aula03- construções fundamentais

Desenho Tecnico - ConstrucoesGeometricas

Emılio Eiji Kavamura

Eng. MecanicaUniversidade Positivo

6 de fevereiro de 2009

[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

SUMARIO

1 construcoes FundamentaisPerpedincular a uma reta dada por um pontodistintoBissetriz de um anguloTransportar o anguloDivisao de um angulo em 4 partes iguaisParalela a uma reta por um pontoParalela de uma reta a uma determinada distanciaDivisao um segmento em partes iguais


TOPICOS



Problema no1 - Perpedincular a uma reta

Dada uma reta a eum ponto P fora dela,tracar por P a perpendiculara reta dada.




2009

-02-

06Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Construcoes Fundamentais

Perpedincular a uma reta dada por um ponto distinto


Definicao: duas retas sao ditas perpendiculares quandopossuem um ponto em comum e formam entre si um angulo de90o


a




a

PDada uma reta a eum ponto P fora dela,tracar por P a perpendiculara reta dada.


Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao

a

P

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;

5 r3 ⊂ {P, I};



a

P

r

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;

5 r3 ⊂ {P, I};

Tracar uma circunferencia com centro em P e raio r maior quea distancia do ponto a reta a;



a

P

A B

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;

5 r3 ⊂ {P, I};

a circunferencia intercepta a reta nos pontos A e B;



a

P

A B

β2β1

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;

5 r3 ⊂ {P, I};

tracar 2 circunferencias de mesmo raio com centros nos pontosA e B;



a

P

β2β1

I

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;

5 r3 ⊂ {P, I};

as 2 circunferencias se interceptam no ponto I;



a

P

I

r3

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;

5 r3 ⊂ {P, I};

tracar uma reta que passa por P e por I,que e a procurada;



a

P

r3

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;

5 r3 ⊂ {P, I};


Revisando - Perpedincular a uma reta

a

P



a

P

r



a

P

A B



a

P

A B

β1



a

P

A B

β1 β2



a

P



a

P

I

r3


TOPICOS



Problema no2 - bissetriz de um angulo

O

r

s

Dado um par de retas r e s eo ponto O de cruzamento.


Problema no2 - bissetriz de um angulo

O

r

s

Dado um par de retas r e s eo ponto O de cruzamento.Determine a bissetriz doangulo formado por elas.


Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao

O

r

s

1 γ = �{O, r};

2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;

5 r1 ⊂ {O, I};



O

r

s

γ

1 Tracar um arco de circunferencia,γ,

com centro em O e

raio r qualquer; γ = �{O, r};

2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;

5 r1 ⊂ {O, I};



O

r

s

γ

A

B

1 γ = �{O, r};

2 o arco intercepta as retas nospontos A e B;

γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;

5 r1 ⊂ {O, I};



O

r

s

γ

A

B

β1

β2

1 γ = �{O, r};

2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 Traca-se dois arcos

com centro em A e em B;

β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;

5 r1 ⊂ {O, I};



O

r

s

γ

A

B

β1

β2I

1 γ = �{O, r};

2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 a interseccao das

2 circunferencias

define o ponto I;

I = β1 ∩ β2;

5 r1 ⊂ {O, I};



O

r

s

I r1

1 γ = �{O, r};

2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;

5 tracar uma reta que

passa por O e por I,

que e a procurada;

r1 ⊂ {O, I};



O

r

s

I r1

1 γ = �{O, r};

2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;

5 r1 ⊂ {O, I};


TOPICOS



Problema no4 - transporte de angulo

b

a

O

Dado duas retas a e b, distintas.


Problema no4 - transporte de angulo

b

a

O

θ

c

P

Dado duas retas a e b, distintas.Deseja-se transportaro angulo θ formado por elas,para uma terceira reta c em seu pontoP.


Problema no4 - transporte de angulo - solucao

b

a

O

θ

c

P

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);

67 PD;



b

a

O

θ

c

P

γr

1 Tracar um arco decircunferencia, γ,com centro em O e raioqualquer r ;γ = �{O, r}, ∀r ;

2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};


67 PD;



b

a

O

θ

c

P

γr

B

A

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 o arco intercepta

as retas no pontos A e B;γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};


67 PD;



b

a

O

θ

c

P

γr

B

A

β1 r

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 Tracar o arco β1 com centroem P eraio r ;β1 = �{P, r};

4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);

67 PD;



b

a

O

θ

c

P

γB

A

β1

Cr

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 A interseccao do arco

com a reta c e o ponto C;C = β1 ∩ c;

5 dist(A,B) = dist(C,D);

67 PD;



b

a

O

θ

c

P

γB

A

β1

C

dist (A,B)

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 Transportar o arco AOB

para CPD ;dist(A,B) = dist(C,D);

67 PD;



b

a

O

θ

c

P

γB

A

β1

C

dist (A,B)

D

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);6 D esta sobre o arco β1 a

uma distancia AB do pontoC;D = β1 ∩ �(C,dist(A,B));

7 PD;



b

a

O

θ

c

P

γB

A

β1

C

dist (A,B)

D

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);6 D = β1 ∩ �(C,dist(A,B));7 A reta definida por P e D e

a reta procurada;PD;



b

a

O

θ

c

P

D

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);6 D = β1 ∩ �(C,dist(A,B));7 PD;


TOPICOS



Problema no5 - Angulo em 4 partes iguais

O processo consiste em repetir a construcao da bissetriz3 vezes:

para dividir o angulo em duas partes iguais;para dividir cada uma das partes obtidas;


O

r

s


O

r

s

γ


O

r

s

γ A

B


O

r

s

γ A

B

β1

β2


O

r

s

A

B

β1

β2


O

r

s

A

B

β1

β2

I


O

r

s

β1

β2

I


O

r

s

I


O

r

s

I r1


O

r

s


TOPICOS



Problema no3 - Reta paralela

P

a

Dado uma reta a, eum ponto P distintos.


Problema no3 - Reta paralela

P

a

Dado uma reta a, eum ponto P distintos.Deseja-se tracar uma segunda reta bparalela a a pelo ponto P.


Problema no3 - Reta paralela - solucao

P

a

1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 �(A,dist(a,P))︸︷︷︸

γ2

∩a = {B};

4 γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};

5 PC;



P

a

r

γ1

1 Trace um arco decircunferencia,γ1, com centro em P eraio r maior quea distancia do ponto P a reta a;

γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 �(A,dist(a,P))︸︷︷︸

γ2

∩a = {B};


5 PC;



P

a

r

γ1

A

1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 intercepta a reta a no ponto

A;γ1 ∩ a = {A};

3 �(A,dist(a,P))︸︷︷︸γ2

∩a = {B};


5 PC;



P

a

r

γ1

A

γ2

B

1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 γ2 arco com centro em A e raio

APintercepta a no ponto B;�(A,dist(a,P))︸︷︷︸

γ2

∩a = {B};


5 PC;



P

aA

γ3 γ4

B

C


γ2

∩a = {B};

4 o arco centro em B eabertura BP e transderido paraA;γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};

5 PC;



P

a

C


γ2

∩a = {B};


5 a direcao definidapelos pontos P e Csuporta a reta procurada;PC;



P

a


γ2

∩a = {B};


5 PC;


Revisando

P

a


Revisando

P

a

r

γ1


Revisando

P

a

r

γ1

A


Revisando

P

a

r

γ1

AA

γ2


Revisando

P

aA

γ2


Revisando

P

aA

γ2

B


Revisando

P

aA

γ2

γ3

B


Revisando

P

aA

γ2

γ3 γ4

B

C


Revisando

P

aA

γ3 γ4

B

C


Revisando

P

aAB

C


Revisando

P

a


TOPICOS



Problema no6 - Paralela de uma reta

EF

a

Dado uma reta a, e uma distanciaEF .


Problema no6 - Paralela de uma reta

EF

a

Dado uma reta a, e uma distancia EF .Deseja-setracar uma segunda reta bparalela a a e distante de EF .


Problema no6 - Paralela de uma reta - solucao

EF

a

1 A,B ∈ a, A 6= B;

2 a1⊥a, {A} ∈ a1;

a2⊥a, {B} ∈ a2;

3 a1 ∩ �{A,EF} = {C};a2 ∩ �{B,EF} = {D};

4 {C,D} ∈ b;



EF

a A B

1 Escolha 2 pontos distintosquaiquer, A e B;

A,B ∈ a, A 6= B;

2 a1⊥a, {A} ∈ a1;

a2⊥a, {B} ∈ a2;

3 a1 ∩ �{A,EF} = {C};a2 ∩ �{B,EF} = {D};

4 {C,D} ∈ b;



EF

a A B

a1 a2

1 A,B ∈ a, A 6= B;

2 Trace as perpendiculares a

a por A e por B;

a1⊥a, {A} ∈ a1;

a2⊥a, {B} ∈ a2;

3 a1 ∩ �{A,EF} = {C};a2 ∩ �{B,EF} = {D};

4 {C,D} ∈ b;



EF

a A B

a1 a2

C D

1 A,B ∈ a, A 6= B;

2 a1⊥a, {A} ∈ a1;

a2⊥a, {B} ∈ a2;

3 Transfira

a distancia EF

sobre a1 e

sobre a2;

a1 ∩ �{A,EF} = {C};a2 ∩ �{B,EF} = {D};

4 {C,D} ∈ b;



a A B

C D

1 A,B ∈ a, A 6= B;

2 a1⊥a, {A} ∈ a1;

a2⊥a, {B} ∈ a2;

3 a1 ∩ �{A,EF} = {C};a2 ∩ �{B,EF} = {D};

4 a reta que

contem os pontos C e D e aresposta;

{C,D} ∈ b;



a

b1 A,B ∈ a, A 6= B;

2 a1⊥a, {A} ∈ a1;

a2⊥a, {B} ∈ a2;

3 a1 ∩ �{A,EF} = {C};a2 ∩ �{B,EF} = {D};

4 {C,D} ∈ b;


TOPICOS



Problema no7 - Divisao de segmento

A DDado um segmento de reta AD,dividi-la em tres partes iguais.


Problema no7 - Divisao de segmento - solucao

A D

1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};

3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;



AD

b

A D

1 Trace um segmento de reta bcom extremidade na retadada;b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};

2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};

3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;



b

A D

B1

C1

D1

1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 Marque tres pontos

equidistantes sobre b:B,C,D;�{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};

3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;



b

A D

B1

C1

D1


3 Trace D1D;D1D;

4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;B1B//D1D, {B} ∈ AD;

5 AB = BC = CD;



b

AB C

D

B1

C1

D1


3 D1D;4 Trace as parelelas a D1D:

C1C, B1B;C1C//D1D, {C} ∈ AD ;B1B//D1D, {B} ∈ AD;

5 AB = BC = CD;



AB C

D


3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 o segmento AD e dividido em

tres partes iguais pelospontos B e CAB = BC = CD;



AB C

D


3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;


Revisando

A D


Revisando

AD

b

A D


Revisando

b

A D

B1

C1

D1


Revisando

b

A

B C

D

B1

C1

D1


Revisando

A

B C

D


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