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AULA PARTICULAR Nível Fundamental II (8ª série) Professora: Vanessa Costa. Aluno(a): ___________________________________ Assunto:

Equação do 2º grau EQUAÇÃO DO 2º GRAU: Uma equação do 2º grau é da forma

ax2 + bx + c = 0, onde x é a incógnita, a, b, c são números reais com

a ≠0.

Por exemplo, na equação do 2º grau -2x2 + 3x + 2 = 0 temos a = -2, b = 3 e c = 2. Os números a, b e c são os coeficientes da equação; c é o seu termo independente. Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. a é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente. Exemplos: x2 - 5x + 6 = 0 é uma equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 6x2 - x - 1 = 0 é uma equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. 7x2 - x = 0 é uma equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. x2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36. AS EQUAÇÕES INCOMPLETAS: Se na equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 temos b = 0 ou c = 0, ela diz incompleta. Por exemplo, são incompletas as equações 3x2 - 2x = 0 (c = 0) 9x2 - 4 = 0 (b = 0) Uma equação incompleta como 3x2 - 2x = 0 pode ser resolvida fatorando seu 1º membro: 3x2 - 2x = 0 3x . x - 2x . x = 0 x . (3x -2 ) = 0

x = 0 ou 3x - 2 = 0 3x = 2

x =

S = {0; } Resolvemos a equação incompleta 9x2 - 4 = 0, isolando x2 no seu 1º membro: 9x2 - 4 = 0 9x2 = 4

x2 =

x = ou x = -

S ={ ; - } RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU: Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução Fórmula: Seja a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0. Construímos o número

Δ= b2 - 4ac Observação: O desenho Δ é uma letra do alfabeto grego que se lê "delta". Ao número Δ dá-se o nome de discriminante da equação. Se representamos com S o conjunto-solução da equação temos:

Δ< 0

A equação não admite solução; seu conjunto-solução é vazio: S = Ǿ

Δ= 0

A equação tem uma única raiz:

x = .

S = { }

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Δ > 0

A equação tem duas raízes:

x =

S = { } Resumindo: Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: Para , a equação tem duas raízes reais diferentes. Para , a equação tem duas raízes reais iguais. Para , a equação não tem raízes reais. SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU: Propriedade Se r1 e r2 são as raízes da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, então

Exemplos: Na equação do 2º grau 12x2 - 5x - 2 = 0 temos a = 12, b = -5 e c = -2. A soma das raízes é

O produto das raízes é

De fato, na equação temos: a = 12, b = -5 e c = -2 Δ= b2 - 4ac Δ= (-5)2 - 4 . 12. (-2) Δ= 25 + 96 Δ= 121

ou

Note, então, que a soma das raízes é

e o produto é

.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:

Resolva as equações incompletas: x² + 6x = 0 2 x² = 0 3 x² + 7 = 0 2 x² + 5 = 0 10 x² = 0 9 x² - 18 = 0 Calcular o discriminante de cada equação: x² + 9 x + 8 = 0 9 x² - 24 x + 16 = 0 x² - 2 x + 4 = 0 3 x² - 15 x + 12 = 0 10 x² + 72 x - 64 = 0 Resolver as equações: x² + 6 x + 9 = 0 3 x² - x + 3 = 0 2 x² - 2 x - 12 = 0 3 x² - 10 x + 3 = 0 A equação x2 + 13x + 40 = 0 tem duas raízes. Subtraindo a menor da maior obtém-se: a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 3 e) 4 O resultado de (x + 2)2 . (x - 2) - 2 (x2 - 2x) é: a) x3 + 4x2 + 4x - 8 b) x3 - 8 c) x3 + 4x2 + 4x d) x3 + 8x2 + 8x e) (x - 2)3