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Aula Teórica 6&7

Princípio de Conservação e Teorema de Reynolds.

Derivada total e derivada convectiva

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Princípio de conservação

• A Taxa de acumulação no interior de um volume de controlo é igual ao que entra menos o que sai mais o que se produz menos o que se destrói/consome.– A propriedade pode entrar por advecção ou por

difusão.– Os processos de produção/consumo são específicos

da propriedade (e.g. Fitoplâncton cresce por fotossíntese, o zoo consome outros organismos a quantidade de movimento é produzida por forças).

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Control Volumne and accumulation rate

t

BB 00 tvc

ttvc

dVB

Taxa de acumulação da propriedade B: (Taxa de variação da propriedade )

Definindo a propriedade específica “Beta” :

t

dVdVttt

00

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Fluxo advectivo

• No caso de a propriedade ser uniforme nas faces:

• Se a velocidade for uniforme em cada face:

dAnvadvB .

i

n

iiB Qadv

1

dAnvQiA

i .

iii AUQ

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Fluxo Difusivo

• No caso de o gradiente da propriedade ser uniforme nas faces:

dAndAndifB ..

n

i

esqdiriB lAdif

1

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E a equação de evolução fica:

• Se as propriedades forem uniformes nas faces e no volume (volume infinitesimal):

dAndAnv

t

dVdVttt

..

00

l

AQt

VV lllii

ttt

00

• Que é a forma algébrica do princípio de conservação

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Forma diferencial

lAQ

t

VV lllii

ttt

00

AuQ

zxA

zyA

yxA

zyxV

ii

y

x

z

x

y

z

y

z

x

zz

zzz

z

zzz

yy

yyy

y

yyy

xx

xxx

x

xxx

zzzyyy

xxx

ttt

zyz

zyx

yzy

yzx

xzy

xzy

yxwyxwzxvzxv

zyuzyuzyxt

00

Page 8: Aula Teórica 6&7 Princípio de Conservação e Teorema de Reynolds. Derivada total e derivada convectiva.

Dividindo pelo volume (1)

zyx

zyz

zyx

zyx

yzx

yzx

zyx

xzy

xzy

zyx

yxwyxw

zyx

zxvzxv

zyx

zyuzyu

t

zz

zzz

z

zzz

yy

yyy

y

yyy

xx

xxx

x

xxx

zzzyyy

xxxttt

00

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Dividindo pelo volume (2)

z

zz

y

yy

x

xx

y

ww

y

vvx

uu

t

zz

zzz

z

zzz

yy

yyy

y

yyy

xx

xxx

x

xxx

zzzyyy

xxxttt

00

Fazendo o volume tender para zero, obtém-se uma equação diferencial.

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Fazendo tender o volume para zero

jjj

j

xxx

u

t

j

j

jjjj

jjj

j

x

u

xxxu

t

xxx

u

t

j

j

jj x

u

xxdt

d

Divergência da velocidade. Nula em incompressível. Se positiva o volume do fluido aumenta.

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Questions

• The divergence of the velocity is the rate of expansion of a volume?

• Let’s consider a volume of fluid in a flow with positive velocity divergence

x

y

V)y

V)y+dy

dy

u)x+dx

u)x3

3

2

2

1

1

x

u

x

u

x

u

x

u

j

j

1

1

x

u

Is the rate of increase of

distance between faces normal to xx axis. The same for other axis.

In case of this figure the volume would increase.

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Questions

• The rate change of a property conservative property is the symmetrical of the flux divergence?

jjj

j

xxx

u

t

The functions being derivate are the advective flux and the diffusive flux per unit of area. The operators are divergences of the fluxes.

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If the fluid is incompressible, the velocity divergence is null

0

j

j

jj

j

j

j

j

jjj

j

x

u

xu

x

u

x

u

xxx

u

t

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The diffusivity of the specific mass is zero!

• That is a consequence of the definition of velocity.

• Velocity was defined as the net budget of molecules displacement.

• When molecules move they carry their own mass and consequently the advective flux accounts for the whole mass transport.

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Trabalho computacional

• Caso unidimensional, só com difusão:

l

AQt

VV lllii

ttt

00

xx

xxl

x

xxlttt

xA

xA

xt

100

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Referencial Euleriano e Lagrangeano

• O refencial Euleriano estuda uma zona do espaço (volume de controlo fixo)

• O referencial Lagrangeano estuda uma porção de fluido “Sistema” (volume de controlo a mover-se à velocidade do fluido).

• O Teorema de Reynolds relaciona os dois referenciais.

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Teorema de Reynolds

• A taxa de variação de uma propriedade num “sistema de fluido” é igual à taxa de variação da propriedade no volume de controlo ocupado pelo fluido mais o fluxo que entra, menos o que sai:

• (ver capítulo 3 do White)

dSnvdVoldt

ddVol

dt

d

VC SCsistema

.

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Sistema e Volume de Control

Volume that flew in Volume that

flew out

Control Volume

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Taxas de Variação

t

BB 00 tsistemaI

ttsistemaI

t

BB 00 tvc

ttvc

00 t2sistema

tvc BB

sai_que_massaentra_que_massaBB tt2sistema

ttvc

00

No sistema material de fluido

No volume de controlo

No instante inicial o sistema era coincidente com o volume de controlo

A figura permite relacionar o VC em t+dt:

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Fazendo o Balanço por unidade de tempo e usando a definição de propriedade específica (valor por unidade de volume)

t

BB tvc

ttvc

00

t

sai_que_quantidadeentra_que_quantidade

t

BB 00 t2sistema

tt2sistema

dB

dV dVB =>

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Fluxo advectivo

dAnvadvB .

Where v velocity relative to the surface. Is the flow velocity if the volume is at rest.

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Balanço integral

dAn.vdVdt

ddV

t surfacesistemavc

The rate of change in the Control Volume is equal to the rate of change in the fluid (total derivative) plus what flows in minus what flows out.

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Volume infinitesimal

saidaentrada AnvAnvVdt

dV

t

..

dAn.vdVdt

ddV

t surfacesistemavc

3312

11

321332122312231

132113221 3

xxxxx

xxx

vxxvxxvxxvxx

vxxvxxtVd

txxx

Dividing by the volume,

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Derivada total

3

333

2

2222

1

111 331211

x

vv

x

vv

x

vv

t

Vd

txxxxxxxx

jj

vxdt

Vd

Vt

)(1

k

k

j

j

jj x

v

x

v

xv

tdt

d

jj xv

tdt

d

Shrinking the volume to zero,

k

k

x

u

dt

d

dt

Vd

Vdt

d

V

V

dt

Vd

V

)()()()(1

But,

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Questions

• The velocity of an incompressible fluid in a contraction must increase and consequently the pressure must decrease

xxx

ttt

uAuAt

VV

00

dAndAnvdVt

..

2

112 A

Auu

uAuA xxx

If the velocity increases the acceleration is positive and so is the applied force.

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In a pipe pressure forces plus gravity forces balance friction forces

• If we consider a control volume (e.g. with faces perpendicular and parallel to the velocity it is easy to verify that acceleration is zero and that forces have to balance.

• Is the velocity profile a parabola?

xrrr

uxr

r

ugxrrrrp

drrr

22sin)2()2(

• Let’s consider a “annular control volume” and perform a force balance

rrrrr r

u

rr

u

r

u

rgsen

x

p

11

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• Fazendo convergir o volume para zero:

rrrrr r

u

rr

u

r

u

rgsen

x

p

11

r

u

rr

u

rgsen

dx

dp 1

r

u

rr

u

rr

ur

rr 11

r

ur

rrgsen

dx

dp 1

r

Crgsen

dx

dp

r

u

Cr

gsendx

dp

r

ur

1

1

2

2

2

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• When r is zero the velocity gradient is zero, friction is zero and thus C1 must be zero:

r

Crgsen

dx

dp

r

u 1

2

2

2

4

1

2

1

Cr

gsendx

dpu

rgsen

dx

dp

r

u

When r=R, velocity is zero and thus

22

2

2

2

2

14

1

4

1

4

10

R

rRgsen

dx

dpu

Rgsen

dx

dpC

CR

gsendx

dp

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Friction and pressure loss in a pipe.

D

fV

dx

dpdx

dp

L

p

RLRp

w

w

4

2

1

2

2

2

2

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About the flow in a pipe

• The velocity profile is a parabola.• The shear stress is linear.• The velocity decreases with viscosity and

increases with the radius square and linearly with the pressure gradient and the gravity.

• Gravity action is equivalent to pressure gradient action.

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Summary• The conservation principle drives to the advection-diffusion

equation.• The total derivative represents the rate of change of a portion of

fluid while it is moving. The local temporal derivative represents the rate of change of a property in a fixed point of the space.

• The laws of physics apply to a portion of fluid. They are responsible for source and sink terms to be added to the advection diffusion equation that then becomes a conservation equation.

• The relation between what happens inside a volume of fluid and what happens inside a fixed volume are the fluxes across its boundaries.

• The convective derivative represents the contribution of the transport for what happens in a fixed point.