Aula01 Intro (1)

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Vibraes Mecnicas

Vibraes MecnicasApresentao e Introduo

Ramiro Brito [email protected]

Departamento de Engenharia MecnicaUniversidade Federal de Pernambuco

2014.2
Vibraes Mecnicas

Apresentao

Apresentao

Prof. Ramiro Brito Willmersdorf;[email protected];Sala F3, uma entrada antes do xerox do 2o andar;Tempo integral na universidade;Podem me procurar em qualquer horrio;
Vibraes Mecnicas

Apresentao

Disciplina

60 horas, 30 aulas;Avaliao atravs de provas;Prova final cai tudo;2a chamada cai tudo;Solicitar 2a chamada formalmente, na escolaridade;http://rbw.willmersdorf.net/ramiro/arquivos/vibracoes
Vibraes Mecnicas

Apresentao

Assuntos

FundamentosClassificaoElementosMovimento HarmnicoAnlise Harmnica

Vibrao LivreVibrao Excitada HarmonicamenteVibrao Forada GeralFrequncias Naturais e Modos de VibraoSistemas com 2 Graus de LiberdadeSistemas contnuosMtodos Numricos e Mtodos Aproximados
Vibraes Mecnicas

Apresentao

Bibliografia

Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao, 5th Edition,Prentice-Hall, 2011.Fundamentals of Structural Dynamics, Roy Craig Jr., AndrewKurdila, 2nd Edition, John Wiley & Sons, 2006.Dynamics of Structures, Ray Clough, Joseph Penzien,McGraw-Hill, 1982.Livros de vibraes em portugusMaterial suplementarWolfram CDF Player http://www.wolfram.com/cdf-player/
Vibraes Mecnicas

Fundamentos

Vibrao

Estudo de movimentos que repetem-se periodicamente (ou no).

Um sistema vibratrio contm:Um meio para armazenar energia potencial;Um meio para armazenar energia cintica;Mecanismo para dissipao de energia;

O movimento vibratrio/oscilatrio ocorre com a transferncia deenergia potencial para cintica, e vice-versa.
Vibraes Mecnicas

Fundamentos

Vibrao



Vibraes Mecnicas

Fundamentos

Vibrao



Vibraes Mecnicas

Fundamentos

Sistema Vibratrio Exemplo
Vibraes Mecnicas

Fundamentos

Nmero de Graus de Liberdade

Nmero mnimo de coordenada generalizadas necessrias paradescrever a configurao do sistema.

Sistemas com 1 grau de liberdade:
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Fundamentos


Sistemas com 2 graus de liberdade:
Vibraes Mecnicas

Fundamentos


Sistemas com 3 graus de liberdade:
Vibraes Mecnicas

Fundamentos

Sistemas Contnuos e Discretos

A maioria dos sistemas mecnicos reais necessita de um nmeroinfinito de graus de liberdade para sua descrio completa. Estesso sistemas contnuos

Um sistema que pode ser descrito por um nmero finito de grausde liberdade um sistema discreto.

Mtodos computacionais (MEF, MDF, etc.) normalmente gerammodelos discretos.
Vibraes Mecnicas

Fundamentos




Vibraes Mecnicas

Fundamentos




Vibraes Mecnicas

Fundamentos

Classificao da Vibrao

Foras Externas

Vibrao Livre Aps uma perturbao inicial, no h mais aoexterna sobre o sistema. No h ao de foras sobreo sistema.

Vibrao Forada O sistema sofre ao de foras (peridicas ouno).

No caso de vibrao forada, possvel a ocorrncia de ressonncia.
Vibraes Mecnicas

Fundamentos


Foras Externas

Vibrao Livre Aps uma perturbao inicial, no h mais aoexterna sobre o sistema. No h ao de foras sobreo sistema.

Vibrao Forada O sistema sofre ao de foras (peridicas ouno).

No caso de vibrao forada, possvel a ocorrncia de ressonncia.
Vibraes Mecnicas

Fundamentos


Amortecimento

Vibrao Amortecida Existe um mecanismo de dissipao quetransforma energia mecnica em energia trmica, emum processo irreversvel. Pode ser atrito viscoso,seco, interno, etc.

Vibrao No Amortecida No h um mecanismo dissipativo, aenergia mecnica total conservada.

Na prtica, o amortecimento muitas vezes pode ser desprezado,exceto prximo ressonncia.
Vibraes Mecnicas

Fundamentos


Amortecimento

Vibrao Amortecida Existe um mecanismo de dissipao quetransforma energia mecnica em energia trmica, emum processo irreversvel. Pode ser atrito viscoso,seco, interno, etc.

Vibrao No Amortecida No h um mecanismo dissipativo, aenergia mecnica total conservada.

Na prtica, o amortecimento muitas vezes pode ser desprezado,exceto prximo ressonncia.
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Fundamentos


Linearidade

Vibrao Linear Todas as relaes massa acelerao, rigidez deslocamento e amortecimento velocidade, solineares. Vale o princpio da superposio. Tcnicasrelativamente simples e bem conhecidas;

Vibrao No Linear Alguma das relaes constitutivas no linear. No vale o princpio da superposio. Tcnicasmenos bem determinadas.

As vezes uma soluo linearizada possvel.
Vibraes Mecnicas

Fundamentos


Linearidade

Vibrao Linear Todas as relaes massa acelerao, rigidez deslocamento e amortecimento velocidade, solineares. Vale o princpio da superposio. Tcnicasrelativamente simples e bem conhecidas;

Vibrao No Linear Alguma das relaes constitutivas no linear. No vale o princpio da superposio. Tcnicasmenos bem determinadas.

As vezes uma soluo linearizada possvel.
Vibraes Mecnicas

Fundamentos


Determinismo

Vibrao Determinstica Todas as propriedades mecnicas, relaesconstitutivas e foras so perfeitamente conhecidasem qualquer instante de tempo.

Vibrao No Determinstica Alguma das grandezas que descrevemo sistema, normalmente as foras de excitao, soconhecidas apenas de forma estocstica.No possvel prever o comportamento futuro,exceto atravs de estatsticas.Exemplos: terremotos, vento, ondas, estradas.
Vibraes Mecnicas

Fundamentos


Determinismo

Vibrao Determinstica Todas as propriedades mecnicas, relaesconstitutivas e foras so perfeitamente conhecidasem qualquer instante de tempo.

Vibrao No Determinstica Alguma das grandezas que descrevemo sistema, normalmente as foras de excitao, soconhecidas apenas de forma estocstica.No possvel prever o comportamento futuro,exceto atravs de estatsticas.Exemplos: terremotos, vento, ondas, estradas.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Molas

Caractersticas:Elemento mecnico que produz uma fora em reao a umdeslocamento;Mecnicas (helicoidais, torcionais, pneumticas, etc.);Para molas lineares, F = x ;Energia de deformao: U =

x0 F dx ;

Para molas lineares, U = 12x2;
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Elementos Fsicos

Molas

Molas No Lineares

Qualquer relao diferente de F = x ;Normalmente, F (x) = (x)x ;Pequenas no linearidades usualmente so representadas pormolas cbicas: F (x) = ax + bx3, isto , (x) = a + bx2;
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Elementos Fsicos

Molas

Molas No Lineares
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Molas No Lineares
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Constante de Mola de Barras

Barra homognea de seo uniforme

= l

=

El

=FlAE

=F=

AEl
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Constante de Mola de Barras


= l

=

El

=FlAE

=F=

AEl
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Constante de Mola para Vigas em Balano


=Wl3

3EI =

W

=3EIl3
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Constante de Mola para Vigas em Balano


=Wl3

3EI =

W

=3EIl3
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Molas em paralelo

W = 1st + 2st W = (1 + 2)st eq = 1 + 2

Generalizando: eq = 1 + 2 + + n.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Molas em paralelo

W = 1st + 2st W = (1 + 2)st eq = 1 + 2

Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Molas em paralelo

W = 1st + 2st W = (1 + 2)st eq = 1 + 2

Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Molas em paralelo

W = 1st + 2st W = (1 + 2)st eq = 1 + 2

Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Molas em srie

st = 1 + 2

W = 11 = 22 = eqst

11 = 22 = eqst

1 =eqst1

2 =eqst2

eqst1

+eqst2

= st

1eq

=11

+12
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Molas em srie

st = 1 + 2

W = 11 = 22 = eqst

11 = 22 = eqst

1 =eqst1

2 =eqst2

eqst1

+eqst2

= st

1eq

=11

+12
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Molas em srie

st = 1 + 2

W = 11 = 22 = eqst

11 = 22 = eqst

1 =eqst1

2 =eqst2

eqst1

+eqst2

= st

1eq

=11

+12
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Molas em srie

st = 1 + 2

W = 11 = 22 = eqst

11 = 22 = eqst

1 =eqst1

2 =eqst2

eqst1

+eqst2

= st

1eq

=11

+12
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Molas em srie

st = 1 + 2

W = 11 = 22 = eqst

11 = 22 = eqst

1 =eqst1

2 =eqst2

eqst1

+eqst2

= st

1eq

=11

+12
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Molas em srie

st = 1 + 2

W = 11 = 22 = eqst

11 = 22 = eqst

1 =eqst1

2 =eqst2

eqst1

+eqst2

= st

1eq

=11

+12
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Molas em srie

Generalizando:

1eq

=11

+12

+ + 1n
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Princpio Geral: sistema equivalente com mesma energia potencial.Exemplo (pequenos deslocamentos):
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Por equilbrio:x1 = l1 sin x2 = l2 sin ,

pequenos deslocamentos

x1 = l1 x2 = l2,

equilbrio de momentos

1x1l1 + 2x2l2 = Fl ,

ouF = 1

x1l1l

+ 2x2l2l.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas



x1 = l1 x2 = l2,


1x1l1 + 2x2l2 = Fl ,

ouF = 1

x1l1l

+ 2x2l2l.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas



x1 = l1 x2 = l2,


1x1l1 + 2x2l2 = Fl ,

ouF = 1

x1l1l

+ 2x2l2l.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas



x1 = l1 x2 = l2,


1x1l1 + 2x2l2 = Fl ,

ouF = 1

x1l1l

+ 2x2l2l.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Continuando...

F = eqx = 1x1l1l

+ 2x2l2l

ex = l, x1 = l1, x2 = l2,

assim

eql = 1l21 l

+ 2l22 l

portanto

eq = 1

(l1l

)2+ 2

(l2l

)2
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Continuando...

F = eqx = 1x1l1l

+ 2x2l2l

ex = l, x1 = l1, x2 = l2,

assim

eql = 1l21 l

+ 2l22 l

portanto

eq = 1

(l1l

)2+ 2

(l2l

)2
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Continuando...

F = eqx = 1x1l1l

+ 2x2l2l

ex = l, x1 = l1, x2 = l2,

assim

eql = 1l21 l

+ 2l22 l

portanto

eq = 1

(l1l

)2+ 2

(l2l

)2
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Continuando...

F = eqx = 1x1l1l

+ 2x2l2l

ex = l, x1 = l1, x2 = l2,

assim

eql = 1l21 l

+ 2l22 l

portanto

eq = 1

(l1l

)2+ 2

(l2l

)2
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas

Por energia:Trabalho da fora F = Energia armazenada nas molas 1 e 2

Para pequenos deslocamentos:

12Fx =

12eqx2 =

121x21 +

122x22 ,

mas como xl=

x1l1

=x2l2,

temosx1 =

xl1l, x2 =

xl2l,

portanto

eq = 1

(l1l

)2+ 2

(l2l

)2.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas



12Fx =

12eqx2 =

121x21 +

122x22 ,

mas como xl=

x1l1

=x2l2,

temosx1 =

xl1l, x2 =

xl2l,

portanto

eq = 1

(l1l

)2+ 2

(l2l

)2.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas



12Fx =

12eqx2 =

121x21 +

122x22 ,

mas como xl=

x1l1

=x2l2,

temosx1 =

xl1l, x2 =

xl2l,

portanto

eq = 1

(l1l

)2+ 2

(l2l

)2.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas



12Fx =

12eqx2 =

121x21 +

122x22 ,

mas como xl=

x1l1

=x2l2,

temosx1 =

xl1l, x2 =

xl2l,

portanto

eq = 1

(l1l

)2+ 2

(l2l

)2.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Molas

Combinao de Molas



12Fx =

12eqx2 =

121x21 +

122x22 ,

mas como xl=

x1l1

=x2l2,

temosx1 =

xl1l, x2 =

xl2l,

portanto

eq = 1

(l1l

)2+ 2

(l2l

)2.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Massas

Consideradas corposrgidos, F = ma.O trabalho aplicado sobreuma massa armazenadona forma de energiacintica.Normalmente podem serconsideradas concentradas.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Combinao de massas

Princpio geral: determinar um sistema equivalente com a mesmaenergia cintica.Exemplo 1: Determinar uma massa equivalente localizada em m1.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Combinao de massas

Continuao...Para pequenos deslocamentos,

x2 =l2l1

x1, x3 =l3l1

x1, e xeq = x1.

Igualando as energias cinticas

12m1x21 +

12m2x22 +

12m3x23 =

12meqx2eq,

assim

meq = m1 + m2

(l2l1

)2+ m3

(l3l1

)2
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Combinao de massas


x2 =l2l1

x1, x3 =l3l1

x1, e xeq = x1.


12m1x21 +

12m2x22 +

12m3x23 =

12meqx2eq,

assim

meq = m1 + m2

(l2l1

)2+ m3

(l3l1

)2
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Combinao de massas


x2 =l2l1

x1, x3 =l3l1

x1, e xeq = x1.


12m1x21 +

12m2x22 +

12m3x23 =

12meqx2eq,

assim

meq = m1 + m2

(l2l1

)2+ m3

(l3l1

)2
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Combinao de massas

Exemplo 2: Acoplamento de inrcia rotacional e translacional.

A energia cintica do sistema

T =12mx2 +

12J02.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Combinao de massas

Exemplo 2: Acoplamento de inrcia rotacional e translacional.

A energia cintica do sistema

T =12mx2 +

12J02.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Combinao de massas

Continuando...Massa equivalente translacionalA energia cintica

Teq =12meqx2eq,

sabendo que

xeq = x , e =xR,

igualando as energias cinticas temos que

12meqx2 =

12mx2 +

12J0

(xR

)2,

portanto

meq = m +J0R2.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Combinao de massas


Teq =12meqx2eq,

sabendo que

xeq = x , e =xR,


12meqx2 =

12mx2 +

12J0

(xR

)2,

portanto

meq = m +J0R2.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Combinao de massas


Teq =12meqx2eq,

sabendo que

xeq = x , e =xR,


12meqx2 =

12mx2 +

12J0

(xR

)2,

portanto

meq = m +J0R2.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Combinao de massas


Teq =12meqx2eq,

sabendo que

xeq = x , e =xR,


12meqx2 =

12mx2 +

12J0

(xR

)2,

portanto

meq = m +J0R2.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Combinao de massas

Continuando...Massa equivalente rotacionalA energia cintica

Teq =12Jeq2eq,

sabendo queeq = , e x = R ,


12Jeq2eq =

12m(R )2 +

12J02,

portantoJeq = J0 + mR2.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Combinao de massas


Teq =12Jeq2eq,



12Jeq2eq =

12m(R )2 +

12J02,

Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Combinao de massas


Teq =12Jeq2eq,



12Jeq2eq =

12m(R )2 +

12J02,

Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Inrcia

Combinao de massas


Teq =12Jeq2eq,



12Jeq2eq =

12m(R )2 +

12J02,

Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Amortecimento

Amortecimento

Nos sistemas vibratrios reais, a energia mecnica transformada em calor ou som.As amplitudes de vibrao diminuem progressivamente, nocaso de vibrao livre.O efeito do amortecimento particularmente importanteprximo ressonncia, pois o fenmeno que limita aamplitude.Nos modelos simplificados, os amortecedores no tem massanem elasticidade.S existe amortecimento quando h velocidade relativa entreas extremidades do amortecedor.Trs tipos: viscoso, seco ou de material.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Amortecimento

Mecanismos de Amortecimento

ViscosoMecanismo mais comum na anlise de vibraes.Cisalhamento entre camadas fluidas adjacentes.Normalmente a fora resistente tomada como proporcional velocidade relativa.

SecoOu Mohr-Coulomb.Fora de atrito constante.Mecanismo no linear e complexo.

de MaterialOu Slido ou Amortecimento Histertico.Resulta do no retorno de toda a energia elstica armazenadana compresso de um materialMecanismo no linear e complexo.Caracterizado por um lao de histerese.
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Amortecimento




Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Amortecimento




Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Amortecimento

Lao de Histerese
Vibraes Mecnicas

Elementos Fsicos

Amortecimento

Combinao de Amortecedores

Procedimento anlogo combinao de molas.Para pequenos deslocamentos (problemas lineares) as relaesso as mesmas.Amortecedores em paralelo:

ceq = c1 + c2

Amortecedores em srie:

1ceq

=1c1

+1c2
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico

Movimento Harmnico

Se o movimento se repete em intervalos constantes de tempoo movimento peridico.O tipo de movimento peridico mais simples e til na prtica o movimento harmnico.
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico

Movimento Harmnico Exemplo
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico


Deslocamento vertical

x = A sin = A sint

Velocidade vertical

x =dxdt

= A cost

Acelerao vertical

x =d2xdt2

= 2A sint = 2x
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Movimento Harmnico



x = A sin = A sint

Velocidade vertical

x =dxdt

= A cost

Acelerao vertical

x =d2xdt2

= 2A sint = 2x
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



x = A sin = A sint

Velocidade vertical

x =dxdt

= A cost

Acelerao vertical

x =d2xdt2

= 2A sint = 2x
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Movimento Harmnico

Representao Vetorial

Representao Vetorial do Movimento Harmnico

Consideramos um vetor comcomprimento A girando comvelocidade angular contante, e tomamos as projees desua extremidade.Projeo vertical:

y = A sint

Projeo horizontal:

x = A cost
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico




y = A sint

Projeo horizontal:

x = A cost
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico




y = A sint

Projeo horizontal:

x = A cost
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Movimento Harmnico

Representao Complexa

Representao com Nmeros Complexos

Nmero complexo:

~X = a + ib

ondei =1

ou vetor no plano complexo

~X = A cos + iA sin

comA = (a2 + b2)

12

e = tan1

ba.
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



Nmero complexo:

~X = a + ib

ondei =1


~X = A cos + iA sin

comA = (a2 + b2)

12

e = tan1

ba.
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



Nmero complexo:

~X = a + ib

ondei =1


~X = A cos + iA sin

comA = (a2 + b2)

12

e = tan1

ba.
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



Lembrando que:

i2 = 1, i3 = i , i4 = 1, i5 = i , . . . ,

cos = 1 2

2!+4

4! = 1+ (i)

2

2!+

(i)4

4!+ e

i sin = i[

3

3!+5

5!

]= i +

(i)3

3!+

(i)5

5!+ .

Somando as duas expresses:

cos + i sin = 1+ i +(i)2

2!+

(i)3

3!+

(i)4

4!+

(i)5

5!+ ,
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



Lembrando que:

i2 = 1, i3 = i , i4 = 1, i5 = i , . . . ,

cos = 1 2

2!+4

4! = 1+ (i)

2

2!+

(i)4

4!+ e

i sin = i[

3

3!+5

5!

]= i +

(i)3

3!+

(i)5

5!+ .


cos + i sin = 1+ i +(i)2

2!+

(i)3

3!+

(i)4

4!+

(i)5

5!+ ,
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



Lembrando que:

i2 = 1, i3 = i , i4 = 1, i5 = i , . . . ,

cos = 1 2

2!+4

4! = 1+ (i)

2

2!+

(i)4

4!+ e

i sin = i[

3

3!+5

5!

]= i +

(i)3

3!+

(i)5

5!+ .


cos + i sin = 1+ i +(i)2

2!+

(i)3

3!+

(i)4

4!+

(i)5

5!+ ,
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



Lembrando que:

i2 = 1, i3 = i , i4 = 1, i5 = i , . . . ,

cos = 1 2

2!+4

4! = 1+ (i)

2

2!+

(i)4

4!+ e

i sin = i[

3

3!+5

5!

]= i +

(i)3

3!+

(i)5

5!+ .


cos + i sin = 1+ i +(i)2

2!+

(i)3

3!+

(i)4

4!+

(i)5

5!+ ,
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



mas,

ex = 1+ x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+ ,

assimcos + i sin = e i.

Como consequncia:

~X = A(cos + i sin ) = Ae i.
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



mas,

ex = 1+ x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+ ,


Como consequncia:

Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



mas,

ex = 1+ x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+ ,


Como consequncia:

Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico


Operaes com a Representao Complexa

Como~X = Ae it ,

~X = iAe it = i~X ,

e~X = 2Ae it = 2~X .

~X um nmero complexo!
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



Como~X = Ae it ,

~X = iAe it = i~X ,

e~X = 2Ae it = 2~X .

Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



Como~X = Ae it ,

~X = iAe it = i~X ,

e~X = 2Ae it = 2~X .

Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



Como~X = Ae it ,

~X = iAe it = i~X ,

e~X = 2Ae it = 2~X .

Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



Tomando as partes reais:Deslocamento:

Re[Ae it ] = Re[A(cost + i sint)] = A cost

Velocidade:

Re[iAe it ] = Re[iA(cost + i sint)] = Re[A(i cost sint)]= A sint

Acelerao:

Re[2Ae it ] = Re[2A(cost + i sint)] = 2A cost
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico





Velocidade:


Acelerao:

Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico





Velocidade:


Acelerao:

Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico


Adio Vetorial da Representao Complexa

~X1(t) = A1e it , ~X2(t) = A2e it+

A =

(A1 + A2 cos )2 + (A2 sin )2, = arctan(

A2 sin A1 + A2 cos

)
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico


Adio Vetorial da Representao Complexa

~X1(t) = A1e it , ~X2(t) = A2e it+

A =(A1 + A2 cos )2 + (A2 sin )2, = arctan

(A2 sin

A1 + A2 cos

)
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Movimento Harmnico

Adio de Funes Harmnicas

Adio via Trigonometria

Se a frequncia igual:~X1(t) = A1 cos(t), ~X2(t) = A2 cos(t + )

~X1(t) + ~X2(t) = A1 cos(t) + A2 cos(t + )= A1 cos(t) + A2 (cos(t) cos() sin(t) sin())= cos(t)(A1 + A2 cos()) sin(t)(A2 sin())

Definindo

A cos() = A1 + A2 cos(), A sin() = A2 sin()

~X1(t) + ~X2(t) = A (cos(t) cos() sin(t) sin())= A cos(t + )
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico





Definindo


Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico





Definindo


Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico





Definindo


Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico





Definindo


Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



Claramente,

A =

(A1 + A2 cos())2 + A2 sin()2

etan() =

A2 sin()A1 + A2 cos()

A soma de duas funes harmnicas de mesma frequncia umafuno harmnica com a mesma frequncia, defasada.
Vibraes Mecnicas

Movimento Harmnico



Claramente,

A =

(A1 + A2 cos())2 + A2 sin()2

etan() =

A2 sin()A1 + A2 cos()

A soma de duas funes harmnicas de mesma frequncia umafuno harmnica com a mesma frequncia, defasada.
Vibraes Mecnicas

Terminologia

Definies Importantes

Ciclo Um perodo completo de movimento do corpo.Amplitude O mximo deslocamento do corpo em relao

posio de equilbrio.Perodo O tempo necessrio para completar um ciclo.

=2

a frequncia circular (em rad/s).Frequncia Nmero de ciclos por unidade de tempo (em Hertz).

f =1=

2
Vibraes Mecnicas

Terminologia

Definies Importantes

ngulo de Fase Distncia angular entre dois movimentosvibratrios.

x1 = A1e it

x2 = A2e it+

Frequncia Natural Frequncia em que um sistema com 1 grau deliberdade oscila em vibrao livre a partir de umdeslocamento inicial.

Oitava Faixa de frequncias na qual o limite superior odobro do limite inferior, eg, 200-400 Hz.
Vibraes Mecnicas

Terminologia

Decibel

Em eletricidade, acstica e vibraes, normal medir-se grandezascom uma grande faixa de variao. O decibel usado para criaruma escala logaritmica para estas grandezas.Por definio:

dB = 10 log(

PP0

)onde P0 uma potncia de referncia.

Como a potncia eltrica proporcional ao quadrado da voltagem,

dB = 10 log(

XX0

)2= 20 log

(XX0

)onde X0 uma potncia de referncia.
Vibraes Mecnicas

Terminologia

Decibel

Em eletricidade, acstica e vibraes, normal medir-se grandezascom uma grande faixa de variao. O decibel usado para criaruma escala logaritmica para estas grandezas.Por definio:

dB = 10 log(

PP0

)onde P0 uma potncia de referncia.

Como a potncia eltrica proporcional ao quadrado da voltagem,

dB = 10 log(

XX0

)2= 20 log

(XX0

)onde X0 uma potncia de referncia.
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Terminologia

Batimento

Quando duas funes harmnicas com frequncias prximas sosomadas, uma coisa curiosa acontece:

x1 = X costx2 = X cos( + )t,
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Terminologia

Batimento


Vibraes Mecnicas

Terminologia

Batimento


Vibraes Mecnicas

Terminologia

Batimento


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Terminologia

Batimento
Vibraes Mecnicas

Anlise Harmnica

Anlise Harmnica

Muitos sistemas fsicos interessantes tem movimentos peridicosporem no harmnicos.

Uma maneira de simplificar o problema usar a Srie de Fourier dafuno peridica.
Vibraes Mecnicas

Anlise Harmnica

Sries de Fourier

Sries de Fourier

Para x(t) peridica com perodo , a srie de Fourier da funo dada por:

x(t) =a02

+ a1 cost + a2 cos 2t +

+ b1 sint + b2 sin 2t +

ou

x(t) =a02

+

n=1

(an cos nt + bn sin nt)
Vibraes Mecnicas

Anlise Harmnica

Sries de Fourier

Sries de Fourier

Para x(t) peridica com perodo , a srie de Fourier da funo dada por:

x(t) =a02

+ a1 cost + a2 cos 2t +

+ b1 sint + b2 sin 2t +

ou

x(t) =a02

+

n=1

(an cos nt + bn sin nt)
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Anlise Harmnica

Sries de Fourier

Clculo de Coeficientes

Da ortogonalidade das funes trigonomtricas:

a0 =

2

0x(t) dt =

2

0

x(t) dt

an =

2

0x(t) cos nt dt =

2

0

x(t) cos nt dt

bn =

2

0x(t) sin nt dt =

2

0

x(t) sin nt dt
Vibraes Mecnicas

Anlise Harmnica

Sries de Fourier



a0 =

2

0x(t) dt =

2

0

x(t) dt

an =

2

0x(t) cos nt dt =

2

0

x(t) cos nt dt

bn =

2

0x(t) sin nt dt =

2

0

x(t) sin nt dt
Vibraes Mecnicas

Anlise Harmnica

Sries de Fourier



a0 =

2

0x(t) dt =

2

0

x(t) dt

an =

2

0x(t) cos nt dt =

2

0

x(t) cos nt dt

bn =

2

0x(t) sin nt dt =

2

0

x(t) sin nt dt
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Sries de Fourier

Fenmeno de Gibbs
Vibraes Mecnicas

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Domnios do tempo e frequncia

Espectro de Frequncias

As funes harmnicas

an cos nt e bn sinn t

so harmnicas de ordem n de x(t).Estas harmnicas tem perodo n .

Plotando as amplitudes destas funes em funo da frequncia,temos o espectro de frequncias.
Vibraes Mecnicas

Anlise Harmnica



As funes harmnicas



Vibraes Mecnicas

Anlise Harmnica



As funes harmnicas



Vibraes Mecnicas

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Representao nos Domnios do Tempo e Frequncia

ApresentaoFundamentosClassificao da Vibrao

Elementos FsicosMolasInrciaAmortecimento

Movimento HarmnicoRepresentao VetorialRepresentao ComplexaAdio de Funes HarmnicasAdio de Funes Harmnicas

TerminologiaAnlise HarmnicaSries de FourierDomnios do tempo e frequncia

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