Aula utm irineu_2012

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  • Prof. Dr. Irineu da Silva

    EESC-USP

    Curso de Geomtica

    Aula UTM

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 2

    As Distncias na Mensurao

    Tipos de distncias

    Existem vrias distncias a serem consideradas na Mensurao.

    So elas:

    - distncia inclinada;

    - distncia horizontal;

    - distncia esfrica;

    - distncia plana.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 3

    Distncia Inclinada e Distncia Horizontal

    Sejam dois pontos P e Q sobre o terreno, conforme indicado a seguir.

    s = distncia inclinada entre P e Q;

    s = distncia horizontal entre P e Q;

    = ngulo de altura da direo PQ.

    = ngulo zenital da direo PQ

    s = scos b ou s =ssen q

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 4

    Distncia Esfrica

    Considerando a curvatura da Terra e adotando a esfera como a

    superfcie de referncia, tem-se a seguinte situao:

    R0 = raio mdio da esfera terrestre;

    HP = altitude do ponto P;

    HQ = altitude do ponto Q;

    sP = distncia esfrica ao nvel de P;

    sQ = distncia esfrica ao nvel de Q;

    s0 = distncia esfrica ao nvel do

    mar (H=0)

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 5

    Distncia Esfrica

    As superfcies so esferas concntricas e permitem obter as seguintes

    relaes:

    s

    R

    s

    R H

    s

    R H

    o

    o

    P

    o P

    Q

    o Q

    Para um ponto P de altitude H, tem-se:

    o

    o

    p

    o

    o

    po

    P sR

    Hs

    R

    HRs .1.

    o

    p

    Po

    R

    H

    ss

    1

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 6

    Distncia Esfrica

    Para os clculos prticos pode-se operar com valores em ppm,

    adotando-se uma altitude mdia para a regio de clculo. Nesse caso,

    a reduo ao nvel do mar pode ser dada por:

    ppmHR

    Hd

    o

    610.Re

    As redues podem tambm ser efetuadas aplicando-se um fator

    de escala denominado Fator de Escala Altimtrico (Kalt), conforme

    indicado abaixo.

    HR

    HK

    o

    alt

    1

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 7

    Distncia Esfrica

    A tabela a seguir apresenta a variao das distncias horizontais, em

    relao a variao das altitudes, para diversos valores de H (para Ro =

    6.362.735m na latitude = 21o58 00S, no Campus da Universidade Federal de So Carlos).

    H(m)\ s(m) 1000 2000 5000 10000

    5000 0,785 1,570 3,925 7,850

    2000 0,314 0,628 1,571 3,142

    1000 0,157 0,314 0,786 1,571

    500 0,078 0,156 0,393 0,786

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 8

    Relao entre a Distncia Esfrica e a Distncia Horizontal

    A distncia horizontal entre dois pontos situa-se no plano horizontal que

    passa pelo ponto inicial. A distncia esfrica entre dois pontos situa-se

    na superfcie esfrica que passa pelo ponto inicial. Tm-se assim as

    seguintes relaes:

    Q = projeo de Q sobre a superfcie esfrica; s = distncia horizontal em P;

    sP = distncia esfrica ao nvel de P;

    cP = corda PQ; = ngulo no centro da terra.

    tan.

    2..2:

    .:,,

    Po

    PoP

    PoP

    HRs:PQtangente

    senHRcQPcorda

    HRsQParco

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 9

    Relao entre a Distncia Esfrica e a Distncia Horizontal

    A diferena entre a corda PQ e o arco PQ e entre a tangente PQ e o arco PQ esto relacionadas na tabela a seguir (para Ro = 6.362.735m e para Hp = 870m).

    sP (m) sP - cP (mm) sP - s (mm)

    1000 +0,001 -0,008

    2000 +0,008 -0,064

    5000 +0,13 -1,03

    10000 +1,03 -8,23

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 10

    Relao entre a Distncia Esfrica e a Distncia Horizontal

    Constata-se atravs desta tabela que, para distncias inferiores a

    10km, a diferena entre a corda e o arco desprezvel, o que j no

    ocorre para a diferena entre a tangente e o arco.

    Evidentemente, se os pontos P e Q no estiverem na mesma altitude,

    haver uma diferena de distncia conforme se adote o plano

    horizontal passando por P ou por Q. Essa diferena de distncias, na

    maioria dos casos, pode ser desprezada.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 11

    Sistemas de Projeo Cartogrfica

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 12

    Sistemas de Projeo Cartogrfica

    As coordenadas planas da superfcie terrestre so obtidas a partir do

    uso de um sistema de projeo, atravs do qual se estabelece uma

    relao pontual e unvoca entre a superfcie de referencia, esfrica, e a

    superfcie do desenho, plana. Trata-se, portanto, de obter as

    coordenadas planas x, y a partir de um ponto de coordenadas (, ) da

    superfcie esfrica. Na literatura distinguem-se os seguintes tipos de

    projees cartogrficas:

    - Projeo conforme, que so aquelas que conservam os

    ngulos;

    - Projeo equivalente, que so aquelas que conservam as

    superfcies;

    - Projees que no conservam nem os ngulos e nem as

    superfcies mas que possuem outras caractersticas

    importantes.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 13

    Sistemas de Projeo Cartogrfica

    importante salientar que no existe nenhuma projeo cartogrfica

    que mantenha os comprimentos. Sendo a esfera e o elipside duas

    superfcies esfricas, torna-se impossvel estabelecer uma

    representao plana delas sem causar algum tipo de deformao

    linear.

    Geralmente os pases preferem adotar as Projees Conforme para a

    determinao das suas bases cartogrficas. As Projees

    Equivalentes so mais interessantes para o estabelecimento de cartas

    com escala reduzida (Atlas Geogrfico).

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 14

    Principais Projees Cartogrficas

    Cilndricas, Cnicas e Azimutais

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 15

    Principais Projees Cartogrficas

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 16

    Projees Cilndricas

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 17

    Projees Cilndricas

    As Projees Cilndricas podem ser

    - Projeo Cilndrica Normal: o eixo do cilindro coincide

    com o eixo de rotao da Terra e o cilindro tangente superfcie

    esfrica ao longo do equador.

    - Projeo Cilndrica Transversa: o eixo do cilindro

    coincide com o plano do equador e o cilindro tangente a superfcie

    esfrica ao longo do meridiano. Exemplo, Projeo TM.

    - Projeo Cilndrica Obliqua: o eixo do cilindro obliquo

    em relao ao eixo de rotao da Terra e o cilindro tangente a

    superfcie esfrica ao longo de um grande arco de crculo qualquer.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 18

    Projees Cilndricas

    Entre as Projees Cilndricas mais importantes vale a pena citar a

    Projeo de Mercator

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 19

    Projees Cilndricas

    Como curiosidade, apresenta-se a seguir uma imagem de uma Projeo

    Cilndrica Equivalente. Neste caso a Cilndrica Equivalente de Lambert.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 20

    Projees Cnicas

    Em uma projeo cnica, a superfcie esfrica projetada sobre um

    cone tangente, o qual posteriormente desenvolvido para se obter a

    carta plana.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 21

    Projees Cnicas

    A projeo cnica mais conhecida a Projeo Cnica Conforme de

    Lambert.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 22

    Projees Azimutais

    - Projeo Gnmica: o centro de projeo o eixo da Terra. Essa

    projeo no conforme e nem equivalente.

    - Projeo Estereogrfica: o centro de projeo o plo oposto ao

    plano de tangncia. Ela uma projeo conforme.

    - Projeo Ortogrfica: o centro de projeo est no infinito. Essa

    projeo no conforme e nem equivalente.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 23

    Exemplos de Cartas com Projeo Azimutal

    Azimutal Gnmica

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 24

    Exemplos de Cartas com Projeo Azimutal

    Azimutal Esterogrfica

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 25

    Exemplos de Cartas com Projeo Azimutal

    Azimutal Ortogrfica

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 26

    A Projeo UTM

    A projeo UTM, originada a partir da Projeo Conforme de Gauss, foi

    usada pela primeira vez, em larga escala, pelo Servio de Cartografia do

    Exrcito Americano (US Army Map Service - AMS), durante a Segunda

    Guerra Mundial. A sua principal vantagem que ela permite representar

    grandes reas da superfcie terrestre, sobre um plano, com poucas

    deformaes e com apenas um grupo de frmulas.

    A projeo UTM representada sobre um sistema de coordenadas

    retangulares, o que a torna bastante til para ser aplicada na

    Mensurao.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 27

    Caractersticas da Projeo UTM

    A projeo UTM uma projeo cilndrica conforme que pode ser

    visualizada como um cilindro secante superfcie de referncia,

    orientado de forma que o eixo do cilindro esteja no plano do equador.

    O cilindro secante possui um dimetro menor do que o dimetro da

    superfcie de referncia, criando, assim, duas linhas de interseo entre

    o cilindro e a superfcie de referencia. A rea de projeo compreende

    apenas uma parcela da superfcie de referncia. Essa rea

    denominada fuso ou zona. Cada fuso representado pelo nmero do

    fuso ou pela longitude do seu meridiano central. As coordenadas na

    direo horizontal so denominadas Este e representadas pela letra E.

    As coordenadas na direo vertical so denominadas Norte e

    representadas pela letra N.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 28

    Caractersticas da Projeo UTM

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 29

    Caractersticas da Projeo UTM

    As principais caractersticas da projeo UTM so as seguintes:

    a) Amplitude dos fusos: 6;

    b) Latitude da origem: 0 (equador);

    c) Longitude da origem: a longitude do meridiano central do fuso;

    d) Falso Norte (translao Norte): 10.000.000 m para o hemisfrio Sul;

    e) Falso Este (translao este): 500.000 m;

    f) Fator de escala no meridiano central: 0,9996;

    g) Numerao das zonas: as zonas so numeradas de 1 a 60, a partir

    do antemeridiano de Greenwich, para leste. Assim,

    zona 1 - de 180 W a 174 W

    zona 60 - de 174 E a 180 E;

    h) Limites das latitudes: 80 N e 80 S;

    i) Os meridianos de longitude e os paralelos de latitude interceptam-se

    em ngulos retos na projeo;

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 30

    Caractersticas da Projeo UTM

    j) A linha do equador e a linha do meridiano central de cada fuso so

    representadas por linhas retas na projeo. Os demais meridianos

    so representados por linhas cncavas em relao ao meridiano

    central e os paralelos so representados por linhas cncavas em

    relao ao polo mais prximor.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 31

    Caractersticas da Projeo UTM

    k) O espaamento entre os meridianos aumenta a medida que eles se afastam do meridiano central. Para manter a proporcionalidade

    da projeo conforme, a escala na direo Norte-Sul tambm

    distorcida acarretando, assim, a existncia de uma escala

    diferente para cada ponto situado sobre o mesmo lado do

    meridiano.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 32

    Determinao do Meridiano Central da Projeo UTM

    O meridiano central determinado considerando-se que a sua

    variao ocorre de 6 em 6. O primeiro meridiano central possui

    longitude igual a 177 e o ltimo possui longitude igual a 3. Os

    meridianos centrais possuem, portanto, valores iguais a: 3, 9,

    15, 21, ..........., 45, 51, 57, e assim por diante. Para conhecer

    o valor da longitude do meridiano central de um ponto de longitude

    conhecida, basta situ-lo no fuso. A relao fuso/meridiano central

    dada pelas frmulas:

    6

    183 CMFuso

    MC = 183 - 6 . Fuso

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 33

    Os Fusos da Projeo UTM

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 34

    Os Fusos da Projeo UTM

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 35

    Os Fusos da Projeo UTM

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 36

    Transformao de Coordenadas Geodsicas em UTM

    Para a transformao de coordenadas, tanto para o problema direto

    como para o problema inverso, existem frmulas cujas dedues

    podem ser encontradas em obras especializadas. Para os propsitos

    deste curso, sero apresentadas a seguir as frmulas relativas a

    transformao de coordenadas geodsicas para coordenadas UTM.

    As coordenadas retangulares E, N da Projeo UTM podem ser

    calculadas pelas seguintes frmulas:

    5

    3

    6

    42

    )()('

    )()()('

    BpVpIVE

    ApIIIpIIIN

    Onde,

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 37

    Transformao de Coordenadas Geodsicas em UTM

    N = N - Para o Hemisfrio Norte N = 10.000.000 N - para o Hemisfrio Sul E = 500.000 + E- para pontos situados a leste do meridiano central MC E = 500.000 E- para pontos situados a oeste do meridiano central MC

    (I) = koS

    ]63072

    354)

    1024

    45

    256

    15(

    2)1024

    45

    32

    3

    8

    3()

    256

    5

    64

    3

    4

    11[(

    664

    642642

    senesenee

    seneeeeeeaS

    2

    10"1cos)(

    8

    0

    2

    ksensenNII

    16

    0

    4422234

    10)cos'4cos'9tan5(24

    cos"1)( kee

    senNsenIII

    4

    0 10"1cos)( ksenNIV

    12

    0

    22233

    10)cos'tan1(6

    cos"1)(

    ke

    NsenV

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 38

    Transformao de Coordenadas Geodsicas em UTM

    "0001,0 p

    MC

    24

    0

    32224256

    6

    6 10)'330cos'270tantan5861(720

    cos"1ksenee

    senNsenpA

    20

    0

    22224255

    5

    5 10)'58cos'14tantan185(120

    cos"1ksenee

    NsenpB

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 39

    A Convergncia Meridiana

    Os ngulos medidos no elipside esto referidos ao Norte Geogrfico

    (NG), cuja representao, na projeo UTM, dada por uma linha curva,

    cncava em relao ao meridiano central. As quadrculas UTM, por outro

    lado, formam um sistema de coordenadas retangular, com a direo Y

    (NQ) na direo Norte-Sul. As duas linhas formam, portanto, um ngulo

    varivel para cada ponto, denominado convergncia meridiana.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 40

    A Convergncia Meridiana

    A convergncia meridiana, no hemisfrio sul, positiva para os

    pontos situados a Oeste do meridiano central e negativa, para os

    ponto situados a Leste do meridiano central.

    Um clculo aproximado do valor da convergncia meridiana pode ser

    dado pela seguinte frmula indicada a seguir.

    C senOnde,

    C = Convergncia Meridiana

    = Diferena de longitude entre a longitude do ponto

    considerado e a longitude do meridiano central

    (Long Pt Long MC) = Latitude do ponto considerado

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 41

    Reduo Corda ou Reduo Angular

    Uma linha unindo dois pontos na superfcie de referncia esfrica

    representada no plano (na projeo) como uma linha curva (arco). Para

    as dimenses dos trabalhos topogrficos, entretanto, a curvatura dessa

    linha muito pequena e, em muitos casos, pode ser desconsiderada,

    aceitando-se a corda que une os dois pontos como a referncia para

    calcular a distncia e o azimute entre eles. O ngulo formado pela

    corda e pela tangente curva denominado ngulo de reduo

    corda ou ngulo de reduo angular, e representado pela letra

    grega , conforme indicado a seguir.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 42

    Reduo Corda ou Reduo Angular

    O valor mximo de , para uma

    linha de 10 Km da ordem de 7.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 43

    O Fator de Escala

    Para se obter a distncia plana entre dois pontos A e B, necessrio,

    inicialmente, corrigir a distncia medida na superfcie topogrfica, em

    relao aos fatores meteorolgicos e erros instrumentais, em seguida

    reduzi-la ao elipside de referncia e, finalmente, reduzi-la superfcie

    plana. Para a reduo da superfcie de referncia superfcie plana,

    utiliza-se um fator de escala, representado pela letra kUTM.

    A distncia plana obtida multiplicando-se a distncia esfrica (sobre o

    elipside de referncia) pelo fator de escala kUTM.

    0sks UTM

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 44

    O Fator de Escala

    Para evitar que as deformaes tornem-se exageradas nas bordas dos

    fusos, adotou-se, para a projeo UTM, um fator de escala

    k0 = 0,9996, para os pontos situados sobre o meridiano central.

    A partir do meridiano central o fator de escala cresce para Oeste e

    para Leste at atingir o valor k=1,000, nas vizinhanas de

    E=320.000,00 m e E=680.000,00, continuando a crescer at o valor

    kUTM=1,0010, nas bordas dos fuso, no equador.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 45

    O Fator de Escala

    R

    Ekk 2

    021.

    2

    0UTM

    onde,

    kUTM = fator de escala k0 = 0,9996 (fator de escala no MC)

    E = ordenada entre o meridiano central e o ponto considerado (500 000 Ept) Ro = Raio mdio de curvatura

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 46

    O Fator de Escala

    Para aplicar o fator de escala para a correo da distncia entre

    dois pontos, pode-se usar o valor do fator de escala mdio, se a

    distncia for pequena, ou uma mdia ponderada entre os pontos

    extremos e o ponto mdio, se a distncia for grande. Por

    exemplo,

    Para distncias inferiores a 15 km prope-se adotar

    Par distncias maiores do que 15 km prope-se adotar

    2

    kBkAk

    UTM

    6

    kB4kAk

    meioUTMK

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 47

    ngulos a serem considerados na Projeo UTM

    Quando se trabalha com coordenadas UTM necessrio considerar

    vrios tipos de elementos angulares. Os principais elementos so:

    - azimute plano ou azimute da quadrcula (UTM); - azimute geodsico projetado (proj);

    - azimute geodsico (geod);

    - convergncia meridiana (c);

    - reduo corda ().

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 48

    ngulos a serem considerados na Projeo UTM

    O azimute plano ou azimute da quadrcula o ngulo, na projeo,

    entre o Norte da quadrcula UTM e a linha reta que une os dois pontos a

    serem considerados.

    UTM = Arctg E/N

    O azimute geodsico projetado o ngulo, na projeo, entre o Norte

    da quadrcula e a tangente ao arco representativo da distncia projetada

    entre os dois pontos a serem considerados.

    proj = UTM +

    O azimute geodsico o ngulo, na projeo, entre o meridiano que

    passa pelo ponto inicial e a tangente ao arco representativo da distncia

    projetada entre os dois pontos considerados

    geod = UTM c

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 49

    ngulos a serem considerados na Projeo UTM

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 50

    ngulos a serem considerados na Projeo UTM

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 51

    Transformao de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y).

    A transformao das coordenadas UTM para coordenadas locais

    consiste em realizar uma rotao e a aplicao de um fator de escala.

    A rotao feita em funo da convergncia meridiana e o fator de

    escala adotado deve ser o fator de escala da projeo UTM, corrigido

    para considerar a altitude mdia do local (kTotal).

    Para aplicar a transformao, inicialmente, deve-se escolher um

    ponto de coordenadas conhecidas como origem da rotao. Em

    seguida, calcula-se a convergncia meridiana e o fator de escala total

    desse ponto, que sero adotados como ngulo de rotao e fator de

    escala da transformao.

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 52

    Transformao de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y).

    O procedimento completo de clculo o seguinte:

    1) escolher o ponto para origem do sistema (P0);

    2) calcular a convergncia meridiana e o fator de escala desse

    ponto:

    3) corrigir o fator de escala UTM considerando a altitude mdia

    da regio;

    4) calcular o UTM dos alinhamentos Po - Pi e corrigir com o valor

    da convergncia meridiana;

    5) calcular as projees

    X YP P P Po i o ie

    de cada alinhamento, considerando o fator de escala total

    (KT=KUTMxKalt);

    6) calcular as coordenadas transformadas para cada ponto Pi

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 53

    Transformao de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y).

    N

    Earctg UTM

    senc .

    cUTMGeod

    geod

    T

    PP

    PP senk

    sX o

    io.

    geod

    T

    PP

    PPk

    sY o

    iocos.

    X X XP P P Pi o o i

    Y Y YP P P Pi o o i

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 54

    Transformao de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y).

    Exemplo:

    Dadas as coordenadas planas UTM de dois pontos, determinar as

    suas coordenadas retangulares no sistema topogrfico local.

    NA = 6.953.623,380 m NB = 6.954.016,624 m

    EA = 601.613,787 m EB = 602.002,535 m = 27 32 14.483485 S = 27 32 01.599853 S = 43 58 15.310008 W = 43 58 01.258185 W

    H = 870,000

    Raio Mdio R0 da Terra no local = 6.365.883,810 m

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 55

    Transformao de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y).

    1. Clculo da Convergncia Meridiana

    2. Clculo do fator de escala altimtrico

    3. Clculo do fator de escala UTM

    Para o Pt A

    Para o Pt B = 0,99972843

    KUTM (mdio)= 0,99972794

    99986335.01

    HR

    HK

    o

    alt

    99972745,02

    1.2

    0

    R

    Ekk 2

    0

    UTM

    "92.32'2800 sencA

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 56

    Transformao de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y).

    4. Clculo do KT

    KT = KUTM x Kalt = 0,99959133

    5. Origem adotada para o Pt A

    XA = 5.000,000

    YA = 10.000,000

    6. Clculo da distncia plana AB

    961,552)()( 22 ABABAB EENNs

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 57

    Transformao de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y).

    7. Clculo da distncia elipsoidal AB (s0)

    111,5530 UTMK

    ss

    8. Clculo da distncia topogrfica AB

    ou

    9. Clculo do azimute plano AB

    10. Clculo do azimute geodsico AB

    187,553TK

    ss

    "14'40440

    AB

    ABAB

    NN

    EEArctg

    "41'11440)( AABABgeo c

    187,5530 AltK

    ss

  • 13.05.2012 Irineu da Silva Page 58

    Transformao de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y).

    11. Clculo das projees

    12. Clculo das coordenadas (X,Y) do Pt B

    621,396cos.

    626,385.

    geoAB

    geoAB

    sY

    sensX

    626,385.5

    626,385

    000,000.5

    B

    AB

    A

    ABAB

    X

    X

    mX

    XXX

    621,396.10

    621,396

    000,000.10

    B

    AB

    A

    ABAB

    Y

    Y

    mY

    YYY