Aula treze calculo um 2015 aluno

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Professor: Carlos Alberto de Albuquerque Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/ Email: [email protected] CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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AULA

TREZE

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Consideremos duas funções deriváveis f e g

onde y = g(u) e u = f(x).

Para todo x tal que f(x) está no domínio de g,

podemos escrever y = g(u) = g[f(x)], isto é,

podemos considerar a função composta

.xfg

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Por exemplo, uma função tal como

pode ser vista como a composta das funções

72 25 xxy

.252

7

xfxxu

e

uguy

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Agora vamos apresentar a regra da cadeia,

que nos dá a derivada da função composta

.gefdederivadasdastermosemfg

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Proposição (Regra da Cadeia)

Se y = g(u) e u = f(x) e as derivadas dy/du e

du/dx existem, então a função composta

y = g[f(x)] tem derivada que é dada por:

.''' xfugyoudx

du

du

dy

dx

dy

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EXEMPLO

Dada a função

determinar

,2572 xxy

.dx

dy

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SOLUÇÃO

dx

du

du

dy

dx

dy

cadeiadaregrapelaAssim

xxuonde

uugyescreverVamos

:,

.25

,

2

7

.52257527626 xxxxu

dx

dy

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 1

Dada a função

encontre

,12

235

x

xy

.,y

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SOLUÇÃO

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 2

Dada a função

determinar

,132232 xxxy

.dx

dy

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SOLUÇÃO

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 3

Dada a função

determinar

,37310102 xxxf

yDx

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SOLUÇÃO

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 4

Dada a função

determinar

,32

1710

3

2

t

ttf

tfDt

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SOLUÇÃO

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Proposição

Se u = g(x) é uma função derivável e n é um

número inteiro não nulo, então:

ou ainda:

.,1xgxgnxg

dx

d nn

.,1, uunyuySe nn

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exemplo:

Dada a função

determinar

,35 2 xxf

.' xf

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SOLUÇÃO

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 5

Dada a função

determinar

,13 3

2

t

ttg

., tg

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SOLUÇÃO

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 6

Dada a função

determinar

,4238 xxxy

,y

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SOLUÇÃO

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 7

Dada a função

determinar

,3

12

x

xy

yDx

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SOLUÇÃO

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 8

Dada a função

determinar

,283 3 xxy

,y

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SOLUÇÃO

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 9

Dada a função

determinar

,2763 2 xxy

,y

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SOLUÇÃO

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DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA

Teorema (Derivada da Função Inversa)

Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo

aberto (a, b).

Suponhamos que f(x) admita uma função

inversa x = g(y) contínua.

Se f’(x) existe e é diferente de zero para

qualquer xϵ (a, b), então g = f-1 é derivável e vale:

.11

,,

,

ygfxfyg

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DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA

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DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA

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EXEMPLO 3

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EXEMPLO 3

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DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

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DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

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DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

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DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

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DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

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DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

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DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

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DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

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DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

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DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

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DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

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DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

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DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Solução

Exercício 10

Determinar a derivada de: ,2xseny

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DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Solução

Exercício 11

Determinar a derivada de: ,1

cos

xy

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DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Solução

Exercício 12

Determinar a derivada de: .3cot3 xgxtgy

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DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Solução

Exercício 13

Determinar a derivada de: .cot1

cos

xg

xy

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DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Solução

Exercício 14

Determinar a derivada de: .73sec 2 xxy

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DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Solução

Exercício 15

Determinar a derivada de: .1

1cos

x

xecy

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DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

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DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Solução

Exercício 16

Determinar a derivada de: .1 xsenarcy

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DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Solução

Exercício 17

Determinar a derivada de: .

1

12

2

x

xtgarcy

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DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

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DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

Solução

Exercício 18

Determinar a derivada de: .3sec 3 xhy

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DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

Solução

Exercício 19

Determinar a derivada de: .2sec xhy

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DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

Solução

Exercício 20

Determinar a derivada de: .3ln xtghy

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DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

Solução

Exercício 21

Determinar a derivada de: .1cot 3xghy

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DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS

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DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS

Solução

Exercício 22

Determinar a derivada de: .cosharg 22 xxy

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DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS

Solução

Exercício 23

Determinar a derivada de: .3arg xsentghy

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DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS

Solução

Exercício 24

Determinar a derivada de: .1arg 2 xxsenhxy

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TABELA GERAL DE DERIVADAS

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TABELA GERAL DE DERIVADAS

Page 69: Aula treze calculo um 2015 aluno

TABELA GERAL DE DERIVADAS

Page 70: Aula treze calculo um 2015 aluno

FIM

DA AULA

TREZE