se tornam essas equaes e a soluo do sistema, que se torna grande, exige o uso de clculo matricial na sua soluo.
Para simplificar o clculo de vigas contnuas um matemtico alemo chamado Cross desenvolveu um algoritmo que parte do conhecimento prvio dos momentos fletores em apoios engastados de vigas de um s vo.
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Suponha-se um viga em que um dos apoios articulado mvel e o outro engastado. Para determinar o momento no apoio engastado usa-se o mesmo processo utilizado na viga contnua de dois vos.
Neste caso, libera-se o giro no apoio engastado, transformando-o em apoio articulado, tornando viga isosttica.
Nesta situao, possvel calcular o giro que a viga sofre no apoio B. Como na viga original o apoio engastado, o giro nesse apoio deve ser nulo.
A soluo consiste em determinar o momento fletor que causa a mesma rotao, de maneira que se reproduza a situao original, ou seja, giro igual a zero. Dessa forma, fica determinado o valor do momento de engastamento perfeito.
MB = engastamento perfeito
O mesmo raciocnio pode ser feito para vigas bi engastadas.
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Os valores dos momentos de engastamento perfeito foram previamente calculados e podem ser obtidos consultando a tabela:
Os valores dos momentos de engastamento perfeito foram previamente calculados e podem ser obtidos consultando a tabela:
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Em uma viga contnua, apesar de ocorrer momentos negativos nos apoios, esses apoios no so engastados, pois a viga sofre um rotao sobre eles.
Cross teve a brilhante idia. Como os momentos de engastamento perfeito podem ser conhecidos, imaginou considerar os apoios internos das vigas contnuas como inicialmente engastadas. Isso pressupe que no h qualquer espcie de giro.
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Na realidade, quando a viga est em equilbrio, o giro existe, podendo ser horrio ou anti horrio. Na viga equilibrada, em um dado apoio, o giro igual tanto para o tramo esquerdo como para direita (continuidade da viga), apenas com sinal trocados, sendo um para cima e outro pra baixo.
ngulos iguais e de sinais contrrios significa que os momentos que provocam os giros dos dois tramos adjacentes so iguais e de sinais contrrios, o que garante soma zero e portando n equilibrado.
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Como o momento de engastamento de um lado do apoio normalmente diferente do outro, pois os vos e carregamentos so normalmente diferentes, significa que o n considerado engastado no est equilibrado, resultando um momento desequilibrado positivo ou negativo. Esse valor deve ser ressaltado colocando-o sob o n, e destacando-o com um linha em torno do seu valor.
Para equilibrar o n deve-se distribuir a diferena M entre os tramos adjacentes, de maneira que resulte o momento do tramo esquerdo igual ao do direito, a menos dos sinais. Repare que os valores dos momentos de engastamento perfeito tm sinais trocados, considerando-se, por conveno como negativo o momento do lado esquerdo do apoio e positivo o do lado direito.
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A questo agora se resume em como distribuir a diferena de momento. Deve ser lembrado um princpio importante das estruturas: O elemento mais rgido ser aquele que sempre absorver mais esforo.
O tramo mais rgido receber maior parcela e o menos rgido, menor. O prximo passo ser determinar a rigidez do tramo. A rigidez de um barra dada pela elasticidade do material, seu comprimento, inrcia da seo e tipos de vnculos aos quais est ligada. Fixando-se o material e a forma da seo, a rigidez depende apenas do comprimento e dos vnculos.
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As barras de mesmo comprimento, ser mais rgida a que possui dois engastes em lugar de um apenas, o que bastante bvio j que engaste significa dificuldade de girar e portanto de deformar a barra.
A rigidez proporcional quantidade de engastamento e inversamente proporcional ao comprimento. Usa-se um reduo de 25% na rigidez do tramo que apresenta uma articulao e um engaste.
Conhecida a rigidez de cada tramo que concorre para um determinado apoio, a diferena de momento, dada pela considerao inicial de engaste perfeito, pode ser distribuda proporcional rigidez de cada tramo.
Assim como feita a distribuio em uma sociedade comercial, o mesmo se aplica para distribuir a diferena de momento proporcionalmente rigidez de cada tramo.
Divide-se a rigidez de cada tramo pela soma das parcelas correspondentes rigidez de cada um dos tramos.
O resultados dessa diviso denomina-se coeficientes de distribuio. Pode ser que, na diviso dos coeficientes de rigidez, elimine-se o produto E x I. Portanto, se a viga for do mesmo material e de mesma seo em todo o comprimento, esse produto (E x I) pode ser desprezado.
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Exemplo de determinao do coeficiente de distribuio:
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Uma vez determinados os momentos de engastamento perfeito e o coeficiente de distribuio, distribui-se a diferena dos mementos de engastamento perfeito em cada apoio (momento desequilibrado) proporcionalmente rigidez de cada tramo. O valor do momenta distribudo para cada tramo tem o sinal contrrio ao do valor desequilibrado, justamente para garantir o equilbrio. Esse procedimento significa, fisicamente, liberar o n inicialmente engastado, de forma que alcance a posio de equilbrio.
Depois da distribuio, soma-se algebricamente (considerando os sinais) os valores dos momentos de cada lado do apoio.
Esses valores devero ser iguais e com sinais contrrios, de tal forma que a sua soma resulte zero, condio de equilbrio.
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Os sinais contrrios dos momentos, em cada lado do apoio, significam que a barra gira, de um lado, para baixo e, do outro, para cima. simplesmente uma conveno de sinais. O valor final do momento no apoio ser negativo, pois a barra nesse ponto sofre trao na face superior, o que tambm se convenciona como momento negativo.
Depois de determinado o momento no apoio interno, determinam-se as reaes de apoio, usando as equaes da esttica.
Para isso, considera-se cada tramo como independente, calculando-se inicialmente as reaes sem levar em conta o momento no apoio.
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Para ser levado em conta, o momento no apoio deve estar aplicado no extremo da viga. Esse momento aplicado no extremo da viga a far se comportar como uma alavanca, provocando uma reao de cima para baixo, ou negativa, no apoio externo (sem momento), e de baixo para cima, ou positiva, no apoio interno (com momento).
Resumindo, momento no apoio interno alivia as reaes dos apoios extremos e sobrecarrega as do apoio interno. Aps esse procedimento, tem-se automaticamente determinadas as foras cortantes nos apoios, ficando fcil desenhar seu grfico.
Lembrar que, em princpio, para dimensionar as vigas nos interessam os valores mximos.
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Para determinar os valores dos momentos fletores em quaisquer pontos da viga pode-se usar as equaes da esttica (Fv = 0, M = 0), ou de maneira mais fcil pela construo do grfico, usando o processo de soma dos grficos de cada carga. Para construir os grficos usa-se como linha de referncia (linha a partir da qual so medidos os valores dos momentos) no mais a linha horizontal, mas uma linha inclinada definida pelo momento negativo no apoio central. Essa linha serve apenas para construir os grficos, mas a leitura final dos valores dos momentos fletores em cada seo da viga se faz pela linha horizontal.
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