Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

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Sinais e Sistemas Conceitos de Sinais e Sistemas; Representação de Sinais e Sistemas; Tipos de Sinais: Sinais contínuos no tempo; Sinais discretos no tempo; Sinais Periódicos e Não periódicos, Determinísticos e Aleatórios Sinais Digitais; Energia e Potência de Um Sinal; Transformação da Variável Independente; Funções Impulso unitário e Degrau unitário. 1

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Conceitos de Sinais e Sistemas; Representação de Sinais e Sistemas; Tipos de Sinais: Sinais contínuos no tempo; Sinais discretos no tempo;  Sinais Periódicos e Não periódicos, Determinísticos e Aleatórios Sinais Digitais; Energia e Potência de Um Sinal; Transformação da Variável Independente; Funções Impulso unitário e Degrau unitário. 1 SINAIS E SISTEMAS – IMPORTÂNCIA  O estudo de sinais e sistemas é assunto básico para a Engenharia Eletrônica em todos os níveis e com diversas aplicações; 2

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Sinais e Sistemas

Conceitos de Sinais e Sistemas;

Representação de Sinais e Sistemas;

Tipos de Sinais:

Sinais contínuos no tempo;

Sinais discretos no tempo;

Sinais Periódicos e Não periódicos, Determinísticos e Aleatórios

Sinais Digitais;

Energia e Potência de Um Sinal;

Transformação da Variável Independente;

Funções Impulso unitário e Degrau unitário.

1

Page 2: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

SINAIS E SISTEMAS – IMPORTÂNCIA

O estudo de sinais e sistemas é assunto

básico para a Engenharia Eletrônica em todos

os níveis e com diversas aplicações;

Serve como base para outras sub-áreas da

Engenharia Elétrica como: PDS, Sistemas de

Comunicações e Sistemas de Automação e

Controle.

2

Page 3: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

1. Conceitos de Sinais e Sistemas

O que é um Sinal ?

“ Um sinal é fortemente definido como uma função de

uma ou mais variáveis, a qual se veicula informações

sobre a natureza de um fenômeno físico”.

Haykin, pg 22.

“ Sinais são representados matematicamente como

funções de uma ou mais variáveis independentes”.

Oppenheim, pg 3.

3

Page 4: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

1. Conceitos de Sinais e Sistemas

Conclusão: Um Sinal é . . .

“ Uma função matemática que representa algum

fenômeno físico. Esta função possui uma ou

mais variáveis independentes.”

SINAL UNIDIMENSIONAL - Ex: Sinal da Fala. SINAL MULTIDIMENSIONAL - Ex: Imagem.

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1. Conceitos de Sinais e Sistemas

Exemplos de Sinais:

Sinal de Voz: relaciona tempo x amplitude

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

5

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1. Conceitos de Sinais e Sistemas

Exemplos de Sinais:

Imagem Raio-x: posição x intensidade

6

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1. Conceitos de Sinais e Sistemas

Exemplos de Sinais:

Imagem Nível de Cinza: posição x

intensidade

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Page 8: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

1. Conceitos de Sinais e Sistemas

Exemplos de Sinais:

Temperatura do Ar: tempo x temperatura

0 5 10 15 20 25 30-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

8

Page 9: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

1. Conceitos de Sinais e Sistemas

O que é um Sistema ?

“Um sistema é fortemente definido como uma entidade

que manipula um ou mais Sinais para realizar uma

função, produzindo, assim, novos sinais.”

Haykin, pg. 22

“Um Sistema pode visualizado como um processo em

que Sinais de entrada são transformados pelo Sistema,

resultando em outros Sinais de saída.”

Oppenheim, pg 38.

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1. Conceitos de Sinais e Sistemas

Conclusão: Um Sistema é . . .

“ Um modelo matemático que transforma um ou mais

Sinais de entrada em um ou mais Sinais de saída.”

“ Um Sistema pode ser representado por Sinais de

entrada xn(t), por Sinais de saída ym(t) e por uma

transformação ou operador H.”

H xn(t) ym(t)

10

Page 11: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

1. Conceitos de Sinais e Sistemas

Os Tipos de Sistemas mais comuns são:

Circuitos Elétricos

Sistemas de Comunicação

Sistemas de voz

Sistemas de Controle

etc ...

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Page 12: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

1. Sinais e Sistemas – Dia a Dia!!!

Os sinais, de uma forma ou de outra, constituem um

ingrediente básico de nossa vida diária!!!

Sinais da Fala, Sinais Visuais (Imagens ou Objetos);

INTERNET - transmitem sinais de informações de

interesse geral, publicidade, jogos, etc...

Batimentos Cardíacos, Pressão Sanguínea, Temperatura

- transmitem sinais/informações que auxiliam em

diagnósticos médicos;

Previsão do Tempo - temperatura, umidade, velocidade e

direção dos ventos permitem prevenir situações de risco.

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Page 13: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

1. Sistema de Comunicação

Existem 3 elementos básicos num Sistema de

Comunicação: o transmissor, o canal e o receptor

Transmissor

Sinal de Mensagem Sinal Transmitido

Canal

Sinal Recebido

Receptor

Estimativa do Sinal da Mensagem

Ruídos ou Perturbações Reconstruir o sinal

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Page 14: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

2. Sistema de Controle

Existem 02 aspectos importantes a serem observados num

Sistema de Controle: a resposta e a robustez.

Entrada Saída

Sinal de erro

Sinal de Realimentação F.T de Realimentação

Planta

SISO

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Page 15: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

2. Representação de Sinais e Sistemas

Os Sinais podem ser representados por

funções, visualizados graficamente.

Veremos que dependendo do tipo de Sinal

que temos no tempo teremos uma

representação diferente.

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Page 16: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

2. Representação de Sinais e Sistemas

Os Sistemas podem ser representados por

diagramas em blocos (como vimos anteriormente)

ou por modelos matemáticos.

Da mesma forma que os sinais, os sistemas,

dependendo dos tipos de sinais envolvidos, podem

ser representados de maneira diferente. Estas

representações serão vistas na segunda parte.

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Page 17: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

3. Classificação dos Sinais

Sinais de Tempo Contínuo e Discreto;

Sinais Pares e Ímpares;

Sinais Periódicos e Não Periódicos;

Sinais Determinísticos e Aleatórios;

Sinais de Energia e Potência.

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Page 18: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

3. Sinais Contínuos no Tempo

Um Sinal é Contínuo no Tempo se estiver definido para

todo o tempo, ou seja, t é uma variável contínua.

A amplitude do sinal pode ou não variar com o tempo.

18

Page 19: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

3. Sinais Contínuos no Tempo

Um Sinal Contínuo tem a seguinte forma:

19

Page 20: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

3. Sinais Contínuos no Tempo

Os Sinais Contínuos no Tempo possuem uma

símbologia particular onde o tempo é representado

por parênteses, ou seja:

x(t)

t

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Page 21: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

4. Sinais Discretos no Tempo

Os Sinais Discretos no Tempo estão definidos apenas em

instantes de tempos fixos (números inteiros).

Um sinal x[n] é um sinal discreto no tempo, se é definido

em instantes isolados de n;

A variável que representa o tempo, neste caso, tem somente

valores discretos, os quais são uniformemente espaçados;

Normalmente, é derivado de um sinal de tempo contínuo

fazendo-se uma amostragem do mesmo a uma taxa

uniforme. 21

Page 22: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

4. Sinais Discretos no Tempo

A forma de um sinal discreto é:

22

Page 23: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

4. Sinais Discretos no Tempo

Os Sinais Discretos no Tempo também possuem uma

representação particular onde temos um eixo do

tempo sendo discreto representado por colchetes:

x[n]

n 23

Page 24: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

4. Sinais Discretos no Tempo

Podemos discretizar o sinal contínuo abaixo. Pegando seu valor em vários tempos específicos iguais. Esses tempos são chamados de Tempo de Amostragem T.

T

24

Page 25: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

4. Sinais Discretos no Tempo

O Sinal discretizado resultante será:

T

25

Page 26: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Exercícios

Identifique os seguintes sinais como contínuos e discretos

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2.5 3 3.5 4 4.5 5

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-60

-40

-20

0

20

40

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

10

20

30

40

50

60

70

1

2

3

4

26

Page 27: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS

Sinal Par

Diz-se que um sinal de tempo contínuo x(t) ou discreto

x[n] é um sinal Par se ele satisfizer a seguinte condição:

x(-t) = x(t) para todo t.

x[-n] = x[n] para todo n.

Em outras palavras, os sinais pares são simétricos em

relação ao eixo vertical ou origem de tempo;

27

Page 28: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS

Exemplos de Sinais Pares

28

Page 29: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS

Sinal Ímpar

Diz-se que um sinal de tempo contínuo x(t) ou discreto x[n]

é um sinal Ímpar se ele satisfizer a seguinte condição:

x(-t) = -x(t) para todo t.

x[-n] = -x[n] para todo n.

Em outras palavras, os sinais ímpares são assimétricos em relação à origem de tempo;

29

Page 30: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS

Exemplos de Sinais Ímpares

30

Page 31: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS

Ex1: Faça os gráficos dos componentes pares e ímpares dos sinais

mostrados a seguir.

)()(2

1xe txtx )()(

2

1xo txtx

31

Page 32: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS

Ex2: Faça os gráficos dos componentes pares e ímpares dos

sinais mostrados a seguir.

][][2

1xe nxnx ][][

2

1xo nxnx

32

Page 33: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

5. Sinais Periódicos Contínuos

Matematicamente, um sinal x(t) contínuo é

periódico se satisfaz a seguinte condição para todo

t, com T sendo constante positiva:

Sinais periódicos são Sinais que se repetem com o

passar do tempo.

Ttxtx

33

Page 34: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

5. Sinais Periódicos Contínuos

O Menor Intervalo de repetição de um sinal periódico é o

Período T (medido em Segundos). É número de vezes que o sinal

se repete em 1 segundo é chamado freqüência f.

A relação entre f e T é:

A Freqüência é medida em Hz (fórmula acima) ou em radianos

por segundo (fórmula abaixo).

Tf

1

T

2Frequência angular:

34

Page 35: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

5. Sinais Periódicos Contínuos

Exemplos de Sinais Periódicos Contínuos, perceba o intervalo de

repetição:

35

Page 36: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

5. Sinais Periódicos Discretos

De forma análoga, um sinal x[n] discreto é

periódico se satisfaz a seguinte condição para todo

n com N sendo inteiro positivo constante:

Nnxnx

36

Page 37: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

5. Sinais Periódicos Discretos

Também definimos a freqüência e o período como:

O Menor valor do número inteiro N é o Período.

A freqüência, para os sinais periódicos discretos é

medida em radianos e definida como:

N

2

37

Page 38: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

5. Sinais Periódicos Discretos

Exemplo de Sinais Periódicos Discretos

38

Page 39: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

6. Sinais Não Periódicos Contínuos e Discretos

Os sinais que não satisfazem as condições de periodicidade

são sinais não periódicos. Exemplos:

39

Page 40: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

7. Sinais Determinísticos

23

2cos3

njejnx

ttx

Sinais Determinísticos e Aleatórios

Um sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe nenhuma incerteza com respeito a seu valor em qualquer tempo.

Podem ser modelados por uma função de tempo t conhecida.

Ex:

40

Page 41: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

8. Sinais Aleatórios

Um sinal aleatório é um sinal que assume valores aleatórios em

qualquer tempo dado e devem ser analisados por modelos

probabilísticos (estatisticamente).

No nosso curso não estudaremos estes sinais!!!

Um exemplo clássico de sinal aleatório é o ruído.

41

Page 42: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

9. Sinais Digitais

Os sinais digitais são sinais que assumem um número finito de

valores. E estão definidos para um número, também finito de

valores de tempo.

Em outras palavras, um sinal digital possui amplitude discreta e

valores de tempo discreto. Ver Exemplo:

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Page 43: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

9. Sinais Digitais, Quantizados e Discretos

Iremos identificar as diferenças fundamentais entre estes três tipos

de sinais.

Primeiramente, veremos um

Sinal analógico, este possui:

• Tempo Contínuo

• Amplitude Contínua

43

Page 44: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

9. Sinais Digitais, Quantizados e Discretos

Sinal Digital

Este seria o Sinal Digital

onde temos:

• Tempo Discreto

• Amplitude Discreta

44

Page 45: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

9. Sinais Digitais, Quantizados e Discretos

Sinal Discreto

O Sinal Discreto

onde temos:

• Tempo Discreto

• Amplitude Contínua

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Page 46: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

9. Sinais Digitais, Quantizados e Discretos

Sinal Quantizado

O Sinal Quantizado

onde temos:

• Tempo Contínuo

• Amplitude Discreta

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Page 47: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

10. Energia e Potência de Sinais

Energia e Potência média associam uma função

constante para cada sinal, o seu cálculo é realizado

por integrais impróprias.

A Energia para Sinais Contínuos e Discretos é:

2/

2/

2lim

T

TT

dttxE

Sinal Contínuo

2

nxE

Sinal Discreto

47

Page 48: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

10. Energia e Potência de Sinais

Quando temos sinais periódicos a Integral anterior possui

resultado infinito, portanto a Energia é infinita.

OBS: Isso ocorre, também, com sinais aleatórios.

Para esses casos, definimos a Potência média, que é obtida,

para Sinais Contínuos e Discretos por:

dttxT

P

T

T

2/

2/

21

Sinal Contínuo

T é o período

1

0

21N

n

nxN

P

Sinal Discreto N é o período

48

Page 49: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

10. Energia e Potência de Sinais

ATENÇÃO: Quando temos sinais não periódicos devemos

calcular a potência através da fórmula:

dttxT

P

T

TT

2/

2/

21lim

Sinal Contínuo

N

NnN

nxN

P2

12

1lim

Sinal Discreto

49

Page 50: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

10. Energia e Potência de Sinais

Sinais de Energia e Potência Um sinal é chamado de Sinal de Energia se e somente se, a energia

total do sinal satisfizer a condição:

Um sinal é chamado de Sinal de Potência se e somente se, a

potência média do sinal satisfizer a condição:

Sinal de Energia Potência Média Zero. ◦ Ex: Sinais Determinísticos e Não-Periódicos.

Sinal de Potência Energia Infinita. ◦ Ex: Sinais Periódicos e Aleatórios.

E0

P0

50

Page 51: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

10. Energia e Potência de Sinais

• Ex1) Determine se os seguinte sinal é de energia, de

potência ou nenhum dos dois.

0a ),()( tuetx at

adtedttx at

2

1)(E

- 0

22

Sinal de Energia

51

Page 52: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

11. Transformações da Variável

Os Sinais podem ser manipulados com

algumas operações em suas variáveis.

Em um Sinal possuímos: Variáveis

Independentes e Variáveis Dependentes.

52

Page 53: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

11. Transformações da Variável Independente

Para o Sinal x(t) = sin(2t) temos que:

x(t) : variável dependente

t : variável independente

-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x(t)

t

53

Page 54: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

11. Transformações na Variável

Para realizarmos operações na variável dependente

temos que operar com x(t) e;

Para realizarmos operações na variável

independente temos que operar com t. De forma

análoga, se o sinal for discreto devemos operar n.

A seguir verificaremos as operações mais usuais.

54

Page 55: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

11. Transformações da Variável Dependente

Operações na variável dependente: x(t) e x[n]

Multiplicação por escalar: consiste em aumentar ou

diminuir o tamanho do sinal. Esta operação é

definida como:

txa nxa

Para x(t) contínuo Para x[n] discreto

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Page 56: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

11. Transformações da Variável Dependente

Operações na variável dependente: x(t) e x[n]

Adição e Multiplicação: consiste na soma ou multiplicação

de, usualmente, dois sinais. Estas operações são definidas

como:

txtx 21

Para x(t) contínuo Para x[n] discreto

txtx 21

nxnx 21

nxnx 21

56

Page 57: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

11. Transformações da Variável Dependente

Operações na variável dependente: x(t)

Diferenciação e Integração: consiste em derivar ou integrar

o sinal em questão. Essa operação é definida como:

Derivada

txdt

d

Integral

dttx

57

Page 58: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

11. Transformações da Variável Dependente

Exercício 1 (Schaum)

58

Page 59: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

11. Transformações da Variável Dependente

Exercício – Solução (1.4 – Schaum)

59

Page 60: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

11. Transformações da Variável Dependente

Exercício 2 (Prova 2008)

Considerando os sinais de tempo contínuo x1(t) e x2(t), mostrados nas

figuras abaixo, realize a seguinte operação de transformação de variáveis:

60

a) x1(t)+x2(t)

Page 61: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

11. Transformações da Variável Independente

Operações na variável independente: t e n

Multiplicação por escalar: consiste na expansão (0 < a < 1)

ou compressão (a >1) do eixo do tempo, para sinais

contínuos. Para sinais discretos usamos valores inteiros.

atx knx

Para x(t) contínuo

0 < a < 1 expansão

a >1 contração

Para x[n] discreto

k é inteiro

61

Page 62: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

11. Transformações da Variável Independente

1. Mudança de Escala de Tempo

Seja x(t) um sinal de tempo contínuo. O sinal y(t) é obtido pela

mudança de escala da variável independente, tempo t, por um

fator a.

Se a > 1 : y(t) é uma versão comprimida de x(t);

Se 0 < a < 1 : y(t) é uma versão expandida (estendida) de x(t).

)()( atxty

62

Page 63: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

11. Transformações da Variável Independente

Exercício (Multiplicação por escalar) – Sinal Discreto

Seja x[n] um sinal de tempo discreto. O sinal y[n] é obtido pela

mudança de escala da variável independente, tempo n, por um

fator a=2: y[n] = x[2n]

63

Page 64: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Operações na variável independente: t e n

Deslocamento: consiste em deslocar o eixo t para a direita

se temos -a ou para a esquerda se temos +a. Para sinais

discretos usamos valores inteiros positivos e negativos. Esta

operação e definida por:

atx

atx

knx

knx

Para x(t) contínuo

-a desl. Direita

+a desl. Esquerda

Para x[n] discreto

-k desl. Direita

+k desl. Esquerda 64

11. Transformações da Variável Independente

Page 65: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Método Prático: Considere o sinal x(t) queremos x(t+2)

-2 -1 0 1 2 3 t(ant)

x(t)

65

11. Transformações da Variável Independente

Page 66: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Método Prático: Considere o sinal x(t) queremos x(t+2)

-2 -1 0 1 2 3 t(novo)

x(t+2)

t(novo)= t(ant)-2

-2 -1 0 1 2 3 t(ant)

x(t)

66

11. Transformações da Variável Independente

Page 67: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Método Prático: Conclusão

Operação Novo Gráfico, como calcular t x(t+2) t(novo)= t(ant)-2

x(t+3) t(novo)= t(ant)-3

x(t-2) t(novo)= t(ant)+2

x(t-3) t(novo)= t(ant)+3

Portanto

x(operação) t(novo)= t(ant)operação inversa

67

11. Transformações da Variável Independente

Page 68: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Deslocamento no Tempo

to é o deslocamento de tempo.

Se to > 0, x(t) é deslocada intacta para a direita.

Se to < 0, x(t) é deslocada para a esquerda.

)()( 0ttxty

68

11. Transformações da Variável Independente

Page 69: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

11. Transformações da Variável Independente

Exercício (Deslocamento) Seja x[n] um sinal de tempo discreto dado pela expressão abaixo.

Encontre o sinal y[n] = x[n +3]

69

2n0,n, 0

21,n, 1

1,2n, 1

][nx

5n,1n,3-n, 0

54,n, 1

21,n, 1

][ny

Page 70: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Operações na variável independente: t e n

Reflexão: simetria ou espelho de t ou n. É definida

por:

tx nx

Para x(t) contínuo Para x[n] discreto

70

11. Transformações da Variável Independente

Page 71: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

11. Transformações da Variável Independente

2. Reflexão

Ex.: Considere o pulso triangular x(t) abaixo. Encontre a

versão refletida de x(t) em relação ao eixo da amplitude.

21 T t e T- t para ,0)( tx

21 T- t e T t para ,0)( ty

71

Page 72: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Regras das Operações:

Quando as operações ocorrerem simultaneamente,

devemos fazer as execuções na ordem abaixo:

1º Deslocamento no Tempo;

2º Reflexão;

3º Compressão ou Expansão.

72

11. Transformações da Variável Independente

Page 73: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Ex1: Um sinal de tempo discreto x[n] é mostrado a seguir.

Faça o gráfico do seguinte sinal:

a) x[-n+2].

73

11. Transformações da Variável Independente

Page 74: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Ex2: Um sinal de tempo contínuo x(t) é mostrado a seguir.

Faça o gráfico de cada um dos seguintes sinais:

a) x(t -2); d) x(-t)

b) x(2t). e) x(-2t+2)

c) x(t/2)

74

11. Transformações da Variável Independente

Page 75: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Ex3: Um sinal de tempo discreto x[n] é mostrado a seguir.

Faça o gráfico de cada um dos seguintes sinais:

a) x[n -2] d) x[-n+2]

b) x[2n] e) x[-2n-2]

c) x[-n]

75

11. Transformações da Variável Independente

Page 76: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

SINAIS ELEMENTARES

Há diversos sinais elementares que se destacam no estudo de sinais e sistemas;

Servem como blocos de construção para a construção de sinais mais complexos;

Podem ser usados para modelar muitos sinais físicos que ocorrem na natureza;

Sinais exponenciais e senoidais, a função degrau, a função impulso e a função rampa.

76

Page 77: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

12. Função Degrau Unitário

Os tipos de Função Degrau Unitário são:

Função Degrau Unitário de Tempo Discreto;

Função Degrau Unitário de Tempo Contínuo.

77

Page 78: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

SINAIS ELEMENTARES

Função Degrau Unitário

• A função degrau unitária u(t) é definida como:

• Observe que ela é descontínua em t = 0 e que o valor em t = 0 é

indefinido.

0 t0

0 t1)(0 tu

78

Page 79: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

SINAIS ELEMENTARES

Função Degrau Unitário

• A função degrau unitária deslocada u(t-to) é

definida como

0

0

0t t0

t t1)( ttu

79

Page 80: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Função Degrau Unitário de Tempo Discreto

A função degrau unitário (Discreta) e seu gráfico

são:

0 ,1

0 ,0

n

nnu

80

SINAIS ELEMENTARES

Page 81: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Função Degrau Unitário de Tempo Contínuo

A função degrau unitário (Contínua) e seu gráfico

são:

0 ,1

0 ,0

t

ttu

81

SINAIS ELEMENTARES

Page 82: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

13. Função Impulso Unitário

Os tipos de Função Impulso Unitário são:

Função Impulso Unitário de Tempo Discreto;

Função Impulso Unitário de Tempo Contínuo.

82

Page 83: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Função Impulso Unitário de Tempo Discreto

A definição desta função e o seu gráfico são:

0 ,1

0 ,0

n

nn

83

SINAIS ELEMENTARES

Page 84: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Função Impulso Unitário de Tempo Contínuo

A definição desta função e o seu gráfico são:

1

0 0

dtt

tt

84

SINAIS ELEMENTARES

Page 85: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

SINAIS ELEMENTARES

Função Impulso Unitário

• A função impulso unitário δ(t) é conhecida como a

função delta de Dirac, tem um papel central na

análise de sistemas.

85

Page 86: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

SINAIS ELEMENTARES

Função Rampa Unitária

• A função rampa unitária, é definida como

0 t0

0 t)(1

ttu

86

Page 87: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

SINAIS ELEMENTARES

Sinais Exponenciais Complexos

O sinal complexo é um exemplo importante de um

sinal complexo.

• O sinal x(t) é periódico com período

tjetx 0)(

tjsentetx oo

tj cos)( 0

Parte Real Parte Imaginária

o

T

20

87

Page 88: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

SINAIS ELEMENTARES

• Sinais Exponenciais Complexos

Sinal senoidal exponencialmente

crescente.

Sinal senoidal exponencialmente

decrescente.

88

Page 89: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

SINAIS ELEMENTARES

Sinais Exponenciais Reais

Observe que se um número real. Então x(t) se reduz a

um sinal real exponencial

s

tetx )(

Exponencial crescente. σ>0 Exponencial decrescente. σ<0

89

Page 90: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

SINAIS ELEMENTARES

Sinais Senoidais Um sinal senoidal de tempo contínuo pode ser expresso

como

)cos()( 0 tAtx

Amplitude real Freqüência (rad/s)

Ângulo (rad)

90

Page 91: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

SINAIS ELEMENTARES

Sinais Senoidais

o

T

20

0

0

1

Tf

Período Fundamental

Freqüência Fundamental (Hz)

00 2 f Freqüência Angular Fundamental (Hz)

91

Page 92: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

SINAIS ELEMENTARES

Ex1) Um sinal de tempo contínuo x(t) é mostrado abaixo. Faça

o gráfico de cada um dos seguintes sinais:

a) x(t)u(1-t)

1 t0

1 t1)1( tu

92

Page 93: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

SINAIS ELEMENTARES

b) x(t)[u(t) - u(t-1)]

contrário aso 0

1 t0 1)1()(

ctutu

93

Page 94: Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

FIM – PARTE 01

Sinais e Sistemas - Aulas

94