Aula utm irineu_2012

Prof. Dr. Irineu da Silva

EESC-USP

Curso de Geomtica

Aula UTM

13.05.2012 Irineu da Silva Page 2

As Distncias na Mensurao

Tipos de distncias

Existem vrias distncias a serem consideradas na Mensurao.

So elas:

- distncia inclinada;

- distncia horizontal;

- distncia esfrica;

- distncia plana.


Distncia Inclinada e Distncia Horizontal

Sejam dois pontos P e Q sobre o terreno, conforme indicado a seguir.

s = distncia inclinada entre P e Q;

s = distncia horizontal entre P e Q;

= ngulo de altura da direo PQ.

= ngulo zenital da direo PQ

s = scos b ou s =ssen q


Distncia Esfrica

Considerando a curvatura da Terra e adotando a esfera como a

superfcie de referncia, tem-se a seguinte situao:

R0 = raio mdio da esfera terrestre;

HP = altitude do ponto P;

HQ = altitude do ponto Q;

sP = distncia esfrica ao nvel de P;

sQ = distncia esfrica ao nvel de Q;

s0 = distncia esfrica ao nvel do

mar (H=0)


Distncia Esfrica

As superfcies so esferas concntricas e permitem obter as seguintes

relaes:

s

R

s

R H

s

R H

o

o

P

o P

Q

o Q

Para um ponto P de altitude H, tem-se:

o

o

p

o

o

po

P sR

Hs

R

HRs .1.

o

p

Po

R

H

ss

1


Distncia Esfrica

Para os clculos prticos pode-se operar com valores em ppm,

adotando-se uma altitude mdia para a regio de clculo. Nesse caso,

a reduo ao nvel do mar pode ser dada por:

ppmHR

Hd

o

610.Re

As redues podem tambm ser efetuadas aplicando-se um fator

de escala denominado Fator de Escala Altimtrico (Kalt), conforme

indicado abaixo.

HR

HK

o

alt

1


Distncia Esfrica

A tabela a seguir apresenta a variao das distncias horizontais, em

relao a variao das altitudes, para diversos valores de H (para Ro =

6.362.735m na latitude = 21o58 00S, no Campus da Universidade Federal de So Carlos).

H(m)\ s(m) 1000 2000 5000 10000

5000 0,785 1,570 3,925 7,850

2000 0,314 0,628 1,571 3,142

1000 0,157 0,314 0,786 1,571

500 0,078 0,156 0,393 0,786


Relao entre a Distncia Esfrica e a Distncia Horizontal

A distncia horizontal entre dois pontos situa-se no plano horizontal que

passa pelo ponto inicial. A distncia esfrica entre dois pontos situa-se

na superfcie esfrica que passa pelo ponto inicial. Tm-se assim as

seguintes relaes:

Q = projeo de Q sobre a superfcie esfrica; s = distncia horizontal em P;

sP = distncia esfrica ao nvel de P;

cP = corda PQ; = ngulo no centro da terra.

tan.

2..2:

.:,,

Po

PoP

PoP

HRs:PQtangente

senHRcQPcorda

HRsQParco



A diferena entre a corda PQ e o arco PQ e entre a tangente PQ e o arco PQ esto relacionadas na tabela a seguir (para Ro = 6.362.735m e para Hp = 870m).

sP (m) sP - cP (mm) sP - s (mm)

1000 +0,001 -0,008

2000 +0,008 -0,064

5000 +0,13 -1,03

10000 +1,03 -8,23



Constata-se atravs desta tabela que, para distncias inferiores a

10km, a diferena entre a corda e o arco desprezvel, o que j no

ocorre para a diferena entre a tangente e o arco.

Evidentemente, se os pontos P e Q no estiverem na mesma altitude,

haver uma diferena de distncia conforme se adote o plano

horizontal passando por P ou por Q. Essa diferena de distncias, na

maioria dos casos, pode ser desprezada.


Sistemas de Projeo Cartogrfica



As coordenadas planas da superfcie terrestre so obtidas a partir do

uso de um sistema de projeo, atravs do qual se estabelece uma

relao pontual e unvoca entre a superfcie de referencia, esfrica, e a

superfcie do desenho, plana. Trata-se, portanto, de obter as

coordenadas planas x, y a partir de um ponto de coordenadas (, ) da

superfcie esfrica. Na literatura distinguem-se os seguintes tipos de

projees cartogrficas:

- Projeo conforme, que so aquelas que conservam os

ngulos;

- Projeo equivalente, que so aquelas que conservam as

superfcies;

- Projees que no conservam nem os ngulos e nem as

superfcies mas que possuem outras caractersticas

importantes.



importante salientar que no existe nenhuma projeo cartogrfica

que mantenha os comprimentos. Sendo a esfera e o elipside duas

superfcies esfricas, torna-se impossvel estabelecer uma

representao plana delas sem causar algum tipo de deformao

linear.

Geralmente os pases preferem adotar as Projees Conforme para a

determinao das suas bases cartogrficas. As Projees

Equivalentes so mais interessantes para o estabelecimento de cartas

com escala reduzida (Atlas Geogrfico).


Principais Projees Cartogrficas

Cilndricas, Cnicas e Azimutais


Principais Projees Cartogrficas


Projees Cilndricas


Projees Cilndricas

As Projees Cilndricas podem ser

- Projeo Cilndrica Normal: o eixo do cilindro coincide

com o eixo de rotao da Terra e o cilindro tangente superfcie

esfrica ao longo do equador.

- Projeo Cilndrica Transversa: o eixo do cilindro

coincide com o plano do equador e o cilindro tangente a superfcie

esfrica ao longo do meridiano. Exemplo, Projeo TM.

- Projeo Cilndrica Obliqua: o eixo do cilindro obliquo

em relao ao eixo de rotao da Terra e o cilindro tangente a

superfcie esfrica ao longo de um grande arco de crculo qualquer.


Projees Cilndricas

Entre as Projees Cilndricas mais importantes vale a pena citar a

Projeo de Mercator


Projees Cilndricas

Como curiosidade, apresenta-se a seguir uma imagem de uma Projeo

Cilndrica Equivalente. Neste caso a Cilndrica Equivalente de Lambert.


Projees Cnicas

Em uma projeo cnica, a superfcie esfrica projetada sobre um

cone tangente, o qual posteriormente desenvolvido para se obter a

carta plana.


Projees Cnicas

A projeo cnica mais conhecida a Projeo Cnica Conforme de

Lambert.


Projees Azimutais

- Projeo Gnmica: o centro de projeo o eixo da Terra. Essa

projeo no conforme e nem equivalente.

- Projeo Estereogrfica: o centro de projeo o plo oposto ao

plano de tangncia. Ela uma projeo conforme.

- Projeo Ortogrfica: o centro de projeo est no infinito. Essa

projeo no conforme e nem equivalente.


Exemplos de Cartas com Projeo Azimutal

Azimutal Gnmica



Azimutal Esterogrfica



Azimutal Ortogrfica


A Projeo UTM

A projeo UTM, originada a partir da Projeo Conforme de Gauss, foi

usada pela primeira vez, em larga escala, pelo Servio de Cartografia do

Exrcito Americano (US Army Map Service - AMS), durante a Segunda

Guerra Mundial. A sua principal vantagem que ela permite representar

grandes reas da superfcie terrestre, sobre um plano, com poucas

deformaes e com apenas um grupo de frmulas.

A projeo UTM representada sobre um sistema de coordenadas

retangulares, o que a torna bastante til para ser aplicada na

Mensurao.


Caractersticas da Projeo UTM

A projeo UTM uma projeo cilndrica conforme que pode ser

visualizada como um cilindro secante superfcie de referncia,

orientado de forma que o eixo do cilindro esteja no plano do equador.

O cilindro secante possui um dimetro menor do que o dimetro da

superfcie de referncia, criando, assim, duas linhas de interseo entre

o cilindro e a superfcie de referencia. A rea de projeo compreende

apenas uma parcela da superfcie de referncia. Essa rea

denominada fuso ou zona. Cada fuso representado pelo nmero do

fuso ou pela longitude do seu meridiano central. As coordenadas na

direo horizontal so denominadas Este e representadas pela letra E.

As coordenadas na direo vertical so denominadas Norte e

representadas pela letra N.



As principais caractersticas da projeo UTM so as seguintes:

a) Amplitude dos fusos: 6;

b) Latitude da origem: 0 (equador);

c) Longitude da origem: a longitude do meridiano central do fuso;

d) Falso Norte (translao Norte): 10.000.000 m para o hemisfrio Sul;

e) Falso Este (translao este): 500.000 m;

f) Fator de escala no meridiano central: 0,9996;

g) Numerao das zonas: as zonas so numeradas de 1 a 60, a partir

do antemeridiano de Greenwich, para leste. Assim,

zona 1 - de 180 W a 174 W

zona 60 - de 174 E a 180 E;

h) Limites das latitudes: 80 N e 80 S;

i) Os meridianos de longitude e os paralelos de latitude interceptam-se

em ngulos retos na projeo;



j) A linha do equador e a linha do meridiano central de cada fuso so

representadas por linhas retas na projeo. Os demais meridianos

so representados por linhas cncavas em relao ao meridiano

central e os paralelos so representados por linhas cncavas em

relao ao polo mais prximor.



k) O espaamento entre os meridianos aumenta a medida que eles se afastam do meridiano central. Para manter a proporcionalidade

da projeo conforme, a escala na direo Norte-Sul tambm

distorcida acarretando, assim, a existncia de uma escala

diferente para cada ponto situado sobre o mesmo lado do

meridiano.


Determinao do Meridiano Central da Projeo UTM

O meridiano central determinado considerando-se que a sua

variao ocorre de 6 em 6. O primeiro meridiano central possui

longitude igual a 177 e o ltimo possui longitude igual a 3. Os

meridianos centrais possuem, portanto, valores iguais a: 3, 9,

15, 21, ..........., 45, 51, 57, e assim por diante. Para conhecer

o valor da longitude do meridiano central de um ponto de longitude

conhecida, basta situ-lo no fuso. A relao fuso/meridiano central

dada pelas frmulas:

6

183 CMFuso

MC = 183 - 6 . Fuso


Os Fusos da Projeo UTM


Transformao de Coordenadas Geodsicas em UTM

Para a transformao de coordenadas, tanto para o problema direto

como para o problema inverso, existem frmulas cujas dedues

podem ser encontradas em obras especializadas. Para os propsitos

deste curso, sero apresentadas a seguir as frmulas relativas a

transformao de coordenadas geodsicas para coordenadas UTM.

As coordenadas retangulares E, N da Projeo UTM podem ser

calculadas pelas seguintes frmulas:

5

3

6

42

)()('

)()()('

BpVpIVE

ApIIIpIIIN

Onde,



N = N - Para o Hemisfrio Norte N = 10.000.000 N - para o Hemisfrio Sul E = 500.000 + E- para pontos situados a leste do meridiano central MC E = 500.000 E- para pontos situados a oeste do meridiano central MC

(I) = koS

]63072

354)

1024

45

256

15(

2)1024

45

32

3

8

3()

256

5

64

3

4

11[(

664

642642

senesenee

seneeeeeeaS

2

10"1cos)(

8

0

2

ksensenNII

16

0

4422234

10)cos'4cos'9tan5(24

cos"1)( kee

senNsenIII

4

0 10"1cos)( ksenNIV

12

0

22233

10)cos'tan1(6

cos"1)(

ke

NsenV



"0001,0 p

MC

24

0

32224256

6

6 10)'330cos'270tantan5861(720

cos"1ksenee

senNsenpA

20

0

22224255

5

5 10)'58cos'14tantan185(120

cos"1ksenee

NsenpB


A Convergncia Meridiana

Os ngulos medidos no elipside esto referidos ao Norte Geogrfico

(NG), cuja representao, na projeo UTM, dada por uma linha curva,

cncava em relao ao meridiano central. As quadrculas UTM, por outro

lado, formam um sistema de coordenadas retangular, com a direo Y

(NQ) na direo Norte-Sul. As duas linhas formam, portanto, um ngulo

varivel para cada ponto, denominado convergncia meridiana.


A Convergncia Meridiana

A convergncia meridiana, no hemisfrio sul, positiva para os

pontos situados a Oeste do meridiano central e negativa, para os

ponto situados a Leste do meridiano central.

Um clculo aproximado do valor da convergncia meridiana pode ser

dado pela seguinte frmula indicada a seguir.

C senOnde,

C = Convergncia Meridiana

= Diferena de longitude entre a longitude do ponto

considerado e a longitude do meridiano central

(Long Pt Long MC) = Latitude do ponto considerado


Reduo Corda ou Reduo Angular

Uma linha unindo dois pontos na superfcie de referncia esfrica

representada no plano (na projeo) como uma linha curva (arco). Para

as dimenses dos trabalhos topogrficos, entretanto, a curvatura dessa

linha muito pequena e, em muitos casos, pode ser desconsiderada,

aceitando-se a corda que une os dois pontos como a referncia para

calcular a distncia e o azimute entre eles. O ngulo formado pela

corda e pela tangente curva denominado ngulo de reduo

corda ou ngulo de reduo angular, e representado pela letra

grega , conforme indicado a seguir.


Reduo Corda ou Reduo Angular

O valor mximo de , para uma

linha de 10 Km da ordem de 7.


O Fator de Escala

Para se obter a distncia plana entre dois pontos A e B, necessrio,

inicialmente, corrigir a distncia medida na superfcie topogrfica, em

relao aos fatores meteorolgicos e erros instrumentais, em seguida

reduzi-la ao elipside de referncia e, finalmente, reduzi-la superfcie

plana. Para a reduo da superfcie de referncia superfcie plana,

utiliza-se um fator de escala, representado pela letra kUTM.

A distncia plana obtida multiplicando-se a distncia esfrica (sobre o

elipside de referncia) pelo fator de escala kUTM.

0sks UTM


O Fator de Escala

Para evitar que as deformaes tornem-se exageradas nas bordas dos

fusos, adotou-se, para a projeo UTM, um fator de escala

k0 = 0,9996, para os pontos situados sobre o meridiano central.

A partir do meridiano central o fator de escala cresce para Oeste e

para Leste at atingir o valor k=1,000, nas vizinhanas de

E=320.000,00 m e E=680.000,00, continuando a crescer at o valor

kUTM=1,0010, nas bordas dos fuso, no equador.


O Fator de Escala

R

Ekk 2

021.

2

0UTM

onde,

kUTM = fator de escala k0 = 0,9996 (fator de escala no MC)

E = ordenada entre o meridiano central e o ponto considerado (500 000 Ept) Ro = Raio mdio de curvatura


O Fator de Escala

Para aplicar o fator de escala para a correo da distncia entre

dois pontos, pode-se usar o valor do fator de escala mdio, se a

distncia for pequena, ou uma mdia ponderada entre os pontos

extremos e o ponto mdio, se a distncia for grande. Por

exemplo,

Para distncias inferiores a 15 km prope-se adotar

Par distncias maiores do que 15 km prope-se adotar

2

kBkAk

UTM

6

kB4kAk

meioUTMK


ngulos a serem considerados na Projeo UTM

Quando se trabalha com coordenadas UTM necessrio considerar

vrios tipos de elementos angulares. Os principais elementos so:

- azimute plano ou azimute da quadrcula (UTM); - azimute geodsico projetado (proj);

- azimute geodsico (geod);

- convergncia meridiana (c);

- reduo corda ().



O azimute plano ou azimute da quadrcula o ngulo, na projeo,

entre o Norte da quadrcula UTM e a linha reta que une os dois pontos a

serem considerados.

UTM = Arctg E/N

O azimute geodsico projetado o ngulo, na projeo, entre o Norte

da quadrcula e a tangente ao arco representativo da distncia projetada

entre os dois pontos a serem considerados.

proj = UTM +

O azimute geodsico o ngulo, na projeo, entre o meridiano que

passa pelo ponto inicial e a tangente ao arco representativo da distncia

projetada entre os dois pontos considerados

geod = UTM c


Transformao de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y).

A transformao das coordenadas UTM para coordenadas locais

consiste em realizar uma rotao e a aplicao de um fator de escala.

A rotao feita em funo da convergncia meridiana e o fator de

escala adotado deve ser o fator de escala da projeo UTM, corrigido

para considerar a altitude mdia do local (kTotal).

Para aplicar a transformao, inicialmente, deve-se escolher um

ponto de coordenadas conhecidas como origem da rotao. Em

seguida, calcula-se a convergncia meridiana e o fator de escala total

desse ponto, que sero adotados como ngulo de rotao e fator de

escala da transformao.



O procedimento completo de clculo o seguinte:

1) escolher o ponto para origem do sistema (P0);

2) calcular a convergncia meridiana e o fator de escala desse

ponto:

3) corrigir o fator de escala UTM considerando a altitude mdia

da regio;

4) calcular o UTM dos alinhamentos Po - Pi e corrigir com o valor

da convergncia meridiana;

5) calcular as projees

X YP P P Po i o ie

de cada alinhamento, considerando o fator de escala total

(KT=KUTMxKalt);

6) calcular as coordenadas transformadas para cada ponto Pi



N

Earctg UTM

senc .

cUTMGeod

geod

T

PP

PP senk

sX o

io.

geod

T

PP

PPk

sY o

iocos.

X X XP P P Pi o o i

Y Y YP P P Pi o o i



Exemplo:

Dadas as coordenadas planas UTM de dois pontos, determinar as

suas coordenadas retangulares no sistema topogrfico local.

NA = 6.953.623,380 m NB = 6.954.016,624 m

EA = 601.613,787 m EB = 602.002,535 m = 27 32 14.483485 S = 27 32 01.599853 S = 43 58 15.310008 W = 43 58 01.258185 W

H = 870,000

Raio Mdio R0 da Terra no local = 6.365.883,810 m



1. Clculo da Convergncia Meridiana

2. Clculo do fator de escala altimtrico

3. Clculo do fator de escala UTM

Para o Pt A

Para o Pt B = 0,99972843

KUTM (mdio)= 0,99972794

99986335.01

HR

HK

o

alt

99972745,02

1.2

0

R

Ekk 2

0

UTM

"92.32'2800 sencA



4. Clculo do KT

KT = KUTM x Kalt = 0,99959133

5. Origem adotada para o Pt A

XA = 5.000,000

YA = 10.000,000

6. Clculo da distncia plana AB

961,552)()( 22 ABABAB EENNs



7. Clculo da distncia elipsoidal AB (s0)

111,5530 UTMK

ss

8. Clculo da distncia topogrfica AB

ou

9. Clculo do azimute plano AB

10. Clculo do azimute geodsico AB

187,553TK

ss

"14'40440

AB

ABAB

NN

EEArctg

"41'11440)( AABABgeo c

187,5530 AltK

ss



11. Clculo das projees

12. Clculo das coordenadas (X,Y) do Pt B

621,396cos.

626,385.

geoAB

geoAB

sY

sensX

626,385.5

626,385

000,000.5

B

AB

A

ABAB

X

X

mX

XXX

621,396.10

621,396

000,000.10

B

AB

A

ABAB

Y

Y

mY

YYY

Aula utm irineu_2012

Documents

representadas pela letra

fator de escala

superfcie de referencia

para pontos situados

para distncias inferiores

azimute geodsico projetado

centro de projeo

meridiano central mc

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