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ANLISE DE SISTEMAS DE LINEARES PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA

Autores: Lus Fernando Alves Pereira & Jos Felipe Haffner 1

Aula 4 Operaes com Vetores

Introduo Representao de Vetores Operaes comVetores Problemas Propostos Introduo Enquanto um conjunto de grandezas fsicas so representadas diretamente por quantidades numricas associadas as suas respectivas grandezas, como por exemplo massa (Kg), comprimento (m), temperatura (oC, oF, K), existem outras grandezas que devem apresentar mais informaes para serem completamente representadas. Estas grandezas normalmente necessitam de informaes relacionadas a direo e ao sentido em que so aplicadas, e so denominadas como grandezas de carter vetorial. Como exemplo pode-se citar deslocamento (m), velocidade (m/s), acelerao (m/s2). Faz-se necessrio portanto, estabelecer um conjunto de relaes algbricas teis quando se trata de operaes com grandezas vetorias. A fim de possibilitar uma interpretao geomtrica das operaes vetoriais apresentadas, na seqncia sero realizadas as representaes de vetores nos espaos bi e tridimensionais. Representao de Vetores Vetores so representados geometricamente nos espaos bi e tridimensionais como segmentos de retas orientados, caracterizados por um ponto inicial e um ponto final, associados respectivamente ao incio e o fim de uma seta. Em termos de notao, comum representar-se vetores por letras minsculas em negrito (por exemplo u, v, w), ou por letras minsculas com uma barra subescrita (por exemplo wvu ,, ), ou por letras minsculas com uma seta superescrita (por exemplo wvu

GGG,, ). Ser utilizada doravante, a segunda

representao associada a grandezas de carter vetorial. Para exemplificar, considera-se que o ponto final de um vetor v definido como A e o ponto final deste vetor definido como B, ento

ABv = (4.1) A representao de vetores em sistemas de coordenadas realizada normalmente pela apresentao das coordenadas do ponto final da seta que os representa, que so denominadas de componentes do vetor. Isto ocorre porque se admite como ponto inicial do vetor a origem do sistema de coordenadas que est sendo utilizado, ou seja

),( yx vvv = (4.2) representa um vetor bidimensional, definido em um plano xy, com componentes de magnitude vx no eixo x e vy no eixo y, conforme apresentado na figura 4.1.




Figura 4.1 Representao de um vetor em um sistema de coordenadas representadas no plano xy.

Operao com Vetores Uma vez definidas as formas de representao de vetores, bem como a caracterizao de vetores em sistemas de coordenadas, sero apresentadas a seguir algumas operaes matemticas teis e suas representaes geomtricas. Soma de Vetores: A soma de vetores tradicionalmente efetuada de duas formas equivalentes. Uma delas, mais analtica, realizada pela soma individual das componentes dos vetores que esto sendo somados, ou seja, admitindo vetores ),( yx vvv = e ),( yx www = , o vetor resultante da soma destes dois vetores ser

( )yyxx wvwvwvu ++=+= , (4.3) A segunda, com carter mais geomtrico, realizada posicionando o vetor w de tal maneira que o seu ponto inicial coincida com o ponto final do vetor v . O vetor resultante wv + ser representado pela seta que une as extremidades inicial do vetor v e final do vetor w , conforme mostra a figura 4.2.

Figura 4.2: Representao geomtrica da soma de dois vetores no espao bidimensional.

O procedimento geomtrico realizado para a obteno da operao de soma entre dois vetores realizado utilizando-se os chamados vetores equivalentes. Vetores equivalentes so assim denominados por possurem mesmos mdulos, direo e sentido, diferindo apenas do posicionamento espacial de seu ponto inicial. No caso da figura 4.2, a soma foi realizada aplicando-se um vetor equivalente ao vetor w na extremidade final do vetor v . Este procedimento tambm conhecido como regra do paralelogramo, em que uma das diagonais do paralelogramo representado na figura 4.2 constitui a operao de soma dos dois vetores e a outra diagonal representar a operao de diferena destes dois vetores, ou seja, )( wvt += . Geometricamente representado, simples de concluir que w , vetor composto por coordenadas (-wx,-wy), possuir mesma magnitude, direo e sentido contrrio ao vetor w , conforme representado na figura 4.3.

y

xvx

vy

wx ux

wy

uy

w

v

u

y

xvx

vy ( )yx vvv ,=




Figura 4.3: Representao geomtrica da operao de diferena entre os vetores v e w .

A operao de produto entre um vetor genrico v e um escalar k>0 no afetar a direo nem o sentido de v , alterando apenas a magnitude das componentes e, conseqentemente, a magnitude de v , isto , ( ) ( )yxyx kvkvvvkvk ,, == (4.4) A operao de produto entre um vetor genrico v e um escalar k




),,( zzyyxx wvwvwvwv +++=+ (4.5) ),,( zzyyxx wvwvwvwv = (4.6)

),,( zyx kvkvkvvk = (4.7) Translao do Sistema de Coordenadas: A translao do sistema de coordenadas eventualmente utilizada na soluo de problemas especficos em que conveniente representar a origem de um sistema de referncia especfico. Para o caso bidimensional, o sistema de referncia especfico ser representado por eixos coordenados xy, em relao a um sistema de referncia considerado padro, aqui denominado de xy, conforme representao ilustrada na Figura 4.5.

Figura 4.5: Representao dos sistemas original xy, e transladado xy.

De acordo com a representao dos sistemas original e transladado, a origem do sistema

transladado esta localizada nas coordenadas x=k e y=l do sistema de coordenadas original. Desta forma, pode-se relacionar os dois sistemas de coordenadas empregando as relaes apresentadas a seguir:

lyykxx

==

''

(4.8)

Procedimento anlogo deve ser realizado quando considerado o problema de translao no espao tridimensional, conforme ilustrado na figura 4.6.

Figura 4.6: Representao dos sistemas original xyz, e transladado xyz.

z

x

yl

m

k

( )( )

',',',,

zyxzyx

P

y'

x'

z

(k,l,m) (0,0,0)

x

x

y

y

O

O (k,l) (0,0)

=

)','(),(

yxyx

P




De forma anloga aquela realizada no espao bidimensional, o equacionamento da operao de translao do sistema de coordenadas relacionado ao caso tridimensional ser equacionado da seguinte forma:

mzzlyykxx

===

'''

(4.9)

i. Desenhe um sistema de coordenadas e marque os pontos cujas coordenadas so: (a) (3,4,5) (b) (-3,4,5) (c) (3,-4,5) (d) (3,4,-5) (e) (-3,-4,5) ii. Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem: (a) ( )6,3=v (b) ( )8,4 =v (c) ( )3,4 =v (d) ( )4,5 =v (e) ( )5,4,3=v (f) ( )0,3,3=v (g) ( )3,0,0 =v iii. Encontre os componentes do vetor de ponto inicial P1 e ponto final P2. Quando for o caso representar o vetor em um sistema de coordenadas transladado da origem, escrevendo as equaes que os relacionam com o sistema de coordenadas original (no transladado). (a) P1(4,8), P2(3,7) (b) P1(3,-5), P2(-4,-7) (c) P1(-5,0), P2(-3,1) (d) P1(3,-7,2), P2(-2,5,-4) iv. Encontre um vetor no nulo u com ponto inicial P(-1,3,-5) tal que (a) u tem a mesma direo e sentido que ( )3,7,6 =v (b) u tem mesma direo e sentido oposto ao de ( )3,7,6 =v v. Suponha que um sistema de coordenadas xy transladado para um sistema de coordenadas xy, cuja origem O tem coordenadas (2,-3) no sistema xy. (a) Encontre as coordenadas xy do ponto P cujas coordenadas xy so (7,5); (b) Encontre as coordenadas xy do ponto Q cujas coordenadas xy so (-3,6); (c) Desenhe os eixos coordenados xy e xy e marque os pontos P e Q.

Propriedades da Aritmtica Vetorial

Sejam u , v e w vetores representados nos espaos bi ou tridimensional, e k e l escalares, ento valem as seguintes relaes: (a) uvvu +=+ (c) uuu =+=+ 00 (e) ( ) ( )uklulk = (g) ( ) vlvkvlk +=+

(b) ( ) ( )wvuwvu ++=++ (d) ( ) 0=+ uu (f) ( ) vlulvul +=+ (h) vv =1

A prova matemtica para cada uma das propriedades apresentadas na tabela acima pode ser realizada para os casos bi e tridimensionais admitindo os vetores descritos por suas componentes, ou seja, ( )321 ,, uuuu = , ( )321 ,, vvvv = e ( )321 ,, wwww = . Contudo, a prova geomtrica do item (b) apresentada na figura 4.7 mostrada a seguir.




Figura 4.7: Prova geomtrica do item (b) da tabela de propriedades da aritmtica vetorial.

Deve-se observar na figura 4.7 que as diagonais compostas pelos segmentos PR e QS so, respectivamente, a soma dos vetores e u e v dos vetores v e w. Norma de um Vetor: O comprimento de um vetor u dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes. Para o caso bidimensional, a norma de u dada por

22

21 uuu += (4.10)

que diretamente estendido para o caso tridimensional, ou seja, para v 3 tem-se a norma de v dada pela seguinte expresso:

23

22

21 vvvv ++= (4.11)

Desta forma, no difcil de se concluir que para dois pontos quaisquer representados no espao tridimensional por P(x1,y1,z1) e Q(x2,y2,z2), a distncia deste dois pontos ser dada pela norma do vetor PQ , ou seja:

( )121212 ,, zzyyxxPQv == (4.12) ( ) ( ) ( )212212212 zzyyxxv ++= (4.13)

A figura 4.8 apresenta a representao geomtrica de (4.12) e (4.13).

Figura 4.8: Representao do segmento que une dois pontos quaisquer no 3.

v

u w

( ) wvu ++ P

Q R

S

z

x

y

Q(x2,y2,z2)

P(x1,y1,z1)




i. Encontre a norma de v . (a) ( )3,4 =v (b) ( )3,2=v (c) ( )0,5=v (d) ( )2,2,2=v ( )1,2,7 =v ii. Encontre a distncia entre P1 e P2. (a) P1(3,4), P2(5,7) (b) P1(-3,6), P2(-1,-4) (c) P1(7,-5,1), P2(-7,-2,-1) iii. Sejam ( )3,2,2 =u , ( )4,3,1 =v e ( )4,6,3 =w . Em cada parte calcule a expresso dada: (a) vu + (b) vu + (c) uu 22 + (d) wvu + 53

(e) ww1 (f) w

w1

iv. Seja ( )5,2,1=v . Encontre todos os escalares k tais que 4=vk . v. Sejam ( )1,3,7 =u , ( )6,6,9=v e ( )8,1,2 =w , k=-2 e l=5. Verifique que estes vetores e escalares satisfazem as identidades (b), (e), (f) e (g), do quadro das Propriedades da Aritmtica Vetorial.

vi. Mostre que se v qualquer vetor no nulo, ento vv1 um vetor unitrio.

vii. Prove geometricamente que se u e v so vetores no espao bidimensional, vuvu ++ . Produto Escalar entre Vetores: Sejam dois vetores u e v definidos no espao bi e tridimensional, posicionados de tal modo que seus pontos iniciais sejam coincidentes, e o ngulo existente entre u e v . O produto escalar euclidiano entre estes vetores, tambm conhecido como produto interno ser dado por ==

iiivuvuvu cos (4.14)

sendo i=2 ou i=3, respectivamente para os casos bi e tridimensional. A deduo de (4.14) pode ser realizada tomando por base a representao dos vetores u e v no 3, apresentado na figura 4.9.

Figura 4.9: Representao no 3 dos vetores u e v .

z

x

y

( )zyx vvvQ ,,

( )zyx uuuP ,,

u

v




Pela anlise da figura 4.9, pode-se concluir que o vetor .uvPQ = Portanto, pode-se relacionar PQ com os vetores u e v e com o ngulo entre eles, representado por , empregando-se diretamente a lei dos cosenos, ou seja:

cos2222 uvuvuv += (4.15) sendo

( ) ( ) ( )2222 zzyyxx uvuvuvuv ++= (4.16) ou seja ( ) ( ) ( )

uv

zzyyxx

u

zyx

v

zyx uvuvuvuuuvvvuv22

222

2

2222 2 +++++++= (4.17)

Substituindo (4.17) em (4.15), conclui-se diretamente que

cosuvuv = (4.18) Ou seja, o produto interno dos vetores u e v , tambm representado por vu calculado a partir do produto das normas destes vetores e do coseno do ngulo existente entre eles.

Ortogonalidade O produto interno entre quaisquer dois vetores no espao bi e tridimensional, u e v ser nulo sempre que os vetores u e v apresentarem um ngulo de 90o entre eles, ou seja, se eles forem

ortogonais entre si. Neste caso denota-se 0= vuvu T . O conceito de ortogonalidade diretamente estendido para o caso n-dimensional, no havendo naturalmente representao geomtrica para estes casos.




Problemas Propostos Bibliografia [1] Meyer, C.D., Matrix Analysis and Applied Linear lgebra, Society for Industrial and Applied Mathematics. [2] Lay, D.C., lgebra Linear e suas Aplicaes, Livros Tcnicos e Cientficos LTC Editora, Segunda Edio. [3] Kolman, B., Introduo lgebra Linear com Aplicaes, Prentice-Hall do Brasil, Sexta Edio. [4] Howard, A. & Rorres, R., lgebra Linear com Aplicaes, Editora Bookman, Oitava Edio. [5] Boldrini, J.L., Costa, S.I.R, Figueiredo, V.L., Wetzler, H.G., lgebra Linear, Editora Harbra, Terceira Edio.

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