RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

AULA 18 – Capítulo 7 – Cisalhamento Transversal

1

Esforços Internos em Vigas

©2004 by Pearson Education 6-2

Esforços Internos - Convenção de Sinais

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Relação Entre M, V e w

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Relação Entre M, V e w

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CISALHAMENTO TRANSVERSAL

O esforço cortante V é o resultado de uma distribuição de tensões cisalhantes atuando na seção transversal da viga –Figura 7.1

Princípio da Reciprocidade das Tensões Cisalhantes

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das Tensões Cisalhantes

Flexão Pura

Fibras longitudinais típicas

7

Superfície Neutra

Linha Elástica

Plano Longitudinal de Simetria

Superfície Neutra

Flexão - Viga Deformada

Seções planas

A linha elástica forma um arco circular

Centro de Curvatura

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Seções planas permanecem planas (Bernoulli)

Linha Elástica

( )

( ) curvatura de raiox

x

y

=

−=

ρ

ρε x

Compressão

Equação Deformação- Deslocamento

9

( )curvatura

1

curvatura de raiox

==

=

ρκ

ρ

Tração

Deformação e Curvatura

ρ decresce, curvatura e deformação crescem

10

Distribuição de deformação

Compressão

Compressão(εx negativa)

Tração(εx positiva)

11

Tração

Hipóteses relativas a tensão atuante1. Comportamento do Material: linearmente elástico2. Material é isotrópico3. Material segue a lei de Hooke4. As tensões transversais podem ser desprezadas em relação as

tensões de flexão (longitudinais).

Distribuição de tensão

Superfície

Compressão

Tração

M Positivo

Compressão

TraçãoM negativo

12ρσ

ρεεσ

y

y

E

E

x

xxx

−=

−==

Tensão de ãodistribuiç para Fórmulas

Superfície Neutra plano (xz)

Tração Compressão

Relação Momento Curvatura

Centróide da seção transversal

Compressão acima do EN

Eixo Neutro da

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seção transversal

Tração abaixo do EN

Eixo Neutro da seção transversal (eixo z’)

Superfície Neutra (plano xz)

( )

∫

∫

=

=

A

2z

A

2

dAyI

dAyρ

ExM

κEIρ

EIM z

z ==z

x I

Myσ −=

Relação Entre Esforço Cortante e Tensão Cisalhante

•O procedimento adotado nos capítulos anteriores para estabelecer relações entre os esforços internos e as respectivas tensões, parte de uma hipótese sobre a deformação.

•No caso do cisalhamento é difícil estabelecer uma hipótese

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•No caso do cisalhamento é difícil estabelecer uma hipótese para a deformação cisalhante.

•Assim sendo a relação entre a tensão cisalhante e o esforço cortante será obtida através de considerações de equilíbrio partindo das tensões normais oriundas da flexão.

•Lembrando � sempre que houver variação do momento fletor irá existir esforço cortante.

Cisalhamento Longitudinal

Distorção da Seção Transversal

Hipótese de Bernoulli é violada – Como a distorção da seção é em geral muito pequena, ela pode ser desprezada e a hipótese das seções planas permanece válida

Fórmula do Cisalhamento

Fórmula do Cisalhamento

0FFF0F edx =−−∴=←∑+

τ

σdσe

Fd

Fe Fazendo-se o equilíbrio das forças na direção x, temos:

Onde Fd e Fe são as forças resultantes das tensões de flexão atuando na área A´, e Fτ a força resultante das tensões de cisalhamento na seção de corte:

σdσe

FdFe

0FFFdAy

IM

F

dAyIM

F

dxtF;dAF;dAF

ed

´A

ee

´A

dd

Aee

´Add

=−−⇒

⋅=

⋅=

⋅⋅===

∫

∫

∫∫

τ

τ τσσ

das tensões de cisalhamento na seção de corte:

Fórmula do Cisalhamento

∫ =⋅⋅−−

=−−

A

ed

ed

0dxtdAyIMM

0FFF

τ

τ

σdσe

Fd

Fe Substituindo-se as expressões acima na equação de equilíbrio das forças na direção x, temos:

( )

∫

∫

=

−+=⋅⋅

A

A

dAydxdM

It1

dAyI

MdMMdxt

τ

τ

σdσe

FdFe

tIQV

⋅⋅=τ

Fórmula do Cisalhamento

σdσe

Fd

Fe Fórmula do Cisalhamento

tIQV

⋅⋅=τ

Onde:

σdσe

FdFe

Tensão de Cisalhamento em Vigas

Seção Retangular tI

QV⋅⋅=τ

−=

+

−=

−+⋅

−=⋅=

22

y4h

2b

Q

y2h

y2h

2b

Q

y2h

21

yy2h

byAQ

Tensão de Cisalhamento em Vigas

Seção Retangular tI

QV⋅⋅=τ

−=

⋅=

22

3

y4h

2b

Q

12hb

I

yhb

V 22

−⋅

b12hb

y4h

2b

V

3

2

⋅⋅

−⋅

=τ

−⋅

⋅= 2

2

3 y4h

hbV6τ

hb2V3

4h

hbV6 2

3máx ⋅⋅⋅=⋅

⋅=τ

Tensão de Cisalhamento em Vigas

Seção Retangular

−⋅

⋅= 2

2

3 y4h

hbV6τ

Distribuição de tensões variando com o quadrado da distância y (distribuição parabólica com a

hb2V3

4h

hbV6 2

3máx ⋅⋅⋅=⋅

⋅=τ

AV

23

máx =τ

(distribuição parabólica com a altura)

Tensão de Cisalhamento em Vigas

AV

23

máx =τ

Integrando-se a distribuição das tensões cisalhantes com a altura obtém-se

Tensão de Cisalhamento em Vigas

Seção I – Abas Largas

Limitações da Fórmula do Cisalhamento

Hipóteses:

• A tensão de cisalhamento se distribui uniformemente ao longo da espessura

A Teoria da Elasticidade mostra que para seçõesA Teoria da Elasticidade mostra que para seções

%303,1´

5,0hb

fórmula

máx ⇒=⇒=ττ

%4040,1´

2hb

fórmula

máx ⇒=⇒=ττ

Limitações da Fórmula do Cisalhamento

A tensão de cisalhamento não é bem representada na união aba-alma.

• transição brusca da aba para a alma

• superfície livre com tensão diferente de zero

Limitações da Fórmula do Cisalhamento

Exemplo 1

Exemplo 1

Momento de Inércia

Momento Estático do ponto P

Tensão cisalhante no ponto P

Exemplo 1

Máxima tensão cisalhante irá ocorrer onde a razão entre o momento estático Q´ e a espessura for máxima. Nesse caso como a espessura é constante, a máxima razão ocorre para o máximo momento estático(no eixo neutro)

tIQV

⋅⋅=τ

Tensão cisalhante máxima

Equivalente a:

Exemplo 2

Exemplo 2

Momento de Inércia

Momento Estático do ponto B´

Tensão cisalhante no ponto B´

Exemplo 2

Momento Estático do ponto B (QB=QB´)

Tensão cisalhante no ponto B

Momento Estático do ponto C

Tensão cisalhante no ponto C

Exemplo 2

Força cortante atuante na alma:

Tensão cisalhante atuante na alma:

Exemplo 2

Integrando-se a distribuição de tensões cisalhantes na alma temos:

Observa-se que a alma resiste a 91% do Observa-se que a alma resiste a 91% do esforço cortante total. O restante (9%) é resistido pelas duas abas.