Aula00c1 ExDeQualif Analise v01 ENVIADO

MA21 Resoluo de Problemas Prof. Carlos Nehab

Exames de Qualificao 2012/2013 + Exerccios Propostos

Geometria Plana Bsica

Semelhana, Ceva e Menelaus; Crculo, ngulos e Tan-gentes; Polgonos Regulares; Pentgono, Razo urea e Aplicaes; Pitgoras, Leis dos Senos e dos Cossenos; -reas.

20121Q4

ABCD um quadrado, M o ponto mdio do lado BC e N o ponto mdio do lado CD. Os segmentos AM e BN cortam-se em P. a) Mostre que PB/PN = 2/3 b) Calcule a razo PA/PM. c) Se AB = 1, calcule a rea do quadriltero PMCN.

Obs: Para mostrar os itens (b) e (c) voc pode usar o resulta-do do item (a) mesmo que no o tenha demonstrado.

20122Q6

No tringulo ABC assinale o ponto P do lado AC e o ponto Q do lado BC de forma que AP = AC/3 e BQ = 2.BC/3. Seja J o ponto de interseo de AQ e BP. a) Mostre que JA/JQ = 3/4. Sugesto: Trace QL pa-

ralelo a BP e use semelhana de tringulos. b) Calcule a razo JB/JP . c) Decida se a rea do tringulo BPQ maior do

que, menor do que ou igual metade da rea do tringulo ABC.

20123Q2 (1p) A figura mostra uma folha de papel retangular ABCD com AB = 25 cm e BC = 21 cm. Foi feita uma dobra no segmento AE de forma que o vrtice B coincida com o ponto P do lado CD do re-tngulo. a) Calcule o comprimento do segmento DP. b) Calcule a razo entre as reas dos tringulos

ADP e PCE, c) Calcule o comprimento do segmento AE. 20131Q1 (1,5p) dado um retngulo ABCD tal que, em seu interior, esto duas circunferncias tangen-tes exteriormente no ponto T, como mostra a figura. Uma delas tangente aos lados AB e AD e a outra tangente aos lados CB e CD.

a) Mostre que a soma dos raios dessas circunfe-rncias constante (s depende das medidas do retngulo).

b) Mostre que o ponto T pertence diagonal AC do retngulo.

20132Q4 Na figura temos um tringulo eqiltero ABC e um tringulo PQR cujos lados RP, PQ e QR so respectivamente per-pendiculares aos lados AB, BC e AC do tringulo ABC.

a) Mostre que o tringulo PQR equiltero. Conclua que AP = BQ = CR.

b) Se o tringulo ABC tem rea 1, encontra a rea do tringulo PQR.

Vai-que-cai 1 Canguru A figura indicada constituda de um quadrado e dois tringulos eqilteros de lados iguais a 1.

Mostre que os pontos D, E e F esto alinhados. Vai-que-cai 2 Os crculos que formam as figuras A, B e C so todos iguais. Os comprimentos dos contornos das figuras, indicados com linhas mais grossas, so a, b e c, res-pectivamente. Qual das alternativas verdadeira ?

a) a = b = c b) a < b = c c) b < c < a d) a = c < b e) a = b < c

Vai-que-cai 3 (Berkeley Math Circle 2008) Oito quadrados unitrios so agrupados para for-mar as duas peas indicadas, que se encostam nos pontos A, B e C.

Determine a distncia AB.



Vai-que-cai 4 Canguru 2012 Cadete Q29 Um tringulo dividido por trs segmentos de reta, em quatro tringulos e trs qua-drilteros, como indicado na figura. A soma dos perme-tros dos trs quadrilteros igual a 25 cm. A soma dos permetros dos quatro tringulos igual a 20 cm. O permetro do tringulo inicial igual a 19cm. Qual a soma dos compri-mentos dos trs segmentos de reta iniciais? Vai-que-cai 5 Observe a figura abaixo, que representa um quadra-do ABCD, de papel, no qual M e N so pontos so os pontos mdios de dois de seus lados. Esse quadrado foi divi-dido em 4 partes para formar um jogo. O jogo consiste em montar, com todas as partes, um retngulo, cuja base seja maior do que a altura. O re-tngulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o proble-ma proposto no jogo.

Calcule a razo OS/PQ.

Vai-que-cai 6 UERJ 2006 No toldo da barraca de Seu Antnio, decorado com polgonos coloridos, destaca-se um dodecgono cu-jos vrtices so obtidos a partir de quadrados cons-trudos em torno de um hexgono regular, confor-me mostra o desenho indicado:

a) Demonstre que o decgono ABCDEFGHIJKL um

polgono regular.

b) Tomando o quadrado de lado AB como unidade de rea, calcule a rea desse dodecaedro.

Vai-que-cai 7 USAMTS 2007/08 a19/e1/q2 Um polgono regular de 18 lados dissecado em 18 pentgonos, cada um dos quais congruente com o pentgono ABCDE, conforme mostrado. Todos os lados do pentgono possuem mesmo comprimento.

a) Determine os ngulos A, B, C, D e E. b) Mostre que os pontos X, Y e Z so colineares. Vai-que-cai 8 USAMTS 1998/99 a10/e2/q5

Na figura ABCD um quadriltero convexo, K, L, M e N so os pontos mdios de seus lados e PQRS o quadriltero formado pelas intersees de AK, BL, CM e DN.

Determine a rea do qua-driltero PQRS se a rea do quadriltero ABCD vale 3000 e as reas dos qua-drilteros AMQP e CKSR valem 513 e 388, respec-tivamente.

Vai-que-cai 9 UERJ 2004 Num tringulo ABC, os lados BC, AC e AB medem, respectivamente, a, b e c. As medianas AE e BD, re-lativas aos lados BC e AC interceptam-se ortogonal-mente no ponto G. Conhecidos a e b, determine: a) o valor de c em funo de a e b. b) a razo entre as reas dos tringulos ADG e BEG. Vai-que-cai 10 Determine a razo entre as reas dos tringulos A1B1C1 e ABC, sabendo-se que os pon-tos A1, A2; B1, B2 e C1, C2 divi-dem os segmentos BC, CA e AB em trs partes iguais.



Vai-que-cai 11 OBM 2010 N3 F1 Q19 Seja ABC um tringulo e X, Y e Z pontos sobre os

lados BC, CA, AB tais que

2===ZABZ

YCAY

XBCX

.

A razo entre as reas do tringulo XYZ e do tringulo cujos lados so congruen-tes s medianas de ABC :

Obs.: as medianas de um tri-ngulo so os segmentos que ligam os vrtices do tringulo aos pontos mdios dos lados opostos.

A) 2/3 B) 1/2 C) 4/9 D) 1/3 E) 1/4 Vai-que-cai 12 Canguru 2012 Estudante Q5 A tira retangular de papel [ABCD] de dimenses 4 cm x 16 cm, representada na figura, dobrada ao longo da reta MN de modo que os vrtices A e C fiquem sobre-postos. Qual a rea do qua-driltero [ANMD]? Vai-que-cai 13 Canguru 2013 Estudante Q11 Ana tem vrias peas idnticas com a forma de um pentgono regular e as cola, face a face, de modo a completar um aro circular, como representado na figura. Quantas peas possui o aro assim construdo? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

Discusso (Nehab) Mostre que se for exigido que a figura interna ao aro se-ja um polgono convexo (no exerccio proposto, ser um decgono regular) as nicas peas que so polgonos que permitem que se construa o citado aro so o prprio pentgono, o hexgono, o octgono e o dodecgono. En-tretanto, se for permitido que a figura interna ao aro se-ja um polgono estrelado, o problema fica muito, mas muito mais interessante. Investigue essa situao.

Vai-que-cai 14 Canguru 2013 Junior Q11 Na figura o tringulo RZT resulta do tringulo KZM aps uma rotao deste em torno de Z, no sentido dos ponteiros do relgio, Qual a medida da ampli-tude do ngulo RKM?

Vai-que-cai 15 Problemas Hngaros 1905 Q3 Seja C1 qualquer ponto sobre o lado AB de um tri-ngulo ABC e trace CC1. Seja A1 a interseo da reta suporte de BC com a reta que passa por A e pa-ralela a CC1; analogamente, seja B1 a interseo da reta suporte de AC com a reta que passa por B e paralela a CC1. Mostre que 1/AA1 + 1/BB1 = 1/CC1.

Vai-que-cai 16 Henry Ernest Dudeney

Qual a rea de um tringulo cujos lados so 61, 153 e 388 ? Dica: a figura...

Geometria Espacial

Poliedros Platnicos Figuras Clssicas; Pirmides; Cor-pos Redondos

20121Q5

Na figura, ABCDEFGH um cubo de aresta 1. AE, BF, CG e DH so arestas e a face ABCD est contida em

um plano horizontal . Seja T o tetraedro BDEG. Se-ja X um ponto da aresta AE (diferente de A e de E) e

o plano paralelo a que passa por X. A intersec-o de com T o quadriltero MNPQ, como mos-trado na figura.

a) Mostre que MNPQ um retngulo. b) Mostre que o permetro de MNPQ igual a

22, independentemente do ponto X.



20122Q5

Seja ABC um tringulo equiltero de lado 6 e AD um segmento perpendicular ao plano desse trin-gulo, de comprimento 8. a) Localize o ponto P do espao que equidistan-

te dos quatro pontos A, B, C e D e calcule a dis-tncia comum R = PA = PB = PC = PD.

b) Calcule o cosseno do ngulo entre as retas re-versas AC e BD.

20123Q1 (1p) No octaedro regular duas faces opostas so parale-las. Em um octaedro regular de aresta a, calcule a distncia entre duas faces opostas.

Obs: no seu clculo, voc pode afirmar as propriedades que est utilizando sem precisar demonstr-las, mas de-ve descrev-las detalhadamente.

20131Q2 (1p)

O poliedro representado na figura tal que:

i) h exatamente um plano de simetria; ii) em cada vrtice, os planos das faces que se

tocam so perpendiculares dois a dois, sen-do possvel decompor o slido em trs pa-raleleppedos.

iii) as dimenses nunca ultrapassam 19. iv) os comprimentos das arestas so inteiros

maiores do que 1. v) O volume igual a 1995.

a) Descreva o plano de simetria do slido. b) Encontra os valores de x, y e z.

20132Q3 Um cone de revoluo tem altura x e est circuns-crito a uma esfera de raio 1. Calcule o volume des-se cone em funo de x.

Vai-que-cai 17 UERJ 2005 O poliedro indicado, com exatamente 30 faces qua-drangulares numeradas de 1 a 30 utilizado como um dado, em um jogo. Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que, ao ser lanado, cada face tenha a mesma probabilidade de ser sorteada. Calcule: a) A probabilidade de se ob-

ter um nmero primo ou um mltiplo de 5 ao lanar esse dado uma nica vez.

b) O nmero de vrtices do poliedro. Vai-que-cai 18 Qual a razo entre os volumes de um cubo e de seu slido dual? Vai-que-cai 19 IME Considere um tetraedro regular de arestas de com-primento a e uma esfera de raio R tangente a todas as arestas do tetraedro. Em funo de a, calcule:

a) O volume total da esfera. b) O volume da parte da esfera situada no interior

do tetraedro. Vai-que-cai 20 UERJ 2001 Observe a figura a seguir:

Ela representa um cubo de aresta 2, seccionado por um plano ABCD, onde B = (2, 0, t) e t varia no intervalo [0, 2]. Determine a menor rea do quadriltero ABCD.



Vai-que-cai 21

a) Calcule a razo entre os volumes do tetraedro e do octaedro inscritos no mesmo cubo, como mostra a figura.

b) Determine a razo entre os volumes de um te-traedro e um octaedro isopermetros.

Vai-que-cai 22 OBM 2012 F1 N3 Q14 Considere uma pirmide VABCD de base quadrada. Seja P o centro da base ABCD e X, Y, Z e W pontos sobre as fa-ces laterais tais que PXYWZ uma pirmide seme-lhante a VABCD, com as diagonais da base XZ e YW paralelos a BC e CD, respectivamente.

A razo de seme-lhana entre as duas pirmides

A) 1:(2+1) B) 1:3 C) 1:2 D) 1:2 E) 1:(22+3) Vai-que-cai 23 Clssico Os trs retngulos ureos da figura so ortogonais dois a dois. a) Mostre que os 12 vrtices

determinam um dode-caedro regular.

b) Determine o raio da esfera inscrita, cir-cunscrita e medial em funo da aresta do dodecaedro.

c) Determine o ngulo diedro do dodecaedro.

Vai-que-cai 24 USAMTS 2007/08 a19/e2/q5 As faces ABC e XYZ de um icosaedro regular so pa-ralelas, com os vrtices dispostos de tal forma que AX, BY e CZ so concorrentes. Seja S o slido cujas faces so ABC, AYZ, BXZ, CXY, XBC, YAC, ZAB e XYZ. Se AB = 6, qual o volume de S? Vai-que-cai 25

ABCD um tetraedro com AB = 6, BC = 8, AC = AD = 10 e BD = CD = 12. P um plano paralelo face ABC e divide o tetraedro em duas partes de igual volume e Q um plano paralelo face DBC e que divide ABCD em duas partes tambm de igual volume. A

linha a interseo dos planos P e Q. Determine o

comprimento da poro de interna a ABCD.

Funes Exponencial e Logartmica

20121Q1 Um corpo est contido num ambiente de tempe-ratura constante. Decorrido o tempo t (em minutos), seja D(t) a diferena entre a temperatura do corpo e do ambiente. Segundo a Lei do Resfriamento de Newton, D(t) uma funo decrescente de t, com a propriedade de que um decrscimo relativo

)()()(

tDhtDtD +

no intervalo [t, t + h] depende apenas da durao h desse intervalo (mas no do momento em que essa observao se iniciou). Isso posto, responda se-guinte pergunta:

Num certo dia, a temperatura ambiente era de 30. A gua, que fervia a 100 numa panela, cinco minu-tos depois de apagado o fogo, ficou com a tempera-tura de 60. Qual era a temperatura da gua 15 mi-nutos aps apagado o fogo?

20122Q2

a) Usando o grfico com o qual se define geome-tricamente o logaritmo natural ln, mostre que ln(x + 1) < x, para todo x > 0 e, da, ln x < x.

b) Tomando x em vez de x nesta ltima desi-gualdade, prove que para todo x suficiente-mente grande, o quociente (ln x) / x pode se tornar to pequeno quanto desejemos.

c) Prove ainda que essa concluso vlida para logaritmos em qualquer base > 1.



20123Q5 Um corpo est impregnado de uma substncia radioativa cuja meia vida um ano. Quanto tem-po levar para que a radioatividade se reduza a 10% do que ? Vai-que-cai 26 O cobre-64 usado na forma de acetato de cobre II, no tratamento de tumores cerebrais. Se a meia-vida desse radioistopo de 12,8 h, a quantidade que restar de uma amostra com 15,0 mg de acetato de cobre II, aps 2 dias e 16 horas, estar entre:

A. 0,1 e 0,5 mg. B. 0,5 e 1,0 mg. C. 1,0 e 2,0 mg. D. 2,0 e 3,0 mg. E. 3,0 e 5,0 mg.

Vai-que-cai 27 UERJ 2001 Segundo a lei do resfriamento de Newton, a tempe-ratura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura T0 obedece seguinte relao:

T = T0 + ke-ct.

Nesta relao, T medida na escala Celcius, t o tempo medido em horas a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c so cons-tantes a serem determinadas. Considere uma xcara contendo caf, inicialmente a 100oC, colocada numa sala de temperatura 20oC. Vinte minutos depois, a temperatura do caf passa a ser 40oC. a) Calcule a temperatura do caf 50 minutos aps

a xcara ter sido colocada na sala.

b) Considerando n 2 = 0,7 e n 3 = 1,1, estabele-

a o tempo aproximado em que, depois de a x-cara ter sido colocada na sala, a temperatura do caf se reduziu metade.

Vai-que-cai 28 UERJ 2010 Suponha que x e y so nmeros reais positivos que apresentam logaritmos com bases diferentes, con-forme as igualdade a seguir:

log9 x = log6 y = log4 (x + y)

Calcule a razo x/y.

Vai-que-cai 29 ITA 2012

Determine os valores de [0; 2pi] tais que logtg() e

sen() > 0.

Funes Afim, Quadrtica, Modular, etc

20121Q2

a) (5p) Dado um nmero real a > 0, quanto me-dem os lados de um retngulo de permetro mnimo cuja rea a?

b) (10p) Justifique, matematicamente, por que no se pode responder o item (a) se trocarmos m-nimo por mximo?

20131Q4 (1p) A derivada de um polinmio

p(x) = anxn + an-1x

n-1 + .... a1x + a0 , por definio, o polinmio

p(x) = nanxn-1 + (n-1)an-1x

n-2 + .... + 2a2x + a1.

Admita a regra da derivada do produto:

(p.q)(x) = p(x).q(x) + p(x).q(x)

Prove que a cumpre p(a) = p(a) = 0 se e somen-te se p(x) = (x a)2s(x) para algum polinmio s(x).

20132Q6

Considere a equao |23|2|3|||

21

= xxx .

Sejam f: uma funo peridica e g: uma funo qualquer. a) Quais as razes dessa equao? Explique deta-

lhadamente como as encontrou. b) Esboce, em um mesmo plano cartesiano, os

grficos das funes

f(x) = |3|||21

xx e g(x) = |23|2 x

e marque as razes que voc encontrou no item a. Vai-que-cai 30 AIME 1987 Determine a rea da regio delimitada pelo grfico de |x 60| + | y | = |x/4| Vai-que-cai 31 USAMTS 1998/99 a10/e2/q1 Determine o nico par de nmeros reais que satis-fazem equao (4x2 +6x + 4).(4y2 12y +25) = 28.

Vai-que-cai 32

Resolva a equao xx =+++ 111 .

Vai-que-cai 33 UERJ 2005 O retngulo de ouro usado em Arquitetura desde a Grcia antiga. A razo entre as medidas do maior



e do menor lado desse retngulo o nmero de

ouro, representado por . a) Sabendo-se que uma das razes da equao

x2 = x + 1, calcule o valor de . b) Observe as implicaes indicadas:

2 = + 1

+=+=

+=+=

2312

4234

323

Determine todas as razes complexas da equao x4 = 3x + 2. Vai-que-cai 34

Prove a igualdade (a+b+c)3a3b3c3 = 3(a+b)(a+c)(b+c)

a partir da anlise das razes do polinmio P(x) = (x+b+c)3 x3 b3 c3. Vai-que-cai 35 Olimpada da Alemanha

Uma parbola de equao y = ax + bx + c, a>0 toca

as parbolas p1 and p2, de equaes y = x + b1x +

c1 e y = x + b2x + c2 nos pontos A e B.

Mostre que a tangente comum s parbolas p1 and p2 paralela reta AB.

Vai-que-cai 36 PUC 2014 Considere a funo polinomial f(x) = x3/3 x. a) Esboce o grfico de f(x). b) Determine todos os valores reais de c para que

o grfico de h(x) = x3/3 x + c intercepte o eixo Ox em um nico ponto.

c) Esboce o grfico de g(x) = x3/3 - |x|. Vai-que-cai 37 ITA 2002 Com base no grfico da funo polinomial y = f(x) esboado, responda qual o resto da diviso de f(x) por (x )(x 1).

Combinatria e Probabilidade

Combinatria; Probabilidade Binomial; Probabili-dade Condicional

20121Q3

Uma moeda honesta lanada sucessivas vezes. a) Se a moeda for lanada 4 vezes, qual a proba-

bilidade de que o nmero observado de caras seja mpar? E se a moeda for lanada 5 vezes?

b) Observando o resultado do item (a), formule uma conjectura sobre a probabilidade de se ob-servar um nmero mpar de caras em n lana-mentos da moeda.

c) Demonstre, utilizando induo finita, a conjec-tura do item (b).

20122Q3

Uma moeda, com probabilidade 0,6 de dar cara, lanada 3 vezes. a) Qual a probabilidade de que sejam observadas

duas caras e uma coroa, em qualquer ordem? b) Dado que foram observadas duas caras, e uma

coroa, qual a probabilidade de que tenha dado coroa no primeiro lanamento?

20123Q3 Em uma caixa h trs dados aparentemente idn-ticos. Entretanto, apenas dois deles so normais, enquanto o terceiro tem trs faces 1 e trs faces 6. Um dado e retirado ao acaso da caixa e lanado du-as vezes.

Se a soma dos resultados obtidos for igual a 7, qual a probabilidade condicional de que o dado sorteado tenha sido um dos dados normais?

20131Q5

a) Maria tem 10 anis idnticos e quer distribu-los pelos 10 dedos de suas mos. De quantas maneiras diferentes ela pode fazer isso? Supo-nha que possvel colocar todos os anis em qualquer um dos dedos...

b) Suponha, agora, que os 10 anis sejam todos distintos. De quantas maneiras pode distribu-los em seus dedos? Aqui, tambm, suponha que possvel colocar todos os anis em qual-quer um dos dedos e que a ordem dos anis nos dedos relevante.



Vai-que-cai 38 O mercado automobilstico brasileiro possui vrias marcas de automveis disponveis aos consumido-res. Para cinco dessas marcas, A, B, C, D e E, a ma-triz fornece a probabilidade de um proprietrio de um carro de marca da linha i trocar para o carro de marca da coluna j, quando da compra de um carro novo. Os termos da diagonal principal dessa matriz fornecem as probabilidades de um proprietrio permanecer com a mesma marca de carro na com-pra de um novo.

A B C D E

A 0,6 0,1 0,2 0,1 0,0 B 0,3 0,5 0,0 0,1 0,1 C 0,2 0,2 0,4 0,1 0,1 D 0,3 0,2 0,2 0,3 0,0 E 0,2 0,3 0,1 0,2 0,2

A probabilidade de um proprietrio de um carro da marca B comprar um novo carro da marca C, aps duas compras, :

a) 0,25 b) 0,24 c) 0,20 d) 0,09 e) 0,00

Vai-que-cai 39

Mostre que, se n primo, ento 11 )1( + knkC di-visvel por n.

Vai-que-cai 40 Seja A o conjunto dos inteiros de 1 a 99, inclusive. Determine de quantas maneiras diferentes pode-mos escolher 3 nmeros distintos de A de tal forma que sua soma seja um mltiplo de 3. Vai-que-cai 41 a) Utilizando argumento combinatrio, prove que

phmh

pm

phm

phm

phm CCCCCCCCC +

=++++ 022110 ....... ,

onde yxC combinao de x objetos y a y...

Dica: Conte de duas maneiras diferentes o nmero de subconjuntos com p elementos de um conjunto com m+h elementos.

b) Mostre, como conseqncia, que nnn

k

kn CC 2

0

2)( ==

.

Analisando a igualdade (1 + x)n(1 + x)n = (1 + x)2n fornea outra prova desse somatrio.


Um palco possui 6 refletores de iluminao. Num certo instante de um espetculo moderno, os refle-tores so acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de 2/3 a proba-bilidade de ser aceso. Ento, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente igual a:

(A) 16/27 (B) 49/81 (C) 151/243

(D) 479/729 (E) 24/34 + 25/35

Teoria dos Nmeros

Algebrismos, Nmeros da Forma...; Divisibilidade, Pri-mos Especiais; Aritmtica Modular, Fermat, Euler, Wil-son; Teorema dos Restos

20121Q6

Um truque de adivinhao de nmeros. a) Descreva mtodos prticos para obter os restos

da diviso por 9, 10 e 11, respectivamente, de um nmero escrito no sistema decimal.

b) Ache as solues mnimas de cada uma das se-guintes congruncias:

(i) 110y 1 mod 9 (ii) 99y = 1 mod 10 (iii) 90y = 1 mod 11

c) Um mgico pede a sua audincia para escolher um nmero natural M de pelo menos dois alga-rismos e menor do que 1000, e de lhe revelar apenas os restos r9, r10 e r11 da diviso de M por 9, 10 e 11, respectivamente (tarefa fcil, pelo item a). Sem nenhuma outra informao, ele consegue descobrir M. Explique como ele con-segue fazer isso.

d) Supondo que a plateia tenha dado as seguintes informaes ao mgico: r9 = 7, r10 = 8 e r11 = 9, qual o valor de M que o mgico achou?

20122Q7

a) Mostre que nenhum nmero natural da forma 4n + 3 pode ser um quadrado ou a soma de dois quadrados de nmeros naturais.

b) Mostre que nenhum nmero da forma 111...1 (n dgitos iguais a 1, n > 1) o quadrado ou a soma de dois quadrados de nmeros naturais.



20122Q8 (com enunciado do item a corrigido) Considere o sistema de congruncias:

22

11modmod

ncx

ncx

Denotamos, como de costume, o mdc e o mmc de n1 e n2 por (n1, n2) e [n1, n2], respectivamente.

a) Mostre que, se a soluo ento a soluo

se e somente se a a mod [n1, n2]. b) Mostre que o sistema admite soluo, se e so-

mente se, c2 c1 mod (n1, n2). c) Dadas as progresses aritmticas (an) de pri-

meiro termo 5 e razo 14 e (bn) de primeiro termo 12 e razo 21, mostre que elas possuem

termos comuns (isto , existem r e s tais que ar

= bs). Mostre que esses termos comuns for-mam uma PA e determine seu primeiro termo e sua razo.

20123Q7

Mostre que para todo n , inteiro o nmero nnn

3523

51

71 57 ++ .

20123Q8 (1,5p)

Um nmero natural m dito quadrado se existe a tal que m = a2.

a) Mostre que o algarismo das unidades (na base 10) de um quadrado s pode ser um dos se-guintes: 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.

b) Mostre que todo quadrado da forma 4n ou 4n+1.

c) Mostre que nenhum nmero que escrito na ba-se 10 tem a forma m = dd...d (todos os algaris-

mos iguais), com m > 10 e d { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} um quadrado.

20131Q7

Seja n = {1, 2, 3, ...} e considere os conjuntos A = { d | d|n } e B = { n/c | c A }. Denotemos por S(n) a soma dos divisores naturais de n e por S*(n) a soma dos seus inversos.

a) Mostre que A = B e com isso conclua que S*(n) = S(n)/n.

b) Mostre que n um nmero perfeito se e so-mente se S*(n) = 2.

20131Q8 (1) Mostre que se p primo, p > 3, ento p2 deixa res-to 1 na diviso por 24.

20132Q7 Determine todos os inteiros X que so solues da congruncia

X49 + X14 + X12 2X 0 (mod 7) Vai-que-cai 43 OIM Ucrnia 1999 Eureka 11 Mostre que o nmero 9.999.999 + 1.999.000 com-posto. Vai-que-cai 44 Clssicos

Sejam P = 4n + n2 e Q = n4 + n2 + 1, n > 1, inteiro. Determine para quais valores de n, inteiro posi-tivo, o inteiro P composto. Idem para Q.

Determine para quais pares (a; b) de inteiros positivos, R = a4 + 4b4 um inteiro primo.

Determine o maior primo p para o qual p3 + p2 + 11p + 2 primo.

Vai-que-cai 45 Andreeescu Mostre que para todo n > 1, inteiro, n(n 1)4 + 1 um inteiro composto. Vai-que-cai 46 IME

Determine o conjunto soluo S = (x, y) x e y Z} da equao (x + y)k = xy, sabendo que k um n-mero primo.

Vai-que-cai 47 Divisibilidade por 17 Seja N um inteiro, r seu ltimo dgito e M o nmero formado pelos algarismos anteriores (por exemplo, se N = 3249, ento r = 9 e M = 324).

Prove que 17 | N se e somente se 17 | M - 5r.

Vai-que-cai 48 Divisibilidade por 7 Prove o seguinte critrio de divisibilidade por 7, para nmeros maiores do que 1000.

Dado um nmero X maior do que 1000, se-pare-o em dois nmeros: N, formado pelos seus trs ltimos algarismos e M, formado pelos algarismos anteriores: por exemplo, se X = 32.451, M = 32 e N = 451.



Subtraia estes dois nmeros; afirmamos que o nmero X mltiplo de 7 se e somente se esta diferena for mltipla de 7...

Vai-que-cai 49 IME 1997/1998 Uma soma finita de nmeros inteiros consecutivos mpares, positivos ou negativos, igual a 73. De-termine os termos desta soma.

Vai-que-cai 50 Berkeley University Adaptado Considere a seqncia 1, 14, 27, 40,... Mostre que h uma infinidade de inteiros nesta seqncia for-mados apenas pelo dgito 2.

Este resultado continuaria vlido para outras pro-gresses aritmticas? Em quais circunstncias?

Dica: Tente encontrar pelo menos um nmero formado apenas pelo algarismo 2 que faa parte da seqncia. Monte a diviso de forma usual, supondo que seu divi-dendo possui um monte de algarismos 2 e v fazendo a diviso at encontrar um resto 0...

Vai-que-cai 51

Mostre que se p = 2n + 1 primo (chamado de primo de Fermat), ento n uma potncia de 2.

Vai-que-cai 52 Mostre que se ak 1 primo, onde a e k so intei-ros, ento a = 2 e k primo. Primos dessa forma so chamados de primos de Mersenne.

Obs: o maior primo conhecido hoje (dez/2013) um primo de Mersenne com k = 57.885.161, e foi descober-to em 25/jan/2013.

Vai-que-cai 53

Mostre que o produto de n inteiros positivos con-secutivos divisvel por n! (fatorial de n).

Vai-que-cai 54 Brahmagupta (598 - 670). Diga um nmero que dividido por 6, tem resto 5, por 5, resto 4, por 4, resto 3 e por 3, resto 2...

Vai-que-cai 55 Brahmagupta (598 e 670). Uma velha mulher vai ao mercado e um cavalo pisa-lhe o cesto e parte todos seus ovos. O dono oferece-se para lhe pagar os estragos e pergunta quantos ovos ela tinha comprado. Ela no se lembra do n-mero exato, mas quando os tirou dois a dois no so-brou nenhum ovo. O mesmo aconteceu quando os

tirou trs a trs, quatro a quatro, cinco a cinco e seis a seis, mas quando os tirou sete a sete, no aconte-ceu a mesma coisa... Qual o menor nmero de ovos que ela tinha no cesto?

Vai-que-cai 56 Prove que se N = 2k-1(2k 1), onde 2k 1 um pri-mo de Mersenne, ento N um nmero perfeito par. (Obs: vale tambm a recproca, mas a de-monstrao bem mais elaborada). Vai-que-cai 57 Delrio de uma noite de vero a) Mostre que qualquer nmero primo p > 3 da

forma 6k 1. b) Assuma que todo nmero perfeito par da for-

ma 2k-1(2k 1), onde 2k 1 um primo de Mer-senne. Mostre que se N um nmero perfeito

par ento N 9 1, ou seja, N noves fora d 1! Vai-que-cai 58 Delrio de uma noite de vero... Assuma que todo nmero perfeito par da forma 2k-1(2k 1), onde 2k 1 um primo de Mersenne (e, como conseqncia, k primo).

Mostre que N, quando expresso na base 2, possui k algarismos iguais a 1 seguidos de k 1 algarismos iguais a 0. Por exemplo, 6 = (110)2 e 28 = (11100)2. Induo e Recorrncia

Somatrios Clssicos; Sequncias definidas recor-rentemente; recorrncia geomtrica; PA; PG, PA de ordem n.

20122Q4

Considere a sequncia definida como indicado: a1 = 1 a2 = 1 + 2 a3 = 2 + 3 + 4 a4 = 4 + 5 + 6 + 7 ...

a) O termo a10 a soma de 10 inteiros consecuti-vos. Qual o menor e o maior desses inteiros?

b) Fornea uma expresso geral para o termo an. 20123Q4 (1p)

A linha poligonal da figura comea na origem e pas-sa por todos os pontos de coordenadas inteiras do plano cartesiano.



a) Seja n um nmero inteiro no negativo. Mostre

que o comprimento c(n) da linha poligonal da origem at o ponto (n, n) igual a 4n2.

b) Qual o comprimento da linha poligonal entre os pontos (7, 10) e (11, -20)?

20131Q6

Uma sequncia (an) tal que a1 = 1 e

1...21

1+

++=+

n

aaaa nn

para todo n 1. Mostre que os valores de an, para n 2 so todos iguais. 20132Q1 Considere um tringulo equiltero de lado 3 e seja A1 sua rea. Ao ligar os pontos mdios de cada la-do, obtemos um segundo tringulo equiltero de rea A2 inscrito no primeiro. Para este segundo tri-ngulo equiltero, ligamos os pontos mdios de seus lados e obtemos um terceiro tringulo equil-tero de rea A3 inscrito no segundo e assim suces-sivamente, gerando uma sequncia de reas (An), n = 1, 2, 3, . . . Usando o Princpio da Induo Finita, mostre que a

frmula An= n439

verdade para todo n 1.

20132Q2 A sequncia (an), n 0 definida da seguinte ma-neira: a0 = 4; a1 = 6 e an+1 = an/an-1, n 1. a) Encontre a7. b) Encontre a soma dos primeiros 2013 termos

da sequncia. 20132Q8 Encontre o menor natural k, k > 2008, tal que

1 + 2 + ... + k

seja um mltiplo de 13. Justifique sua resposta.

Vai-que-cai 59 UERJ 2005 A figura apresenta 25 retngulos. Observe que 4 desses retngulos contm nmeros e um a letra n.

n

65

130

75

0

Podem ser escritos, em todos os outros retngulos, nmeros inteiros positivos, de modo que, em cada linha e em cada coluna, sejam formadas progres-ses aritmticas de cinco termos. Calcule: a) A soma dos elementos da quarta linha.. b) O nmero que deve ser escrito no lugar de n.

Vai-que-cai 60 UERJ 2008

Moedas idnticas de 10 centavos de real foram ar-rumadas sobre uma mesa obedecendo disposio apresentada no desenho: uma moeda no centro e as demais formando cama-das tangentes.

Considerando que a lti-ma camada formada de 84 moedas, calcule a quantia, em reais, do total de moedas usadas nessa arrumao.

Suponha que tenha sido solicitado, tambm, na questo, o que se segue:

Determine, em funo de n >1:

a quantidade de moedas da n-sima camada.

a quantidade total de moedas utilizadas at a n-sima camada, inclusive.

A rea do hexgono regular circunscrito n-sima camada em funo do raio r da moeda.

Vai-que-cai 61 UERJ 2004 O fractal chamado floco de neve de Koch obtido a partir de um tringulo eqiltero, dividindo-se seus lados em trs partes iguais e construindo-se, sobre a parte do meio de cada um dos lados, um novo tringulo eqiltero.



Este processo de formao continua indefinidamen-te at a obteno de um floco de neve de Koch. Supondo que o lado do tringulo inicial mea 1 uni-dade de comprimento, ento a rea do floco de neve de Koch formado, ser em unidades quadradas, equi-valente a:

(a) 3/5 (b) 3/4 (c) 23/5 (d) 3/2 Vai-que-cai 62 UERJ 2006 - adaptado

Em uma feira as pilhas de laranjas so arrumadas como sugere a figura, s seguir.

No topo da pilha h sempre 2 laranjas e, na base, um retngulo de laranjas que, nessa ilustrao con-tm 7 laranjas por 6 laranjas.

Calcule de duas formas diferentes (e uma delas usando o Tringulo de Pascal), a quantidade de la-ranjas de uma pilha com n camadas de laranjas.

Vai-que-cai 63 USAMTS 1999/00 a11/e1/q4 Existem 8436 bolas de ao cada uma com raio de 1 cm, arrumadas em uma pilha tetradrica, com uma bola no topo, 3 na segunda camada, 6 na ter-ceira, 10 na quarta, e assim por diante. Determine a altura da pilha.

Vai-que-cai 64 USAMTS 2007/08 a19/e4/q3

Seja 1 < < 1. Defina a sequncia {an}, de nmeros reais, por a1 = 1 e, para cada inteiro k 1,

a2k = ak e a2k+1 = (1 )ak.

Determine, em funo de , o valor de 2 2 11

k kk

a a

+=

.

Vai-que-cai 65 Uma folha de papel A0 dividida ao meio, e assim sucessivamente, como mostra a figura, gerando todas as demais folhas da famlia de papis co-nhecida como famlia A.

Admitindo que essa famlia fosse infinita, com cada folha sendo a metade da folha anterior, deter-mine o comprimento da linha po-ligonal (infinita) que une os centros de todas as fo-lhas da famlia supondo a disposio da figura indi-cada. Sabe-se que a folha A0 possui 1m2 de rea.

Consulte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tamanho_de_papel

Desigualdades

MQ MA MG MH; Trinmio do 2 grau e Desi-gualdades.

20122Q1

a) Prove que, para quaisquer x, y, z, a, b, c , tem-se (ax+by+cz)2 (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2).

b) Excetuando o caso trivial em que a = b = c = 0, mostre que vale a igualdade se, e somente se,

existe m tal que x = ma, y = mb e z = mc.

20123Q6 (1,5p)

Qual o menor valor da expresso )81/(/16 xyyx + quando x e y so nos reais positivos quaisquer?

Vai-que-cai 66 UERJ 2008 Um cilindro circular reto ins-crito em um cone, de modo que os eixos desses dois slidos sejam coline-ares, conforme re-presentado na ilus-trao. A altura do cone e o dimetro de sua base medem, cada um, 12 cm. Admita que as medidas, em centmetros, da al-tura e do raio do cilindro variem no intervalo ] 0; 12[, de modo que ele permanea inscrito no cone. Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua rea lateral seja mxima.



Vai-que-cai 67

Seja MQ a mdia quadrtica e MA a mdia aritm-tica de n reais. Analisando o trinmio

y = (x a1)2 + (x a2)

2 + ... + (x an)2, mostre que

MQ MA. Quando ocorre a igualdade? Funes Propriedades

Periodicidade; Paridade; Composta e Inversa; Inje-tora, Sobrejetora e Bijetora.

20131Q3 O objetivo desta questo demonstrar que a funo

f(x) = cosx, x 0, no peridica, ou seja, no exis-te nenhum no real positivo T tal que Tc +cos = xcos ,

para todo x 0. a) Encontre todos os valores de T 0 para os

quais f(T) = f(0) e, a seguir, encontre todos os valores de T 0 para os quais f(T) = f(2T).

b) Use o a) para mostrar que f(x) no peridica.

20132Q5

Sejam f: uma funo peridica e g: uma funo qualquer. a) A funo composta g o f necessariamente pe-

ridica? Em caso afirmativo, demonstre. Em ca-so negativo, apresente um contra-exemplo.

b) A funo composta f o g necessariamente pe-ridica? Em caso afirmativo, demonstre. Em ca-so negativo, apresente um contra-exemplo.


Analise se f: , definida por f(x) =

(A) Nenhuma (B) apenas I e II (C) apenas I e III (D) apenas III e IV (E) todas.

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