Aulas 17 e 18: A Hipotese do Passeio Aleatorio (Random

Walk) e os Retornos Esperados de Equilıbrio

Walter Novaes

Departmento de Economia, PUC-Rio

13/05/2015

1 Motivacao

• Hoje em dia, pode-se dizer que ha consenso sobre os principais fundamentos

dos precos de bens e servicos.

– Consumidores em geral – economistas ou nao – e as mıdias impressa e

escrita frequentemente usam os conceitos da oferta e demanda para explicar

ou prever variacoes nos precos de bens e servicos.

• Em contraste, ainda nao existe uma analise padrao da formacao dos precos dos

ativos financeiros.

– Por um lado, profissionais do mercado financeiro tendem a adaptar a logica

da oferta e demanda por bens e servicos para os ativos financeiros.

– Por outro lado, academicos costumam explorar restricoes a existencia de

oportunidade de arbitragem, como as que usamos neste curso para derivar

o fator estocastico de desconto.

• Um bom exemplo dessa dicotomia e uma teoria de aprecamento de ativos – A

Hipotese do Passeio Aleatorio – cuja principal implicacao e a imprevisibilidade

de retornos.

– Em princıpio, deveria ser difıcil formular estrategias lucrativas de compras

e vendas de ativos se os retornos dos ativos fossem imprevisıveis.

– Segue, entao, a primeira razao para a popularidade da Hipotese do Passeio

Aleatorio. Ela racionaliza um crenca forte entre os profissionais do mercado

de capitais: nao e facil formular estrategias lucrativas de compras e vendas

de ativos em mercados de capitais competitivos.

• A segunda razao para a popularidade da Hipotese do Passeio Aleatorio e uma

interpretacao simples e aparentemente plausıvel para a imprevisibilidade de

retornos. Para explicar essa interpretacao, vamos supor que notıcias divulgadas

na data t induzem os investidores a crer que o preco de uma determinada acao

caira entre t e t+ 1.

– Nesse caso, os adeptos da Hipotese do Passeio Aleatorio argumentam que

2

a crenca da queda de preco estimula os investidores a vender a acao antes

que a queda ocorra.

– As ordens de venda em t criariam uma pressao de queda de preco ainda

na data t, que so terminaria quando a queda prevista para t + 1 fosse

incorporada ao preco em t.

– Mas, entao, a queda prevista para t+ 1 aconteceria em t, fazendo com que

o preco em t+ 1 seja imprevisıvel.

• A despeito da simplicidade e aparente plausibilidade da intuicao subjacente a

Hipotese do Passeio Aleatorio, varios estudos empıricos encontraram evidencia

de previsibilidade de retornos nos mercados acionarios. Como interpretar essa

evidencia?

• A intuicao para a Hipotese do Passeio Aleatoria ignora os dois fundamentos

economicos que norteiam as Teorias de Aprecamento de Ativos baseadas no

fator estocastico de desconto: a suavizacao de consumo ao longo do tempo e

entre estados da natureza.

– Veremos nesta nota de aula que os incentivos para suavizacao de consumo

implicam previsibilidade de retornos, sem dar espaco para as estrategias de

investimento que, segundo os adeptos da Hipotese do Passeio Aleatorio,

eliminam previsibilidade dos retornos.

3

• A evidencia empırica contraria a Hipotese do Passeio Aleatorio, portanto, lanca

duvidas sobre o uso da abordagem de oferta e demanda em Financas, mas e

consistente com o aprecamento de ativos pelo fator estocastico de desconto.

• O restante desta nota de aula esta organizada da seguinte maneira.

– A proxima secao introduz a Hipotese do Passeio Aleatorio, deriva a sua

principal implicacao, isso e a imprevisibilidade dos retornos dos ativo, e

explica como ela pode ser testada.

– A secao seguinte caracteriza os retornos esperados de equilıbrio dos ativos

da economia.

– Por fim, a ultima secao usa a caracterizacao dos retornos de equilıbrio

para explicar por que a evidencia empırica existente rejeita a Hipotese do

Passeio Aleatorio.

4

2 A Hipotese do Passeio Aleatorio (Random Walk)

• Para formalizarmos a Hipotese do Passeio Aleatorio, comecamos com uma

definicao. Se Sjt e o preco do ativo j na data t e δjt e o dividendo pago na

mesma data, entao o seu preco ajustado por dividendos – chame-o de Sjt – e

Sj0 = Sj

0,

Sj1 = Sj

1 + δj1,

Sj2 = Sj

2 + δj1 + δj2,

...

Sjt = Sj

t + δj1 + δj2 + ...+ δjt .

• Intuicao para o preco ajustado: E o valor de uma estrategia de investimento

que adquire o ativo j em t = 0 e, a partir dessa data, reinveste todo dividendo

pago em um ativo cujo retorno e igual a zero com probabilidade um.

• Objetivo do ajuste no preco: Permite que a Hipotese do Passeio Aleatorio

modele variacoes de precos sem se preocupar com a modelagem dos dividendos.

– O preco do ativoj em t tipicamente cai se o dividendo e pago nessa data,

pois o preco do dia anterior considerava o pagamento em t, que, pela

convencao de preco adotada no curso, nao e entregue a investidores que

comprem o ativo em t. O ajuste elimina a queda esperada de preco em t.

5

• Ajuste no preco se o ativo for uma acao

– Empresas com acoes listadas em bolsa geralmente parcelam os dividendos

anuais em dois, tres ou quatro pagamentos.

– Para eliminar o risco de pagamento de dividendos para investidores que

deixaram de ter o direito de recebe-los, as empresas listadas em bolsa fixam

uma data para registro dos nomes dos acionistas que receberao os proximos

dividendos.

– A data seguinte a de registro dos nomes dos acionistas – chamada de “ex-

day”– e o primeiro dia de negociacao em bolsa em que a aquisicao da acao

nao da ao comprador o direito ao proximo dividendo. Os profissionais do

mercado de acao conhecem as datas do ex-day.

– Se os precos dos ativos nao caissem no ex-day, investidores teriam incentivos

de vende-los apenas em ex-days para garantir o recebimento do dividendo

sem incorrer uma perda no preco de venda. Em contraste, investidores

ficariam mais estimulados a comprar ativos em dias que precedem o ex-

day, de forma a garantir o recebimento do proximo dividendo.

– Portanto, o preco de equilıbrio deve cair no ex-day para compensar a perda

do dividendo, implicando um retorno negativo que, pelo fato de o ex-day

ser uma data conhecida, e antecipado pelo mercado.

6

– Ou seja, os retornos do teste do Passeio Aleatorio devem ser calculados a

partir de precos ajustados nas datas de ex-day. Mais precisamente, se o

dividendo δjti(τi) e pago na data τi mas o seu ex-day e na data ti < τi, entao

o dividendo δjti(τi) e ajustado ao preco do ativo j na data ti:

Sjt = Sj

t + δj1(τ1) + δj2(τ2) + ...+ δjt (τt).

– Varios bancos de dados de acoes (Bloomberg, CRSP, Economatica etc)

disponibilizam series de precos de acoes ajustados para ex-days.

• Hipotese do Passeio Aleatorio: Se Sjt e o preco do ativo j em t ajustado

pela soma dos pagamentos de dividendos entre as datas um e t, entao o preco

ajustado em t+ 1 e

Sjt+1 = Sj

t + εjt+1, com E[εjt+1|Ft] = 0. (1)

• Movendo o preco Sjt para o lado esquerdo da equacao (1) e tomando a esperanca

condicional ao conjunto de informacoes Ft nos da

E[Sjt+1 − S

jt |Ft] = E[εjt+1|Ft] = 0. (2)

• Inserindo as definicoes de precos ajustados em t+ 1 e t:

7

E[(Sjt+1 + δj1 + δj2 + ...+ δjt + δjt+1

)−(Sjt + δj1 + δj2 + ...δjt

)∣∣∣Ft

]= 0⇐⇒

E[Sjt+1 + δjt+1 − S

jt

∣∣∣Ft

]= 0.

• Dividindo os dois lados da equacao acima por Sjt :

1

Sjt

E[Sjt+1 + δjt+1 − S

jt |Ft] = 0.

• Por hipotese, o conjunto de informacoes disponıveis na data t, Ft, inclui os

precos dos ativos em t. Logo, 1Sjt

e uma constante em t, que pode ser movida

para dentro da esperanca condicional. Assim fazendo, obtemos a esperanca

condicional do retorno entre t e t+ 1:

E[Sj

t+1 + δjt+1 − Sjt

Sjt

∣∣∣Ft

]= 0⇐⇒ E

[rjt+1

∣∣∣Ft

]= 0. (3)

• Pela equacao (3), o retorno do ativo entre t e t+ 1 e imprevisıvel, no sentido de

sua esperanca condicional a estrutura de informacao em t ser igual a zero.

• Uma maneira simples de testar a Hipotese do Passeio Aleatorio regride retornos

de acoes listadas em bolsas de valores em constantes especıficas para cada acao

na amostra.

8

Sjt+1 + δjt+1 − S

jt

Sjt

= ηj + εjt+1.

• Para intepretar o parametro ηj, tome a esperanca condicional nos dois lados da

regressao para depois usar que ηj e uma constante e E[εjt+1|Ft] = 0:

E[Sj

t+1 + δjt+1 − Sjt

Sjt

∣∣∣Ft

]= E[ηj|Ft] + E[εjt+1|Ft] =⇒

E[Sj

t+1 + δjt+1 − Sjt

Sjt

∣∣∣Ft

]= ηj.

• A equacao acima mostra que ηj e o componente previsıvel do retorno da acao

j. Logo, os dados corroboram a Hipotese do Passeio Aleatorio se e somente se

a estimativa de ηj for estatisticamente igual a zero.

• Estudos empıricos rejeitam a Hipotese do Passeio Aleatorio para diversas acoes

negociadas nas bolsas americanas e em bolsas de valores de outros paıses.

• Por que os dados nao corroboram a Hipotese do Passeio Aleatorio?

– A proxima secao mostra que a Hipotese do Passeio Aleatorio ignora dois

fundamentos economicos que tornam os retornos de acoes previsıveis, sem

que a previsibilidade gere oportunidades para a formulacao de estrategias

de investimento associadas a lucros extraordinarios.

9

3 Nem todo retorno e imprevisıvel: Os retornos esperados de

equilıbrio

• A implicacao que tornou famosa a Hipotese do Passeio Aleatorio e uma previsao

sobre a imprevisibilidade dos retornos dos ativos.

– Os adeptos da Hipotese do Passeio Aleatorio argumentam que os retornos

dos ativos nao podem ser previsıveis, pois, segundo eles, variacoes esperadas

de precos geram incentivos para compras ou vendas de ativos, que alteram

seus precos ate que a imprevisibilidade dos retornos seja restaurada.

– Em outras palavras, a imprevisibilidade de retornos seria uma consequencia

das condicoes de equilıbrio em mercados de capitais competitivos.

• Se a imprevisibilidade de retornos e consequencia das condicoes de equilıbrio

de mercado, entao ela deveria ser consistente com a equacao de precos de ativos:

Sj0 =

T∑s=1

E[msδjs]. (4)

– Afinal, a equacao geral de aprecamento e derivada do Equilıbrio de Arrow-

Debreu, que, entre outras coisas, satisfaz as condicoes de equilıbrio de

mercados.

10

• As esperancas na equacao (4) sao incondicionais, pois as probabilidades associadas

as realizacoes de cada pagamento descontado, msδjs, so levam em consideracao

as informacoes disponıveis na data base, que, na equacao (4), e s = 0.

• Enquanto a esperanca incondicional e um numero, a esperanca condicional e

uma variavel aleatoria, cuja realizacao so sera conhecida em data futura. Para

lembrar por que, considere E[msδjs|Ft] com t ∈ (0, s).

– E[msδjs|Ft] e a media das realizacoes demsδ

js, ponderada pelas probabilidades

das realizacoes, condicionais ao conjunto de informacoes Ft.

– Como o conjunto de informacoes Ft so estara disponıvel na data t > 0, as

probabilidades usadas para avaliar a esperanca condicional E[msδjs|Ft] sao

variaveis aleatorias na data zero, implicando que a esperanca condicional

tambem e uma variavel aleatoria na data zero.

• Pela definicao de Ft, o conjunto de informacoes que atualiza as probabilidades

entre as datas zero e t estarao disponıveis em t, quando E[msδjs|Ft] nao mais

sera uma variavel aleatoria.

• Logo,E[msδjs|Ft] e uma esperanca incondicional na data t, que so nao e denotada

por E[msδjs], porque, tipicamente, essa notacao e reservada para a data zero.

11

• Pelo mesmo argumento,∑T

s=t+1E[msδjs|Ft] e uma esperanca incondicional na

data t, que, sem perda de generalidade, poderia substituir∑T

s=1E[msδjs] no

lado direito da equacao (4). Para tanto, basta chamar a data zero de t. Segue,

entao, o seguinte preco de equilıbrio do ativo j em t ∈ [0, T ):

Sjt =

T∑s=t+1

E[msδjs|Ft]. (5)

• A equacao de preco (5) mostra que, dados o processo m do fator de desconto,

o processo de pagamento δj : Ω× t+ 1, t+ 2, ..., T → R determina o preco

de equilıbrio do ativo j, ou de qualquer outro ativo cujo processo de pagamento

seja economicamente equivalente a δj.

• Considere, por exemplo, um ativo k 6= j que paga Sjt+1 + δjt+1 em t+ 1, e nada

daı em diante.

– Mesmo que o pagamento δjt+1 seja pre-fixado, talvez o preco do ativo j em

t+ 1 nao seja conhecido na data t.

– Se assim for, o pagamento em t+ 1 do ativo k e uma variavel aleatoria em

t, pois ele dependera do preco do ativo j em t+ 1.

• Independentemente de Sjt+1 ser uma variavel aleatoria ou nao, a equacao geral

de aprecamento nos da o seguinte preco do ativo k em t:

12

Skt = E[mt+1(S

jt+1 + δjt+1)|Ft]. (6)

• A primeira vista, o preco do ativo k – caracterizado na equacao (6) – e diferente

do preco do ativo j – caracterizado na equacao (5). Porem, eu afirmo que, em

equilıbrio, os precos dos ativos j e k sao iguais.

• O mesmo argumento usado para derivar os precos dos ativos no Equilıbrio de

Arrow-Debreu prova que, em equilıbrio, Skt = Sj

t . Esse argumento explora o

conceito de oportunidade de arbitragem, definido abaixo.

• Definicao (Oportunidade de Arbitragem): Uma oportunidade de arbitragem

e uma estrategia de investimento que, com probabilidade positiva, gera um fluxo

de caixa positivo em algum instante do tempo, sem desembolso inicial ou risco

de fluxo de caixa negativo em qualquer instante do tempo.

• Em equilıbrio, nao pode existir oportunidade de arbitragem. Para entender por

que, suponha que (x?,Ψ?) seja um equilıbrio de Arrow-Debreu, que aloque a

cesta de consumo xi para o consumidor i.

• Se uma oportunidade de arbitragem existe, o consumidor i pode explora-la para

aumentar a sua riqueza em t = 0. Supondo nao-saciedade local, o consumidor

usara o aumento de riqueza associado a oportunidade de arbitragem para trocar

13

a cesta xi por uma cesta preferıvel xi, violando uma das condicoes do equilıbrio

de Arrow-Debreu, ou seja, a cesta xi deve ser otima.

• Portanto, para provar que Sjt = Sk

t em equilıbrio, basta mostrar que existem

oportunidades de arbitragem sempre que Sjt for maior ou menor do que Sk

t .

• Suponha primeiro que Sjt > Sk

t . Nesse caso, a seguinte estrategia de investimento

e uma oportunidade de arbitragem.

1. Data t: Venda a descoberta o ativo j e compre o ativo k. O fluxo de caixa

na data t e: Sjt − Sk

t > 0

2. Data t+ 1: Com o pagamento do ativo k – Sjt+1 + δjt+1 – pague o montante

devido pela venda a descoberta do ativo j – δjt+1 – e, com a sobra – Sjt+1 –

compre o ativo j para encerrar a venda a descoberta. O fluxo de caixa em

t+ 1 da estrategia e (Sjt+1 + δjt+1)− S

jt+1 − δ

jt+1 = 0

3. De t + 2 em diante, o fluxo de caixa tambem e zero, pois a venda a

descoberta da data t foi encerrada e o ativo adquirido em t venceu.

• A estrategia acima e uma oportunidade de arbitragem, pois seu fluxo de caixa

em t e positivo enquanto os demais fluxos de caixa sao iguais a zero. Como

oportunidades de arbitragem nao podem existir em equilıbrio, podemos eliminar

Sjt > Sk

t .

14

• Para provar que Sjt < Sk

t tambem nao pode acontecer em equilıbrio, considere

a seguinte estrategia de investimento:

1. Data t: Venda a descoberta o ativo k e compre o ativo j. O fluxo de caixa

na data t e: Skt − S

jt > 0

2. Data t + 1: Para pagar o montante devido pela venda a descoberta do

ativo k na data t – Sjt+1 + δjt+1 – venda o ativo j por Sj

t+1 e entregue o

pagamento em t + 1 do ativo j (δjt+1). O fluxo de caixa da estrategia e

−(Sjt+1 + δjt+1) + Sj

t+1 + δjt+1 = 0

3. De t + 2 em diante, o fluxo de caixa e zero, pois a venda a descoberta do

ativo k foi encerrada em t+ 1, quando o ativo j tambem foi vendido.

• A estrategia acima e uma oportunidade de arbitragem, pois o seu fluxo de caixa

e positivo em t e igual a zero nas datas futuras. Logo, podemos eliminar

Sjt < Sk

t . Como Sjt > Sk

t foi eliminado no caso anterior, fica provado que,

em equilıbrio, Sjt = Sk

t .

• A igualdade Sjt = Sk

t vale para qualquer ativo j. Ha, entao, duas formas

equivalentes de descrever o preco de equilıbrio de qualquer ativo.

– A equacao (5) descreve o preco do ativo como a soma das esperancas de

todos os seus pagamentos descontados.

15

– E a equacao (7) descreve o preco como a esperanca da soma descontada do

preco do proximo perıodo e do pagamento no mesmo segundo perıodo.

Sjt = E[mt+1(S

jt+1 + δjt+1)|Ft]. (7)

• A equivalencia das equacoes (5) e (7) mostra que, para fins de aprecamento, nao

faz diferenca se o investidor compra o ativo em t e o mantem ate o vencimento

(equacao (5)) ou se ele compra o ativo em t para receber o pagamento no

perıodo seguinte e vende-lo nesse mesmo instante (equacao (7)).

– Intuitivamente, as duas estrategias sao equivalentes porque a equacao (7)

substitui os pagamentos descontados depois de t + 1 pelo preco do ativo

em t+1, que, em equilıbrio, incorpora os pagamentos descontados de t+2

em diante.

• Apesar de as equacoes (5) e (7) serem equivalentes para fins de aprecamento, a

ultima e a chave para as restricoes que as condicoes de equilıbrio impoem nos

retornos esperados dos ativos. Para ver que restricoes sao essas, divida os dois

lados da equacao (7) por Sjt :

1 =1

Sjt

E[mt+1(Sjt+1 + δjt+1)|Ft].

16

• Por hipotese, o conjunto de informacoes disponıveis na data t, Ft, inclui os

precos dos ativos em t. Logo, 1Sjt

e uma constante em t, que pode ser movida

para dentro da esperanca condicional:

1 = E[mt+1

(Sjt+1 + δjt+1

Sjt

)∣∣∣Ft

].

• A razao entre parenteses no lado direito da equacao acima e o retorno bruto do

ativo j entre t e t + 1, 1 + rjt+1, que, daqui por diante, denotaremos Rjt+1 =

1 + rjt+1. Com essa notacao, a equacao geral de aprecamento de ativos implica

que, para quaisquer data t e ativo j com preco Sjt 6= 0:

E[mt+1R

jt+1

∣∣∣Ft

]= 1. (8)

• A equacao (8) e uma restricao sobre a esperanca do retorno descontado do ativo

j em t+ 1, condicionado ao conjunto de informacoes na data t.

• A seguinte propriedade da esperanca condicional nos permite escrever a equacao

(8) de uma forma mais intuitiva:

– Fato: A esperanca condicional de um produto de variaveis aleatorias e

igual a soma do produto das esperancas condicionais com a covariancia

condicional das variaveis aleatorias.

17

• Aplicando o fato acima na equacao (8):

E[mt+1R

jt+1

∣∣∣Ft

]= E

[mt+1

∣∣∣Ft

]E[Rj

t+1

∣∣∣Ft

]+ covt

(mt+1, R

jt+1

), (9)

sendo covt(mt+1, R

jt+1

)a covariancia entremt+1 eRj

t+1 condicional a estrutura

de informacao Ft, isso e

covt

(mt+1, R

jt+1

)= E

[(mt+1 − E[mt+1|Ft]

)(Rj

t+1 − E[Rjt+1|Ft]

)∣∣∣Ft

].

• Substituindo a equacao (9) na equacao (8):

E[mt+1

∣∣∣Ft

]E[Rj

t+1

∣∣∣Ft

]+ covt

(mt+1, R

jt+1

)= 1

ou equivalentemente

E[Rj

t+1

∣∣∣Ft

]=

1

E[mt+1

∣∣∣Ft

] − 1

E[mt+1

∣∣∣Ft

]covt(mt+1, Rjt+1

).

• Se a unidade de tempo t for dia util, vimos em aula passada que 1E[mt+1] = (1 +

r0→t+1)t+1252 . Ou seja, o inverso da esperanca incondicional do fator estocastico

de desconto em t+1 e a taxa de juros para investimentos na data zero em ativos

pre-fixados que vencem em t+ 1.

18

• De maneira analoga, o inverso da esperanca condicional aFt do fator estocastico

de desconto em t + 1 e a taxa de juros para investimentos na data t em ativos

pre-fixados que vencem em t+ 1.

• Suponha agora que t+ 1 seja um ano depois de t. Nesse caso, 1E[mt+1|Ft]

= 1 +

rt→t+1. Usando essa fato na equacao anterior e substituindo Rjt+1 por 1 + rjt+1:

E[1 + rjt+1

∣∣∣Ft

]= 1 + rt→t+1 − (1 + rt→t+1)covt

(mt+1, 1 + rjt+1

).

• Duas observacoes simplificam a equacao acima:

1. Podemos cancelar o numero um no lado esquerdo da equacao com o numero

um que precede rt→t+1 no lado direito da equacao.

2. O numero um dentro da covariancia pode ser cancelado, pois somas de

numeros reais nao alteram a covariancia entre duas variaveis aleatorias.

• O retorno esperado do ativo j para t+1, condicional ao conjunto de informacoes

Ft, pode entao ser escrito como

E[rjt+1

∣∣∣Ft

]= rt→t+1 − (1 + rt→t+1)covt

(mt+1, r

jt+1

). (10)

19

• A equacao (10) identifica os fundamentos economicos que determinam os retornos

esperados de equilıbrio.

• O primeiro termo no lado direito da equacao e a compensacao que os investidores

exigem para comprometer seus recursos no ativo, em vez de usa-los para aquisicao

de bens de consumo e servicos.

– Independentemente de o ativo ser arriscado ou nao, seu retorno esperado

aumenta com a compensacao que os agentes exigem para postergar consumo.

– Essa compensacao e dada pela taxa de juros sem risco vigente em t, rt→t+1,

para investimentos em ativos sem risco que vencem no mesmo intervalo de

tempo do retorno em questao, isso e, entre t e t+ 1.

• O segundo termo no lado direito da equacao e a compensacao pelo risco do

ativo. Para entender por que, suponha primeiro que o retorno em t+ 1 do ativo

j seja conhecido ja na data t.

– Nesse caso, a covariancia condicional do fator de desconto mt+1 com rjt+1

e zero, pois, dado o conjunto de informacoes Ft, o retorno rjt+1 e uma

constante.

– Segue, entao, que o retorno esperado do ativo j e igual a taxa de juros. Em

equilıbrio, nao ha razao para os investidores receberam do ativo j mais do

20

que a compensacao por postergar consumo, assim como nao ha razao para

eles aceitarem um retorno esperado menor do que a taxa de juros sem risco.

• O caso mais interessante acontece quando o retorno rjt+1 e arriscado, isso e,

ele e uma variavel aleatoria na data t. Pelas mesmas razoes discutidas na

analise dos precos de equilıbrio dos ativos financeiros, o risco do ativo j nao

e necessariamente indesejavel.

• O risco do ativo j e desejavel se, fixado o retorno esperado, a sua volatilidade

transfere retornos de estados da natureza em que a riqueza vale pouco, para

estados da natureza em que a riqueza vale muito.

– Um exemplo de ativo com risco desejavel e o seguro saude. Os retornos

desse ativo sao positivos apenas nos estados da natureza em que a capacidade

de gerar renda do segurado esta comprometida por problemas de saude.

• Se o risco do ativo j e desejavel, entao os investidores aceitam um retorno

esperado menor do que a taxa de juros sem risco.

– A diferenca entre o retorno esperado do ativo e a taxa de juros sem risco e

um premio de risco negativo, que reflete a atratividade do risco do retorno.

21

• A analise acima se extende naturalmente para o caso de risco indesejavel. O

risco do ativo j e indesejavel se, fixado o retorno esperado do ativo, seu risco

transfere retornos de estados da natureza em que a riqueza vale muito, para

estados da natureza em que a riqueza vale pouco.

– Um exemplo de ativo com risco indesejavel e uma acao de uma firma cuja

lucratividade e positivamente correlacionada com o crescimento do paıs.

• Se o risco do ativo j e indesejavel, entao os investidores exigem um retorno

esperado maior do que a taxa de juros sem risco. A diferenca entre o retorno

esperado do ativo j e a taxa de juros sem risco e o premio de risco do ativo j,

que, no caso em questao, e positivo.

• Por fim, os investidores sao indiferentes com relacao ao risco do ativo j se o

risco puder ser eliminado sem custo economico.

– O risco do ativo e economicamente irrelevante, por exemplo, se os agentes

economicos pulverizarem seus investimentos de forma que, em cada instante,

exista um ativo na carteira cujos ganhos extraordinarios compensem eventuais

perdas extraordinarias do ativo j.

• Se o mercado for indiferente com relacao ao risco do ativo j, entao o seu retorno

esperado de equilıbrio e igual a taxa de juros sem risco. Nesse caso, diremos

que o premio de risco do ativo j e igual a zero.

22

• A discussao acima sobre premio de risco e intuitiva, mas, infelizmente, nao da

indicacao de como quantificar os premios de risco dos ativos.

• A equacao (10) e um passo a frente na quantificacao do premio de risco, se os

academicos de Financas encontrarem uma especificacao empiricamente confiavel

para o fator estocastico de desconto.

– Assim que a especificacao do fator estocastico de desconto for conhecida,

as suas covariancias com os retornos dos ativos poderao ser estimadas,

determinando os premios de risco.

• A importancia da equacao (10) para a caracterizacao do premio de risco e a

razao de resumirmos essa caracterizacao na Proposicao abaixo.

Proposicao. Defina o premio de risco de um ativo j como a diferenca entre o seu

retorno esperado de equilıbrio e a taxa de juros sem risco, isso e,

λjt ≡ E[rjt+1

∣∣∣Ft

]− rt→t+1.

Entao, o premio de risco do ativo j na data t e

λjt = −(1 + rt→t+1)covt

(mt+1, r

jt+1

). (11)

23

• A chave para entender a equacao (11) e lembrar que o fator estocastico de

desconto e o preco por unidade de probabilidade do contrato de Arrow-Debreu

que entrega o numerario.

– Mais precisamente, se o estado da natureza ω pertence ao conjunto at+1,

entao m(ω, t + 1) =Ψ?

1,at+1

P (at+1) , sendo Ψ?1,at+1

o preco do contrato de Arrow-

Debreu que entrega o numerario em t + 1, condicionado ao estado da

naturreza estar em at+1.

• E facil ver que o fator de desconto mt+1 reflete a importancia para a economia

como um todo de uma unidade de riqueza em t+ 1.

– Se a utilidade marginal da riqueza em t + 1 e elevada no conjunto de

estados da natureza em at+1, entao o preco por unidade de probabilidade do

contrato que entrega o numerario em at+1 e alto, implicando quem(ω, t+1)

e alto nos estados da natureza em at+1.

• Dada a observacao acima, suponha que covt(mt+1, r

jt+1

)> 0. Nesse caso,

o retorno provavelmente sera alto nos estados da natureza em que o contrato

que entrega o numerario tambem tem alto valor para a economia (mt+1 alto),

enquanto o retorno do ativo sera provavelmente baixo nos estados da natureza

em que o contrato que entrega o numerario tambem tem baixo valor para a

economia.

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– Esse e o padrao de risco desejavel para economia, que, como explicamos

anteriormente, implica premio de risco negativo. Exatamente como acontece

com λjt = −(1+rt→t+1)covt

(mt+1, r

jt+1

)< 0, para covt

(mt+1, r

jt+1

)> 0.

• De forma analoga, covt(mt+1, r

jt+1

)< 0 implica risco indesejavel enquanto

covt

(mt+1, r

jt+1

)= 0 implica indiferenca frente ao risco do ativo.

– O premio λjt = −(1+rt→t+1)covt

(mt+1, r

jt+1

)e positivo no primeiro caso,

refletindo o acrescimo em relacao a taxa de juros sem risco que o mercado

exige para carregar o risco do ativo j.

– E o premio λjt = −(1 + rt→t+1)covt

(mt+1, r

jt+1

)e igual a zero no segundo

caso, refletindo a indiferenca do mercado com relacao ao risco do ativo j.

4 Por que os testes rejeitam a Hipotese do Passeio Aleatorio?

• A maioria das pessoas que trabalha ou ja trabalhou no mercados financeiro

aprendeu na pratica profissional uma dura licao:

– Na ausencia de informacoes privilegiadas, nao e facil obter lucros elevados

comprando e vendendo ativos financeiros, sem incorrer em um alto risco

de perdas elevadas.

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• Uma das provaveis razoes para a Hipotese do Passeio Aleatoria ter se tornado

tao popular e que sua implicacao principal e consistente com a dificuldade de

auferir lucros extraordinarios no mercado financeiro.

– Pela Hipotese do Passeio Aleatoria, a previsibilidade dos retornos seria

eliminada pelas condicoes de equilıbrio nos mercados financeiros.

• A despeito de a Hipotese do Passeio Aleatorio ser, a primeira vista, plausıvel,

varios trabalhos empıricos encontram evidencia de previsibilidade nos retornos

da acoes.

• A caracterizacao dos retornos de equilıbrio (equacao (10)) mostra que ha boas

razoes para que haja elementos de previsibilidade nos retornos de quaisquer

ativos; sejam eles arriscados ou nao.

• Os retornos esperados de equilıbrio devem estimular os investidores a prorrogar

consumo, alem de compensa-los pelo risco do retorno do ativo adquirido.

– A equacao (10) mostra como esses dois fundamentos economicos – os

estımulos a suavizacao de consumo ao longo do tempo e entre estados da

natureza – determinam os retornos esperados de equilıbrio, que, por sua

vez, sao consistentes com a previsibilidade dos retornos de acoes, encontrada

em diversos estudos empıricos.

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