Aula utm irineu_2012

Prof. Dr. Irineu da Silva
EESC-USP
Curso de Geomtica
Aula UTM

13.05.2012 Irineu da Silva Page 2
As Distncias na Mensurao
Tipos de distncias
Existem vrias distncias a serem consideradas na Mensurao.
So elas:
- distncia inclinada;
- distncia horizontal;
- distncia esfrica;
- distncia plana.

Distncia Inclinada e Distncia Horizontal
Sejam dois pontos P e Q sobre o terreno, conforme indicado a seguir.
s = distncia inclinada entre P e Q;
s = distncia horizontal entre P e Q;
= ngulo de altura da direo PQ.
= ngulo zenital da direo PQ
s = scos b ou s =ssen q

Distncia Esfrica
Considerando a curvatura da Terra e adotando a esfera como a
superfcie de referncia, tem-se a seguinte situao:
R0 = raio mdio da esfera terrestre;
HP = altitude do ponto P;
HQ = altitude do ponto Q;
sP = distncia esfrica ao nvel de P;
sQ = distncia esfrica ao nvel de Q;
s0 = distncia esfrica ao nvel do
mar (H=0)

Distncia Esfrica
As superfcies so esferas concntricas e permitem obter as seguintes
relaes:
s
R
s
R H
s
R H
o
o
P
o P
Q
o Q
Para um ponto P de altitude H, tem-se:
o
o
p
o
o
po
P sR
Hs
R
HRs .1.
o
p
Po
R
H
ss
1

Distncia Esfrica
Para os clculos prticos pode-se operar com valores em ppm,
adotando-se uma altitude mdia para a regio de clculo. Nesse caso,
a reduo ao nvel do mar pode ser dada por:
ppmHR
Hd
o
610.Re
As redues podem tambm ser efetuadas aplicando-se um fator
de escala denominado Fator de Escala Altimtrico (Kalt), conforme
indicado abaixo.
HR
HK
o
alt
1

Distncia Esfrica
A tabela a seguir apresenta a variao das distncias horizontais, em
relao a variao das altitudes, para diversos valores de H (para Ro =
6.362.735m na latitude = 21o58 00S, no Campus da Universidade Federal de So Carlos).
H(m)\ s(m) 1000 2000 5000 10000
5000 0,785 1,570 3,925 7,850
2000 0,314 0,628 1,571 3,142
1000 0,157 0,314 0,786 1,571
500 0,078 0,156 0,393 0,786

Relao entre a Distncia Esfrica e a Distncia Horizontal
A distncia horizontal entre dois pontos situa-se no plano horizontal que
passa pelo ponto inicial. A distncia esfrica entre dois pontos situa-se
na superfcie esfrica que passa pelo ponto inicial. Tm-se assim as
seguintes relaes:
Q = projeo de Q sobre a superfcie esfrica; s = distncia horizontal em P;
sP = distncia esfrica ao nvel de P;
cP = corda PQ; = ngulo no centro da terra.
tan.
2..2:
.:,,
Po
PoP
PoP
HRs:PQtangente
senHRcQPcorda
HRsQParco

A diferena entre a corda PQ e o arco PQ e entre a tangente PQ e o arco PQ esto relacionadas na tabela a seguir (para Ro = 6.362.735m e para Hp = 870m).
sP (m) sP - cP (mm) sP - s (mm)
1000 +0,001 -0,008
2000 +0,008 -0,064
5000 +0,13 -1,03
10000 +1,03 -8,23

Constata-se atravs desta tabela que, para distncias inferiores a
10km, a diferena entre a corda e o arco desprezvel, o que j no
ocorre para a diferena entre a tangente e o arco.
Evidentemente, se os pontos P e Q no estiverem na mesma altitude,
haver uma diferena de distncia conforme se adote o plano
horizontal passando por P ou por Q. Essa diferena de distncias, na
maioria dos casos, pode ser desprezada.

Sistemas de Projeo Cartogrfica

As coordenadas planas da superfcie terrestre so obtidas a partir do
uso de um sistema de projeo, atravs do qual se estabelece uma
relao pontual e unvoca entre a superfcie de referencia, esfrica, e a
superfcie do desenho, plana. Trata-se, portanto, de obter as
coordenadas planas x, y a partir de um ponto de coordenadas (, ) da
superfcie esfrica. Na literatura distinguem-se os seguintes tipos de
projees cartogrficas:
- Projeo conforme, que so aquelas que conservam os
ngulos;
- Projeo equivalente, que so aquelas que conservam as
superfcies;
- Projees que no conservam nem os ngulos e nem as
superfcies mas que possuem outras caractersticas
importantes.

importante salientar que no existe nenhuma projeo cartogrfica
que mantenha os comprimentos. Sendo a esfera e o elipside duas
superfcies esfricas, torna-se impossvel estabelecer uma
representao plana delas sem causar algum tipo de deformao
linear.
Geralmente os pases preferem adotar as Projees Conforme para a
determinao das suas bases cartogrficas. As Projees
Equivalentes so mais interessantes para o estabelecimento de cartas
com escala reduzida (Atlas Geogrfico).

Principais Projees Cartogrficas
Cilndricas, Cnicas e Azimutais

Principais Projees Cartogrficas

Projees Cilndricas

Projees Cilndricas
As Projees Cilndricas podem ser
- Projeo Cilndrica Normal: o eixo do cilindro coincide
com o eixo de rotao da Terra e o cilindro tangente superfcie
esfrica ao longo do equador.
- Projeo Cilndrica Transversa: o eixo do cilindro
coincide com o plano do equador e o cilindro tangente a superfcie
esfrica ao longo do meridiano. Exemplo, Projeo TM.
- Projeo Cilndrica Obliqua: o eixo do cilindro obliquo
em relao ao eixo de rotao da Terra e o cilindro tangente a
superfcie esfrica ao longo de um grande arco de crculo qualquer.

Projees Cilndricas
Entre as Projees Cilndricas mais importantes vale a pena citar a
Projeo de Mercator

Projees Cilndricas
Como curiosidade, apresenta-se a seguir uma imagem de uma Projeo
Cilndrica Equivalente. Neste caso a Cilndrica Equivalente de Lambert.

Projees Cnicas
Em uma projeo cnica, a superfcie esfrica projetada sobre um
cone tangente, o qual posteriormente desenvolvido para se obter a
carta plana.

Projees Cnicas
A projeo cnica mais conhecida a Projeo Cnica Conforme de
Lambert.

Projees Azimutais
- Projeo Gnmica: o centro de projeo o eixo da Terra. Essa
projeo no conforme e nem equivalente.
- Projeo Estereogrfica: o centro de projeo o plo oposto ao
plano de tangncia. Ela uma projeo conforme.
- Projeo Ortogrfica: o centro de projeo est no infinito. Essa
projeo no conforme e nem equivalente.

Exemplos de Cartas com Projeo Azimutal
Azimutal Gnmica

Azimutal Esterogrfica

Azimutal Ortogrfica

A Projeo UTM
A projeo UTM, originada a partir da Projeo Conforme de Gauss, foi
usada pela primeira vez, em larga escala, pelo Servio de Cartografia do
Exrcito Americano (US Army Map Service - AMS), durante a Segunda
Guerra Mundial. A sua principal vantagem que ela permite representar
grandes reas da superfcie terrestre, sobre um plano, com poucas
deformaes e com apenas um grupo de frmulas.
A projeo UTM representada sobre um sistema de coordenadas
retangulares, o que a torna bastante til para ser aplicada na
Mensurao.

Caractersticas da Projeo UTM
A projeo UTM uma projeo cilndrica conforme que pode ser
visualizada como um cilindro secante superfcie de referncia,
orientado de forma que o eixo do cilindro esteja no plano do equador.
O cilindro secante possui um dimetro menor do que o dimetro da
superfcie de referncia, criando, assim, duas linhas de interseo entre
o cilindro e a superfcie de referencia. A rea de projeo compreende
apenas uma parcela da superfcie de referncia. Essa rea
denominada fuso ou zona. Cada fuso representado pelo nmero do
fuso ou pela longitude do seu meridiano central. As coordenadas na
direo horizontal so denominadas Este e representadas pela letra E.
As coordenadas na direo vertical so denominadas Norte e
representadas pela letra N.

As principais caractersticas da projeo UTM so as seguintes:
a) Amplitude dos fusos: 6;
b) Latitude da origem: 0 (equador);
c) Longitude da origem: a longitude do meridiano central do fuso;
d) Falso Norte (translao Norte): 10.000.000 m para o hemisfrio Sul;
e) Falso Este (translao este): 500.000 m;
f) Fator de escala no meridiano central: 0,9996;
g) Numerao das zonas: as zonas so numeradas de 1 a 60, a partir
do antemeridiano de Greenwich, para leste. Assim,
zona 1 - de 180 W a 174 W
zona 60 - de 174 E a 180 E;
h) Limites das latitudes: 80 N e 80 S;
i) Os meridianos de longitude e os paralelos de latitude interceptam-se
em ngulos retos na projeo;

j) A linha do equador e a linha do meridiano central de cada fuso so
representadas por linhas retas na projeo. Os demais meridianos
so representados por linhas cncavas em relao ao meridiano
central e os paralelos so representados por linhas cncavas em
relao ao polo mais prximor.

k) O espaamento entre os meridianos aumenta a medida que eles se afastam do meridiano central. Para manter a proporcionalidade
da projeo conforme, a escala na direo Norte-Sul tambm
distorcida acarretando, assim, a existncia de uma escala
diferente para cada ponto situado sobre o mesmo lado do
meridiano.

Determinao do Meridiano Central da Projeo UTM
O meridiano central determinado considerando-se que a sua
variao ocorre de 6 em 6. O primeiro meridiano central possui
longitude igual a 177 e o ltimo possui longitude igual a 3. Os
meridianos centrais possuem, portanto, valores iguais a: 3, 9,
15, 21, ..........., 45, 51, 57, e assim por diante. Para conhecer
o valor da longitude do meridiano central de um ponto de longitude
conhecida, basta situ-lo no fuso. A relao fuso/meridiano central
dada pelas frmulas:
6
183 CMFuso
MC = 183 - 6 . Fuso

Os Fusos da Projeo UTM

Transformao de Coordenadas Geodsicas em UTM
Para a transformao de coordenadas, tanto para o problema direto
como para o problema inverso, existem frmulas cujas dedues
podem ser encontradas em obras especializadas. Para os propsitos
deste curso, sero apresentadas a seguir as frmulas relativas a
transformao de coordenadas geodsicas para coordenadas UTM.
As coordenadas retangulares E, N da Projeo UTM podem ser
calculadas pelas seguintes frmulas:
5
3
6
42
)()('
)()()('
BpVpIVE
ApIIIpIIIN
Onde,

N = N - Para o Hemisfrio Norte N = 10.000.000 N - para o Hemisfrio Sul E = 500.000 + E- para pontos situados a leste do meridiano central MC E = 500.000 E- para pontos situados a oeste do meridiano central MC
(I) = koS
]63072
354)
1024
45
256
15(
2)1024
45
32
3
8
3()
256
5
64
3
4
11[(
664
642642
senesenee
seneeeeeeaS
2
10"1cos)(
8
0
2
ksensenNII
16
0
4422234
10)cos'4cos'9tan5(24
cos"1)( kee
senNsenIII
4
0 10"1cos)( ksenNIV
12
0
22233
10)cos'tan1(6
cos"1)(
ke
NsenV

"0001,0 p
MC
24
0
32224256
6
6 10)'330cos'270tantan5861(720
cos"1ksenee
senNsenpA
20
0
22224255
5
5 10)'58cos'14tantan185(120
cos"1ksenee
NsenpB

A Convergncia Meridiana
Os ngulos medidos no elipside esto referidos ao Norte Geogrfico
(NG), cuja representao, na projeo UTM, dada por uma linha curva,
cncava em relao ao meridiano central. As quadrculas UTM, por outro
lado, formam um sistema de coordenadas retangular, com a direo Y
(NQ) na direo Norte-Sul. As duas linhas formam, portanto, um ngulo
varivel para cada ponto, denominado convergncia meridiana.

A Convergncia Meridiana
A convergncia meridiana, no hemisfrio sul, positiva para os
pontos situados a Oeste do meridiano central e negativa, para os
ponto situados a Leste do meridiano central.
Um clculo aproximado do valor da convergncia meridiana pode ser
dado pela seguinte frmula indicada a seguir.
C senOnde,
C = Convergncia Meridiana
= Diferena de longitude entre a longitude do ponto
considerado e a longitude do meridiano central
(Long Pt Long MC) = Latitude do ponto considerado

Reduo Corda ou Reduo Angular
Uma linha unindo dois pontos na superfcie de referncia esfrica
representada no plano (na projeo) como uma linha curva (arco). Para
as dimenses dos trabalhos topogrficos, entretanto, a curvatura dessa
linha muito pequena e, em muitos casos, pode ser desconsiderada,
aceitando-se a corda que une os dois pontos como a referncia para
calcular a distncia e o azimute entre eles. O ngulo formado pela
corda e pela tangente curva denominado ngulo de reduo
corda ou ngulo de reduo angular, e representado pela letra
grega , conforme indicado a seguir.

Reduo Corda ou Reduo Angular
O valor mximo de , para uma
linha de 10 Km da ordem de 7.

O Fator de Escala
Para se obter a distncia plana entre dois pontos A e B, necessrio,
inicialmente, corrigir a distncia medida na superfcie topogrfica, em
relao aos fatores meteorolgicos e erros instrumentais, em seguida
reduzi-la ao elipside de referncia e, finalmente, reduzi-la superfcie
plana. Para a reduo da superfcie de referncia superfcie plana,
utiliza-se um fator de escala, representado pela letra kUTM.
A distncia plana obtida multiplicando-se a distncia esfrica (sobre o
elipside de referncia) pelo fator de escala kUTM.
0sks UTM

O Fator de Escala
Para evitar que as deformaes tornem-se exageradas nas bordas dos
fusos, adotou-se, para a projeo UTM, um fator de escala
k0 = 0,9996, para os pontos situados sobre o meridiano central.
A partir do meridiano central o fator de escala cresce para Oeste e
para Leste at atingir o valor k=1,000, nas vizinhanas de
E=320.000,00 m e E=680.000,00, continuando a crescer at o valor
kUTM=1,0010, nas bordas dos fuso, no equador.

O Fator de Escala
R
Ekk 2
021.
2
0UTM
onde,
kUTM = fator de escala k0 = 0,9996 (fator de escala no MC)
E = ordenada entre o meridiano central e o ponto considerado (500 000 Ept) Ro = Raio mdio de curvatura

O Fator de Escala
Para aplicar o fator de escala para a correo da distncia entre
dois pontos, pode-se usar o valor do fator de escala mdio, se a
distncia for pequena, ou uma mdia ponderada entre os pontos
extremos e o ponto mdio, se a distncia for grande. Por
exemplo,
Para distncias inferiores a 15 km prope-se adotar
Par distncias maiores do que 15 km prope-se adotar
2
kBkAk
UTM
6
kB4kAk
meioUTMK

ngulos a serem considerados na Projeo UTM
Quando se trabalha com coordenadas UTM necessrio considerar
vrios tipos de elementos angulares. Os principais elementos so:
- azimute plano ou azimute da quadrcula (UTM); - azimute geodsico projetado (proj);
- azimute geodsico (geod);
- convergncia meridiana (c);
- reduo corda ().

O azimute plano ou azimute da quadrcula o ngulo, na projeo,
entre o Norte da quadrcula UTM e a linha reta que une os dois pontos a
serem considerados.
UTM = Arctg E/N
O azimute geodsico projetado o ngulo, na projeo, entre o Norte
da quadrcula e a tangente ao arco representativo da distncia projetada
entre os dois pontos a serem considerados.
proj = UTM +
O azimute geodsico o ngulo, na projeo, entre o meridiano que
passa pelo ponto inicial e a tangente ao arco representativo da distncia
projetada entre os dois pontos considerados
geod = UTM c

Transformao de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y).
A transformao das coordenadas UTM para coordenadas locais
consiste em realizar uma rotao e a aplicao de um fator de escala.
A rotao feita em funo da convergncia meridiana e o fator de
escala adotado deve ser o fator de escala da projeo UTM, corrigido
para considerar a altitude mdia do local (kTotal).
Para aplicar a transformao, inicialmente, deve-se escolher um
ponto de coordenadas conhecidas como origem da rotao. Em
seguida, calcula-se a convergncia meridiana e o fator de escala total
desse ponto, que sero adotados como ngulo de rotao e fator de
escala da transformao.

O procedimento completo de clculo o seguinte:
1) escolher o ponto para origem do sistema (P0);
2) calcular a convergncia meridiana e o fator de escala desse
ponto:
3) corrigir o fator de escala UTM considerando a altitude mdia
da regio;
4) calcular o UTM dos alinhamentos Po - Pi e corrigir com o valor
da convergncia meridiana;
5) calcular as projees
X YP P P Po i o ie
de cada alinhamento, considerando o fator de escala total
(KT=KUTMxKalt);
6) calcular as coordenadas transformadas para cada ponto Pi

N
Earctg UTM
senc .
cUTMGeod
geod
T
PP
PP senk
sX o
io.
geod
T
PP
PPk
sY o
iocos.
X X XP P P Pi o o i
Y Y YP P P Pi o o i

Exemplo:
Dadas as coordenadas planas UTM de dois pontos, determinar as
suas coordenadas retangulares no sistema topogrfico local.
NA = 6.953.623,380 m NB = 6.954.016,624 m
EA = 601.613,787 m EB = 602.002,535 m = 27 32 14.483485 S = 27 32 01.599853 S = 43 58 15.310008 W = 43 58 01.258185 W
H = 870,000
Raio Mdio R0 da Terra no local = 6.365.883,810 m

1. Clculo da Convergncia Meridiana
2. Clculo do fator de escala altimtrico
3. Clculo do fator de escala UTM
Para o Pt A
Para o Pt B = 0,99972843
KUTM (mdio)= 0,99972794
99986335.01
HR
HK
o
alt
99972745,02
1.2
0
R
Ekk 2
0
UTM
"92.32'2800 sencA

4. Clculo do KT
KT = KUTM x Kalt = 0,99959133
5. Origem adotada para o Pt A
XA = 5.000,000
YA = 10.000,000
6. Clculo da distncia plana AB
961,552)()( 22 ABABAB EENNs

7. Clculo da distncia elipsoidal AB (s0)
111,5530 UTMK
ss
8. Clculo da distncia topogrfica AB
ou
9. Clculo do azimute plano AB
10. Clculo do azimute geodsico AB
187,553TK
ss
"14'40440
AB
ABAB
NN
EEArctg
"41'11440)( AABABgeo c
187,5530 AltK
ss

11. Clculo das projees
12. Clculo das coordenadas (X,Y) do Pt B
621,396cos.
626,385.
geoAB
geoAB
sY
sensX
626,385.5
626,385
000,000.5
B
AB
A
ABAB
X
X
mX
XXX
621,396.10
621,396
000,000.10
B
AB
A
ABAB
Y
Y
mY
YYY

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representadas pela letra

fator de escala

superfcie de referencia

para pontos situados

para distncias inferiores

azimute geodsico projetado

centro de projeo

meridiano central mc

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Datasheet UTM

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