Aula1PM Mari

7/22/2019 Aula1PM Mari

1/64

SME0110 Programao Matemtica Turma 1

Programao Matemtica - Otimizao Linear

Professora: Maristela Oliveira dos SantosAuxilio 2009: Victor C.B. CamargoAuxilio 2010 - PAE:Marcos Mansano Furlan

Instituto de Cincias Matemticas e de Computao - ICMC

Universidade de So Paulo - USP

maro de 2010

http://find/


2/64


Programao Matemtica

Programao Matemtica - PM

Introduo - Pesquisa Operacional

http://find/http://goback/


3/64


Programao Matemtica

O que Pesquisa Operacional?

A Pesquisa Operacional a aplicao do mtodo cientfico,

por equipes multidisciplinares, a problemas envolvendo ocontrole de sistemas organizados de forma a fornecer soluesque mais interessem a determinada organizao.

A Pesquisa Operacional um conjunto de tcnicas e mtodosmatemticos para auxiliar a tomada de decises nas operaes

de organizaes.

http://find/


4/64


Programao Matemtica

Onde pode ser aplicada?

Pode ser aplicada a problemas onde necessrio especificar,de forma quantitativa, a conduo e a coordenao dasoperaes ou atividades dentro de uma organizao.

A natureza da organizao pode ser financeira, industrial,militar, governamental, etc.

http://find/


5/64


Programao Matemtica

Um breve histrico de PO

1939-1945: Durante a 2a Guerra Mundial, as gernciasmilitares britnica e americana empregaram uma abordagemcientfica para tratamento de problemas de gerenciamento derecursos escassos (tropas, munio, remdios etc.), de formaeficaz.

1947: Incio do interesse das indstrias na utilizao das

tcnicas desenvolvidas na rea militar, para auxiliar noplanejamento e controle da produo.


SME0110 P M T 1
http://find/


6/64


Programao Matemtica

Um breve histrico de PO

1949: George B. Dantzigapresenta o Mtodo Simplex para

resolver problemas de otimizao linear (equaes e (ou)inequaes lineares).

George B. Dantzig- prope o Mtodo Simplex enquantotrabalhava como Consultor em Matemtica no controle da

fora area americana.


SME0110 P M t ti T 1


7/64


Programao Matemtica

Tcnicas da PO

Programao Matemtica: otimizao linear, otimizaono-linear, otimizao inteira, otimizao dinmica, e outras.

Processos Estocsticos: Teoria de Filas; Teoria de Estoques eSimulao.


http://find/


8/64


Programao Matemtica

Diagrama de um projeto de PO


http://find/


9/64


Programao Matemtica

Construindo um modelo matemtico

Passo Fundamental: Ouvir aquele que lida com o problemareal.

Passo 1: Descobrir o que deve ser determinado (variveis doproblema).

Passo 2: Descobrir o que est disponvel (dados do problema).

Passo 3: Reproduzir os caminhos que levam a uma soluo(equaes) .


http://find/


10/64


Programao Matemtica

Problema de Otimizao

A busca de uma soluo mais adequada entre diversassolues alternativas traz consigo os elementos de umProblema de Otimizao:

um critrio de avaliao das solues alternativas, o qual nospermite dizer que uma soluo melhor que outra (objetivoou subjetivo).

A este critrio de avaliao chamamos de funo objetivo, que

buscamos otimizar, ou seja, maximizar ou minimizar.Por outro lado, as solues alternativas devem ser passveis deexecuo indicando a presena de restries que devem serrespeitadas.


http://find/


11/64


Programao Matemtica


De outra forma: temos uma funo f, chamada funo

objetivo, definida no conjunto de solues alternativas,digamos .

Um problema de otimizao matemtica definido por:

min f (x) x


http://find/


12/64

S 0 0 og a ao ate t ca u a

Programao Matemtica


Dependendo do comportamento de f(x)e de como oconjunto descrito, temos diferentes classes de problemas

de otimizao, para os quais uma variedade de mtodos desoluo tem sido desenvolvida.

Otimizao linear.

Otimizao no linear.

Otimizao Inteira.Controle timo.


http://find/


13/64

g

Aplicaes

Aplicaes

Programao Matemtica - Aplicaes


http://find/


14/64

Aplicaes

indstria de petrleo: extrao, refinamento, mistura edistribuio.

indstria de alimentos: rao animal (problema da mistura).

planejamento da produo: dimensionamento de lotes (o que,quando e quanto produzir?).

indstria siderrgica: ligas metlicas (problema da mistura).

indstria de papel: otimizao do processo de cortagem debobinas.

indstrias de mveis: otimizao do processo de cortagem de

placas retangulares.aplicaes financeiras: otimizao do fluxo de caixa, anlisede carteiras de investimento.




15/64

Problema da mistura

Problema da Mistura

O PROBLEMA DA MISTURA


http://find/


16/64

Problema da mistura

Problema da mistura

Materiais disponveis so combinados para gerar novosprodutos com caractersticas convenientes;

Um dos primeiros problemas de otimizao linearimplementados com sucesso na prtica.Abordagens:

Rao;

Ligas metlicas;Composio de filtros de areia.


http://find/


17/64

Problema da mistura

Problema da mistura - Rao


Queremos saber quais as quantidades ideais de cada

ingrediente para fazer uma quantidade de rao, com asnecessidades nutricionais atendidas e o custo total dosingredientes seja o menor possvel.Temos os ingredientes e seus custos:

Milho (A1) - R$ 65,00 /Kg

Farinha de ossos (A2) - R$ 30,00 /Kg


http://find/


18/64

Problema da mistura



Para fazer uma certa quantidade de rao para, digamos,

aves, necessrio uma certa quantidade nutrientes, digamos,vitamina A (Va), vitamina B (Vb) e protena (Vc).Os ingredientes apresentam esses nutrientes determinadasunidades (un):

A1 - 2 un. de Va, 3 un. de Vbe 1 un. de Vc;

A2 - 3 un. de Va, 2 un. de Vb;


http://find/


19/64

Problema da mistura



Deseja-se prepara uma rao que contenha no mnimo 7unidades de Va, 9 unidades de Vbe 1 unidade de Vc.

Determinar a quantidade dos alimentos necessrias para

satisfazer a necessidades da rao.

Ingredientes QtdeNutrientes A1 A2 MnimaVitamina A 2 3 7Vitamina B 3 2 9Protena 1 0 1Custos (R$/kg) 65 30




20/64

Problema da mistura


Problema da mistura - Pergunta-se

Como misturar (as quantidades) dos ingredientes paraproduzir a rao de menor custo possvel?

A mistura atende as necessidades de nutrientes?



P bl d i
http://find/


21/64

Problema da mistura


Problema da mistura - O que decidir?

Quantidades dos ingredientes presentes na mistura?

Decises: Denominadas Variveis de deciso.

Definindo

x1 =quantidade de ingrediente do tipo 1 presente na mistura(u.m).

x2 =quantidade de ingrediente do tipo 1 presente na mistura(u.m).



P bl d i t
http://find/


22/64

Problema da mistura


Problema da mistura - Decidir para que?

funo custo (f)

O custo mnimo seria nulo se no fosse as quantidades

mnimas de nutrientes a serem atendidas (Vitamina A,Vitamina B e Protena)(os custos so positivos). Objetivo:minimizar o custo total da mistura.

Custo total dado por uma funo objetivo.f(x1, x2) = 65x1 + 30x2.

Devemos determinar x1 e x2 tal que f(x1, x2)seja o menorpossvel. min f (x1, x2) = 65x1 + 30x2



Problema da mistura
http://find/


23/64

Problema da mistura


Modelagem do Exemplo 1

Considere que as composies de vitamina A, vitamina B eprotena na rao sejam satisfeitas.Modelo Matemtico:

min f (x1, x2) = 65x1 + 30x2

2x1 + 3x2 7

3x1+ 2x

2 9

1x1 + 0x2 1

x1 0, x2 0.



Problema da mistura
http://find/


24/64

Problema da mistura





Problema da mistura
http://find/


25/64

Problema da mistura





Problema da mistura
http://find/


26/64

Problema da mistura





Problema da mistura
http://find/


27/64





Problema da mistura
http://find/


28/64





Problema da mistura
http://find/


29/64





Problema da mistura
http://find/


30/64





Problema da mistura
http://find/


31/64





Problema da mistura
http://find/


32/64





Problema da mistura
http://find/


33/64


OUTRAS APLICAES - Ligas metlicas

Ligas metlicas so produzidas a partir de vrios insumos(lingotes de ferro, grafite, sucatas industriais, entre outros).

Cada insumo tem uma composio (quantidades de carbono,silcio, mangans etc) e custo conhecidos.

A composio da liga determinada por normas tcnicas dametalurgia (quantidades de carbono, silcio, mangans etc).

Deseja-se determinar as quantidades de cada insumo a seremfundidas, satisfazendo as normas tcnicas da metalurgia como menor preo final possvel.



Problema da mistura
http://find/


34/64


OUTRAS APLICAES - Composio de areias para filtro

Areias so usadas na constituio de filtros de Estaes deTratamento de guas de abastecimento;

Diferentes tipos de areias com composies granulomtricas

distintas esto disponveis em vrios locais;Custos de dragagem, transporte, seleo e preparo parautilizao de cada areia variam;

Areias devem ser dispostas em camadas que devem obedecercomposies granulomtricas estabelecidas por norma;

O problema consiste em combinar os volumes de areiaprovenientes de cada local de modo a atender sespecificaes da norma, com o menor custo possvel.


SME0110 Programao Matemtica Turma 1Problema da mistura

P bl d i R
http://find/


35/64


Exemplo 2 - Barragem de concreto

Na implantao de uma barragem de grande consumo deconcreto, decidiu-se utilizar como fontes de agregadosgrados: Britas granticas, seixos rolados e pedra britadacomercial.

Os custos e as composies granulomtricas de cada agregadoe a composio granulomtrica ideal so dados no grfico a

seguir.



P bl d i t R
http://find/


36/64


Dados do problema da barragem de concreto

Agregados grados (%)Faixas gran. Britas Seixos Pedras Comp. Ideal (%)2,4-19 0 0,05 0,20 0,1019-38 0,10 0,35 0,78 0,20

38-76 0,20 0,60 0,02 0,3576-152 0,70 0 0 0,35Custos R$6 R$7 R$18

Variveis de deciso:

x1 = qde de britas granticas (m3);x2 = qde de seixos rolados (m3);x3 = qde de pedras britadas comercial (m3).



Problema da mistura Rao
http://find/


37/64


Modelagem do exemplo do problema da barragem de

concreto

min f (x1, x2, x3) = 6x1 + 7x2 + 18x3

0, 05x2 + 0, 20x3 = 0, 100, 10x1 + 0, 35x2 + 0, 78x3 = 0, 200, 20x1 + 0, 60x2 + 0, 02x3 = 0, 350, 70x1 = 0, 35x1 + x2 + x3 = 1x1 0, x2 0, x3 0


SME0110 Programao Matemtica Turma 1Problemas de planejamento da produo - mix de produo
http://goforward/http://find/http://goback/


38/64

Problema de planejamento da produo - mix de produo

O PROBLEMA DE PLANEJAMENTO DA PRODUO




39/64

O Problema de Produo

Funo objetivo maximizar a margem de contribuio dosprodutos;

Primeiro conjunto de restries fabricao dos produtosdeve levar em conta a capacidade limitada dos recursos;

Segundo conjunto de restries quantidade de produtosproduzida no deve ser inferior mnima e nem superior

mxima preestabelecida.


http://find/


40/64

Exemplo 1 - Problema de Produo

Uma padaria produz dois tipos de produtos: po (P1) e massade pizza (P2).

Quatro diferentes matrias primas so utilizadas para a

fabricao destes produto: farinha (M1), fermento (M2), ovos(M3) e manteiga (M4), em que temos em estoque,respectivamente, 60 unidades, 38 unidades, 18 unidades e 55unidades.

Para produzir 1 kg de po so necessrias 1 un. de farinha, 2

un. de fermento e 3 un. de manteiga.Para produzir 1 kg de massa de pizza so necessrias 3 un. defarinha, 1 un. de ovo e 1 un. de manteiga.




41/64


O po e massa de pizza so vendidos ao custo de R$ 22/Kg eR$20/Kg.

Deseja-se determinar a quantidade de cada produto a serfabricada que maximize as vendas e respeite as resties de

estoque.

ProdutoMatria prima P1 P2 EstoqueFarinha 1 3 60

Fermento 2 0 30Ovos 0 1 18Manteiga 3 1 55Preo (R$/kg) 22 20




42/64


O que devemos decidir?

Decises: Denominadas Variveis de deciso.Definindo

x1 =quantidade produzida de po em kilos.

x2 =quantidade produzida de pizza em kilos.




43/64

Modelagem do Exemplo 1 - Problema de Produo

Modelo Matemtico:

max f (x1, x2) = 22x1 + 20x2

1x1 + 3x2 602x1 + 0x2 300x1 + 1x2 183x1 + 1x2 55

x1 0x2 0




44/64





45/64





46/64





47/64





48/64





49/64





50/64



http://find/


51/64



http://find/


52/64




Problemas de planejamento da produo - mix de produo
http://find/


53/64

Exemplo 2 - Produo de geladeiras

Empresa precisa decidir quais modelos de geladeira instalar emsua nova planta;

Dois possveis modelos: luxo e bsico.

No mximo, 1500 unidades do modelo luxo e 6000 unidades

do modelo bsico podem ser vendidas por ms.Empresa contratou 25000 homens-hora de trabalho por ms;

Os modelos luxos precisam de 10 homens-hora de trabalhopara serem produzidos e os modelos bsicos, 8 homens-hora.

A capacidade da linha de montagem de 4500 geladeiras porms, pois as geladeiras dividem a mesma linha;

O lucro unitrio do modelo luxo $100, 00 por ms, enquantoo modelo bsico lucra $50, 00 durante o mesmo perodo.




Aplicaes numricas
http://find/


54/64

Exemplo 1 - Produo de geladeiras

Objetivo: determinar quanto produzir de cada geladeira, demodo a satisfazer todas as restries e maximizar o lucro daempresa.

Variveis de deciso:

x1 = quantidade de geladeiras do modelo luxo a ser produzida porms.x2 = quantidade de geladeiras do modelo bsico a ser produzidapor ms.




Aplicaes numricas


55/64

Modelo Matemtico

Modelo Matemtico:

max f (x1, x2) = 100x1 + 50x2

10x1 + 8x2 25000

x1 + x2 4500

0 x1 15000 x2 6000.




Aplicaes numricas


56/64





Aplicaes numricas


57/64





Aplicaes numricas
http://find/


58/64





Aplicaes numricas
http://find/


59/64





Aplicaes numricas

E l P bl d P d
http://find/


60/64





Aplicaes numricas

E l 1 P bl d P d
http://find/


61/64





Aplicaes numricas

E i P bl d P d
http://find/


62/64

Exerccio - Problema de Produo

Pinocchio uma empresa que produz dois tipos debrinquedos: bonecos e trens. Um boneco vendido por R$27, gasta R$ 10 de matria-prima de R$ 13 de mo-de-obra.Um trem vendido por R$ 21, gasta 9 de matria-prima e R$10 de mo-de-obra. A manufatura dos dois brinquedos requer

duas operaes: carpintaria e acabamento. Um boneco requer2 horas de acabamento e 1 hora de carpintaria. O trem requer1 hora de acabamento e 1 hora de carpintaria.A empresaobtm semanalmente toda a matria-prima necessria para a

sua produo. Porm, apenas 100 horas de acabamento e 80horas de carpintaria podem ser utilizadas na confeco dosbrinquedos. A demanda por trens ilimitada, i., todos ostrens produzidos so vendidos. Sabe-se, por experincia, que,no mximo, 40 bonecos so vendidos porsemana.




Aplicaes numricas

E i P bl d P d
http://find/


63/64

Exerccio - Problema de Produo

a. Formule um modelo matemtico para esta situao e que

possa ser utilizado para maximizar o lucro lquido dePinocchio SA.b. Encontre a(s) soluo(es) tima(s) graficamente, sehouver.



Referncias Bibliogrficas

R f i Bibli fi
http://find/


64/64

Referncias Bibliogrficas

ARENALES, M.; ARMENTANO, V. A.; MORABITO, R.;YANASSE, H. H. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro:Campus/elsevier, 2007. 523 p. ISBN 10-85-352-145-1454-2.

GOLDBARG, M.; LUNA, H. P. L.; OtimizaoCombinatria e Programao Linear. Campus, 2000.

PERIN, C. Introduo Programao Linear. ColeoImecc - Textos Didticos. V.2. Campinas: UniversidadeEstadual de Campinas, 2001. 177p.

NASCIMENTO, M.C.V.; ALM JUNIOR, D.J; CHERRI, L.H.;MASSAMITSU,F. Apresentaes para aulas demodelagem matemtica. So Carlos: ICMC-USP, 2008.

http://find/

Aula1PM Mari

Documents

Transcript of Aula1PM Mari