Representação de vetores

cbaCBA !!!!!!

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Modo escrito: Letras maiúsculas ou minúsculas em negrito:

A, B, C, a, b, c

Modo Gráfico: Segmento de reta orientado com a mesma direção e sentido que o vetor considerado e cujo comprimento é proporcional à magnitude do mesmo.

Ou letras em itálico com uma flecha em cima:

Módulo ou magnitude de um vetor é representado por: A, B, C, a, b, c

ou

AULA PASSADA

Soma de vetores

222 )()()( DCADAC +=

θθ sencos 221 VDCVVBDABAD =+=+=

θθθθθ 222

22221

21

22

221

2 sencoscos2)sen()cos( VVVVVVVVV +++=++=

θ

θθθ

cos2

)sen(coscos2

2122

21

222221

21

VVVVV

VVVVV

++=

+++=

V = V1+V2

V2cosθ

V2 senθ

θ D A B

V

V1

V2

C

Calculando o módulo da soma de dois vetores

AULA PASSADA

V = V1+V2 α

β

V2cosθ

V2 senθ

θ D A B

V

V1

V2

C Soma de vetores

θα sensen BCACCD ==αθ

θαsensen

ou sensen 22

VVVV ==↔

αββα

sensensensen forma mesma da 21

21VVVV =↔=→

αβθ sensensen:equações as juntando 21 VVV

==

Calculando a direção do vetor resultante V E

AULA PASSADA

Diferença entre dois vetores

θ

θπθπ

θπ

cos2

)sensencos(cos2

)cos(2

2122

21

2122

21

2122

21

VVVVD

VVVVD

VVVVD

−+=

−++=

−++=

V=V1+V2

V1

V2

-V2

θ

π-θ

D=V1-V2

AULA PASSADA

Componentes de um Vetor Qualquer vetor V pode ser considerado como o resultado da soma de dois ou mais vetores. As suas componentes ortogonais Vx e Vy são mutuamente perpendiculares.

V

Vx

Vy

Y

X 0

B

A

C No plano

z

x y

θ

φ

Segue que

2222zyx VVVV ++=

AULA PASSADA

Vetor posição Um caso particularmente importante é o do vetor-posição r de um ponto de P de coordenadas (x, y, z).

O vetor-posição relativo de dois pontos P1 e P2 é

Ou seja,

AULA PASSADA

Produto de Vetores

Física Geral

Produto de um Vetor e um escalar

Se temos dois vetores paralelos podemos representá-los como:

'ˆ'eˆ VuVVuV ==!!

V!

'V!

VV

VV

u'

chamando eˆsendo == λ

!

VV!!

λ=⇒ '

Produto Escalar

0ˆˆˆˆˆˆe

1ˆˆˆˆˆˆ

=⋅=⋅=⋅

=⋅=⋅=⋅

zyzxyx

zzyyxx

uuuuuu

uuuuuu

É uma grandeza escalar representada por

B.)escalar A se-(Leia BA!!⋅

O valor é definido por

θcosABBA =⋅!!

Assim, o produto escalar entre os vetores unitários ortogonais é:

θ

A

B

Propriedade distributiva em relação à soma: 𝐴 ∙(𝐵 + 𝐶 )= 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶 

Usando as componentes ortogonais: Notando que como visto anteriormente.

( ) ( )zzyyxx

zzyyxxzzyyxx

BABABAuBuBuBuAuAuABA

++=

++⋅++=⋅!!!!!!!!

Produto Escalar

2222zyx AAAAAA ++==⋅

!!

θcosABBA =⋅!!

Produto Escalar Também, mostra-se facilmente que o módulo da soma 𝑉 = 𝐴 + 𝐵 , Isto é válido para a soma de qualquer número de vetores Nesse caso

( ) ( )θcos2

222

2

ABBABABBAABABAV

++=

⋅+⋅+⋅=+⋅+=!!!!!!!!!!

∑=+++=i iVVVVV!!!!!

....321

( )

∑ ∑ ⋅+=

+⋅++⋅+⋅++++=

+++=

vetorestodos

parestodos

2

323121321

2321

2

2

...2...22...

...

jii VVV

VVVVVVVVV

VVVV

!!

!!!!!!!!!

!!!

Produto Escalar

θcosABBA =⋅!!

Produto Escalar

Produto Vetorial A representação é dada por

𝐴 × 𝐵  (leia-se A vetor B). É um vetor perpendicular ao plano formado por 𝐴  e 𝐵 

|𝐴 × 𝐵 |=𝐴𝐵sen 𝜃  e 𝐴 × 𝐵 =− 𝐵 × 𝐴 

Produto Vetorial O módulo do produto vetorial é igual à área do paralelogramo formado pelos dois vetores.

|𝐴 × 𝐵 |=𝐴(𝐵sen 𝜃)=𝐴ℎ 

Produto Vetorial

Propriedade distributiva em relação à soma: O produto entre os vetores ortogonais unitários é:

( ) CABACBA!!!!!!!

×+×=+×

0ˆˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆ

=×=×=×

=×−=×

=×−=×

=×−=×

zzxyxx

yzxxz

xyzzy

zxyyx

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

|𝐴 × 𝐵 |=𝐴𝐵sen 𝜃 

⌢uz

⌢ux⌢uy

Produto Vetorial Escrevendo o produto vetorial em termos das componentes ortogonais, temos

( ) ( )zzyyxxzzyyxx uBuBuBuAuAuABA ˆˆˆˆˆˆ ++×++=×!!

ou

( ) ( ) ( ) zxyyxyzxxzxyzzy uBABAuBABAuBABABA ˆˆˆ −+−+−=×!!

Podendo ser representado também pelo determinante

( ) ( ) ( ) zxyyxyzxxzxyzzy

zyx

zyx

zyx

uBABAuBABAuBABA

BBBAAAuuu

BA

ˆˆˆ

ˆˆˆ

−+−+−=

=×!!

Produto Vetorial

Produto Vetorial

Produto Vetorial

Área - Representação Vetorial Consideremos uma superfície plana S. Convenciona-se representá-la por um vetor, cujo módulo é igual à área da superfície e cuja direção é perpendicular à superfície.

As componentes do vetor S são iguais às projeções da superfície sobre os três planos coordenados.

Área - Representação Vetorial Suponhamos que a superfície faça um ânguloθcom o plano XY.

A projeção de S sobre o plano XY é .cosθS

Mas a normal com o plano também faz o mesmo ângulo com o eixo Z. Logo, também

.cosθSSZ =

Área - Representação Vetorial Se a superfície não é plana, pode sempre ser dividida em um grande número de áreas muito pequenas, cada uma representada por um vetor.

∑=+++=i iSSSSS!!!!!

...421

Porém,

∑≠ i iSS!

Ou seja, o módulo do vetor S não é igual à área da superfície. Mas as suas componentes são iguais às projeções da área sobre os três planos coordenados.

Área - Representação Vetorial Exemplo: Suponha um terreno composto de uma área de horizontal S1 e outra inclinada S2 . A área utilizável para a lavoura é S1+ S2 . Mas supondo que o terreno seja utilizado para a construção de um prédio, apenas a projeção horizontal interessa. Ou seja a área de interesse é S1 + S2cosθ.

O vetor S1 + S2 possui módulo igual a

θcos2 2122

2121 SSSSSS ++=+

!!

que é menor que S1+ S2 . Mas a sua componente Z é igual a S1 + S2cosθ, que concorda com a projeção das superfícies no plano XY.

Área - Representação Vetorial Consideremos uma superfície fechada. Dividamo-la em várias superfícies planas, cada uma representada por um vetor Si no sentido externo.

Podemos sempre agrupar as pequenas áreas em pares cujas projeções somadas resultam em zero. Ou seja,

S1z = a e S2z = -a Somado todo o conjunto desses pares obtém-se

Sz= Σi Siz = 0. Com esse mesmo argumento, vemos que o mesmo resultado vale para as outras duas componentes (x e y).

Portanto, o vetor que representa uma superfície fechada é zero.