ÁLGEBRA LINEAR

Espaços Vetoriais

Prof. Susie C. Keller

Introdução

Com doze andares de altura e pesando 75 toneladas, oUS Columbia partiu majestosamente de sua plataformade lançamento numa manhã fresca num domingo deabril de 1981, em Palm.

Produto de dez anos de intensa pesquisa edesenvolvimento, o primeiro ônibus espacial dos EUAfoi uma vitória da engenharia de controle de sistemas,envolvendo muitas áreas da engenharia - aeronáutica,química, elétrica, hidráulica e mecânica.

Introdução Os sistemas de controle do ônibus espacial são

absolutamente críticos para o vôo. Como o ônibusespacial é uma aeronave instável, ele requer umconstante monitoramento por computador durante ovôo atmosférico. O sistema de controle de vôo enviauma seqüência de comandos para as superfícies decontrole aerodinâmico e 44 jatos de propulsão.

Este esquema é um sistema fechado de feedback típicoque controla a inclinação do ônibus espacial durante ovôo. O símbolo em destaque é onde os sinais dosdiversos sensores são somados aos sinais docomputador e fluem para o controlador.

Introdução

Introdução

Matematicamente, os sinais de entrada e saída de um sistema de engenharia são funções.

É importante para as aplicações que essas funções possam ser somadas e multiplicadas por escalares.

Essas operações em funções têm propriedades algébricas que são completamente análogas às operações de soma de vetor e multiplicação de vetor por escalar no IRn.

Introdução

Por este motivo, o conjunto de todas as entradas possíveis (funções) é chamado de um espaço vetorial.

A fundamentação matemática para a engenharia de sistemas repousa sobre os espaços vetoriais de funções, portanto precisamos entender a teoria de vetores do IRn

de modo a incluir as funções.

(Texto extraído e adaptado de Livro “Álgebra Linear e suas aplicações”, David C. Lay, 2ªedição. LTC.).

Introdução

Veremos hoje:

O que são Espaços Vetoriais: Propriedades dos Espaços Vetoriais,

Introdução

O conjuntoIR2 = {(x,y) / x, y IR}

é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano.

Um par ordenado (x,y) pode representar: um ponto, x e y são coordenadas; um vetor, (x,y) representam a extremidade do vetor.

Introdução

Essa idéia pode ser estendida para o IR3 que representa o espaço tridimensional.

Podemos ter espaços n-dimensionais formados por e-nuplas de reais, IR4, IR5..., IRn, porém perde-se a interpretação geométrica.

O espaço n-dimensional é definido porIRn = {(x1,x2,...,xn) / xi IR}

Introdução

Vamos considerar agora dois conjuntos: IRn

Matrizes M(m,n) ou Mmxn

Nesses conjuntos estão definidas as operações: Soma e Multiplicação por escalar,

Assim, esses conjuntos possuem uma série de propriedades em comum.

Introdução Se u, v e w IRn, se , IR e A, B, C M(m,n),

temos:

A) Em relação à Adição valem as propriedades:

1) (u + v) + w = u + (v + w)(A + B) + C = A + (B + C)

2) u + v = v + uA + B = B + A

3) u + 0 = u A + 0 = A

Associativa da Adição

Comutativa da Adição

Existência do Elemento Neutro

4) u + (-u) = 0 A + (-A) = 0

Por exemplo se u = (x1, x2, ..., xn) então o vetor simétrico é -u = (-x1, -x2, ..., -xn) e para A temos -A.

Introdução

O elemento zero, 0 , será um vetor na primeira igualdade e uma matriz nula na segunda igualdade.

Existência do Elemento Simétrico

B) Em relação à Multiplicação por Escalar valem as propriedades:

1) ()u = (u)()A = (A)

2) ( + )u = u + u( + )A = A + A

3) (u + v) = u + v(A + B) = A + B

4) 1u = u1A = A

Introdução

Associativa em relação ao Escalar

Distributiva em relação ao Escalar

Distributiva em relação ao Vetor (ou Matriz)

Existência do Elemento Neutro

Introdução Os conjuntos IRn e M(m,n) munidos desse

par de operações apresentam uma “estrutura” comum em relação a estas operações.

Existem outros conjuntos numéricos que também apresentam essa “estrutura” comum. Esses conjuntos são chamados ESPAÇOS VETORIAIS.

Espaços Vetoriais

Espaço Vetorial Real Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão

definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é:

u, v V, u + v V IR, u V, u V

O conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real se forem verificados os seguinte axiomas:

Espaços Vetoriais

Em relação à Adição:

A1) (u + v) + w = u + (v + w), u, v, w V

A2) u + v = v + u, u, v V

A3) 0 V, u V, u + 0 = u

A4) u V, (-u) V, u + (-u) = 0

Espaços Vetoriais

Em relação à Multiplicação por Escalar:

M1) ()u = (u)

M2) ( + )u = u + u

M3) (u + v) = u + v

M4) 1u = uu, v V e , IR

Espaços Vetoriais

Nota: Um axioma é uma hipótese inicial do qual outros

enunciados são logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um

enunciado ou uma regra que permite a construção de um sistema formal.

Espaços Vetoriais

Observações: Os elementos de um espaço vetorial são chamados

de vetores, independentemente de sua natureza (vetores, matrizes, Rn, polinômios...);

Se considerarmos conjuntos de nº complexos, definimos um espaço vetorial complexo.

Espaços Vetoriais

Exemplo 1: O conjunto V = IR2 = {(x, y)/ x, y IR} é um espaço

vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)(x, y) = (x, y)

Essas operações são denominadas operações usuais.

Espaços VetoriaisPara verificar os oito axiomas do espaço vetorial, sejam u = (x1, y1), v = (x2, y2) e w = (x3, y3):

Em relação à Adição:

Espaços Vetoriais

Espaços Vetoriais

Espaços Vetoriais

Em relação à Multiplicação por Escalar

Espaços Vetoriais

Espaços Vetoriais

Espaços Vetoriais

Espaços Vetoriais Exemplo 2:

Podemos ter as operações de soma e multiplicação por escalar redefinidas e ainda assim o conjunto ser um Espaço Vetorial:

O conjunto V = {(x, x2)/x IR} com as operações definidas por:

é um espaço vetorial sobre IR.

22

21

221

2221

21

221

)(

2)(

xxxxxxxxxx

Espaços Vetoriais

Contra - exemplo: O conjunto IR2 = {(a, b)/a, b IR} não é um espaço

vetorial em relação às operações assim definidas:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)k(a, b) = (ka, b), k IR

A Adição aqui definida é a usual, portanto os axiomas A1, A2, A3, e A4 são satisfeitos como visto no Exemplo1. Já a Multiplicação por escalar é redefinida, o que ocasiona o problema.

Sejam u = (x1, y1), v = (x2, y2) e , IR:

Este axioma se verifica!!!

Espaços Vetoriais

Espaços Vetoriais

Como pode-se ver

( + )u ≠ u + u

Assim M2 não se verifica e o exemplo não é um espaço vetorial.

Espaços VetoriaisPropriedades dos Espaços Vetoriais

I) Existe um único vetor nulo em V.II) Cada vetor u V admite apenas um simétrico -u

V.III) Para quaisquer u, v, w V, se u + w = v + w,

então u = v.IV) Qualquer que seja v V, tem-se: -(-v) = v, isto é, o

oposto de –v é v.V) Quaisquer que sejam u, v V, existe um e somente

um x, tal que u + x = v.

Espaços Vetoriais

VI) Qualquer que seja v V, 0v = 0. O primeiro zero é um número real e o segundo zero é um vetor nulo.

VII) Qualquer que seja k IR, k0 = 0.VIII) kv = 0, implica k = 0 ou v = 0.IX) Qualquer que seja v V, (-1)v = -v.X) Quaisquer que sejam v V e k IR,

(-k)v = k(-v) = -(kv).