Aula Teórica 2

Velocidade e Fluxo Advectivo.Divergência da Velocidade.

O que é a velocidade ?• A velocidade num escoamento é o caudal

volúmico por unidade de área.

• Velocidade “zero” significa deslocamento médio das moléculas nulo.

• Cada molécula (num gás) tem a sua velocidade e cada grupo de moléculas (num líquido) tem a sua velocidade e não são nulos...

• O movimento não descrito pela velocidade é contabilizado na difusividade.

dAdQun

Fluxo Advectivo• Se existe velocidade existe movimento global do

fluido, com um saldo não nulo do deslocamento das moléculas.

dAnvdQ.

• O vector velocidade indica a direcção e o sentido do deslocamento e o fluxo volúmico por unidade de área perpendicular à velocidade.

• O fluxo através de uma área elementar, dA, genérica (cuja orientação é determinada pela normal) é dado por:

Fluxo advectivo (continuação)

• O fluxo através de uma área de dimensões finitas é dado pelo integral do fluxo através de uma área elementar:

dAnvdtdvol

A

.

• E tem como unidades volume por unidade de tempo (fluxo volúmico).

Caso de a velocidade ser uniforme na área

• Se a velocidade for uniforme na área pode sair do integral e o caudal é dado por:

uAAudAnuQ .

• A velocidade média é dada por:

AQU

Fluxo através de uma área fechada

• No caso de uma área fechada (que delimita um volume) o integral do fluxo dá a quantidade que sai, menos a quantidade que entra. Se o volume for indeformável e o fluido for incompressível não poderemos variar a quantidade de fluido armazenado no seu interior e por isso o fluxo que sai é igual ao que entra e consequentemente o valor do integral é nulo.

Fluido que entra e fluido que sai

• O fluido entra quando o produto interno da velocidade pela normal é negativo e sai quando é positivo (porque a normal é a normal exterior).

• Como consequência o fluxo que entra numa superfície é dado pelo simétrico do integral anterior.

Divergência da Velocidade

• O teorema da divergência diz que o integral de volume da divergência de um vector é igual ao integral de superfície do fluxo.

• Então, no caso de fluidos incompressíveis, a divergência da velocidade é nula (veremos isso mais tarde de um modo mais formal).

Sumário

• A velocidade é o caudal volúmico através de uma área elementar. Define-se por isso num ponto e tem unidades de “deslocamento por unidade de tempo”.

• O caudal através de uma área de dimensões finitas é o integral na área da velocidade interna da normal à área.

• Se a área for fechada o integral do caudal é o integral de volume da divergência da velocidade.

Fluxo advectivo

• O integral de superfície da velocidade dá o fluxo volúmico de uma propriedade através da superfície.

• O fluxo de outra propriedade qualquer é dado pelo integral da propriedade específica pelo fluxo por unidade de volume.

• O fluxo de uma propriedade é dado por “propriedade”/tempo. No caso da massa o fluxo mássico é “massa/tempo”.

Fluxo Advectivo (cont) dAnux volumeprop

tempovolume

volumeprop

tempoprop .

Ou, no caso de uma área de dimensões finitas:

A

tempoprop dAnuc

.

No caso do fluxo de massa

cNo caso da quantidade de movimento

uc No caso da energia cinética

2

21 uc

Notas finais• A velocidade permite calcular o fluxo advectivo de qualquer

propriedade, desde que conhecido o seu valor específico (valor por unidade de volume). No caso da massa de um constituinte esse valor é a concentração volúmica.

• Se a concentração volúmica for uniforme na área pode sair do integral e o fluxo é dado pelo produto da concentração pelo caudal:

cQdAnucmA

.

• É com base nesta hipótese que os programas de monitorização em rios medem concentrações e caudais.

Leitura recomendada

• Texto sobre propriedades dos fluidos e do campo de velocidades.