Prof. Dr. Irineu da Silva

EESC-USP

Curso de Geomtica

Aula UTM

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As Distncias na Mensurao

Tipos de distncias

Existem vrias distncias a serem consideradas na Mensurao.

So elas:

- distncia inclinada;

- distncia horizontal;

- distncia esfrica;

- distncia plana.

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Distncia Inclinada e Distncia Horizontal

Sejam dois pontos P e Q sobre o terreno, conforme indicado a seguir.

s = distncia inclinada entre P e Q;

s = distncia horizontal entre P e Q;

= ngulo de altura da direo PQ.

= ngulo zenital da direo PQ

s = scos b ou s =ssen q

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Distncia Esfrica

Considerando a curvatura da Terra e adotando a esfera como a

superfcie de referncia, tem-se a seguinte situao:

R0 = raio mdio da esfera terrestre;

HP = altitude do ponto P;

HQ = altitude do ponto Q;

sP = distncia esfrica ao nvel de P;

sQ = distncia esfrica ao nvel de Q;

s0 = distncia esfrica ao nvel do

mar (H=0)

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Distncia Esfrica

As superfcies so esferas concntricas e permitem obter as seguintes

relaes:

s

R

s

R H

s

R H

o

o

P

o P

Q

o Q

Para um ponto P de altitude H, tem-se:

o

o

p

o

o

po

P sR

Hs

R

HRs .1.

o

p

Po

R

H

ss

1

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Distncia Esfrica

Para os clculos prticos pode-se operar com valores em ppm,

adotando-se uma altitude mdia para a regio de clculo. Nesse caso,

a reduo ao nvel do mar pode ser dada por:

ppmHR

Hd

o

610.Re

As redues podem tambm ser efetuadas aplicando-se um fator

de escala denominado Fator de Escala Altimtrico (Kalt), conforme

indicado abaixo.

HR

HK

o

alt

1

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Distncia Esfrica

A tabela a seguir apresenta a variao das distncias horizontais, em

relao a variao das altitudes, para diversos valores de H (para Ro =

6.362.735m na latitude = 21o58 00S, no Campus da Universidade Federal de So Carlos).

H(m)\ s(m) 1000 2000 5000 10000

5000 0,785 1,570 3,925 7,850

2000 0,314 0,628 1,571 3,142

1000 0,157 0,314 0,786 1,571

500 0,078 0,156 0,393 0,786

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Relao entre a Distncia Esfrica e a Distncia Horizontal

A distncia horizontal entre dois pontos situa-se no plano horizontal que

passa pelo ponto inicial. A distncia esfrica entre dois pontos situa-se

na superfcie esfrica que passa pelo ponto inicial. Tm-se assim as

seguintes relaes:

Q = projeo de Q sobre a superfcie esfrica; s = distncia horizontal em P;

sP = distncia esfrica ao nvel de P;

cP = corda PQ; = ngulo no centro da terra.

tan.

2..2:

.:,,

Po

PoP

PoP

HRs:PQtangente

senHRcQPcorda

HRsQParco

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Relao entre a Distncia Esfrica e a Distncia Horizontal

A diferena entre a corda PQ e o arco PQ e entre a tangente PQ e o arco PQ esto relacionadas na tabela a seguir (para Ro = 6.362.735m e para Hp = 870m).

sP (m) sP - cP (mm) sP - s (mm)

1000 +0,001 -0,008

2000 +0,008 -0,064

5000 +0,13 -1,03

10000 +1,03 -8,23

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Relao entre a Distncia Esfrica e a Distncia Horizontal

Constata-se atravs desta tabela que, para distncias inferiores a

10km, a diferena entre a corda e o arco desprezvel, o que j no

ocorre para a diferena entre a tangente e o arco.

Evidentemente, se os pontos P e Q no estiverem na mesma altitude,

haver uma diferena de distncia conforme se adote o plano

horizontal passando por P ou por Q. Essa diferena de distncias, na

maioria dos casos, pode ser desprezada.

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Sistemas de Projeo Cartogrfica

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Sistemas de Projeo Cartogrfica

As coordenadas planas da superfcie terrestre so obtidas a partir do

uso de um sistema de projeo, atravs do qual se estabelece uma

relao pontual e unvoca entre a superfcie de referencia, esfrica, e a

superfcie do desenho, plana. Trata-se, portanto, de obter as

coordenadas planas x, y a partir de um ponto de coordenadas (, ) da

superfcie esfrica. Na literatura distinguem-se os seguintes tipos de

projees cartogrficas:

- Projeo conforme, que so aquelas que conservam os

ngulos;

- Projeo equivalente, que so aquelas que conservam as

superfcies;

- Projees que no conservam nem os ngulos e nem as

superfcies mas que possuem outras caractersticas

importantes.

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Sistemas de Projeo Cartogrfica

importante salientar que no existe nenhuma projeo cartogrfica

que mantenha os comprimentos. Sendo a esfera e o elipside duas

superfcies esfricas, torna-se impossvel estabelecer uma

representao plana delas sem causar algum tipo de deformao

linear.

Geralmente os pases preferem adotar as Projees Conforme para a

determinao das suas bases cartogrficas. As Projees

Equivalentes so mais interessantes para o estabelecimento de cartas

com escala reduzida (Atlas Geogrfico).

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Principais Projees Cartogrficas

Cilndricas, Cnicas e Azimutais

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Principais Projees Cartogrficas

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Projees Cilndricas

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Projees Cilndricas

As Projees Cilndricas podem ser

- Projeo Cilndrica Normal: o eixo do cilindro coincide

com o eixo de rotao da Terra e o cilindro tangente superfcie

esfrica ao longo do equador.

- Projeo Cilndrica Transversa: o eixo do cilindro

coincide com o plano do equador e o cilindro tangente a superfcie

esfrica ao longo do meridiano. Exemplo, Projeo TM.

- Projeo Cilndrica Obliqua: o eixo do cilindro obliquo

em relao ao eixo de rotao da Terra e o cilindro tangente a

superfcie esfrica ao longo de um grande arco de crculo qualquer.

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Projees Cilndricas

Entre as Projees Cilndricas mais importantes vale a pena citar a

Projeo de Mercator

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Projees Cilndricas

Como curiosidade, apresenta-se a seguir uma imagem de uma Projeo

Cilndrica Equivalente. Neste caso a Cilndrica Equivalente de Lambert.

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Projees Cnicas

Em uma projeo cnica, a superfcie esfrica projetada sobre um

cone tangente, o qual posteriormente desenvolvido para se obter a

carta plana.

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Projees Cnicas

A projeo cnica mais conhecida a Projeo Cnica Conforme de

Lambert.

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Projees Azimutais

- Projeo Gnmica: o centro de projeo o eixo da Terra. Essa

projeo no conforme e nem equivalente.

- Projeo Estereogrfica: o centro de projeo o plo oposto ao

plano de tangncia. Ela uma projeo conforme.

- Projeo Ortogrfica: o centro de projeo est no infinito. Essa

projeo no conforme e nem equivalente.

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Exemplos de Cartas com Projeo Azimutal

Azimutal Gnmica

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Exemplos de Cartas com Projeo Azimutal

Azimutal Esterogrfica

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Exemplos de Cartas com Projeo Azimutal

Azimutal Ortogrfica

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A Projeo UTM

A projeo UTM, originada a partir da Projeo Conforme de Gauss, foi

usada pela primeira vez, em larga escala, pelo Servio de Cartografia do

Exrcito Americano (US Army Map Service - AMS), durante a Segunda

Guerra Mundial. A sua principal vantagem que ela permite representar

grandes reas da superfcie terrestre, sobre um plano, com poucas

deformaes e com apenas um grupo de frmulas.

A projeo UTM representada sobre um sistema de coordenadas

retangulares, o que a torna bastante til para ser aplicada na

Mensurao.

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Caractersticas da Projeo UTM

A projeo UTM uma projeo cilndrica conforme que pode ser

visualizada como um cilindro secante superfcie de referncia,

orientado de forma que o eixo do cilindro esteja no plano do equador.

O cilindro secante possui um dimetro menor do que o dimetro da

superfcie de referncia, criando, assim, duas linhas de interseo entre

o cilindro e a superfcie de referencia. A rea de projeo compreende

apenas uma parcela da superfcie de referncia. Essa rea

denominada fuso ou zona. Cada fuso representado pelo nmero do

fuso ou pela longitude do seu meridiano central. As coordenadas na

direo horizontal so denominadas Este e representadas pela letra E.

As coordenadas na direo vertical so denomin