aula1

preamble

Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 1 / 26

Eletromagnetismo

Rubem Alves da Silva

Mario Araujo Filho

UNIDADE ACADEMICA DE ENGENHARIA ELETRICA - DEE

10 de fevereiro de 2011

Eletromagnetismo


CONTEUDO DO CURSO

Eletromagnetismo


CONTEUDO DO CURSO

Unidade 1. Sistemas de coordenadas e calculo vetorial;

Eletromagnetismo


CONTEUDO DO CURSO


Unidade 2. Campos eletrostaticos;

Eletromagnetismo


CONTEUDO DO CURSO



Unidade 3. Campos eletricos em meios materiais;

Eletromagnetismo


CONTEUDO DO CURSO




Unidade 4. Problemas de valor de contorno;

Eletromagnetismo


CONTEUDO DO CURSO





Unidade 5. Campos magnetostaticos;

Eletromagnetismo


CONTEUDO DO CURSO






Unidade 6. Forcas, materiais e dispositivos magneticos;

Eletromagnetismo


CONTEUDO DO CURSO







Unidade 7. Campos eletromagneticos variaveis no tempo;

Eletromagnetismo


CONTEUDO DO CURSO







Unidade 7. Campos eletromagneticos variaveis no tempo;

Unidade 8. Equacoes de Maxwell e equacoes de onda.

Eletromagnetismo


BIBLIOGRAFIA

Eletromagnetismo


BIBLIOGRAFIA

ELEMENTOS DE ELETROMAGNETISMO - Matthew N. O. Sadiku (Livro-texto)

Eletromagnetismo


BIBLIOGRAFIA


ELETROMAGNETISMO - William H. Hayt e John A. Buck

Eletromagnetismo


BIBLIOGRAFIA



FUNDAMENTALS OF ELECTROMAGNETICS with MATLAB - K. E. Lonngren, S. V.Savov e R. J. Jost

Eletromagnetismo


BIBLIOGRAFIA




ANALISE VETORIAL - Hwei P. Hsu

Eletromagnetismo


BIBLIOGRAFIA





RECURSOS AUXILIARES

Eletromagnetismo


BIBLIOGRAFIA





RECURSOS AUXILIARES

PROGRAMA Scilab - www.scilab.org/products/scilab/download

Eletromagnetismo


BIBLIOGRAFIA





RECURSOS AUXILIARES

PROGRAMA Scilab - www.scilab.org/products/scilab/download

PROGRAMA MatLab

Algebra vetorial e sistemas de coordenadas


CONTEUDO DA AULA



CONTEUDO DA AULA

1. Algebra vetorial;



CONTEUDO DA AULA


Conceito de vetor



CONTEUDO DA AULA


Conceito de vetor

Operacoes elementares com vetores



CONTEUDO DA AULA


Conceito de vetor


2. Conceito de campo;



CONTEUDO DA AULA


Conceito de vetor



Campos escalares e vetoriais



CONTEUDO DA AULA


Conceito de vetor




Representacao grafica de campos vetoriais



CONTEUDO DA AULA


Conceito de vetor





3. Coordenadas cartesianas;



CONTEUDO DA AULA


Conceito de vetor






4. Coordenadas cilındrico-circulares;



CONTEUDO DA AULA


Conceito de vetor






4. Coordenadas cilındrico-circulares;

5. Coordenadas esfericas.

Conceito de vetor


Grandezas vetoriais: caracterizadas por uma magnitude e uma orientacao.

Conceito de vetor



Representacao grafica: segmento de reta orientado, terminado por uma seta.

Conceito de vetor




v

O

A magnitude: comprimento do segmentodirecao: da reta suporte do segmentosentido: indicado pela seta

notacao: v = ~v =−−→OA

origem: ponto Oextremidade: ponto A

Conceito de vetor




v

O




Vetor unitario

Conceito de vetor




v

O




Vetor unitario

O vetor unitario ao longo de v e um vetor cuja magnitude e 1 e cuja orientacao ea mesma de v

A magnitude de v e representada por v=|v| =∣

∣

∣~v∣

∣

∣

Entao,

av =vv=

~v∣

∣

∣~v∣

∣

∣

Componentes de um vetor


Em coordenadas cartesianas




x

y

z

ax

vx

ay vy

az

vz

v

v = vx ax + vy ay + vz az

vx = vx ax vy = vy ay vz = vz az

vx, vy, vz: componentes de v nas direcoes doseixos coordenados x,y,z

vx, vy, vz: projecoes de v nas direcoes doseixos coordenados x,y,z




x

y

z

ax

vx

ay vy

az

vz

v





A magnitude do vetor v, em coordenadas cartesianas, e dada por:




x

y

z

ax

vx

ay vy

az

vz

v






v = |v| =√

v2x + v

2y + v

2z




x

y

z

ax

vx

ay vy

az

vz

v






v = |v| =√

v2x + v

2y + v

2z

O vetor unitario na direcao de v e:




x

y

z

ax

vx

ay vy

az

vz

v






v = |v| =√

v2x + v

2y + v

2z

O vetor unitario na direcao de v e:

av =vv=

vx ax + vy ay + vz az√

v2x + v

2y + v

2z

Operacoes com vetores


Adicao de dois vetores - metodo geometrico




B

A

A+B

B

A

A+B




B

A

A+B

B

A

A+B

Adicao de dois vetores - metodo analıtico.




B

A

A+B

B

A

A+B


A = Ax ax +Ay ay +Az az B = Bx ax + By ay + Bz az

A + B = (Ax + Bx) ax + (Ay + By) ay + (Az + Bz) az




B

A

A+B

B

A

A+B




Propriedades da adicao




B

A

A+B

B

A

A+B




Propriedades da adicao

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)



Subtracao de dois vetores




A − B = A + (−B) = (Ax − Bx) ax + (Ay − By) ay + (Az − Bz) az





Multiplicacao por um escalar






m(A) = m(Ax ax +Ay ay +Az az) = mAx ax + mAy ay + mAz az = mA

Propriedades







Propriedades

(m + n)A = mA + nA

m(A + B) = mA + mB







Propriedades

(m + n)A = mA + nA

m(A + B) = mA + mB

Produto escalar







Propriedades

(m + n)A = mA + nA

m(A + B) = mA + mB

Produto escalar

A · B = A B cosθAB = AxBx +AyBy +AzBz

Propriedades







Propriedades

(m + n)A = mA + nA

m(A + B) = mA + mB

Produto escalar

A · B = A B cosθAB = AxBx +AyBy +AzBz

Propriedades

A · B = B · A

A · (B + C) = A · B + A · C



A · A = A2x +A

2y +A

2z = A2

ax · ax = ay · ay = az · az = 1

A · B = 0 ⇔ A e B sao ortogonais

ax · ay = ay · az = az · ax = 0

Componentes e projecoes

B

BA

A

ABaB

aA α

componente de A na direcao de B:

AB = A cosα = A · aB

componente de B na direcao de A:

BA = B cosα = B · aA

projecao de A na direcao de B:

AB = ABaB = (A · aB)aB

projecao de B na direcao de A:

BA = BAaA = (B · aA)aA



Produto vetorialA × B = A B sen θAB an

Esse produto e uma grandeza vetorial cuja magnitude representa a area doparalelogramo definido pelos vetores A e B e cuja orientacao, representada pelovetor unitario an, e dada pela regra da mao direita.

Se, em coordenadas cartesianas,

A = Ax ax + Ay ay + Az az B = Bx ax + By ay + Bz az

entao,

A × B =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

ax ay az

Ax Ay Az

Bx By Bz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

ouA × B = (AyBz − AzBy)ax + (AzBx − AxBz)ay + (AxBy − AyBx)az



Propriedades

A × B , B × A

A × B = −B × A

A × (B × C) , (A × B) × C

A × (B + C) = A × B + A × C

A × A = 0

ax × ay = az ay × az = ax az × ax = ay

Produto mistoA · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)

Se

A = Ax ax + Ay ay + Az az B = Bx ax + By ay + Bz az C = Cx ax +Cy ay +Cz az

esse produto representa o volume de um paralelepıpedo que tem A, B e C comoarestas.



A · (B × C) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Ax Ay Az

Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Tendo em vista que o resultado dessa operacao e um escalar, ela tambem econhecida como trıplo produto escalar .

Trıplo produto vetorial

A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B)

Atente para o mnemonico “bac-cab”

Campos escalares


Definicao 1: Seja D um conjunto de R3. Um campo escalar sobre R3 e umafuncao f que associa a cada ponto (x, y, z) ∈ D um escalar f (x, y, z).

Em particular, em duas dimensoes espaciais, tem-se a seguinte definicao:

Definicao 2: Seja D um conjunto de R2. Um campo escalar sobre R2 e umafuncao f que associa a cada ponto (x, y) ∈ D um escalar f (x, y).

De um modo mais geral, um campo escalar e uma funcao matematica do espaco edo tempo, podendo ser representado por f (r, t).

Exemplos de grandezas escalares:

temperatura

pressao

densidade

massa

potencial eletrico

potencial gravitacional

Campos vetoriais


Definicao 3: Seja D um conjunto de R3. Um campo vetorial sobre R3 e umafuncao F que associa a cada ponto (x, y, z) ∈ D um vetor F(x, y, z).

Em particular, em duas dimensoes espaciais, tem-se a seguinte definicao:

Definicao 4: Seja D um conjunto de R2. Um campo vetorial sobre R2 e umafuncao F que associa a cada ponto (x, y) ∈ D um escalar F(x, y).

De um modo mais geral, um campo vetorial e uma funcao matematica do espacoe do tempo, podendo ser representado por F(r, t).

Exemplos de grandezas vetoriais:

forca

velocidade

aceleracao

intensidade de campo eletrico

intensidade de campo magnetico

forca gravitacional



Apresentam-se, a seguir, as representacoes graficas de algumas funcoes vetoriais,tanto em duas quanto em tres dimensoes.

Campo vetoriais em 2D

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

(a)

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

(b)

Figura 1: (a) F(x, y) = −yi + xj (b) F(x, y) = yi + sinxj

Campos vetoriais em 2D


−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

x

y

(a)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

(b)

Figura 2: (a) F(x, y) = 15√

yi (b) F(x, y) = ln(1+ y2)i + ln(1+ x2)j

Campos vetoriais em 3D


−2

−2

−1

1

z 0

−2 −1−1

x

2

00

y 1 1

22

(a)

−2−2

−1

−1

1

0

−2

z

x

−1 0

2

0

y1

122

(b)

Figura 3: (a) F(x, y) = yi + zj + xk (b) F(x, y) = yi − 2j + xk

As figuras (1 - 3) foram obtidas usando-se o programa MATLAB. Resultadossemelhantes podem ser obtidos utilizando-se o programa SCILAB, de distribuicaogratuita. Esses programas serao usados no decorrer deste curso, bem como noLaboratorio de Eletromagnetismo, tanto para a obtencao de representacoesgraficas de funcoes quanto para a resolucao numerica e simbolica de uma amplaclasse de problemas.

Sistemas de coordenadas


A representacao espacial dos campos estudados em eletromagnetismo requer acaracterizacao inequıvoca de todos os pontos do espaco na regiao de interesse.Isso demanda a definicao e o uso de sistemas de referencia adequados,denominados sistemas de coordenadas.

Os sistemas de coordenadas podem ser ortogonais e nao-ortogonais.

Um sistema de coordenadas ortogonal e aquele em que os eixos coordenados saomutuamente perpendiculares. Os eixos coordenados podem ser retilıneos oucurvilıneos.

Ha cerca de 13 (treze) sistemas de coordenadas ortogonais utilizados na fısica.

Neste curso, serao utilizados os tres seguintes sistemas de coordenadas:

Sistema de coordenadas cartesianas;

Sistema de coordenadas cilındrico-circulares;

Sistema da coordenadas esfericas.

Coordenadas cartesianas


Os eixos coordenados resultam da intersecao de tres planos mutuamenteortogonais, como mostra a figura (4).

(a) (b)

Figura 4: Superfıcies coordenadas

Coordenadas cartesianas


variaveis coordenadas: x, y, zrepresentacao do ponto: P(x, y, z)vetores unitarios: ax, ay, az

variacao : −∞ < x, y, z < ∞vetor posicao: rP = xax+yay+zaz

vetor geral: A = Axax+Ayay+Azaz

(a) (b)

Figura 5: Representacao de um ponto P, (a), e dos vetores unitarios, (b)

Coordenadas cilındricas circulares


Os eixos coordenados resultam da intersecao de dois planos e um cilindro circular,mutuamente ortogonais, como mostra a figura (6).

(a) (b)




variaveis coordenadas: ρ, φ, zrepresentacao do ponto: P(ρ, φ, z)vetores unitarios: aρ, aφ, az

variacao : 0 ≤ ρ < ∞ 0 ≤ φ ≤ 2π−∞ < z < ∞

vetor posicao: ρP = ρ aρ

(a) (b)




Vetor geralA =< Aρ, Aφ, Az >= Aρ aρ + Aφ aφ + Az az

Produtos dos vetores unitarios

aρ · aρ = aφ · aφ = az · az = 1

aρ · aφ = aφ · az = az · aρ = 0

aρ × aφ = az aφ × az = aρ az × aρ = aφ

Relacoes entre (x, y, z) e (ρ, φ, z)

x = ρ cosφ y = ρ sen φ z = z

ρ =

√

x2+ y2 φ = arctan(y/x) z = z

Coordenadas esfericas


Os eixos coordenados resultam da intersecao de Uma esfera, um cone e um plano,mutuamente ortogonais, como mostra a figura (8).

(a) (b)




variaveis coordenadas: r, θ, φrepresentacao do ponto: P(r, θ, φ)vetores unitarios: ar, aθ, aφ

variacao : 0 ≤ r < ∞ 0 ≤ θ ≤ π0 ≤ φ ≤ 2π

vetor posicao: rP = r ar

(a) (b)




Vetor geralA =< Ar, Aθ, Aφ >= Ar ar + Aθ aθ + Aφ aφ

Produtos dos vetores unitarios

ar · ar = aθ · aθ = aφ · aφ = 1

ar · aθ = aθ · aφ = aφ · ar = 0

ar × aθ = aφ aθ × aφ = ar aφ × ar = aθ

Relacoes entre (x, y, z) e (r, θ, φ)

x = r sen θ cosφ y = r sen θ sen φ z = r cosθ

r =√

x2+ y2+ z2 θ = arctan(

√

x2+ y2/z) φ = arctan(y/x)

aula1

Documents

Transcript of aula1