Aula18 - Estatística Suficiente
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Estatística Su�ciente
Anselmo Alves de Sousa
August 14, 2015
Anselmo Alves de Sousa Estatística Su�ciente August 14, 2015 1 / 6
Enunciado
1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).Então
T = X1 +X2
é uma estatística su�ciente para o parâmetro λ.
Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Emprincípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Prove! Dica use F.G.M.
P (T = t) =(2λt)e−2λ
t!, t = 0, 1, 2, 3 . . .
Adquira 52 Questões de Concursos de Momentos e Esperança Condicional e veja questões de F.G.M!
Anselmo Alves de Sousa Estatística Su�ciente August 14, 2015 2 / 6
Enunciado
1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).Então
T = X1 +X2
é uma estatística su�ciente para o parâmetro λ.
Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Emprincípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ)
Prove! Dica use F.G.M.
P (T = t) =(2λt)e−2λ
t!, t = 0, 1, 2, 3 . . .
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Anselmo Alves de Sousa Estatística Su�ciente August 14, 2015 2 / 6
Enunciado
1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).Então
T = X1 +X2
é uma estatística su�ciente para o parâmetro λ.
Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Emprincípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Prove! Dica use F.G.M.
P (T = t) =(2λt)e−2λ
t!, t = 0, 1, 2, 3 . . .
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Anselmo Alves de Sousa Estatística Su�ciente August 14, 2015 2 / 6
Enunciado
1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).Então
T = X1 +X2
é uma estatística su�ciente para o parâmetro λ.
Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Emprincípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Prove! Dica use F.G.M.
P (T = t) =(2λt)e−2λ
t!, t = 0, 1, 2, 3 . . .
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Enunciado
1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).Então
T = X1 +X2
é uma estatística su�ciente para o parâmetro λ.
Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Emprincípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Prove! Dica use F.G.M.
P (T = t) =(2λt)e−2λ
t!, t = 0, 1, 2, 3 . . .
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Resolução
Por de�nição dizemos que T = g(X1, X2, . . . , Xn) é uma estatística su�ciente para λse a distribuição condicional de X1, X2, . . . , Xn dado T = t for independente de λ.
P (X1, X2|T = t) =
{0 , se x1 + x2 6= tP (X1=x1,X2=x2)
P (T=t) , se x1 + x2 = t
P (X1, X2|T = t) =
{0 , se x1 + x2 6= tP (X1=x1,X2=t−x1)
P (T=t) , se x1 + x2 = t
Anselmo Alves de Sousa Estatística Su�ciente August 14, 2015 3 / 6
Resolução
Por de�nição dizemos que T = g(X1, X2, . . . , Xn) é uma estatística su�ciente para λse a distribuição condicional de X1, X2, . . . , Xn dado T = t for independente de λ.
P (X1, X2|T = t) =
{0 , se x1 + x2 6= tP (X1=x1,X2=x2)
P (T=t) , se x1 + x2 = t
P (X1, X2|T = t) =
{0 , se x1 + x2 6= tP (X1=x1,X2=t−x1)
P (T=t) , se x1 + x2 = t
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Resolução
Por de�nição dizemos que T = g(X1, X2, . . . , Xn) é uma estatística su�ciente para λse a distribuição condicional de X1, X2, . . . , Xn dado T = t for independente de λ.
P (X1, X2|T = t) =
{0 , se x1 + x2 6= tP (X1=x1,X2=x2)
P (T=t) , se x1 + x2 = t
P (X1, X2|T = t) =
{0 , se x1 + x2 6= tP (X1=x1,X2=t−x1)
P (T=t) , se x1 + x2 = t
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Resolução
P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)
P (T = t)(considerando a independência!)
=
e−λλx1x1!
× e−λλt−x1(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=t!
x1!(t− x1)!× e−2λ
e−2λ× λt
(2λ)t=
(t
x1
)1
2t
Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma
estatística su�ciente para o parâmetro λ.
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Resolução
P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)
P (T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1x1!
× e−λλt−x1(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=t!
x1!(t− x1)!× e−2λ
e−2λ× λt
(2λ)t=
(t
x1
)1
2t
Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma
estatística su�ciente para o parâmetro λ.
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Resolução
P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)
P (T = t)(considerando a independência!)
=
e−λλx1x1!
× e−λλt−x1(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=t!
x1!(t− x1)!× e−2λ
e−2λ× λt
(2λ)t=
(t
x1
)1
2t
Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma
estatística su�ciente para o parâmetro λ.
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Resolução
P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)
P (T = t)(considerando a independência!)
=
e−λλx1x1!
× e−λλt−x1(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=t!
x1!(t− x1)!× e−2λ
e−2λ× λt
(2λ)t=
(t
x1
)1
2t
Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma
estatística su�ciente para o parâmetro λ.
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Resolução
P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)
P (T = t)(considerando a independência!)
=
e−λλx1x1!
× e−λλt−x1(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=t!
x1!(t− x1)!× e−2λ
e−2λ× λt
(2λ)t=
(t
x1
)1
2t
Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma
estatística su�ciente para o parâmetro λ.
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Resolução
P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)
P (T = t)(considerando a independência!)
=
e−λλx1x1!
× e−λλt−x1(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=t!
x1!(t− x1)!× e−2λ
e−2λ× λt
(2λ)t=
(t
x1
)1
2t
Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma
estatística su�ciente para o parâmetro λ.
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Resolução
P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)
P (T = t)(considerando a independência!)
=
e−λλx1x1!
× e−λλt−x1(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=t!
x1!(t− x1)!
× e−2λ
e−2λ× λt
(2λ)t=
(t
x1
)1
2t
Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma
estatística su�ciente para o parâmetro λ.
Anselmo Alves de Sousa Estatística Su�ciente August 14, 2015 4 / 6
Resolução
P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)
P (T = t)(considerando a independência!)
=
e−λλx1x1!
× e−λλt−x1(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=t!
x1!(t− x1)!× e−2λ
e−2λ
× λt
(2λ)t=
(t
x1
)1
2t
Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma
estatística su�ciente para o parâmetro λ.
Anselmo Alves de Sousa Estatística Su�ciente August 14, 2015 4 / 6
Resolução
P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)
P (T = t)(considerando a independência!)
=
e−λλx1x1!
× e−λλt−x1(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=t!
x1!(t− x1)!× e−2λ
e−2λ× λt
(2λ)t=
(t
x1
)1
2t
Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma
estatística su�ciente para o parâmetro λ.
Anselmo Alves de Sousa Estatística Su�ciente August 14, 2015 4 / 6
Resolução
P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)
P (T = t)(considerando a independência!)
=
e−λλx1x1!
× e−λλt−x1(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=t!
x1!(t− x1)!× e−2λ
e−2λ× λt
(2λ)t=
(t
x1
)1
2t
Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ
, logo T é uma
estatística su�ciente para o parâmetro λ.
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Resolução
P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)
P (T = t)(considerando a independência!)
=
e−λλx1x1!
× e−λλt−x1(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=t!
x1!(t− x1)!× e−2λ
e−2λ× λt
(2λ)t=
(t
x1
)1
2t
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1. 52 Questões de Séries Temporais
2. 52 Questões de Estatística Descritiva
3. 52 Questões de Probabilidade I
4. 52 Questões de Técnicas de Amostragem
5. 52 Questões de Inferência
6. 52 Questões de Cálculo
7. 52 Questões de Estatística
8. 52 Questões de Momentos e Esperança Condicional
9. 52 Questões de Estatística Multivariada
10. 52 Questões da Banca AOCP
11. 52 Questões de Testes de Hióteses
12. 52 Questões de Regressão Linear Simples
13. 52 Questões da Banca FCC
14. 52 Questões da Banca CESPE-UNB
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